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Full text of "Recreations mathematiques et physiques : qvi contiennent plusieurs problêmes d'arithmetique, de geometrie, d'optique, de gnomonique, de cosmographie, de mecanique, de pyrotechnie, & de physique : avec un traité nouveau des horloges elementaires"

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https://archive.org/details/recreationsmathe01ozan 


J 


\ 


RECREATIONS 

MATHEMATIQUES 

E T 

P H Y S I QJJ  E S, 

gVl  CONTIENNENT 

Pluüeurs  Problèmes  d’ Arithmétique  , de  Géomé- 
trie, d’Optique,  de  Gnomonique , de  Cofmo- 
graphie,  de  Mécanique,  de  Pyrotechnie , de 
Phyfique.  Avec  un  Traité  nouveau  des  Hor- 
loges Elémentaires. 

i Par  M?  0 Z A N A M , ProfeJJeur  des  Mathématiques. 

TOME  PREMIER. 


A PARIS, 

Chez  Jean  Jombert,  prés  des  Augullins  3 
à l’Image  Notre-Dame. 


M.  D C.  X C I V. 

AVE  C PRIVILEGE  DV  ROT. 


P PREFACE 

E ne  m’excuferay  pas  de  ce 
qu’ après  avoir  donné  au  Pu- 
blic des  Traitez  ferieux  qui 
demandent  toute  l’application 
des  Lecteurs , il  lemble  que  je 
veüüle  diiliper  leur  application  & les  en 
détourner  par  les  jeux  d’elprit  que  je  leur 
prefente  dans  ce  premier  Volume.  Lame- 
moire  des  grands  hommes  qui  ont  fait  la 
même  chofeque  j’entreprends,  eft  fi  glo- 
rieufe  , que  leur  exemple  vaut  toutes  les 
juftifications  que  je  pourrois  apporter.  Le 
Doéte  Bachet  fieur  de  Meziriac , célébré 
par  les  excellens  Ouvrages,  commença  a 
le  faire  çonnoître  dans  la  Re publique  des 
Lettres  par  un  Reciieil  qu’il  intitula  Pro- 
blèmes plaifans  qui  fe  font  par  les  Nombres  ; 
Il  voulut  parce  Livre  s’affeurer  de  fon  ta- 
lent , du  jugement  du  Public , avant  que 
de  mettre  au  jour  fes  Commentaires  fur 
l’Arithmetique  de  Diophante  , èc  les  au- 

a ij 


PREFACE. 

très  Livres  qui  luy  ont  acquis  une  gloire 
immortelle.  Plusieurs  autres  Auteurs  de  ce 
Siecle , comme  le  fameux  Pere  Kircher , 6c 
les  Peres  Schot  6c  Bettin  n’ont  pas  moins 
fait  de  bruit  dans  le  Monde  fçavant , par  les 
Problèmes  divertiffans  qu’ils  ont  mis  dans 
leurs  Ouvrages,  que  par  leurs  raifonne- 
mens , 6c  par  leurs  plus  ferieufes  obferva- 
tions. 

Quoique  ces  grands  exemples  puiffenc 
fuffire  pour  autorifer  mon  deffein,  nean- 
moins afin  que  ces  hommes  illuftres  que 
j’ay  pris  pour  garands  , ne  foient  pas  eux- 
mêmes  expofez  à la  cenfure  de  ceux  qui 
voudroient  les  accufer  de  nouveauté  -,  je 
produiray  des  exemples  bien  plus  anciens, 
qui  font  voir  que  de  tout  temps  les  plus 
grands  hommes  ont  tenu  la  même  con- 
duite , s’étant  bien  apperçûs  que  le  mê- 
me fonds  de  raifon  qui  fait  trouver  du 
plaifir  dans  l’admiration  , en  doit  aufli fai- 
re trouver  dans  les  chofes  qui  font  le  fu- 
jet  de  l’admiration. 

Le  commerce  d’Enigmes  que  les  Rois 
de  Syrie  entrctenoient , 6c  qui  a fait  du- 
rer fi  long-temps  après  eux  le  Stile  Para- 
bolique, n’étoit  autre  chofe  que  des  jeux 
d’efprit,&:  des  entretiens  également  pro- 
pres à exciter  le  plaifir  , 6C  à donner  de 
l’élévation  à 1’efprit.  Les  Grands  de  ce 


PREFACE. 

temps-là  étoient  faits  comme  ceux  d’au- 
jourd’huy  : la  peine  les  rebutoic , e’étoit 
un  coup  de  l’adreffe  & de  l’habileté  ex- 
traordinaire de  ceux  qui  les  vouloient  in- 
ftruire , que  de  les  attacher  à l’étude  &:  à 
la  reflexion  , par  le  plaiflr  &:  par  la  cu- 
rioflté.  Je  ne  doute  pas  que  l’éducation 
que  Nathan  donna  à Salomon  par  cet  exer- 
cice, n’ait  beaucoup  contribué  à cette  élé- 
vation d’ame,  &:  à cette  fagefle  merveil- 
leufe  qui  fait  le  caractère  & la  gloire  de  ce 
Prince. 

C’étoit  aufli  par  maniéré  de  divertifle- 
ment  que  les  Chaldéens  &:  les  Egyptiens 
qui  ont  inventé  l’ Aftronomie , marquoient 
par  avance  à leurs  amis  les  jours  &:  les 
circonftances  des  Eclipfes,&:  qu’ils  leurtra- 
çoient  des  figures  qui  partageoient  la  du- 
rée des  jours,  qui  montroient  les  routes 
des  Etoiles  , & qui  reprefentoient  toutes 
les  varietez  des  mouvemens  des  Cieux, 
perfuadez  auflï-bien  que  les  Grecs  , que  les 
premiers  plaifirs  de  l’efprit  font  ceux  que 
l’on  emprunte  des  Mathématiques , dans 
lefquelles  ils  faifoient  élever  leurs  Enfans. 
Ils  croyoient  que  fi  la  raifon  des  Enfans 
étoit  fans  aétion , elle  n’ètoit  pas  nean- 
moins fans  force  , & qu’il  n’y  avoir  qu’à  luy 
donner  du  mouvement  pour  la  perfection- 
ner , ce  qui  fe  pouvoir  faire,  en  donnant  aux 

â iij 


PREFACE. 

Enfans  de  la  curiofité  qui  fait  en  eux  ce 
qu’une  longue  fuite  de  neceflitez  de  la 
vie  fait  dans  les  perfonnes  d’un  âge  plus 
avancé.  C’eft  là  le  fecret  de  Socrate  qui 
tiroir  des  Enfans  les  refolutions  les  plus 
difficiles  de  la  Géométrie  ôc  de  l’Arithme- 
tique  : c’étoit  la  clef  avec  laquelle  il  leur 
ouvroit  l’efprit  , il  connoiffoit  leurs  forces* 
il  prédifoit  leur  deftinée  : c’étoit  le  Dé- 
mon ou  le  Genie  qu’il  confultoit , &:  qui 
ne  le  quittoit  jamais. 

Bien  que  les  jeux  d’efprit  , dont  je  par- 
le , foient  des  amufemens , ils  ne  font  peut- 
être  pas  moins  utiles  que  les  exercices  s 
aufquels  on  applique  les  jeunes  perfonnes 
de  qualité,  pour  façonner  leurs  corps ,8c 
pour  leur  donner  le  bon  air  -,  car  s’accou- 
tumer à connoître  les  proportions,  la  for- 
ce des  mélanges , à connoître  le  point 
qu’on  cherche  dans  la  confufion  , à pren- 
dre dejuftes  mefures  dans  les  propofitions 
les  plus  embroüillées  & les  plus  furprenan- 
tes , c’eft  fe  faire  l’efprit  aux  affaires  , c’eft 
s’armer  contre  les  furprifes , c’eft  fe  pré- 
parer à vaincre  les'  difficultez  imprévues , 
ce  qui  vaut  bien  autant  que  d’affûrer  fa 
démarche  par  les  leçons  des  Maîtres  à dan- 
fer  , ou  le  ton  de  fa  voix  par  celle  des  Mu- 
ficiens. 

Ne  faut-il  pas  outre  cela  que  l’on  fe  dé- 


PREFACE. 

lafle  quelquefois  ? & fe  peut-on  délaffcr 
par  des  divertiffemens  que  Ton  méprife , 
ou  dont  on  a honte  ? Un  homme  d'Etat 
voudroit-il  danfer  au  fortir  du  Confeil  &: 
des  plus  grandes  affaires  ? Seroit-il  bien 
féant  qu’il  fût  trouvé  dans  les  exercices 
où  il  paffoit  fon  temps  dans  fa  jeuneffe  $ 
la  bien-féance , les  affaires , &:  la  fanté  ne 
le  permettent  pas.  Mais  les  jeux  d’efprit 
font  de  toutes  les  faifons  &:  de  tous  les 
âges  : ils  inftruifent  les  Jeunes , ils  diver- 
tiffent  les  Vieux  , ils  conviennent  aux  Ri- 
ches, &:  ne  font  pas  au  deffus  de  la  por- 
tée des  Pauvres  : les  deux  Sexes  s’en  peu- 
vent accommoder  fans  choquer  la  bien- 
féance.  Ces  divertifïemens  ont  encore  l'a- 
vantage , qu’on  ne  peut  y commettre  d’ex- 
cès ; car  c’eft  un  exercice  de  la  raifon  dans 
la  jufteffe  de  fes  démarches  , en  quoy  l'on 
ne  peut  concevoir  qu’elle  aille  à aucune 
extrémité  , puifque  fon  application  eft  dans 
le  jufte  milieu  quelle  s’ eft  propofée  , &;  où 
fe  trouve  la  folution  du  Problème  pro- 
pofé. 

Ceux  qui  ont  eu  la  curiofité  d’épier 
la  conduite  des  Grands  Hommes  dahs  leur 
particulier,  ont  trouvé  qu’ils  fe  font  dis- 
tinguez dans  leurs  diverti ffcme ns  comme 
dans  leur  ferieux.  Augufte  joiioit  les  foirs 
avec  fa  famille  à des  jeux  d’efprit,  il  ne 

a iiij 


PREFACE. 

croyoît  pas  cela  au  defious  de  luy > il  écri- 
vent avec  autant  d’exaélitude  le  détail  de 
fes  divertiffemens  que  celuy  des  affaires 
ferieufes.  Le  Sçavant  Jurifconfulte  Mutius 
Sccvola  après  avoir  répondu  à ceux  qui  le 
venoient  confulter  , fe  divertiffoit  à joüer 
aux  Echets , &:  étoit  devenu  un  des  meil- 
leurs Joüeurs  de  fon  temps.  Le  Pape  Leon 
X.  l’un  des  plus  grands  hommes  de  fon 
Siccle  , joüoit  aufli  quelquefois  aux  Echets, 
iî  l’on  en  croit  Paul  Jove,  pour  fe  délaffer 
de  la  fatigue  des  affaires. 

t>  t 

Il  eft  certain  que  le  Jeu  des  Echets  a etc 
inventé  pour  inftruire , aufïi  bien  que  pour 
divertir;  en  reprefentant  les  attaques  &c 
les  défenfes  des  pièces  differentes , leur 
marche  , &c  leurs  avanturcs , on  a voulu 
faire  des  Leçons  de  morale , èc  montrer 
par  le  defaflre  du  Roy  des  Echets , qu’un 
Prince  tombe  immanquablement  au  pou- 
voir de  fes  Ennemis , quand  il  s 'eft  dépouil- 
lé de  fes  Soldats  , qu’il  ne  peut  négli- 
ger la  perte  d’un  feul  de  fes  Sujets , fans 
s’expofer  à celle  de  fes  propres  Etats. 

On  peut  réduire  tous  les  Jeux  qui  ont 
été  inventez 3 ou  qu’on  pourroit  inventer, 
à trois  ordres,  ou  trois  claffes  differentes; 
la  première  eft  de  ceux  qui  dépendent  ab- 
folument  des  nombres  & des  figures  , com- 
me les  Echets , le  Jeu  des  Dames  , &quel- 


PREFACE. 

ques  autres  : la  fécondé  de  ceux  qui  dé- 
pendent du  hazard  , comme  les  Dez  , 6 C 
les  jeux  femblables  : la  troisième  de  ceux 
qui  dépendent  de  la  jufteffe  des  mouve- 
mens , comme  les  Jeux  de  l’Arquebufe  , 
de  l’Arc,  de  la  Paume,  &;  du  Billard.  Il 
y en  a qui  (ont  mêlez  d’adrelle  &:  de  ha- 
zard , comme  le  Trictrac  , le  Hocca , les 
Cartes,  &:  la  plupart  des  autres.  Mais  il 
eft  confiant , qu’il  n’y  en  a point  qu’on 
nepuilTe  ii  bien  foûmettre  aux  Réglés  des 
Mathématiques  , que  l’on  ne  fût  allure  de 
gagner  , fi  l’on  y pouvoit  apporter  toute 
l’habileté  necelfaire.  Les  Jeux  d’adrelfc 
ont  tant  de  rapport  aux  principes  de  la 
Statique  &:  de  la  Mécanique,  quecen’eft 
que  faute  d’en  bien  fçavoir  les  réglés,  ou  de 
les  bien  mettre  en  ufage  , que  l’on  ne  ga- 
gne pas  dans  ces  Jeux -là.  Il  n’y  a point  de 
Jeu  de  hazard , où  la  viétoire  ne  dépen- 
de de  la  rencontre  d’un  nombre  , ou  du 
poids,  ou  de  l’étendue  de  la  figure.  Le 
Joüeur  qui  imprime  le  mouvement  pour- 
roit  déterminer  la  fin  , s’il  étoit  parfaite- 
ment habile,  ôc  quoique  cela  ne  paroifle 
pas  polfible  , parce  qu’on  ne  trouve  per- 
sonne d’une  parfaite  habileté  , il  eft  nean- 
moins vray  que  l’on  poûrroit  le  faire , &: 
qu’une  méthode  infaillible  de  gagner  aux 
Echets , n’ell  pas  abfolument  impoflible  ; 


PREFACE^ 

Pcrfonne  ne  l’a  encore  trouvée , & je  ne 
crois  pas  qu’on  la  trouve  jamais  , parce 
quelle  dépend  d’un  trop  grand  nombre  de 
combinailons.  C’eft  allez  qu’un  point  de 
perfection  foie  polfible , pour  engager  les 
curieux  au  travail.  L’Orateur  parfait,  di- 
foit  Cicéron , n’a  jamais  été  , mais  il  eft 
pofiible  } fon  idée  , telle  que  ce  grand 
Maître  la  peint  , fert  de  modèle  à ceux 
qui  fe  mettent  en  devoir  de  fe  rendre  ha- 
biles en  Eloquence.  Il  en  efl  de  même  du 
Poëtc , du  Peintre  , de  l’Archite&e  , du 
Médecin  , & de  tous  les  autres.  Audi  quoy 
qu’il  foit  vray  que  perfonne  ne  fçaura  la 
méthode  immanquable  de  tous  les  Jeux,, 
ni  peut-être  d’aucun , neanmoins  il  ne  faut 
pas  lailfer  de  s’y  rendre  le  plus  habile  que 
l’on  peut , en  tâchant  d’approcher  de  l’i- 
dée qu’on  fe  fait  de  cette  méthode,  qui 
effc  enfermée  dans  l’exaCtitude  des  réglés 
èc  des  principes  des  Mathématiques. 

C’eft  une  chofe  bien  extraordinaire  que 
de  vouloir  mettre  les  Joüeurs  dans  mon 
parti , Sc  engager  dans  l’étude  des  Récréa- 
tions Mathématiques  les  Hommes  d’Etat 
&:  les  Capitaines  : mais  puis-je  empêcher 
tout  le  monde  de  profiter  des  leçons  qui 
font  établies  fur  les  principes  les  plus  na- 
turels, & fur  les  veritez  attachées  à l’ef- 
fence  des  chofes  ? Puis-je  défendre  des 


PREFACE. 

plaifrs  qui  font  engageans  par  leur  utilité,, 
& qui  font  E communs  , E faciles , &;  E 
propres  à tous  ceux  qui  ont  de  la  raifon  , 
qu’on  ne  peut  pas  les  ôter  aux  hommes , 
fans  les  priver  de  ce  qu’il  y a de  plus  a- 
ereable  dans  la  vie. 

Un  feul  Livre  n’eft  pas  capable  de  con- 
tenir toutes  les  propofitions  qu’on  peut 
faire  fur  cette  matière , c’eft  pourquoy  je 
divife  mon  Traité  en  deux  Volumes , où 
je  ne  donne  que  les  Problèmes  les  plus  fa- 
ciles, les  plus  utiles,  & les  plus  agréables: 
& pour  conferver  un  ordre  je  mettrayles 
Problèmes  des  Nombres  dans  l’Arithmeti- 
que,  les  Problèmes  Géométriques  dans  la 
Geometrie,  &:c.  Ge  premier  Volume  con- 
tient les  Problèmes  d’ Arithmétique  , de 
Geometrie  , d’Optique  , de  Gnomonique, 
& de  Cofmographie  : le  fécond  Volume 
comprend  les  Problèmes  de  Mécanique^ 
de  Pyrotechnie , &:  de  PhyEque. 


TABLE 

tÆr  l£r  î^r  WÏr  : wk  wïr  uîr  wîr  î£r  ï£r>  ïÆr  l£r  là' . t£r  m5p  là* 

rru  c^u  r^u  <rr^  cs^  c\,  Csu  * *\u  fsu 

i^sj  *^s>  **ts>  <n^3  ns>  «tn>  «*ts_>  ns>  rrsj  rts» 


TABLE 

DES  PROBLEMES. 


PROBLEMES  D’ARITHMETIQUE. 

PRoble’me  I.  Une  Abbeffe  aveugle  vif  tant  fes 
Religieufes  qui  font  difperfées  également  dans 
huit  Cellules  conduites  aux  quatre  angles  d’un 
fhgarré , & au  milieu  de  chaque  cofié , trouve 
par  tout  un  nombre  égal  de  perfonnes  dans  chaque 
rang  qui  efi  compofé  de  trois  Cellules  : & en  les 
vif  tant  une  fécondé  fois  elle  trouve  dans  chaque 
rang  le  meme  nombre  de  perfonnes , quoy  qutly 
fait  entré  quatre  hommes  : & en  les  vif  tant  une 
troiféme  fois , elle  trouve  encore  dans  chaque 
rang  le  meme  nombre  de  perfonnes  , quoique  les 
quatre  hommes  foient  fortis  , chacun  avec  une 
Religieufe  ; on  demande  comment  cela  fe  peut  & 
fe  doit  faire.  Page  i 

Probl.  IL  Souflraire  par  une  feule  operation  plu - 
feurs  femmes  de  plufeurs  autres  fommes  don- 
nées. 3 

Probl.  III.  Multiplication  abrégée.  4 

Probl.  IV.  Divif  on  abrogée.  S 

Probl.  V.  De  quelques  propriétés  des  Nombres.  11 
Trouver  deux  nombres  s dont  les  quarrez,  fajfent 
enfemble  un  nombre  quarré.  lî 

Trouver  deux  nombres , dont  la  fomme  & la  diffe- 


DES  PROBL  E’M  E S. 

renee  foient  chacune  un  nombre  quarré.  xj 

Trouver  deux  nombres , dont  lafomme  Gr  la  dif- 
férence foient  chacune  la  moitié  ou  le  double  d' un- 
nombre  quatre. 

Connaître  quand  un  nombre  propofé n efl  point  quat- 
re. 14 

Connaître  quand  une  Fraltion  propofé e efl  quarrée.  14 
Connoître  quand  une  FraBion propofe'e  efl  cubique.  15 
Trouver  deux  nombres  triangulaires  , dont  lafomme 
& la  différence  foient  chacune  un  nombre  Trian- 
gulaire. 16 

Connoître  fi  un  nombre  propofé  efl  triangulaire.  16. 
5c  19 

Connoître  quand  un  nombre  propofé  efl  Pentagone.  15 
Trouver  la  fomme  de  tant  de  nombres  Triangulai- 
res qu’on  voudra , en  commençant  depuis  l'U- 
nité.  1 5 

Trouver  la  fomme  de  tant  de  nombres  quarrez  qu’on 
voudra  depuis  l'Unité.  19 

Trouver  la  fomme  de  tant  de  nombres  cubiques 
qu’on  voudra  depuis  l'Unité.  21 

Trouver  deux  Fractions  en  raifon  donnée , dont  la 
fomme  fait  égale  d leur  produit.  il 

Trouver  par  ordre  tous  les  nombres  parfaits.  25 

Trouver  toutes  les  Parties  aliquotes  , ou  tous  les 
Divifenrs  d’un  nombre  propofé.  24 

Trouver  par  ordre  tous  les  nombres  amiables.  16 

Trouver  deux  nombres  Triangulaires , dont  les  co- 
tez different  de  l'Unité , & tels  que  leur  fomme 
& leur  différence  foient  des  nombres  quarrez  , çr 
que  la  fomme  de  leurs  quarrelgfoit  un  nombre 
Triangulaire. 

Table  des  nombres  premiers  entre  1 & IOOOO-  34 
Probl.  VI.  Des  Triangles  reliantes  en  nombres.  57 

Trouver  en  nombres  autant  de  Triangles  rectangles 


TABLE 

qtt  on  voudra.  3 g 

Trouver  en  nombres  autant  de  Triangles  rectangles 
qu'on  voudra  , ou  les  deux  cotez,  different  de 
l'Unité.  38 

Trouver  en  nombres  une  infinité  de  Triangles  rec- 
tangles , ou  L’excès  de  l'hypotenufe  fur  un  coté 
foit  l'unité.  39 

Trouver  en  nombres  une  infinité  de  Triangles  reClan - 
gles , tels  que  l'hypotenufe  furpaffe  un  codé  de 
l'Unité , & que  l'autre  codé  fait  un  nombre 
1 juarrê . 39 

Trouver  en  nombres  une  infinité  de  Triangles  rectan- 
gles , où  l'hjpotenufe  foit  un  nombre  quarré.  40 

Trouver  en  nombres  une  infinité  de  Triangles  rec- 
tangles , ou  les  bafes  & les  hypotenufes  foient  des 
nombres  Triangulaires , & les  hauteurs  foient 
des  nombres  cubiques.  41 

Probl.  VII.  De  la  P rogreffion  Arithmétique.  42, 

Trouver  la  fomme  d’autant  de  termes  qu'on  voudra 
d’une  Progreffion  Arithmétique.  44 

Question  I.  Un  Proprietaire  fait  faire  un  Puits 

à un  Aiaffon , avec  cette  condition  , qu'il  luy  don- 
nera trots  livres  pour  la  première  toife  de  pro*- 
fondeur , cinq  pour  la  fécondé  , fept  pour  la  troi- 
fiéme  , & ainfi  enfuite  en  augmentant  de  deux 
livres  a chaque  toife  ,jufqu’ a vingt  toife  s de  pro- 
fondeur. On  demande  combien  il  fera  dâ  au 
Aiaffon  , quand  les  vingt  toifes  de  profondeur 
feront  achevées.  45 

Quest.  II.  Un  Voyageur  a fait  cent  lieuès  en  huit 
jours  de  temps  , & chaque  jour  il  a fait  égale- 
ment plus  de  chemin  que  le  jour  precedent , & 
fpachant  que  le  premier  jour  il  a fait  feulement 
deux  lieuès , on  demande  combien  de  lieuès  il  a 
fait  chacun  des  autres  jours.  46 


DES  FROBLE’MES. 

Quest.  III.  Vn  Voyageur  a fait  cent  lieues  en  huit 
jours  de  temps  , & il  a fait  chaque  jour  trois 
lieuès  plus  que  le  precedent , on  demande  com- 
bien de  lieues  il  a fait  chaque  jour.  4 6 

Quest.  IV.  Vu  Voleur  en  s'enfuyant  fait  huit  lieuès 
par  jour,  & un  Archer  le  pourfuit , qui  n a fait 
que  trois  lieuès  le  premier  jour , cinq  le  fécond , 
fept  le  trotfsme , & ainfi  enfuite  en  augmentant 
de  deux  lieuès  chaque  jour . On  demande  en  com- 
bien de  jours  l’Archer  atteindra  le  Voleur , çjr 
combien  de  lieuès  chacun  aura  fait.  47 

Quest.  V.  On  fuppofe  que  de  Paris  a Lyon  il  y a 
cent  lieuès  , & que  deux  Courriers  fontpartis  en 
meme  temps  , & p*r  l * même  route  , l’un  de 
Paris  pour  aller  d Lyon  , en  faifant  deux  lieuès 
chaque  jour  plus  que  le  precedent , er  l’autre  de 
Lyon  pour  venir  k Paris , en  faifant  trois  lieuès 
chaque  jour  plus  que  le  precedent  : (V  que  preci- 
fe'ment  au  milieu  du  chemin  , ils  fe  font  rencon- 
trez1 , le  premier  au  bout  de  cinq  jours , & le 
fécond  au  bout  de  quatre  jours.  On  demande 
combien  de  lieues  ces  deux  Courriers  ont  fait  cha- 
que jour.  48 

Quest.  VI.  Il  y a cent  pommes  & un  panier  rangez, 
en  ligne  droite,  fir  éloignez, par tont  d’un  Pas  les 
uns  des  autres.  On  demande  combien  de  Pasfe * 
roit  celuy  qui  entreprendrait  de  cueillir  ces  pom- 
mes les  mes  après  les  autres , & de  les  rappor- 
ter dans  fon  panier,  qui  feroit  toujours  dans  une 
même  place.  49 

Probe.  VIII.  De  la  Progrejfion  Géométrique.  49 
Trouver  entre  deux  nombres  donnez,  un  moyen 
Géométrique  proportionnel.  51 

Trouver  entre  deux  nombres  donnez,  deux  moyens 
Géométriques  çontinuellementproportionnels,  jî 


TABLE 

Trouver  entre  deux  nombres  donne  T^un  moyen  pro- 
portionnel Arithmétique.  52, 

Trouver  entre  deux  nombres  donnez,  deux  moyens 
Arithmétiques  continuellement  proportionnels.  52, 
Trouver  la  fomme  de  tous  les  termes  infinis  d’une 
Progreffion  Géométrique  qui  décroît.  55 

Quest.  Un  grand  Navire  en  pourfuit  fur  le  même 
Ru  b un  plue  petit , dont  il  e fi  éloigné  de  qua- 
tre lieues  , & il  marche  deux  fois  plus  vifie  que 
le  plus  petit.  On  demande  le  chemin  que  le  grand 
Navire  doit  faire  pour  atteindre  le  plus  petit.  54 
Probl.  IX.  Des  GJyyarrezj  Magiques.  55 

Quest.  Difpofer  en  trois  rangs  les  neuf  premières 
Cartes  dequis  l’As  jufiqu  au  Neuf , de  forte  que 
tous  les  points  de  chaque  rang  pris  en  long , ou 
en  large  , ou  en  diagonale , fajfent  enfemble  une 
même  fomme.  60 

Probl.  X.  Du  Triangle  Arithmétique . 62. 

Des  Combmaifms.  61 

Des  Permutations.  G 5 

Des  Partis  du  feu.  6 y 

Du  Jeu  des  Dez,.  7<* 

Probl.  XI.  Plufieurs  Dez,  étant  jettez, , trouver  le 
nombre  des  points  qui  en  proviennent  après  quel- 
ques operations.  <*î 

Probl.  XII.  Deux  Dez,  étant  jettez, , trouver  les 
points  de  dejfus  de  chaque  Dé , fans  les  voir.  82 
Probl.  XIII.  Trois  Dez,  étant  jettez,  t trouver  les 
points  de  dejfus  de  chaque  Dé fans  les  voir.  84 
Probl.  XIV.  Deviner  le  nombre  que  quelqu’un  a 
penfé.  85. 

Probl.  XV.  Trouver  le  nombre  qui  refie  a quelqu’un 
après  quelques  operations  , fans  luy  rien  deman- 
der. 93 

Probl.  XVI.  Trou  ver  le  nombre  que  quelqu’un  aura 

penfé , 


DES  PROBLEMES. 

penfé  , fans  luy  rien  demander.  96 

Probl.  XVII.  Deviner  deux  nombres  que  quel  qui un 
aura  penfé.  9 S 

Probl.  XVIII.  Deviner  plufieurs  nombres  que  quel- 
qu’un aura  penfe 102. 
Probl.  XIX.  Une  perfenne  tenant  dans  une  main- 
un  certain  nombre  pair  de  ptftoles  , & un  nombre 
impair  en  l'autre  main , deviner  en  quelle  main 
efl  le  nombre  pair  & impair.  10 6 

Quest.  Une  perfonne  tenant  une  pie  ce  d'or  dans  une 
main , & une  ptece  d’argent  dans  l’autre , trou- 
ver en  quelle  marn  efi  la  pièce  d’or  fr  la  piece 
d’argent.  107 

Probl.  XX.  Trouver  deux  nombres  , dont  on  con- 
nût t la  raifon  , & la  différence.  108 

Que  ST.  Quelqu’un  ayant  autant  de  pièces  de  mon- 
noyé  dans  une  main  que  dans  l’autre , deviner 
combien  il  y en  a en  chaque  main.  ioy 

Probl.  XXI.  Deux  perfonne  s étant  convenus  de  pren- 
dre a plaifir  des  nombres  moindres  qu’un  nombre 
prepofé , en  continuant  alternativement  jufqud 
ce  que  tous  leurs  nombres  fajfent  enfenible  un- 
nombre  déterminé  plus  grand  que  le  propofé 
faire  qn  on  arrive  a ce  nombre  déterminé  plus 
grand.  Il  O 

Probl.  XXII.  Divifer  un  nombre  donné  en  deux 
parties  , dont  la  raifon  foit  égale  a celle  de  deux 
nombres  donnez,.  uz 

Quest.  Faire  la  monnoye  d’un  Feu  blanc  en  deux 
efpeces  differentes , en  forte  qu’il  y ait  autant 

* d’une  efpece  que  de  l’autre.  j 13 

Probl.  XXIII.  Trouver  un  nombre , qui  étant  di- 

vtfé  feparément  par  des  nombres  donnez, , il  refie 
par  tout  1 , & étant  divifé par  un  autre  nombre 

* donné . il  ne  refie  rien . 


é 


TABLE 

QljEsr.  Trouver  combien  il  y avait  de  Louis  d’or 
dans  une  bourfe  qu'une  perfonne  dit  avoirperduê  , 
& qui  affure  qu’en  les  comptant  deux  a deux  , ou 
trois  A trois , ou  cinq  a cinq,  il  en  refait  toujours 
un,  & qu'en  les  comptant  fept  a fcpt , il  n en 
refait  point . i:8 

Probl.  XXIV.  Divifer  plusieurs  nombres  donnez, 
chacun  en  deux  parties  , & trouver  deux  nom- 
bres , en  forte  que  multipliant  la  première  partie 
de  chacun  des  nombres  donnez  par  le  premier 
nombre  trouvé , & A?  fécondé  par  le  fécond  , la 
fomme  des  deux  produits  fait  par  tout  la  même.  119 
Quest.  Une  femme  a vendu  I ^ pommes  au  Mar- 
ché a un  certain  prix  , une  autre  femme  en  a 
vendu  25  au  meme  prix,  & une  troifiéme fem- 
me en  a vendu  30  au  fi  au  même  prix  ,&  cha- 
cune a rapporté  une  même  fomme  d’argent.  On 
demande  comment  cela  fe  peut  & fa  doit  faire.  122 
Probl.  XXV.  De  plufeurs  nombres  en  Progrejfion 
arithmétique , er  difpofaz  en  rond,  dont  le  pre- 
mier fait  l’unité  , trouver  celuy  que  quelqu’un 
aura  penfé.  11} 

Probl.  XXVI.  Deviner  de  trois  perfonne  s combien 
chacune  aura  pris  de  Cartes,  on  dejettons.  125 
Probl.  XXVII.  D e trois  Cartes  inconnues  , deviner 
celle  que  chacune  de  trois  perfonnes  aura  prifa.  116 
Probl.  XXVIII.  De  trois  Cartes  connues  , devi- 
ner celle  que  chacune  de  trois  perfonnes  aura 
prifa.  12S 

Probl.  XXIX.  Deviner  entre  plufeurs  Cartes  celle 
que  quelqu’un  aura  penfé.  129 

Probl. XXX.  Plufeurs  Cartes  differentes  étant pro- 
pofées  fuccejfvcment  d autant  de  perfonnes  , pour 
en  retenir  une  dans  fa  mémoire , deviner  celle 
que  chacun  aura  penfé.  130 


DES  PROBLEMES. 

Probl.  XXXI.  De plufeurs  Cartes  difpofécs  /gaie- 
ment en  trois  rangs  , deviner  celle  que  quelqu'un 
aura  penfé.  131 

Probl.  XXXII.  Deviner  combien  il  y a des  points 
dans  une  Carte  que  quelqu’un  a tirée  d’un  Jeu  de 
Cartes  complet.  ijZ 

Probl.  XXXIII.  Deviner  le  nombre  de  tous  les 
points  qui  font  en  deux  Cartes  qu’en  aura  tirées 
d’un  Jeu  de  Cartes  complet . 15  j 

Probl.  XXXIV.  Deviner  le  nombre  de  tous  les 
points  qui  font  en  trois  Cartes  qu’on  aura  tirées 
a volonté  d’un  Jeu  de  Cartes  complet.  j 3 <; 

Probl.  XXXV.  Du  Jeu  de  l’anneau.  138 

Probl.  XXXVI.  Ayant  un  Café  rcmplt  de  huit  pin- 
tes de  quelque  liqueur , en  mettre  juflement  la, 
moitié  dans  un  antre  Café  de  cinq  pintes  par  le 
moyen  d'un  troifiéme  Café  contenant  trois  pin- 
tes. 140 


PROBLEMES  DE  GEOMETRIE. 

rOBLBME  I.  Cirer  a une  ligne  donnée  une  per- 
pendiculaire par  lune  defes  extrémité 2.  j 42. 
Probl.  II.  "Tirer par  un  point  donné  une  ligne  paral- 
lèle à une  ligne  donnée.  1 4 5 

Probl.  III.  Divifer  avec  une  même  ouverture  au 
Cornp.u  une  ligne  donnée  en  autant  de  parties 
é oale s qu’on  voudra.  144 

Probl.  IV.  Faire  un  Angle  égal  à la  moitié , ou 
bien  au  double  d’un  Angle  donné.  14  j 

Probl.  V.  Faire  un  Angle  égal  au  tiers,  eu  bien 
au  triple  d’un  Angle  donné.  145 

Probl.  VI.  Trouver  a deux  lignes  données  une  troi- 
féme , qt  autant  dé  autres  proportionnelles  qu’oit 

ë 1 j 


TABLE 


voudra. 

Probl.  VII.  Décrire  fur  une  ligne  donnée  autant 
de  'Triangles  dijferens  qu’on  voudra  , dont  les  ai- 
res foient  égales.  147 

Probl.  VIII.  Décrire  fur  une  ligne  donnée  autant 
de  Triangles  dijferens  qu’on  voudra  , dont  les  con- 
tours foient  égaux • 147 

Probl.  IX.  Décrire  deux  Triangles  ifofcéles  dtffe- 
rens  de  meme  aire  , çr  de  même  contour.  148 
Probl.  X.  Décrire  trois  Triangles  reÜangles  dijfe- 
rens j dont  les  aires  foient  égales.  151 

Probl.  XI.  Décrire  trois  Triangles  égaux  , dont  le 
premier  foit  reftangle , le  fécond  fait  Oxj/gone  , tfr 
le  troifiéme  foit  Amblygone . 1 53 

Probl.  XII.  Trouver  une  ligne  droite  égale  a un 
arc  de  Cercle  donné. 

Trouver  la  circonférence  d'un  Cercle  , dont  en  con- 
naît le  Diamètre.  15 G 

Connaître  le  Diamètre  d'un  Cercle  , ou  d'une  Bou- 
le , par  fi  circonférence  connue.  15(2 

Probl.  XIII.  Trouver  entre  deux  lignes  données 
une  , ou  deux  , ou  trois  moyennes  proportionnel- 
les. 15? 

Probl. XIV.  Décrire  dans  un  Cercle  donné  quatre 
Cercles  égaux  qui  fe  touchent  mutuellement , & 
aujfi  la  circonférence  du  Cercle  donné.  ijp 

Probl.  XV.  Décrire  dans  un  Demi-cercle  donné 
trois  Cercles  qui  touchent  la  circonférence  , & le 
Diamètre  de  ce  Demi-cercle  donné , gr  dont  ce - 
luy  du  milieu  y qui  efl  le  plus  grand , touche  les 
deux  autres  qui  font  égaux.  160 

Probl.  XVI.  Décrire  quatre  Cercles  proportion- 

nels , en  forte  que  leur  fomme  foit  égale  d un  Cer- 
cle donné,  & que  la  fomme  de  leurs  Rayons  foie 
égale  à une  ligne  donnée . i£ï 


DES  PROBLEMES. 

Probl.  XVII.  Déterminer  fur  la  circonférence  d u n 
Cercle  donné  un  arc , dont  le  Sinus  foit  égal  d 
la  corde  du  complément  de  cet  arc.  i6z 

Probl. XVIII.  Décrire  un  Triangle  r 

les  trois  cotez,  foient  en  proportion  Géométrique. 

165 

Probl.  XIX.  Décrire  quatre  Cercles  égaux  qui  fe 
touchent  mutuellement  , & qui  touchent  par  le 
dehors  la  circonférence  d'un  Cercle  donné.  164. 
Probl.  XX.  Décrire  un  Triangle  re  Etang/ e , dont 
les  trois  cotez,  foient  en  proportion  Arithméti- 
que. 165 

Probl.  XXI.  Décrire  ftx  Cercles  égaux  qui  fe  tou- 
chent mutuellement , er  aufft  les  trois  cotez.  & 
les  trois  angles  d’un  Triangle  donné  équilaté- 
ral. \66 

Probl.  XXII.  Etant  donner  plufeurs  Demi-cercles 
qui  fe  touchent  d l'angle  droit  de  deux  lignes 
perpendiculaires  , cr  qui  ont  leurs  centres  fur  lu- 
ne de  ces  deux  lignes  j trouver  les  points  ou  ces 
Demi-cercles  peuvent  être  touchez,  par  des  lignes 
droites  tirées  de  ces  points  d un  point  donné  fur 
l’autre  ligne  perpendiculaire.  167 

Probl.  XXÏII.  Décrire  un  Triangle  rectangle  , dont 
l’aire  foit  en  nombres  , égale  d fon  contour.  16 S 
Probl.  XXIV.  Décrire  au  dedans  d'un  Triangle 
équilatéral  trois  Cercles  égaux  , qui  fe  touchent 
Mutuellement , & auffi  les  trois  cotez,  du  Tri  an- 
gle équilatéral.  170 

Probl.  XXV.  Décrire  un  Triangle  reEtangle  , dont 
l’aire  en  nombres  foit  fefquialtere  de  fon  con- 
tour. - 171 

Probl.  XXVI.  Décrire  au  dedans  d'un  fhgarrê 
donné  quatre  Cercles  égaux  qui  fe  touchent  mu- 
tuellement j cr  nnffi  le  côté  de  ce  Quarré.  17Z 

c üj 


e [tan oie  , donc 


TABLE 


Probl.  XXVII.  Décrire  un  Parallélogramme  rec- 
tangle , dont  l’aire  en  nombres  fait  égale  an  con- 
tour. I73 

Probï..  XXVIII.  Aiefurer  avec  le  chapeau  une  li- 
gne acccjjible  fur  la  terre  en  l’une  de  fes  deux 
extrémités.  I74 

Probl.  XXIX.  Adefurer  une  Ligne  horizontale  ac- 
ctjfble  en  l'une  de  fes  deux  extrémités  , par  le 
moyen  de  deux  bâtons  inégaux.  175 

Probl.  XXX.  Mefurer  une  Hauteur  accejfble  par  le 
moyen  de  fon  ombre.  17 G 

Probl.  XXXI.  'Trouver  a trois  lianes  données  une 

c_> 


quatrième  proportionnelle . 177 

Probl.  XXXII.  Décrire  fur  un:  ligne  donnée  un 
Parallélogramme  re  El  angle  , dont  l’aire  foit  dou- 
ble de  celle  d'un  Triangle  donné.  177 

Probl.  XXXIII.  Changer  un  Triangle  donné  en  un 
autre  Triangle  , dent  chaque  côté  foit  plus  grand 
que  chaque  côté  du  Trianale  donné.  178 

Probl.  XXXIV.  Etant  donnes  fur  une  mime  ligne 
droite  deux  Demi-cercles  qui  fe  touchent  en  de- 
dans , décrire  un  Cercle  qui  touche  la  ligne  droi- 
te , (j  les  circonférences  des  deux  Demi-cercles 
donnes . 175J 

Probl.  XXXV.  Etant  donnes  fur  une  ligne  droite 
trois  Demi-cercles  qui  fe  touchent  en  dedans , 
décrire  un  Cercle  qui  touche  les  circonférences  des 
trois  Demi-cercles.  180 

Probl.  XXXVI.  Etatît  donnes  fur  une  ligne  droi- 
te trots  Demi-cercles  qui  fe  touchent  en  dedans , 
avec  une  autre  liqne  droite  tirée  par  le  point 
d' attouchement  des  deux  Demi-cercles  intérieurs  3 
& perpendiculaire  d la  première  ligne  droite , dé- 
crire deux  Cercles  égaux  qui  touchent  cette  per- 
pendiculaire , & les  circonférences  des  deux  De- 


DES  PROBLEMES. 

mi- cercle  s.  i8z 

Probl.  XXXVÎI.  Décrire  un  Triangle , dont  l'aire 
<&  le  contour  foient  un  meme  nombre  quatre . 185 

Probl.  XXXVIII.  Faire  pafferune  circonférence  de 
Cercle  par  trois  points  donnez, , fans  en  connoitre 
le  centre.  184 

Probl.  XXXIX.  Etant  données  deux  lignes  per- 
pendiculaires d une  meme  ligne  tirée  par  leurs 
extrémitez , , trouver  fur  cette  ligne  un  point  éga- 
lement éloigné  de  chacune  des  deux  autres  ex- 

ù> 

trémitez ,.  185 

Probl.  XL.  Décrire  deux  Triangles  rectangles  , 
dont  les  lignes  foient  telles  , que  la  différence  des 
deux  plus  petites  du  premier  foit  égale  d celle 
des  deux  plus  grandes  du  fécond,  çr  que  réci- 
proquement la  différence  des  deux  plus  petites 
du  fécond  foit  égale  d celle  des  deux  plus  gran- 
des du  premier . 186 

Probl.  XLI.  Divifer  la  circonférence  d’un  Demi- 
cercle  donné  en  deux  arcs  inégaux  5 en  forte  que 
le  Demi-diametre  foit  moyen  proportionnel  entre 
les  cordes  de  ces  deux  arcs . 18S 

Probl.  XLII.  Une  Echelle  d'une  longueur  connue 
étant  appuyée  contre  une  muraille  d’une  certai- 
ne dtflance , trouver  combien  elle  décendra  lorf- 
qu  on  l'éloignera  un  peu  davantage  du  pied  de 
la  même  muraille.  189 

Probl.  XL1II.  ]\4efurer  une  ligne  acceffible  fur  la 
Terre  par  le  moyen  de  la  lumière  & du  bruit 
d’un  Canon . 190 


TABLE 


PROBLEMES  D’OPTIQUE. 


PRobleme  ï.  Faire  qu’un  Objet  étant  vu  de  loin, 
ou  de  pim  proche,  paroijfe  toujours  de  la  mê- 
me grandeur.  193 

Probl.  II.  Trouver  un  point , duquel  deux  parties 
inégales  d’une  ligne  droite paroijfent  égales.  194 
Probl.  III.  Etant  donné  un  point  de  quelque  ob- 
jet, & le  lieu  de  l'œil,  trouver  le  point  de  réfle- 
xion fur  la  Surface  d'un  Miroir  plat.  19$ 

Probl.  IV.  Tirer  par  derrière  l’épaule  un  Piflolet 
aujji  jugement  que  fl  on  le  couchoit  en  jouë.  197 

Probl.  V.  Mefurer  une  Hauteur  par  Reflexion.  198 
Probl.  VI.  Repreflenter  en  Perfpettive  tout  ce  que 
l’on  voudra  , fans  fe  fervtr  du  Point  de  vue.  199 
Probl.  VII.  Reprefenter  en  Perfpeêhve  un  Polyèdre 
équilatéral  terminé  par  flx  Qgtarrez.  égaux  , & pur 
huit  Exagones  réguliers  & égaux  entre  eux.  201 
Probl.  VIII.  Reprefenter  en  P erfpeêhve  un  Polyèdre 
équilatéral , terminé  par  ftx  Jflggarrcz,  égaux  , CT 
par  huit  Triangles  équilatéraux  & égaux  entré 


eux . 203 

Probl.  IX.  Reprefenter  en  P erfpeftive  un  Polyèdre 
équilatéral  terminé  par  flx  Quarrez.  égaux  , & par 
douz^e  Triangles  ifofcéles  & égaux  entre  eux  , dont 
la  hauteur  e(l  égale  a la  bafe.  204 

Probl.  X.  Reprefenter  en  Perfpeêlive  un  Polyèdre 
équilatéral  terminé  par  dottz,e  Jflggarrez,  égaux  , 
par  huit  Exagones  réguliers  £r  égaux , & par  flx 
Octogones  réguliers  &’  égaux.  205 

Probl.  XI.  Etant  donner  le  point  de  l'œil  & de  quel- 
que objet , avec  le  point  de  Reflexion  fur  la  Surface 
d’un  Miroir  plan , déterminer  dans  ce  Miroir  le 


DES  PROBLÈMES. 

lieu  de  l' image  de  l objet propofle'.  zcfl 

Probl.  XII-  Etant  donnez,  les  points  de  l’œil , tfr  de 
quelque  objet  , avec  le  point  de  Reflexion  fur  la 
Surface  convexe  d’un  Miroir  Sphenque , détermi- 
ner dedans  ou  dehors  de  ce  Miroir  l’image  de 
l’Objet  propofé.  209 

Prorl.  XIII.  Déterminer  le  lieu  de  quelque  Objet 
vu  par  Reflexion  fur  la  Surface  d'un  Miroir  Cy- 
lindrique. 2IÏ 

Probl.  XIV.  Etant  donnez,  les  points  de  l’œil,  & 
de  quelque  Objet , avec  le  point  de  Re flexion  fur 
la  Surface  concave  d'un  Miroir  Sphenque,  dé- 
terminer dedans  ou  dehors  de  ce  Miroir  l’image 
de  l’Objet  propofé.  213 

Probl.  XV.  Des  Miroirs  ardans.  2.15 

Probl.  XVI.  Des  Spheres  de  lierre  propres  à produi- 
re du  feu  aux  Rayons  du  Soleil,  22,2 

Probl.  XVII.  Des  Lentilles  de  Verre  , propres  a 
produire  du  feu  aux  Rayons  du  Soleil.  21S 

Des  Lentilles  de  Verre , faites  enferme  de  Segment 
de  Sphere.  229 

Des  Lentilles  de  Verre  , convexes  des  deux  cotez,,  2.31 
Des  Lentilles  de  Verre  , convexes  d'un  côté , & 
concaves  de  l’autre.  2.31 

Probl.  XVIII.  Reprefenter  dans  une  Chambre  clofe 
les  Objets  d.e  dehors  avec  leurs  couleurs  natu- 
relles , par  le  moyen  d’une  Lentille  de  Verre  con- 
vexe des  deux  coftez.  236 

Probl.  XIX.  Décrire  fur  un  Plan  une flgure  dijfor- 

étant  regardée  d’un 
point  déterminé.  238 

Probl.  XX.  Décrire  fur  un  Plan  une  figure  diffor- 
me qui  para iffe  dans  fa  perfeElion  , étant  vûë  par 
Reflexion  dans  un  Miroir  plan.  239 

Probl.  XXI.  Décrire  fur  umPlan  Horizontal  une 


me  qui  paroi ffe  au  naturel , 


TABLE 

figure  difforme  qui  parotjfe  au  naturel  fur  un  Plan 
Vertical  tranfparant , pofé  entre  l'œil  & la  figure 
difforme.  241 

Probl.  XXII.  Décrire  fur  la  Surface  convexe  d'u- 
ne Sphere  une  figure  difforme , qui  paroijfe  au  na- 
turel , étant  regardée  d’un  point  déterminé.  242 
Probl.  XXIII.  Décrire  fur  la  Surface  convexe  dé  un 
Cylindre  une  figure  difforme  , qui  parotjfe  belle 
quand  elle  fera  vue  "dé un  point  déterminé.  244 

Probl.  XXIV.  Décrire  fur  la  Surface  convexe  d’un 
Cône  une  figure  difforme  , qui  paroiffe  au  na- 
turel , étant  regardée  d’un  point  déterminé.  245 
Probl.  XXV.  Décrire  fur  un  Plan  horizontal  une 
fitrure  difforme  qui  paroiffe  belle  fur  la  Surface 
convexe  d’un  Miroir  Cylindrique  droit  , étant 
vûé  par  Réflexion  d’un  point  donné.  247 

Probl.  XXVI.  Décrire  fur  un  Plan  horizontal  une 
figure  difforme  qui  paroiffe  belle  fur  la  Surface 
convexe  d'un  Miroir  Conique  élevé  a angles 
droits  fur  ce  Plan,  étant  vue  par  Reflexion  d’un 
point  donné  dans  l’ Axe  prolongé  de  ce  Cône  fpe- 
culaire.  250 

Probl.  XXVII.  Décrire  une  Lanterne  artificielle , 
par  le  moyen  de  laquelle  on  puiffe  lire  la  nuit  de 
fort  loin.  25 4 

Probl.  XXVIII.  Par  le  moyen  de  deux  Miroirs 
plans  faire  paroître  un  vif  âge  fous  des  formes  dif- 
ferentes. 25$ 

Probl.  XXIX.  Par  le  moyen  de  1 eau  faire  voir  un 
Jetton  qui  feroit  caché  a l'œil  dans  le  fond  d'un 
vafe  vuide.  254 

Probl.  XXX.  Reprefenter  en  perfettion  une  pris 
fur  le  plancher  d'une  Chambre  obfcure . 5 


DES  PROBLEMES, 


PROLFMES  D E GNOMONIQUE. 

PProbl.  I.  Décrire  dans  un  F art  erre  un  Cadran 
Horizontal  avec  des  herbes . 2j(> 

Probl.  II.  Décrire  un  Cadran  Horizontal , dont  on  a 
le  Centre  <$■  la  Ligne  Erjuinoxiale . 259 

Probl.  III.  Décrire  un  Cadran  Horizontal  par  le 
moyen  d'un  fhyart  de  Cercle.  z6o 

Probl.  IV.  Décrire  un  Cadran  Horizontal , & un 
Cadran  Vertical  Méridional  , par  le  moyen  dé  un 
Cadran  Polaire.  161 

Probl.  V.  Décrire  un  Cadran  Horizontal , çfr  un 
Cadran  Vertical  Méridional , par  le  moyen  d’un 
Cadran  Equinoxial.  zél 

Probl.  VI.  D écrire  un  Cadran  Vertical  fur  un 
quarreau  de  Vitre  , ou  l'on  puijfe  connoître  les  heu- 
res aux  Rayons  du  Soleil , fans  aucun  file.  2 Gz, 
Probl.  VII.  Décrire  trois  Cadrans  fur  trois  Plans 
dijferens , ou  l'on  puijfe  connoître  les  heures  ait 
Soleil  par  l’ombre  d’un  feul  Axe.  164 

Probl.  VIII.  Tracer  un  Cadran  fur  un  Plan  Ho- 
rizontal par  le  moyen  de  deux  points  d'ombre 
marquez  fur  ce  Plan  au  temps  des  Equinoxes.  zG~j 
Probl.  IX.  Tracer  un  Cadran  fur  un  Plan  hori- 
zontal, 011  les  points  de  cinq  & de  fept  heures 
font  donnez  fur  la  Ligne  Equinoxiale.  269 

Probl.  X.  Etant  donné  un  Cadran  >foit  Horizon- 
tal j ou  Vertical,  trouver  pour  quelle  Latitude  il 
a été  fait , lorfque  l'on  connoît  la  longueur  £r  le 
pied  du  (hle.  272 

Probl.  XI.  Trouver  le  Pied  çjr  la  longueur  du  J hle 
dans  un  Cadran  Vertical  déclinant.  274 

Trouver  par  la  Trigonométrie  l' Angle  de  P Equin  0- 


TABLE 

Xiale  avec  în  Méridienne  d'un  Cadran  Vertical 
déclinant.  x~]G 

Trouver  par  la  Trigonométrie  1 Elévation  du  Vole  fier 
le  Plan  d’ un  Cadran  Vertical , déclinant.  277 
Trouver  par  la  Trigonométrie  la  différence  des  Lon- 
gitudes dans  un  Cadran  Vertical  déclinant.  276 
Trouver  par  la  Trigonométrie  l’ Angle  de  la  Ligne  de' 
fix  heures  avec  la  Méridienne  d'un  Cadran  Verti- 
cal déclinant.  176 

Trouver  par  la  Trigonométrie  l’ Angle  de  la  Ligne 
Eqwnoxtale  avec l’  Horizontale  d'un  Cadran  Ver- 
tical décimant.  278 

Trouver  par  la  Trigonométrie  l’ Angle  de  la  Ligne 
Souflilaire  avec  /’ Horizontale  d’un  Cadran  Verti- 
cal déclinant.  278 

Probl.  XII.  Décrire  un  Cadran  portatif  dans  un 
fi) u art  de  Cercle.  279 

Table  des  Hauteurs  du  Soleil  a chaque  heure  du  jour, 
pour  la  Latitude  de  49  degrez . 279 

Connaître  l’heure  fans  Cadran  par  le  moyen  de  la 
Hauteur  connue  du  Soleil , & de  la  Table  des 
Hauteurs  du  Soleil.  284 

Trouver  la  Hauteur  du  Soleil  fur  l'Horizon  parle 
moyen  de  l’Ombre  d’un  Stile.  284 

Connaître  fans  Cadran  l'heure  du  jour  par  la  Géo- 
métrie. 285 

Connaître  parla  Trigonométrie  la  Déclinai  fon  du  So- 
leil. 2 86 

Connoître  fans  Cadran  l’heure  du  jour  par  la  Trigono- 
métrie. 287 

Probl.  XIII.  Décrire  un  Cadran  portatif  fur  une 
Carte.  288 

Probl.  XIV.  Décrire  un  Cadran  Horizontal  Rec- 
tiligne 'Univerfel.  292 

Rendre  Vmverfil  un  Cadran  Horizontal  décrit  pour 


DES  PROBLEMES. 

quelque  Latitude  particulière  que  ce  fait.  29J 

Probl.  XV.  Décrire  un  Cadran  Horizontal  Ellipn- 
que  Vniverfel.  25 )6 

Probl.  XVI.  Décrire  un  Cadran  Horizontal  Hy- 
perbolique Vniverfel.  297 

Probl.  XVII.  Décrire  un  Cadran  Horizontal  Pa- 
rabolique Vniverfel.  298 

Probl.  XVIII.  Décrire  un  Cadran  fur  un  Plan  Ho- 
rizontal , oà  l'on  puijfe  connoltre  les  heures  au 
Soleil  fans  l’ombre  d'aucun  file.  300 

Table  des  Verticaux  du  Soleil  depuis  le  Méridien* 
a chaque  heure  du  'jour,  pour  la  Latitude  de 
49  degrez.  300 

Probl.  XIX.  Décrire  un  Cadran  d la  Lune.  304 

Probl.  XX.  Décrire  un  Cadran  par  Reflexion.  307 

Probl.  XXI.  Décrire  un  Cadran  par  Refraébion.  308 
Table  des  Angles  brifez  dans  l’eau  , pour  tous  les 
degrez  des  Angles  d‘ inclin aifon.  $c) 


PROBLEMES  DE  COSMOGRAPHIE. 

PRobleme  I.  Trouver  en  tout  temps  gr  en  tout 
heu  les  quatre  Parties  Cardinale ï du  Monde,, 
fans  voir  le  Soleil , ni  les  Etoiles , ni  fans  fe  fer- 
vir  de  la  Bouffole.  312 

Probl.  II.  Trouver  la  Longitude  d'un  Lieu  pro - 
pofé  de  la  Terre.  314 

Probl.  III.  Trouver  la  Latitude  d'un  Lieu propofé 
de  la  Terre.  318 

Probl.  IV.  Connaître  la  quantité  du  plus  grand 
Jour  d Eté  en  un  Lieu  propofé  de  la  Terre  , dont 
on  connoît  la  Latitude.  319 

Trouver  par  la  Trigonométrie  l’ Amplitude  Orien- 
tale ou  Occidentale  d’un  point  propofé  de  l'Ech- 


TABLE 


ptique  322 

Trouver  par  la  Trigonométrie  la  Différence  Afcen- 
fîonnelle  à'  un  point  propofé  de  l Ecliptique  pour  une 
Latitude  propofée.  322. 

Probl.  V.  Trouver  le  Climat  d'un  Lieu  propofé  de 
la  Terre , dont  la  Latitude  ejl  connue . 323 

Probl.  VI.  Trouver  la  valeur  d'un  Degré  d'un 
grand  Cercle  de  la  Terre.  325 

Probl.  VII.  Connaître  la  Circonférence  ,1e  Diamè- 
tre , la  Surface , & la  Solidité  de  la  Terre.  317 
Probl.  VIII.  Connoître  la  quantité  d’un  Degré  d'un 
petit  Cercle  propofé  de  la  Terre.  3 32 

Probl.  IX.  Trouver  la  diftance  de  deux  Lieux pro. 
pofezj  de  laTerre  , dont  on  connoît  les  Longitu- 
des & Iss  Latitudes.  535 

Probl.  X.  Décrire  la  liane  courbe  que  f croit  un 
VaiJJ'eau  fur  la  Ader  enfaifant  fa  route  par  un  me- 
me Rumb  marqué  dans  la  Boujfole.  341 

Probl.  XI.  Reprefenter  la  ligne  courbe  que  décnroit 
par  le  mouvement  de  la  Terre  un  corps  pefant 
en  tombant  librement  de  haut  en  bas  jufqu  au 
centre  de  laTerre.  344 

Probl.  XII.  Connoître  quand  une  Année  propofée 
eft  Biffextile.  346 

Probl.  XIII.  Trouver  le  Nombre  d' or  en  une  An- 
née propofée.  348 

Probl.  XIV.  Trouver  l'Epaéle  pour  une  Année  pro- 
pofée. 350 

Probl.  XV.  Trouver  l'dge  de  la  Lune  en  un  jour 
donné  d’une  Année  propofée.  356 

Probl.  XVI.  Trouver  la  Lettre  Dominicale , & le 
Cycle  Solaire  d‘une  Année  propofée.  358 

Probl.  XVII.  Trouver  a quel  jour  de  la  Semaine 
tombe  un  'lour  donné  d' une  Année  propofée.  365 
Probl.  XVIII,  Trouver  la  Fête  de  Pâques  , (jr  les 


DES  PROBLE’MES. 

autres  Tètes  mobiles  en  une  Année  propofe'e.  367 
Table  pour  trouver  la  Fête  de  Pâques.  370 

Probl.  XIX.  Trouver  â quel  jour  de  la  Semaine 
commence  chaque  Moisdune  Année  propofe'e.  373 
Table  pour  trouver  le  commencement  de  chaque 
Mois.  373 

Probi.XX.  Trouver  le  quantième  du  mois fe  ren- 
contre un  jour  donné  de  la  Semaine  en  une  An- 
née  propcfée.  374 

Table  pour  trouver  a quel  jour  du  mois  arrive  un 
jour  propofé  de  la  Semaine . 374 

Table  des  Lettres  Dominicales  pour  chaque  année , 
depuis  la  naiffance  de  Nôtre  Seigneur  , jufqud 
Tannée  lyoo-  379 

Suite  de  la  Table  des  Lettres  Dominicales  jufqu’à 
Tannée  2.8 OO-  380 

Probl.  XXI."  Trouver  le  nombre  de  T In  dift  ton  Ro- 
maine pour  une  Année  propofée.  381 

Probl.  XXII.  Trouver  le  nombre  de  la  Période  Ju- 
lienne pour  une  Année  propofée.  383 

Probl.  XXIII.  Trouver  le  nombre  de  la  Période 
Dionifïenne  pour  une  Année  propofée.  38^ 

Probl.  XXIV.  Connaître  les  Mois  de  T Année,  qui 
ont  3 i jours , & ceux  qui  n en  ont  que  3 o.  390 
Probl.  XXV.  Trouver  le  jour  de  chaque  Mois, 
auquel  le  Soleil  entre  dans  un  Signe  du  Zodia- 
que. 391 [ 

Probl.  XXVI.  Trouver  le  degré  du  Signe , ou  le 
Soleil  fe  rencontre  en  un  jour  propofé  de  TAn~ 
née.  39» 

Probl.  XXVII.  Trouver  le  Lieu  de  la  Lune  dans 
le  Zodiaque  en  un  pourpropofé  d une  Année.  395 
Probl.  XXVIII.  Trouver  à quel  Aiois  de  T Année 
appartient  une  Lunaifon.  394 

Probl.  XXIX.  Connoître  les  Années  Lunaires  qui 


TABLE  DES  PROBLE’MES. 

font  communes  , & celles  qui  font  Embolifmt • 
q ues.  395 

Probl.  XXX.  Trouver  le  temps  auquel  la  hune 
éclaire  pendant  la  nuit  en  un  jour  propofé.  396 
Probl.  XXXI.  Trouver  U Hauteur  du  Soleil , & 
la  Ligne  Méridienne.  398 

Probl  XXXII.  Connaître  facilement  les  Calendes , 
les  Nones , & les  Ides  a chaque  mois  de  l'An- 
née. 399 


Fin  de  la  Table  des  Problèmes. 

* 


Extrait  du  Privilège  du  Roy. 

PAr  grâce  & Privilège  du  Roy  , il  eft  permis  au  fleur  Qzanam,  Pro- 
fefleur  en  Mathématique  , de  faire  imprimer  , vendre  8c  difh'ibuer 
un  Livre  intitulé  Cours  de  Mathématique  , qui  comprend  toutes  les  parties 
de  cette  Science  les  plus  utiles  & les  plus  ne^ejfaires  , çyc.  ^ivec  des  Re- 
treattons  Mathématiques  eT  P hy fi  quel , t&c.  en  unouplufieurs  Volu- 
lum.es , conjointement  ou  feparemenc , en  telle  marge,  grandeur,  8c  ca- 
raâere  qu'il  voudra.duranc  le  temps  de  quinze  années,  à commencer  du 
jour  que  ledit  Ouvrage  fera  achevé  d’imprimer  , avec  détenfes  à tous 
Libraires,  Imprimeurs,  8c  à toute  autre  perfonne  , d'imprimer, faire  im- 
primer ledit  Ouvrage  fous  prétexte  de  correftion  , d’augmentation  , 
changement  de  titre,  ni  autrement  , à peine  de  deux  mille  livres  d’a- 
mende, 8c  autres  peines  portées  par  ledit  Privilège  Donne’  à Verfaillc6 
Je  onzième  jour  de  janvier  l’an  de  grâce  iCpz.  Signé , Par  le  Roy  en  fon 
Confeil , Boucher. 

It  ledit  fleur  ©zanam  a cédé  le  prefent  Privilège  à Jean  Jombcrt,  Li- 
braire à Paris , fuivant  l’accord  fait  entre  eux. 

Tÿcgiflré  par  le  Livre  de  la  Communauté  des  Libraires  & Imprimeurs  de 
Tetris ,lc  zi,  lanvier  tfipz.  Signé  P.  A u b o ii  : n.  Syndic. 


PROBLEMES 


1 


PROBLEMES 

D'ARITHMETIQUE' 

O mme  je  ne  précens  pas  ajouter 
ici  des  Problèmes  bien  difficiles  , jé 
ne  prétens  pas  auffi  en  donner  les  dé- 
monftrations , pour  ne  pas  embara 
rafler  l'efprit  de  ceux  que  je  veux  di* 
Vertir  par  la  leéture  de  plusieurs  Pro* 
blêmes  utiles  & agréables  > me  contentant  dé 
leur  donner  pour  la  folution  de  ces  Problèmes  de» 
réglés  infaillibles  qui  ne  les  tromperont  jamais. 

PROBLEME  I. 

Une  yibbejfe  aveugle  vifitant  fes  Religieufes  qui  font 
difperfées  egalement  dans  huit  Cellules  confirmâ- 
tes aux  quatre  angles  d'un  'narré gr  au  mil- 
lieu de  chaque  coté , trouve  par  tout  un  nombre 
égal  de  perfonnes  dans  chaque  rang  , qui  efi  com- 
pofé  de  trois  Cellules  : & en  les  vifitant  une  fé- 
condé foie , elle  trouve  dans  chaque  rang  le  me-* 
me  nombre  de  perfonnes  , quoiqu’il  y foit  entré 
quatre  hommes  : & en  les  vifitant  une  troifiémù 
fois  , elle  trouve  encore  dans  chaque  rang  le  mê- 
me nombre  de  perfonnes , quoique  les  quatre  hom* 
Tome  L A 


3 

3 3 

3 

3 

3 

3 3 

'%  Récriât.  Mathemat.  et  Phys.' 

met  foient  fortis,  chacun  avec  une  Religieufe  £ 
0 n demande  comment  cela  fe  peut  & fe  doit  faire* 

POur  refoudre  le  premier  cas  , auquel  les  quatre 
hommes  font  entrez  dans  les  Cellules,  il  faut 
qu’un  homme  fe  mette  dans  la  Cellule  de  chaque 
angle  , 8c  que  deux  Religieufes  en 
fprtent  pour  palier  dans  chaque 
Cellule  du  milieu;  en  forte  que 
chaque  Cellule  des  angles  con- 
tienne une  perfonne  moins  qu’au- 
paravant , 8c  que  chaque  Cellule 
du  milieu  en  contienne  deux  de 
plus.  Comme  fi  dans  la  première 
vifite  chaque  Cellule  contenoit, 
par  exemple  , trois  Religieufes , 
en  forte  que  chaque  rang  fût  de 
neuf  Religieufes , qui  feroienten 
tout  au  nombre  de  vingt-quatre, 
il  faut  que  dans  la  fécondé  vifi- 
te ; c’eft  à dire  dans  le  premier 
cas , il  y ait  cinq  Religieufes  dans 
chaque  milieu,  8c  deuxperfon- 
nes  dans  chaque  angle , fçavoir  un 
homme  & une  Religieufe  , ce 
qui  fera  toujours  neufperfonnes 
dans  chaque  rang. 

Pour  refoudre  le  fécond  cas  , auquel  les  quatre 
hommes  font  fortis , avec  quatre  Religieufes  , cha- 
que Cellule  des  angles  contiendra  une  Religieufe 
de  plus  que  dans  la  première  vifite  , 8c  chaque  Cel- 
lule du  milieu  en  contiendra  deux  de  moins  : de 
forte  que  dans  cet  exemple  chaque  cellule  des  angles 
contiendra  quatre  Religieufes,  fie  il  y en  aura  feu- 
lement une  dans  chaque  Cellule  du  milieu  , ce  qui 


Proble’mes  ©'Arithmétique.*  3 

Fera  aulïï  neuf  perfonnes  dans  chaque  rang  , quoÿ 
qu’il  ne  relie  plus  que  vingt  Religieufes. 

PROBLEME  II. 

Soufraire  par  une  feule  operation  plufeurs  fommev, 
de  plufeurs  autres  fommes  données. 

POur  ôter  toutes  les  fomraes  d’en  bas , qui  font 
au  delïbus  de  la  ligne  en  B , de  toutes  les  fom- 
mes  d’en  haut , qui  font  au  dclfus  de  la  ligne  en  A * 
i'on  commencera  à ajouter  enfemble  les  nombres 
de  la  première, colonne  d’en  bas  à 
la  droite,  en  difant  8 & 4 font 
lij  & i font  ï 4 , qui  étant  ôtez 
de  la  plus  proche  dizaine  , c’eft  à 
dire  de  deux  dixaines  , ou  de  20  j, 
il  relie  6 , qu’on  ajoutera  à la  co- 
lonne correfpondante  de  deflus * 
en  difant  6 8c  8 font  1 4 , & 2 font 
I 6 , & 4 font  20  , & 3 font  23  » 
il  faudra  écrire  3 ert  deffous  , ÔC 
parce  qu’il  y a ici  deux  dixaines 
comme  auparavant,  on  ne  retien- 
dra rien.  Ajoutez  de  la  même  façon  les  nombres  dç 
la  colonne  luivantc  d’en  bas , en  difant  o de  5 font 
5 , &C  4 font  9 , qui  étant  ôtez  de  la  plus  proche 
dixaine , ou  de  10,  il  relie  1,  qu’on  ajoutera  pa- 
reillement à la  colonne  correfpondante  d’en  haut* 
en  difant  1 & 4 font  5 , & 5 font  10 , & 6 font 
1 6 , &c  4 font  20  , il  faudra  écrire  o en  delïbus  * 
& parce  qu’il  y a ici  deux  dixaines  , & que  dans  la 
colonne  d’en  bas  il  n’y  en  a eu  qu’une,  on  retien- 
dra la  différence  1 , qu’on  ôtera  de  la  colonne  fui- 
vante  d’en  bas , parce  qu’on  a trouvé  plus  de  dixai- 

A ij 


Ç6243 
84564  A 
3252 
26848 

2942 
3654  B 
2308 


162003 


4 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
nés  en  A q i’en  B , car  il  la  faudroit  ajouter , Ci  l’on 
avoit  trouvé  moins  de  dixaines  en  A qu’en  B,  &c 
quand  il  arrivera  que  cette  différence  ne  pourra  pas 
ê.re  ôtée  delà  colonne  d’en  bas,  pour  n y avoir 
point  de  figures  fignificatives , comme  il  arrive  ici 
à la  cinquième  colonne,  on  l'ajoutera  à la  colonne 
d’en  h rut,  8c  l’on  écrira  toute  la  fomme  au  deflbus 
de  la  ligne  , de  forte  que  dans  cet  exemple  l’on  au- 
ra 162003,  pour  le  refte  de  la  Souftra&ion. 

PROBLEME  III. 

Multiplication  abreg'e. 

POur  multiplier  un  nombre  quelconque  , par 
exemple  128  par  un  nombre  qui  foit  produit 
par  la  Multiplication  de  deux  autres  , comme  par 
24 , qui  eft  produit  par  la  Multiplication  de  ces 
deux 4,  6,  ou  de  ces  deux,  3 , 8 ; on  multipliera 
le  nombre  propofé  128  par  4,  & le  produit  512 
par  6,  ou  bien  on  multipliera  le  nombre  propofé 
I28  par  3 , & le  produit  3 84  par  8 , & l’en  aura 
3072  pour  le  produit  de  la  multiplication  qu’il 
falloit  faire. 

D où  il  fuit , que  pour  multiplier  un  nombre  pro- 
pofé par  un  nombre  quarré  , il  faut  multiplier  le 
nombre  propofé  par  le  côté  de  ce  nombre  quarré  , 
& multiplier  encore  le  produit  par  le  même  côté. 
Comme  pour  multiplier  128  par  23  , dont  la  Ra- 
cine quarrée  , ou  le  côté  eft  5 , on  multipliera  128 
par  5 , & le  produit  640  encore  par  5 , & l’on  au- 
ra 3200  pour  le  produit  de  la  Multiplication.  Ainfi 
p iur  fçavoir  combien  il  y a de  pieds  quarrez  en  3 2 
toifes  quarrées,  on  multipliera  32  par  6 , & le 
produit  1 p 2 encore  par  6 > & l’on  aura  1152  pour 


Froble’mes  d’Arithmetique.  ÿ 

le  nombre  des  pieds  quarrez  qu’on  cherche. 

Pour  multiplier  un  nombre  quelconque , par 
exemple,  128  par  un  nombre  qui  foit  produit  par  la 
Multiplication  de  trois  autres  , comme  par  i o8,qui 
eft  produit  par  la  Multiplication  de  ces  trois  z , 6 , 9, 
ou  de  ces  trois  3 , 6 , 6 ; on  multipliera  le  nombre 
propofé  128  par  z , 8c  le  produit  z 5 6 par  6 , 8c  le 
îecond  produit  153  6 par  9,  ou  bien  l’on  multi- 
pliera la  nombre  propofé  128  par  3 ,8c  le  produit 
3 84  par  6,  & le  fécond  produit  23  04  encore  par 
6,  8c  l’on  aura  13824  pour  le  produit  de  la  Mul- 
tiplication qu’il  falloit  faire. 

D’  où  il  fuit,  que  pour  multip'ier  un  nombre  pro- 
pofé par  un  nombre  cubique  , il  faut  multiplier  le 
nombre  propofé  parle  côté  de  ce  nombre  cubique, 
& le  produit  par  le  même  côté  , 8c  le  fécond  pro- 
duit encore  par  le  même  côté.  Comme  pour  mul- 
tiplier 128  par  125,  dont  la  Racine  cubique  ou  le 
côté  eft  5 , on  multipliera  128  par  5 , 8c  le  pro- 
duit 640  encore  par  f , 8c  le  fécond  produit  3 2CO 
derechef  par  , 8c  l’on  aura  16000  pour  le  pro- 
duit de  la  Multiplication.  Ainft  pour  fçavoir  com- 
bien il  y a de  pieds  cubes  en  3 2 roifes  cubes  , on 
multipliera  3 2 par  6 , 8c  le  produit  192  auflî  par 
6)  & le. fécond  produit  1152  encore  par  6,  8c 
l’on  aura  6912  pour  le  nombre  des  pieds  cubes 
qu’on  cherche. 

Pour  multiplier  un  nombre  quelconque  par  telle 
puiftance  qu’on  voudra  de  5 , on  ajoutera  au  nom- 
bre propofé  vers  la  droite  autant  de  zéro  que  l’ex- 
pofant  de  la  Puiftance  comprendra  d’unitez  , com- 
me un  zéro  pour  ç , deux  zéro  pour  fon  quatre  2£> 
trois  zéro  pour  fon  cube  1 2 f , 8c  ainfl  enfuite , 8c 
l’on  divifera  ce  nombre  ainfi  augmenté  par  une  fem- 
blable  Puiftance  de  2 > fçavoir  par  2 pour  ^ , par  4 


$ Récréât.  Mathemax.  et  Phys. 
pour  Ton  quarré  2 5 , par  8 pour  fon  cube  1 2 $ , &: 
ainfi  enfuite. 

Comme  pour  multiplier  128  par  ç , on  divife- 
ra  1280  par  2 , & le  quotient  640  fera  le  produit 
de  la  Multiplication  : mais  pour  multiplier  128 
par  25  quarré  de  5 , on  divifera  1 2 800  par  4 quar- 
ré de.  2 , 6e  le  quotient  donnera  3 200  pour  le  pro- 
duit de  la  Multiplication  : 8e  pour  multiplier  le 
même  nombre  128  par  12Ç  cube  de  5 ; on  divU 
fera  128000  par  8 cube  de  2 > 8e  le  quotient  don- 
nera 16000  pour  le  produit  de  la  Multiplication. 
Ainfi  des  autres  , comme  vous  voyez  dans  la  Ta- 


ble  fui van te. 

128.0.  128.00. 

128.000. 

128.0000 

5 2 S 

us 

61s 

2 4 

8 

1 6 

&40  32oo 

i6coo 

80000 

Pour  fçavoir  combien  valent  Ç3  loiiis  d’or  à ii< 
livres  le  Ioliis  d’or,  il  faudroit  multiplier  53  par 
ï I , pour  cette  fin  on  écrira  $3  fous  f 3 , en  l’a- 
vançant d’une  colonne  vers  la  gauche , en 
5 3 forte  que  le  3 réponde  fous  le  3 , & la 
53  fomme  de  ces  deux  nombres  ainfi  difpo- 

* fez,  donnera  ^83  livres  pour  la  valeur 

583  de  53  louis  d’or,  à n livres  le  loiiis 
d’or. 

Pour  fçavoir  combien  valent  £3  loiiis  d’or  à 12 
liv.  10  f.  le  loiiis  d’or,  il  faudroit  multiplier  12 
liv.  1 o f par  5 3 , pour  cette  fin  on  prendra  la  hui- 
tième partie  du  nombre  donné  £3  , augmenté  de 
deux  zéro  vers  la  droite , fçavoir  la  huitième  partie 


Proble’mes  d’Arithmetique.  7 

de  5300  confideré  comme  5300  livres , Si  l’on  au- 
ra 661  liv.  10  f.  pour  la  valeur  de  5 3 loiiis  d’or  à 
1 2 1 i v.  iof.  le  loiiis  d’or. 

Pour  fçavoir  combien  valent  53  loiiis  d’or  à \z 
liv.  $ f.  le  loiiis  d’or,  il  faudroit  multiplier  iz  1. 
5 f.  par  53  , pour  cette  fin  on  multipliera  53  que 
l’on  eonfiderera  comme  Ç3  liv.  par  7,  Si  le  pro- 
duit 371  liv.  encore  p r 7,  & le  quait  du  fécond 
produit  z ç 97  liv.  donneia  649  liv.  5 f.  pour  la  va- 
leur de  53  loiiis  d’or  à 12I1V.  5 f.  le  loiiis  d’or. 

Pour  fçavoir  combien  il  y a de  pouces  en  J3 
pieds,  il  faudroit  multiplier  53  par  1 z , ce  qui  le 
pourroit  faire  en  multipliant  5 3 par  z , Si  le  pro- 
duit 10 6 par  6 , ou  bien  5 3 par  3 , & le  produit 
159  par  4:  mais  cela  fe  peut  faire  fans  aucune 
Multiplication  , fçavoir  en  écrivant  ç 3 fous  ç 3 , Sc 
53  encore  une  fois  53  au  delfous,  en  l’a- 
vançant d’une  colonne,  en  forte  que  le 
3 réponde  fous  le  $ , car  la  fomme  de 
ces  trois  nombres  ainfi  difpofez  , donnera 
636  pour  le  nombre  des  pouces  qui 
font  compris  en  53  pieds,  qui  eft  aulîi  le  nombre 
des  deniers  qui  font  compris  en  ç 3 fols. 

Pour  multiplier  enfemble  deux  nombres  compo- 
fez  de  plufieurs  figures , par  exem- 
ple iz  & 1 8 , on  réduira  le  pre- 
mier nombre  n en  ces  trois  par- 
ties compofées  chacune  d’une  feule 
figure  2,4,  6 , & pareillement  le 
fécond  nombre  1 8 en  ces  trois  par- 
ties compofées  aulîi  chacune  d’une 
feule  figure  4,6,8,  dont  chacune 
fera  multipliée  parla  première  par- 
tie 2 du  premier  nombre  , Si  en- 
fuite  par  la  fécondé  figure  4 du 
A iiij 


53 

53 

636 


8 Récréât.  MathemAt.  et  Phys." 
même  premier  nombre , & enfin  par  la  troifiéme  fi* 
gure  6 du  même  premier  nombre  , & la  fomme  de 
sous  les  produits  fera  celuy  qui  doit  provenir  ea 
multipliant  i z par  1 8 , ou  i 8 par  i %. 

PROBLEME  IV . 


POur  divifer  un  grand  nombre  par  un  plus  petit, 
parla  feule  Addition  & Souftraéfcion , comme 
14 91991  Pai‘  432,»  il  faudroit  mettre,  félon  la 
méthode  commune  le  divifeur  43  2 vers  la  gauche 
fous  149  z , pour  fçavoir  combien  de  fois  il  y eft 


I 

432 

1492992 

Z 

864 

ï 2^  (3  • • • 

3 

I 2 96 

4 

I728 

1969 

5 

2160 

1728 

6 

2592 

7 

3024 

*4 19 

8 

9 

34S6 

3888 

2.160 

30 

43  zo 

259Z 

2592 

OOO 


compris  : mais  pour  n’avoir  pas  cette  peine  , faites 
un  tarif  du  divifeur  43  2 en  le  mettant  vers  la  droi- 
te, vis-à-vis  de  1 , & l’ajoutez  à luy-mêmc,  pour 
avoir  fon  double  864  , que  vous  écrirez  fous  43  2 
vis-à-vis  de  2 , puis  ajoutez  le  même  nombre  4 3 2 
à fon  double  864,  pour  avoir  fon  triple  1296, 
que  vous  écrirez  en  bas  vis-à-vis  de  3 . Ajoutez  pa- 


PrOBLe’mES  d’AritHM ETIQUE.  ’ 9 
fcillement  le  n.ême  divifeur  432  a fcm  triple  1196, 
pour  avoir  fon  quadruple  1728,  que  vous  écrirez 
en  deflous  vis-à-vis  de  4,  & ainfi  des  autres  , en 
écrivant  toujours  les  multiples  du  divifeur  432» 
vis-à-vis  des  autres  nombres  $>6173%, 9,10% 
dont  le  dernier  10  doit  avoir  vis-à-vis  à la  droite 
le  même  divifeur  43  2 augmenté  d’un  zéro  vers  la 
droite , fi  le  tarif  eft  bien  fait. 

Cette  préparation  étant  faite  , pour  fçavoir  tout 
d’un  coup  combien  de  fois  le  divifeur  43  z eft 
compris  dans  1492,  cherchez  ce  nombre  1492 
dans  le  tarif,  ou  fon  plus  proche  & moindre  qui  eft 
1296,  lequel  fe  trouvant  vis-à-vis  de  3 , fera  la  pre- 
mière figure  du  quotient,  & fi  l’on  ôte  ce  nombre 
prochainement  moindre  1296  de  1492  , il  reliera 
196  pour  le  refte  de  la  divifion,  vis-à-vis  duquel  il 
faudra  mettre  vers  la  droite  la  figure  fuivante  9 , qui 
fuit  après  14925  pour  avoir  en  tout  19695  quo 
vous  chercherez  dans  le  tarif,  ou  fon  moindre  le 
plus  proche,  qui  eft  1728  , lequel  fe  rencontrant 
vis-à-vis  de  4 , ce  nombre  4 fera  la  fécondé  figure 
du  quotient , & ce  nombre  prochainement  moin- 
dre 1728  étant  pareillement  ôté  de  1969  , il  relie- 
ra 241  pour  le  refte  de  la  divifion,  auquel  il  fau- 
dra comme  auparavant  ajoutera  la  droite  le  nom- 
bre immédiatement  fuivant  9 du  dividende  , pour 
avoir  en  tout  2419,  que  vous  chercherez  de  la 
même  façon  dans  le  tarif,  ou  fon  plus  proche  &: 
moindre,  qui  eft  2160,  lequel  donnera  ç pour 
la  troifiéme  figure  du  quotient , & ainfi  enfuite. 

Cette  maniéré  eft  tres-commode , quand  il  faut 
divifer  en  plufieurs  rencontres  de  grands  nombres 
par  un  même  nombre  plus  petit  , parce  qu’ayant 
fait  un  tarif  du  divifeur  , il  pourra  toujours  fervir 
pour  faire  toutes  ces  divifions.  Comme  il  arrive 


î o Récréât.  MathemAt.  et  Phys. 
fouvent  aux  Aipenteurs  qui  ont  fouvent  bcfoin  de 
divifer  de  grands  nombres  par  144,  lorfqu’ils  veu- 
lent réduire  des  pouces  quarrez  en  des  pieds  quar- 
rez  , ou  par  1728  , quand  ils  veulent  réduire  des 
pouces  cubes  en  des  pieds  cubes. 

Pour  divifer  un  nombre  quelconque  par  telle 
Puifiânce  qu’on  voudra  de  5 , on  le  multipliera  par 
une  femblable  Pu  {Tance  de  2 , & l’on  retranchera 
du  produit  vers  la  droite  autant  de  figures  que  le 
degré  de  la  Puifiance  contiendra  d’unitez,  & les  fi- 
gures qui  refteront  vers  la  gauche , reprefenteront  le 
quotient  de  la  divifion3&  celles  qui  auront  été  retran- 
chées feront  le  numérateur  d’une  fraction  , dont  le 
dénominateur  fera  une  femblable  Puifiance  de  10. 

Comme  pour  divifer  1 28  par  ç , on  retranchera 
îe  6 qui  eftàla  droite  du  double  256  de  128, & 

Ton  aura  l$-~  pour  le  quotient  de  la  divifion  ; 

& pour  divifer  le  même  nombre  128  par  2 5 quar- 
té de  ç , on  retranchera  les  deux  dernieres  figures 
I 2 qui  font  à la  droite  du  quadruple  5 1 2 de  1 289 

& l’on  aura  5—7  pour  îe  quotient  de  la  divifion^ 

Ainfi  des  autres. 

Pour  divifer  un  nombre  quelconque  par  un  plus 
petit  j qui  foit  produit  par  la  Multiplication  de 
deux  autres  plus  petits,  on  divifera  le  nombre  pro- 
pofé  par  l’un  de  ces  deux  plus  petits  nombres , & 
le  quotient  fera  encore  divifé  par  l’autre  nombre-» 
& le  fécond  quotient  qui  viendra , fera  ceîuy  qu’011 
cherche. 

Comme  pour  divifer  20736  par  24  5 qui  eft 
produit  par  la  Multiplication  de  ces  deux  3 ,8 , 8c 
au flî  de  ces  deux  4,6,  on  prendra  la  huitième 
partie  de  fon  tiers  s ou  la  fixiéme  partie  de  fon 


Proble’mes  d’Arithmetique.  I f 

quart , ou  bien , ce  qui  eft  la  même  choie  , on  pren- 
dra le  tiers  de  fa  huitième  partie , ou  le  quart  de 
fa  fixiéme  partie , 8c  l’on  aura  1728  pour  le  quo- 
tient de  la  divifion. 

D’où  il  fuit  que  pour  réduire  en  toifes  quarrées 
des  pieds  quarrez  , on  doit  prendre  la  fixiéme  par- 
tie de  la  fixiéme  partie  du  nombre  propofé  des 
pieds  quarrez,  parce  qu’une  toife  quarrée  a 36 
pieds  quarrez  , & que  6 fois  6 font  3 6 . Ainfi  pour 
réduire  en  toifes  quarrées  2073  6 pieds  quarrez,  on 
prendra  la  fixiéme  partie  de  la  fixiéme  partie  3456 
de  20736  , $c  l’on  aura  7^6  pour  le  nombre  des 
toiles  quarrées  qui  font  contenues  en  2073  6 pieds 
quarrez.  Pareillement  pour  réduire  en  toifes  quar- 
rées 542  pieds  quarrez , on  prendra  la  fixiéme  par- 
tie de  la  fixiéme  partie  90-7-  de  542  > & l’on  aura 

1 ç toifes  quarrées  & 2 pieds  quarrez  pour  la  va- 
leur de  542  pieds  quarrez. 

PROBLEME  V. 

De  quelques  propriétés  des  Nombres. 

I. 

LE  nombre  9 eft  tel  que  s’il  multiplie  un  nom- 
bre entier  quelconque , la  fomme  des  figures 
du  produit  eft  divifible  par  le  même  nombre  9. 
Comme  fi  l’on  multiplie  53  par  9 , & qu’on  ajoute 
enfemble  les  figures  du  produit  477 , la  foraine 
1 8 eft  exactement  divifible  par  9. 

I I. 

De  deux  nombres  quelconques  , ou  l’un  des 
deux , ou  leur  fomme  » ou  leur  différence  eft  divi- 


12,  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 

£îble  par  3.  Comme  des  deux  nombres  6,  J , Id 
premier  6 eft  div'fible  par  3 : des  deux  nombres 
ï 1 , j , la  différence  6 eft  divifible  par  3 ; & des 
deux  nombres  7 , $ , la  Tomme  u eft  divifible 


Le  produit  qui  vient  par  la  Multiplication  de 
deux  nombres  , dont  les  quarrez  font  enfemble  un 
nombre  quarré  , eft  divifible  par  6.  Comme  le  pro- 
duit 1 2,  de  ces  deux  nombres  3 , 4 , dont  les  quar- 
rez  9 , 16,  font  enfemble  le  nombre  quarré  2, 5 » 
dont  le  côté  eft  $ , eft  divifible  par  6. 

Pour  trouver  deux  nombres  , dont  les  quarrez* 
fajfent  enfemble  un  nombre  quarré,  multipliez  en- 
femble deux  nombres  quelconques  3 & le  double  de 
leur  produit  fera  l’un  des  deux  nombres  qu’on 
cherche , & la  différence  de  leurs  quarrez  fera  l’au- 
tre nombre. 

Comme  fi  l’on  multiplie  enfemble  ces  deux  nom- 
bres 2, , 3 , dont  les  quarrez  font  4 , 9 , le  produit 
fera  6 , dont  le  double  12,  & la  différence  5 des 
quarrez  4,9»  font  deux  nombres , tels  que  leurs 
quarrez  144  , 2j  , font  enfemble  ce  nombre 
quarré  169,  dont  le  côté  eft  13.  Voyez,  Probh 
6.  ôc  7. 

I V. 

1 

La  fomme  5c  la  différence  de  deux  nombres 
quelconques , dont  les  quarrez  different  d’un  nom- 
bre quarré , font  chacune  ou  un  nombre  quarré , 
ou  la  moitié  d’un  nombre  quarré. 

Comme  des  deux  nombres  6 > IO  > dont  les 
quarr«z  3 6,  100»  different  du  nombre  quar- 
té 64  > qui  a fa  Racine  quarrée  8 > la  fomme  1 6 , 8c 


Problèmes  d’Arithmetiquê.'  13 
Si  différence  4,  (ont  chacune  un  nombre  quarré, 
& des  deux  nombres  8 , 10  , dont  lesquarrez  6 4, 
1 00  » different  du  nombre  quarré  3 6 , qui  a fa  Ra- 
cine quarrée  6 ; lafomme  1 8 , & la  différence  2» 
font  les  moitiez  de  ces  deux  nombres  quarrez 

3^,4. 

Pour  trouver  deux  nombres  , dont  la  fomme  & 
la  différence  foient  chacune  un  nombre  quarré , au- 
quel cas  les  quarrez  de  ces  deux  nombres  différe- 
ront auffi  d’un  nombre  quarré,  choififlez  deux  nom- 
bres à volonté  , comme  1,3  , dont  le  produit  de 
la  Multiplication  eft  6 , Sc  dont  les  quarrez  font 
4,9.  La  fomme  1 3 de  ces  deux  quarrez,  & le 
double  iz  du  produit  6,  font  les  deux  nombres 
qu’on  cherche  : car  leur  fomme  z$  , & leur  diffé- 
rence 1 , font  chacune  un  nombre  quarré , & de 
plus  leurs  quarrez  169 , 144,  différent  du  nombre 
quarré  2 5 , qui  a fa  Racine  quarrée 

Pour  trouver  deux  nombres , dont  la  fomme  & 
la  différence  foient  chacune  la  moitié  ou  le  double 
d'un  nombre  quarré , auquel  cas  leurs  quarrez  dif- 
féreront aulli  d’un  nombre  quarré  \ choififfcz  à vo- 
lonté deux  nombres,  comme  2,3,  dont  lesquar- 
rez font  4,9.  La  fomme  13  de  ces  deux  quarrez, 
& leur  différence  ç , font  les  deux  nombres  qu’on 
cherche  : car  leur  (omme  18  , 8c  leur  différence  8, 
font  les  moitiez  de  ces  deux  nombres  quarrez  3 6 , 
I 6 , ou  les  doubles  de  ces  deux  autres  nombres 
quarrez  9,4,  & de  plus  leurs  quarrez  1 69  , 2$  s 
différent  de  ce  nombre  quarré  144,  qui  a fa  Ra- 
cine quarrée  12. 

< V. 

Tout  nombre  quarré  finit  ou  par  deux  zéros , ou 
par  l’une  de  ces  cinq  figures  1,4,  $,6,9,  ce  qui 


î4  Recréât.  Mathemày.  et  Phys.” 
lert  pour  connaître  quand  un  nombre  propofte  eft 
point  quarré' , fçavoir  lorfqu’il  ne  finit  pas  par  deux 
zéros  , ou  par  quelqu’une  des  cinq  figures  prece- 
dentes : 8c  quand  mêmes  il  finira  par  deux  zéros, 
on  pourra  affûter  qu’il  n’eft  point  quarré , lorfque 
ces  deux  zéros  ne  feront  pas  précédez  par  quel- 
qu’une des  cinq  figures  precedentes* 


V I. 


Toute  Fratffion  quàrrée , c’eft-à  dire  ; qui  a fa  Ra- 
cine quarrée  , eft  telle  que  le  produit  de  la  Multi- 
plication du  Numérateur  8c  du  Dénominateur  a fit 
Racine  quarrée,  ce  qui  fert  pour  connaître  quand 
une  fraÜion propofe'e  eft  quarrée  , fçavoir  lorlqu’en 
multipliant  enfemble  le  Numérateur  8c  le  Déno- 
minateur, le  produit  eft  un  nombre  quarré. 


i 8 

Ainfi  l’on  connoît  que  cette  Fraéfcion  ——eft  quar 


6 i 


rée  , parce  qu’en  multipliant  enfemble  le  Numéra- 
teur 28  , & le  Dénominateur  63  , il  vient  ce  nom- 
bre quarré  1764,  dont  le  coté  eft  42:  & alors  la 


f g 

Racine  quarrée  de  la  Fra&ion  propofée  — fera 
, en  retenant  le  même  Dénominateur  63  , ou 


44 

2.  8 

bien  — , en  retenant  le  même  Numérateur  28  , 
4i 

2 8 

car  l’une  ou  l’autre  de  ces  deux  Fraétions  — - , 

4'z 

vaut  autant  que  — , pour  la  Racine  quarré6 


de  la  Fraction  propofée 


’ s 4 

• — , ou  — 


*3 


1 PROBLEMES  ©ARITHMETIQUE*  I S 

V I I. 

Toute  Fra&ion  cubique,  c’eft-à-dire,  qui  a fa 
Racine  cubique } eft  telle  qu’en  multipliant  le  Nu- 
mérateur par  le  quarté  du  Dénominateur,  ou  le 
Dénominateur  par  le  quarré  du  Numérateur  , le 
produit  a fa  Racine  cubique  , ce  qui  ferr  pour  con- 
naître quand  une  Frattio-n  propofee  eft  cubique  t 
fçavoir  lorfqu’en  multipliant  enfemble  le  Numéra- 
teur & le  quarré  du  Dénominateur , ou  le  Déno- 
minateur & le  quarré  du  Numérateur  s le  produit 
eft  un  nombre  cubique. 

Ainfî  l’on  connoît  que  cette  Fraéïion  eft  cu- 

bique,  parce  qu’en  multipliant  le  Numérateur  2,4 
par  le  quarré  140625  du  Dénominateur  375  , le 
produit  3375000  a fa  Racine  cubique  150,  ou 
bien  parce  qu’en  multipliant  le  Dénominateur  375 
par  le  quarré  576  du  Numérateur  24,  le  produit 
Z 16000  a fa  Racine  cubique  60  : Sc  alors  la  Ra- 
cine cubique  de  laFraétion  propofée  fera  -hî.  , 
^ a r r 3 7 J 37 5 

en  retenant  le  même  Dénominateur  375  , ou  bien 

— , en  retenant  le  même  Numérateur  24 , car  Fin 

6 0 • 

ne  & l’autre  de  ces  deux  Fractions  — — — vaut 

37  5 6° 

2. 

autant  que  ■ — pour  la  Racine  cubique  de  la  Frac- 

tion  propofe  -,  ou- — . 

r r 37;  u; 

VIII. 

Quoiqu’il  ne  foit  pas  poffible  de  trouver  deux 
Puilfances  homogènes , dont  la  fomme  &ladiffe- 


l ê Récréât.  Mathémat.  et  Phys." 
rence  foienc  chacune  une  femblable  Puiffance , coffia 
me  deux  quarrez  , dont  la  homme  &:  la  différence 
foient  chacune  un  nombre  quarré , ou  deux  cubes» 
dont  la  homme  & la  différence  foient  chacune  un 
nombre  cubique  » neanmoins  il  eft  poffible  , & mê- 
me cres-facile  de  trouver  deux  nombres  triangu - 
laires  , dont  la  femme  & la  différence  foient  chacun 
ne  un  nombre  triangulaire. 

Voici  deux  nombres  triangulaires  i 5 , z I » dont 
les  cotez  font  5 & 6 , & dont  la  homme  3 6 » ôc  la 
différence  6 , font  aufîi  des  nombres  triangulaires, 
dont  les  cotez  hont  8 ^3.  Voici  encore  deux  au- 
tres nombres  triangulaires  780,  990,  dont  les 
cotez  font  39  &:  44  , & dont  la  homme  1770  , &C 
la  différence  210,  hont  aufîi  des  nombres  triangu- 
laires , dont  les  cotez  hont  $9, 20*  Si  vous  voulez 
encore  deux  autres  nombres  triangulaires  ; les  voici 
17475  1 5 s4i  85095,  dont  les  cotez  hont  1869, 
2C90,  &c  dont  la  homme  3932610  , & la  diffé- 
rence 437580  , hont  aufîi  des  nombres  triangu- 
laires » dont  les  cotez  hont  2804 ,9 35. 

On  appelle  Nombre  triangulaire  la  homme  des 
nombres  naturels  1 ,2,3,455,6,  &c.  en  com- 
mençant par  l’unité  » & en  telle  multitude  qu’on 
voudra,  dont  le  dernier  & plus  grand  eft  appelle 
Coté.  Ainfî  l’on  connoît  que  ce  nombre  1 o eft  trian- 
gulaire , & que  hon  côté  eft  4 , parce  qu’il  eft  égal 
à la  homme  des  quatre  premiers  nombres  naturels 
1,2,3,45  dont  le  dernier  & plus  grand  eft  4. 
I!  a été  appelle  Triangulaire , parce  que  l’on  peut 
difpofer  10  points  en  forme  de  Triangle  équilaté- 
ral , dont  chaque  côté  en  comprend  4 , ce  qui  a fait 
appeller  4 côté  du  nombre  triangulaire  10. 

Pour  connaître  fi  un  nombre  propofe  eft  Triangu- 
laire , il  le  faut  multiplier  par  8 , & ajouter  1 au 


Proble’mes  d'Arithmetique.  iy 
ptoduit,  car  fi  la  fomme  a fa  Racine  quarrée  , le 
nombre  propofé  fera  triangulaire.  Ainfi  l’on  con- 
noît  que  ce  nombre  i o eft  triangulaire  , parce  qu’é- 
tant multiplié  par  S,  & le  produit  B O étant  aug- 
menté de  i , la  fomme  8 1 a fa  Racine  quarrée  9. 
On  connoît  auilî  que  ce  nombre  393Z610  eft 
triangulaire  , parce  qu’étant  multiplié  par  8 5 & le 
produit  3 1460880  étant  augmenté  de  1 , la  fom- 
me 31460881  eft  un  nombre  quarré  * dont  le 
côté  eft  5609* 

I X. 

La  différence  de  deux  Puiflànces  homogènes  i 
comme  de  deux  nombres  quarrez , de  deux  nom- 
bres cubiques  , &c.  eft  divifîble  par  la  différence 
de  leurs  cotez.  Ainfi  l’on  connoît  que  la  différence 
i I de  ces  deux  quarrez  z ç , 4 , donc  les  cotez  font 
5 j Z > eft  divifîble  par  la  différence  3 de  ces  cotez  , 
le  quotient  7 étant  toujours  égal  à la  fomme  des 
mêmes  cotez:  & que  la  différence  1 17  des  deux 
cubes  1 z 5 3 8 , dont  les  cotez  font  5 , z 3 eft  divi- 
fîble par  la  différence  3 de  ces  cotez , le  quotient 
39  étant  égal  à la  fomme  du  produit  10  } fous  les 
Snêmes  cotez  5 , z > ôc  de  leurs  quarrez  z 5 3 4> 

X. 

La  différence  de  deux  Puiflànces  homogènes  l 
dont  l’expofant  commun  eft  un  nombre  pair , eft 
divifîble  par  la  fomme  de  leurs  cotez.  Ainfi  l’oa 
connoît  que  la  différence  zi  de  ces  deux  quarrez 
z 5 3 4 3 dont  les  cotez  font  5 , z , eft  divifîble  par 
la  fomme  7 de  ces  cotez  , le  quotient  3 étant  égal 
à la  différence  des  mêmes  cotez  : & que  la  différen- 
ce 609  des  deux  quarrez-quarrez  6z  J 3 163  dont 
les  cotez  font  5 , z > eft  divifîble  par  la  fomme  7 
Tome  L B 


£ S Récréât.  M athemat.  et  Phys." 
de  ces  cotez,  le  quotient  87  étant  égal  au  produis 
fous  la  différence  3 des  mêmes  côtcz  5 , 2 , 6c  la 
fommc  29  de  leurs  quarrcz  25,4. 

X I. 

La  fomme  de  deux  Puiffànces  homogènes  , donc 
l’expofant  commun  eft  un  nombre  impair , eft  di- 
vifible  par  la  fommc  de  leurs  cotez.  Ainfil’on  con- 
noît  que  la  fomme  133  des  deux  cubes  125  , 8 , 
dont  les  cotez  font  5 , 2 , eft  divifible  par  la  fom- 
me 7 de  ces  cotez,  le  quotient  19  étant  égal  à 
l’excès  de  la  fomme  29  des  quarrez  25,4,  des  co- 
tez 5,  2,  fur  le  produit  10  des  mêmes  cotez  : 8c 
que  la  fomme  3157  des  deux  furfolides  3125, 
32,  dont  les  cotez  font  5,  2 , eft  diviftble  paria 
fomme  7 de  ces  cotez,  le  quotient  451  étant  égal 
à l’excès  de  la  fomme  741  des  quarrez -quarrez 
6 25,  1 6 , des  deux  cotez  5,2,  & du  quarrc  1 00 
du  produit  1 o fous  les  mêmes  cotez , fur  le  produit 
290  fous  la  fomme  29  des  quarrez  25,  4,  des 
cotez  5,2,  & le  produit  10  des  mêmes  cotez. 

X I I. 

Toutes  les  Puiffunces  des  nombres  naturels  1 , 
2 , 3 ,4,  5 , 6 , 8cc.  ont  autant  de  différences  que 
leurs  expofans  contiennent  d’unitez,  les  dernieres 
différences  étant  toujours  égales  entre  elles  dans 
chaque  Puiffànce  : fçavoir  les  fécondés  différences, 
c’eft-i-dire,  les  différences  des  différences  dans  les 
Quarrez  1, 4,  9,  16  , 25,  3 6 , 8cc.  car  ces  fé- 
condes différences  font  2 , les  premières  étant  les 
nombres  impairs  3 ,5,7,9,11,  &c.  les  troifié- 
mes  différences,  c’eft-à-dire  , les  différences  des 
différences  des  premières  différences  dans  les  Cu- 


Proble’mes  d’ArîTHMETIQUE.’  I (p 
bes  i , 8 , 27  , 64 , I 2 f , 2 1 6 , &c.  car  ces  troifié- 
mes  différences  font  6 , les  premières  étant  7,19, 
37,  6l  , 91  , &c.  de  les  fécondés,  ou  les  diffé- 
rences de  ces  différences  é'ant  12,  18,24,  30, 
êcc.  qui  fe  furpaffent  de  6 pour  troifiéme  différence. 
Ainfi  des  autres. 

Il  arrive  la  même  chofe  aux  nombres  Polygones  , 
qui  fe  forment  par  une  continuelle  addition  des 
nombres  en  continuelle  progreffion  arithmétique  , 
qu’on  appelle  Gnomons , dont  le  premier  eft  tou- 
jours l’unité  , qui  eft  virtuellement  tout  nombre 
polygone  : & aux  nombres  Pyramidaux  , qui  fe 
produilènt  par  l’addition  continuelle  des  nombres 
Polygones  conlîderez  comme  des  Gnomons  , donc 
le  premier  eft  toujours  l’unité  : & pareillement  aux 
nombres  Pyramido-Pyramidaux , qui  font  produits 
par  l’addition  continuelle  des  nombres  Pyramidaux 
confiderez  comme  des  Gnomons,  dont  le  premier 
eft  toujours  l’unité. 

Lorfque  les  Gnomons  fe  furpaffent  de  l’unité, 
comme  1,2,3, 4, 5, 6 , &c.  les  nombres  Poly- 
gones 1,  3,  6,  10,  15,  21,  &c.  qui  s’en  for- 
ment font  appeliez  Triangulaires  , dont  la  proprié- 
té eft  telle  que  chacun  étant  multiplié  par  8 , &C  le 
produit  étant  augmenté  de  l’unité,  la  fomme  eft 
un  nombre  quarré , ce  qui  peut  fervir  pour  con- 
naître quand  un  nombre  propofé  eft  Triangulaire  , 
comme  nous  avons  déjà  dit  ailleurs.  Déplus  la  fom- 
me 9 du  fécond  & du  troifiéme , en  omettant  le 
premier,  eft  un  nombre  quarré  , & pareillement  en 
Omettant  le  quatrième  , la  fomme  3 (>  du  cinquiè- 
me & du  fixiéme  eft  un  nombre  quarré  , & ainft 
enfui  te. 

Lorfque  les  Gnomons  fe  furpaffent  de  deux  uni- 
rez , comme  les  nombres  impairs  1,3  , 5,7,9, 

B ij 


r2û  Récréât.  Mathemat.  et  Phys* 
î i j &Cc.  les  nombres  Polygones  1 , 4 , 9 , I G , 1 5 J 
3 6 , 8cc.  qui  s’en  forment , font  des  Nombres  quar- 
rez,  : 8c  lorfque  les  Gnomons  Ce  furpaffent  de  trois 
unirez , comme  1,4,7,  IO>  13,16,  &c.  les 
nombres  1,  5 , 12  , 22,35,  51,  &c.  qui  s’en 
forment , font  appeliez  Pentagones  , dont  la  pro- 
priété efi:  telle  que  chacun  étant  multiplié  par  24  » 
& le  produit  étant  augmenté  de  l’unité,  la  fomme 
eft  un  nombre  quarré  , ce  qui  fert  pour  connoitrc 
quand  un  nombre  propofé  efi  Pentagone.  Ainfi  des 
autres. 

Pour  trouver  la  fomme  de  tant  de  nombres  Trian - 
gulaires  quon  voudra , en  commençant  depuis  l'u- 
nité , par  exemple,  de  ces  huit  1 ,3,6,10,  15, 
21,28,  36  , on  multipliera  le  nombre  donné  8 
par  fon  fuivant^,  8c  le  produit  72  encore  parle 
fuivant  io3  & l’on  divifera  le  fécond  produit  720 
toujours  par  G , 8c  le  quotient  donnera  1 20  pour 
la  fomme  qu’on  cherche. 

La  fomme  de  toutes  ces  Fraétions  infinies  — , 


— , — , ^ , &c.  dont  le  Dénominateur  com- 

é io  ij  ii 

muneft  1 , 8c  dont  les  Dénominateurs  3 , 6 , 10  » 
15  ,21  , &c.  font  des  nombres  Triangulaires  , 
vaut  precifément  1. 

Pour  trouver  la  fomme  de  tant  de  nombres 
quarrez,  que  Von  voudra  depuis  l'unité , par  exem- 
ple , de  ces  huit  1 ,4,9,  16,25,36,49,64, 
on  ôtera  du  double  240  de  la  fomme  120  d’au- 
tant de  nombres  Triangulaires  1,  3,6,1015» 
2 1 , 28 , 3 6 , le  dernier  nombre  Triangulaire  36", 
& le  refte  204  fera  la  fomme  qu’on  cherche. 


PrOBLe’mES  d’AriTHMETIQ^JS.!  i-ï 

XIII. 

Les  cubes  1,8,27,  64 >1252,16,  Sec.  des 
nombres  naturels  1,2,354,5,6,  &c.  font  tels 
que  le  premier  1 eft  un  nombre  quarré , dont  le 
côté  1 eft  le  premier  nombre  Triangulaire  : la 
fomme  9 des  deux  premiers  1 , 8 , eft  un  nombre 
quarré  , dont  le  côté  3 eft  le  fécond  nombre  Trian- 
gulaire : la  fomme  3 6 des  trois  premiers  1,8, 
2,7 , eft  un  nombre  quarré , dont  le  côté  6 eft  le 
troifiéme  nombre  Triangulaire,  & ainfi  enfuite. 
C’eft  pourquoy  -pour  trouver  la  fomme  de  tant  de 
nombres  cubiques  qu’on  voudra,  , depuis  l’unité, 
par  exemple  , de  ces  fix  1 , 8,  27,  64,  125  » 
i 1 6 , le  quarré  441  du  (îxiéme  nombre  Triangu- 
laire  21,  donnera  la  fomme  qu’on  cherche. 

X I V; 

Entre  les  nombres  entiers , il  n’y  a que  2 , qui 
étant  ajoûté  à luy-même  faflè  autant  qu’étant  mul- 
tiplié par  luy-même  , fçavoir  4 : car  tout  autre 
nombre  , comme  5 , étant  ajoûté  à luy-même  fait 
I o , 5c  étant  multiplié  par  luy-même  fait  % 5 . 

Quoiqu’on  ne  puiffe  pas  trouver  deux  nombres 
entiers , dont  la  fomme  foit  égale  au  produit  de 
leur  multiplication  : neanmoins  on  en  peut  trouver 
aifément  deux  en  fraStions  , & mente  en  raifon  don- 
née , dont  la  fomme  foit  égale  à leur  produit,  fça- 
voir , en  divifant  la  fomme  des  deux  termes  de  la 
raifon  donnée  par  chacun  de  ces  deux  termes *,  com- 
me fi  on  leur  veut  donner  la  raifon  des  deux  nom- 
bres 2 , 3 , on  divifera  feparément  leur  fomme  5 
par  2 j & par  3 , ôc  l’on  aura  ces  deux  nombres 


Î3.  Récréât.  Mathemat.  et  PhysJ 
2-73  i~~  3 qui  font  autant  ajoutez  que  multipliez 

enfemble  , fçavoir  4 — . 

X V. 

Tout  nombre  eft  la  moitié  de  la  fomme  de  deux 
autres  également  éloignez , l'un  par  défaut , & l’au- 
tre par  excès  : par  exemple  6 eft  la  moitié  de  la 
fomme  12  des  deux  nombres  5 & 7 , qui  en  font 
également  éloignez  , ou  des  deux  nombres  4 & 8 , 
qui  en  font  auilî  également  éloignez , &c. 

XVI. 


Le  nombre  37  eft  tel  , qu’étant  multiplié  par 
chacun  de  ces  nombres  3,  6 , 9 , 12,  15,18, 


37  37  37  37  37  37  37  37  37 

3 6 9 12  15  18  21  24  27 

in  222  333  444  555  666  777  888  999 

21  , 24,  27,  qui  font  en  progreffion  arithméti- 
que , tous  les  produits  font  compofez  de  trois  fi- 
gures femblables. 

XV  IL 


Les  deux  nombres  5 & 6 , font  appeliez  Sphéri- 
ques , parce  que  leurs  Puiflànces  fimflènt  par  les  mê- 
mes nombres.  Par  exemple , les  Puiftànces  de  5 , 
fçavoir  25,  125,  625,  &cc.  finiftènt  par  le  mê- 
me nombre  5 : êc  pareillement  les  Puiflànces  de  6y 
fçavoir  36,  2163  1196  y &c.  finiftènt  par  le  même 
nombre  6» 


Proble’mes  d’Arïthmetique.  2$ 
Le  premier  nombre  5 a cela  de  particulier , qu ’é- 
tant  multiplié  par  un  nombre  impair,  comme  par 

7 , le  produit  3 5 finit  par  le  même  nombre  $ , & 
qu’étant  multiplié  par  un  nombre  pair , comme  par 

8 , le  produit  40  fe  termine  par  un  zéro. 

L’autre  nombre  6 a aulfi  cela  de  particulier  , 

qu’il  eft  le  premier  des  nombres  qu’on  appelle  Par- 
faits , parce  qu’ils  font  égaux  à la  jfomme  de  leurs 
parties  aliquotes  , car  ce  nombre  6 eft  égal  à la 
fomme  de  fies  parties  aliquotes  1,2,3.  Le  nombre 
28  eft  aufti  Parfait , parce  qu’il  eft  égal  àlalommc 
de  fes  parties  aliquotes  1,  2,4,7,  J4:  & l’on 
en  peut  trouver  une  infinité  d’autres  parfaits  , com- 
me 49  6 j qui  eft  égal  à la  fomme  de  fes  parties  ali- 
quotes 1,2,4,8,16,31,62,  124, 248, &c. 

Pour  trouver  tous  les  nombres  parfaits  par  or- 
dre , fervez-vous  des  Puiftances  de  2 , feavoir  2 » 
4,8,  16,32,  &c.  & voyez  celles  de  ces  Puifiam 


2,  4,  8,  16,  32, 

11  1 

3 7 31 

24  16 

6 28  496 


ces , qui  étant  diminuées  de  l’unité  , le  refte  foit 
un  nombre  premier , vous  trouverez  4,8,  32, 
ôcc.  car  fi  de  chacune  on  ôte  l’unité , les  reftes  3 , 
7,31,  &c.  font  des  nombres  premiers , dont  cha- 
cun doit  être  multiplié  par  la  moitié  de  la  Puiflan- 
ce  qui  luy  répond , fçavoir  3 par  2 , 7 par  4,31 
par  16,  &c.  pour  avoir  ces  nombres  parfaits  6, 
28 , 496  , &c. 


2, 

4064 

4 

203  2 

S 

IOI(5 

1 6 

508 

3* 

254 

64 

!2  7 

j 27 

8001 

1 2 7 

8128 

'2,4  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Pour  trouver  toutes  les  parties  aliquotes , ou  tom 
les  dtvifeurs  d’un  nombre  propofe',  entre  lefquels 
l’unité  eneft  toujours  un,  par  exemple  de  8128  > 
qui  eft  auflî  un  nombre  parfait , divifcz-le  par  le 
plus  petit  nombre  qui  fe  rcpre- 
I Tentera , fçavoir  par  2 , que  Ton 

peut  trouver  aifément  , parce 
que  le  nombre  propofé  8128 
eft  pair  , & le  quotient  fera 
4064,  que  vous  écrirez  à la 
droite,  vis-à-vis  de  2 , pour  fé- 
cond divifeur,  qui  fe  peut  en- 
core divifer  par  le  premier  divi- 
feur 2 , ce  qui  fait  que  Ton  quar- 
ré  4 fera  auflî  un  divifeur,  que 
vous  écrirez  au  deflous  de  fon 
côté  2,  & vis-à-vis  le  fécond 
quotient  2032  pour  un  autre 
divifeur,  qui  le  peut  encore  divifer  par  le  premier 
divifeur  2 , ce  qui  fait  que  fon  cube  8 fera  auflî  un 
divifeur , que  vous  écrirez  au  deflous  duquarréq, 
& vis-à-vis  le  troifiéme  quotient  101  6 , pour  un 
autre  divifeur  , & ainfi  enfuite  jufqu’à  ce  qu’on 
foit  parvenu  à un  dernier  divifeur , qui  ne  fe  puifle 
plus  divifer  par  le  premier  2 , comme  il  arrive  au 
fîxiéme  quotient  1 27  , qui  étant  un  nombre  pre- 
mier , c’eft-à-dire , tel  qu’il  ne  fe  peut  divifer  que 
par  l’unité , laquelle  par  confequenr  fera  un  divifeur, 
fait  connoître  que  tous  les  divifeurs  du  nombre 
propofé  8128  font  trouvez,  où  vous  voyez  que 
leur  fomme  eft  bien  égale  à ce  nombre , & que  par 
confequent  il  eft  parfait. 

C'cft  de  la  même  façon  que  nous  avons  trou- 
vé tous  les  divifeurs  de  cet  autre  nombre  209(5  I 285 
qui  eft  auflî  parfait  5 parce  que  comme  vous  voyez. 


Proble’mes  d’ Arithmétique.  25 

il  eft  égal  à la  fomme  de  Tes  parties  ahquotes.  Où 
l’on  voidque  le  dernier  quotient  2.047,  r^" 


I 


2, 

1048064 

4 

524032 

8 

262016 

1 6 

13 1008 

3 1 

65504 

64 

32752 

128 

1 6376 

256 

8188 

512 

405)4 

1024 

2047 

2047 

2094081 

2047 

2096128 

pond  à la  dixiéme  Puiflànee  1024  du  premier 
divifeur  2 , eft  aufli  un  nombre  premier  : car  s’il 
avoit  pû  être  divifé  par  quelqu’autre  nombre  que 
par  2,  comme  par  3 , il  auroit  falu  multiplier  par 
ce  nouveau  divifeur  3 , toutes  les  PuilTances  du 
premier  divifeur  2 , & divifer  le  nombre  pro- 
pofé  & tous  les  quotiens  par  ce  même  nouveau  di- 
vifeur 3 , pour  avoir  d’autres  divifeurs , &c.  comme 
vous  allez  voir  dans  l’exemple  fuivant. 

XVIII. 

Le  nombre  1 20  eft  égal  à la  moitié  de  la  fom- 
me 240  de  fes  parties  aliquotes  1,2,3,455, 
6,  8 , 10,  12  , 15,20,  24,  30 , 40  , 60  , le 
nombre  672  eft  aufli  égal  à la  moitié  de  la  fomme 


2 .6 

Récréât. 

Mathemat.  et  Phys. 

1544  de  les  parties  aliquotes  , que  nous  avons 

I 

trouvées  par  une  Méthode  fem- 

2 

Il6 

blable  à la  precedente  , lins 

4 

1 68 

qu’il  foit  befoin  de  la  répétée 

8 

8 4 

davantage.  On  peut  trouver 

1 6 

42- 

une  infinité  d’antres  nombres 

3^ 

21 

de  la  même  qualité  , & me- 

3 

2 14 

mes  on  en  peut  trouver  d’au- 

6 

1 1 2 

très  qui  feront  la  troifiéme  par- 
tie , ou  telle  autre  partie  qu’on 

1 2 

2-4 

28 

voudra  de  la  fomme  de  leurs 

48 

14 

parties  aliquotes,  mais  ce  n’eft 

96 

7 

pas  ici  le  lieu  d’en  dire  davan- 



tage. 

252 

1092 

252 

XIX. 

1344 

Les  deux  nombres  fuivans 
220  , 284,  font  appeliez  A- 

mtables , parce  qije  le  premier  2 20  eft  égal  à la 
fommc  des  parties  aliquotes  i , z,  4 , 71  , 142  , 
du  fécond  284  , & réciproquement  le  fécond 
284  efl:  égal  à la  fomme  des  parties  aliquotes  1 , 
1,4,$,  10,  11,  22,  44,  f Ç , 1 1 0 du  pre- 
mier 2 20*  Ces  parties  aliquotes  font  faciles  à 
trouver  par  ce  qui  a été  enfeigné  auparavant , fur 
tout  fi  l'on  confidere  que  tout  nombre  qui  fe  ter- 
mine par  f , ou  par  o , eft  divifible  par  5. 

Four  trouver  tous  les  nombres  amiables  par  or- 
dre , fervez-vous  du  nombre  2 , qui  eft  tel  que  fi 
de  fon  ttiple  6 , de  fon  fextuple  1 2 , &:  de  l’Odo- 
decuple  72  de  fon  quarré  4 , on  ote  l’unité  , il  telle 
ces  trois  nombres  premiers  f , 11,71,  dont  les 
deux  premiers  5 , 1 1 , étant  multipliez  enfem- 
ble , èc  leur  produit  5 5 étant  multiplié  par  le  dou* 


Proble’mes  d’ArïTHME TIQUE.’  z y 

ble  4 du  nombre  2,  ce  fécond  produit  2 20  fera 
le  premier  des  deux  nombres  qu’on  cherche, 


pour  avoir  l’autre  qui  eft  2 

84,  on  multipliera  le 

2 2 

4 

3 6 

18 

6 12 

72 

1 1 

1 

^ 1 

W 

M 

7i 

S 

4 

5 S 

00  ; 
4^  1 

4 

220 

troilîéme  nombre  premier  71  par  le  même  dou- 
ble 4 du  nombre  z pris  au  commencement. 

Pour  trouver  deux  autres 

nombres  amiables , au 

8 

8 

64. 

3 

6 

18 

24 

48 

1152 

1 

1 

1 

23 

47 

1 1 J 1 

23 

1 5 

1081 

18415 

1 6 

17Z96 

lieu  de  2 j fervez-vous  d’une  de  fes  Puiflànces  'qui 


2,8  RECREAT*  MATHEMAT.  ET  PhYs' 
foie  de  la  même  qualité  j tel  qu’eftfon  cube  8 , car 
fi  de  fon  triple  24  , de  fon  fextuple.48  , & de  l’Oc~ 
todecuple  1152  de  fon  quarré  6 4 , on  ôte  1’unité, 
il  refte  ces  trois  nombres  premiers  2 3 , 47 , 1151?, 
dont  les  deux  premiers  23  , 47  , doivent  être  mul- 
tipliez enfcmble,  & leur  produit  1081  doit  être 
encore  multiplié  par  le  double  16  du  cube  8 , afin 
d’avoir  1725X5  pour  le  premier  des  deux  nombres 
qu’on  cherche , & pour  avoir  l’autre  , qui  eft 
18416,  on  multipliera  le  troifiéme  nombre  pre- 
mier 1 1 5 I par  le  même  double  16  du  cube  8. 

Si  vous  voulez  deux  autres  nombres  , au  lieu 
de  2 , ou  de  fon  cube  8 , fervez  vous  de  fon  Quar- 
té-cube 64  , qui  eft  de  la  même  qualité  car  fi  de 


64 

64 

4096 

3 

6 

18 

192 

384 

73728 

1 

1 

1 

191 

383 

737*7 

191 

128 

73153 

9437056 

128 


9363^84 

fon  triple  192,  de  fon  fextuple  384,  & de  l'Oc- 
todecuple  73728  de  fon  quarré  4096,  on  ôte 
l’unité,  il  refte  ces  trois  nombres  premiers  191  , 
383 , 73727  , par  le  moyen  defquels  & par  ce 
qui  a été  dit  auparavant , on  trouvera  ces  deux  au- 
tres nombres  9363584  , 9437056,  qui  font 
amiables.  Ainfi  des  autres». 


Proêle’mes  d’Asutïîmetiqaie?  19 
Comme  il  eft  difficile  de  connoître  fi  un  nom- 
bre eft  premier  , quand  il  eft  un  peu  grand  , nous 
ajoûtero.ns  à la  fin  de  ce  Problème  une  Table  de 
tous  les  nombres  premiers  j qui  font  compris  entre 
•I  Ôc  ioooo. 

X X. 


Les  quarrez  96 1 >115  6 ,des  deux  nombres  31, 
34,  font  tels  que  le  premier  961  avec  Tes  parties 
aliquotes  1,315  fait  une  fomme  993  égale  à la 
fomme  des  parties  aliquotes , 1,  2,4,  17,  34, 
6 8 , 289  3 578  , du  fécond  1156,  dont  le  côté 
eft  34. 

XXL 


Les  deux  nombres  fuivans  16,10,  font  tels  que 
chacun  avec  fes  parties  aliquotes  fait  une  même 
fomme  : car  le  premier  16  avec  fes  parties  aliquotes 
1,1,  I 3 , fait  42. , ôc  le  fécond  10  avec  fes  par- 
ties aliquotes  1,2,4,5,10,  fait  auffi  42. 

Il  arrive  la  même  chofe  aux  deux  nombres  488  , 
464,  dont  chacun  avec  fes  parties  aliquotes  fait 
9 3 o : 8c  auffi  aux  deux  nombres  11,6,  dont  cha- 
cun avec  fes  parties  aliquotes  fait  12  : & encore 
aux  deux  nombres  17,  10  , dont  chacun  avec  fes 
parties  aliquotes  fait  1 8. 

On  peut  mêmes  avoir  trois  nombres , dont  cha- 
cun avec  fes  parties  aliquotes  fera  une  même  fomme, 
comme  20,  2 6 , 41  , dont  chacun  avec  fes  par- 
ties aliquotes  fait  42  : 8c  auffi  23,14,15,  dont 
chacun  avec  fes  parties  aliquotes  fait  24  : 8c  enco- 
re 46,  51 , 71  , dont  chacun  avec  fes  parties  ali- 
quotes fait  72. 

Au  lieude  trois  nombres  on  en  peut  avoir  deux 
qui  feront  quarrez,  comme  106176,  165649, 


30  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.’ 
dont  les  cotez  font  326,  407  » & dont  chacun 
avec  fes  parties  aliquotes  fait  187131.  Les  quar- 
rez I 6 , 2 5 ? des  deux  nombres  4 , 5 , font  auifi 
tels,  que  chacun  avec  fes  parties  aliquotes  fait  3 1. 

Ces  deux  derniers  quarrez  16  , 25  , font  les 
moindres  de  tous , par  le  moyen  defquels  on  en 
peut  avoir  autant  d’autres  qu’on  voudra  de  la  mê- 
me qualité  , fçavoir  en  les  multipliant  par  quel- 
qu’autre  nombre  quarré  impair  qui  ne  foit  pas  di- 
vifible  par  5 5 comme  fi  on  les  multiplie  chacun  par 
cet  autre  nombre  quarré  9 , dont  le  côté  eft  3 , on 
aura  ces  deux  autres  nombres  quarrez  144,  22,  5, 
dont  chacun  avec  fes  parties  aliquotes  fait  403'. 


XX  IL 

Le  nombre  quarré  8 1 , dont  le  côté  eft  9 , eft 
tel  qu’avec  fes  parties  aliquotes  1,3  , 9 , 27»  il  fait 
ce  nombre  quarré  1 2 1 , dont  le  côté  eft  11.  Le 
nombre  quarré  400  , dont  le  côté  eft  20  , eft  aulîi 
tel,  qu’avec  fes  parties  aliquotes  I , 2,4,  5,  8,  10» 
16,  10  3 25,40,  50,  80,  IOO,  200,  fait  ce 
nombre  quarré  961 , dont  le  côté  eft  3 1. 


X X 1 1 ï. 

La  femme  666  de  ces  trois  nombres  Triangu- 
laires 15,  21, 630  , dont  les  cotez  font  5 , 6, 
3 5 , eft  auffi  un  nombre  Triangulaire,  dont  le  côté 
eft  3 6.  Il  arrive  la  même  chofe  à ces  trois  autres 
nombres  Triangulaires  210,780,  1711,  dont 
les  cotez  font  20,39,  5 8 , car  leur  fomme  270 1 
eft  un  nombre  Triangulaire^  dont  le  côté  eft  73  : 
& auffi  la  même  chofe  à ces  trois  autres  nombres 
Triangulaires  666,2628,  5886,  dont  les  cotez 
font  36,  72,  108,  car  leur  fomme 9 180  eft  un 


Problèmes  d’Arithmetique!  3 r 
nombre  Triangulaire » don:  le  côté  eit  13  f , écc. 

XXIV. 

Le  quarré  49  du  nombre  7 , eft  tel  que  la  fom- 
me  8 de  fes  parties  aliquotes  1 , 7 , a fa  Racine  cu- 
bique z : & le  cube  343  du  même  nombre  7 , eft 
tel  qu’avec  Tes  parties  aliquotes  1 , 7 , 49  , il  fait 
ce  nombre  quarté  400  , dont  le  côté  eft  20.  Nous 
n’enfeignons  point  ici  à trouver  de  femblables  nom- 
bres, parce  que  fans  Algèbre,  dont  nous  dévou- 
ions pas  dire  un  feul  mot  , il  eft  difficile  de  les 
connoître  , à moins  que  le  hazard  ne  les  produife. 

XXV. 

Le  quatre  9 du  nombre  3 , eft  tel  que  la  fomme 
4 de  fes  parties  aliquotes  1 , 3 , eft  un  nombre 
quarté  , dont  le  côté  eft  z.  Le  quarré  2401  du 
nombre  49  eft  de  la  même  qualité  , car  la  fomme 
400  de  fes  parties  aliquotes  1,7, 49  , 343  ,eft 
un  nombre  quarré,  dont  le  côté  eft  20. 

XXVI. 

Les  deux  nombres  99  , 6 3 , font  tels  que  la 
fomme  57  des  parties  aliquotes  1,3,9,11,33» 
du  premier  99  , furpafte  la  fomme  41  des  parties 
aliquotes  1,3,7,9,21,  du  fécond  63  , de  ce 
nombre  quarré  1 6 , dont  le  côté  eft  4.  Il  arrive  la 
même  chofe  à ces  deux  autres  nombres  3 2 Ç , 175» 
car  la  fomme  109  des  parties  aliquotes  1 , ç , 13» 
2f,  65,  du  premier  325  furpafte  la  fomme  73 
des  parties  aliquotes  I , 5 , 7 , 2 ^ , 3 Ç , du  fé- 
cond 175  , de  ce  nombre  quarré  3 6 , dont  le  côté 
eft  6 . 


'3  2,  KiECR  E AT.  MaTHEMAT.  ET  PiîYS« 

XXVII. 

La  fommc  de  deux  nombres  qui  different  de 
l’unité  eft  égale  à la  différence  de  leurs  quarrez  ; 8c 
la  fommc  des  quarrez  de  leurs  nombres  Triangu- 
laires eft  auffi  un  nombre  Triangulaire.  Comme 
des  deux  nombres  ç , 6 , qui  different  de  l’unité, 
la  fomme  n eft  égale  à la  différence  de  leurs  quar- 
rez 2$  , 3 6 i 8c  leurs  nombres  Triangulaires  1 ^ , 
21  , font  tels  que  la  fomme  666  de  leurs  quarrez 
225,441,  eft  auffi  un  nombre  Triangulaire , dont 
le  côté  eft  3 6. 

XXVIII. 

Les  deux  nombres  Triangulaires  6,  10,  des 
deux  nombres  3,4,  qui  different  auffi  de  l’unité, 
font  tels  que  leur  fomme  16  , 8c  leur  différence  4, 
font  des  nombres  quarrez  , dont  les  cotez  font  4 , 
2 , 8c  que  la  fomme  1 3 6 de  leurs  quarrez  3 6 » 
IOO,  eft  un  nombre  Triangulaire  , dont  le  côté 
1 6 eft  auffi  un  nombre  quarré,  dont  le  côté  4 eft 
encore  un  nombre  quarré,  dont  le  côté  eft  2* 

Il  arrive  la  même  ehofe  à ces  deux  autres  nom- 
bres Triangulaires  3 6 , 45  , dont  les  cotez  8,9, 
different  auffi  de  l’unité  : car  leur  fomme  8 1 , 8C 
leur  différence  9 , font  des  nombres  quarrez  , dont 
les  côtez  font  9 , 3 , & la  fomme  3321  de  leurs 
quarrez  1296 , 2025  , eft  un  nombre  Triangulai- 
re , dont  le  côté  eft  8 1 , qui  a fa  Racine  quarrée  9, 
laquelle  aaulfi  fa  Racine  quarrée  3. 

Il  y a une  infinité  de  couples  d’autres  nombres 
Triangulaires  de  cette  qualité,  que  Von  trouvera 
cil  ôtant  & en  ajoûtant  un  nombre  quarré  quelcon- 
que à fon  quarré , & les  moitiez  du  reftc  8c  de  la 
fomme  feront  les  deux  nombres  Triangulaires  qu’ori 
cherche.  Comme 


Proble’mes  d’ArITHMETIC^TE.  j j 

Comme  fi  l’on  ôte  Sc  qu’on  ajoute  ce  nombre 
quarré  16  à Ton  quarté  256  > les  moitiez  du  refte 
240  , 8c  de  la  fomme  272  , donneront  1 20,1  3 6» 
pour  les  deux  nombres  Triangulaires  qu’on  cher- 
che , dont  les  cotez  font  15,  16  , qui  différeront 
toujours  de  l’unité. 

Ces  deux  nombres  Triangulaires  ainfi  trouvez, 
font  encore  tels  que  le  plus  grand  de  leurs  cotez  eft 
toujours  un  nombre  quarré , 8c  que  la  différence  de 
leurs  quarrez  eft  auilî  un  nombre  quarré  , Sc  de  plus 
que  leur  fomme  eft  un  quarré-quarré  égal  au  quarré 
de  leur  différence  , Sc  aufli  au  côté  du  nombre 
Triangulaire  que  compofe  la  fomme  de  leurs  qua:« 
rez. 

XXIX* 

La  différence  des  quarrez  de  deux  nombres  en 
raifon  double  eft  égale  à la  fomme  de  leurs  cubes* 
divifée  parla  fomme  des  deux  nombres:  Sc  la  mé- 
rite fomme  des  cubes  eft  le  tiers  d’un  cube. 

Comme  des  deux  nombres  4,8,  qui  font  en  rai- 
fon double  , la  différence  48  de  leurs  quarrez  16, 
eft  égale  au  quotient  qui  vient  en  divifant  la 
fomme  57 6 de  leurs  cubes  6 4 , ç 1 2 5 par  la  fomme 
I 2 des  deux  nombres  : Sc  la  même  fomme  576  des 
cubes  eft  le  tiers  de  ce  cube  1728,  dont  le  côté 
I 2 eft  toujours  égal  à la  fomme  des  deux  nombres. 

Je  n’aurois  jamais  fait,  fi  je  voulois  ici  mettre 
toutes  les  proprietez  des  nombres , qui  font  infinies* 
c’elt  pourquoyje  finiray  ce  Problème  par  la  Table 
des  nombres  premiers , que  nous  vous  avons  pro-* 
mife. 


C 


34 


RECREAT.  MATHEMAT.  ET  PHYS. 

Table  des  nombres  premiers  , entre  i 

& IOOOO. 


i 

3 

S 

7 

ïi 

13 
17 
1 9 

3-1 
2 9 
1 1 
37 
41 
43 
47 
SI 
59 
6 1 
e>7 
71 
73 

19 

83 

S? 

97 
ïoi 
103 
107 
105» 
113 
117 
3 3 1 
137 
239 
2 4 9 
I{1 


1671383 
173  38? 
1791397 

181 


191 

191 
197 
1 99 


21  1 

1Z1 
117 
2 29 
133 
ll9 
i+l 

2JI 

i/7 

263 

169 

z7i 

z77 

281 

283 

293 

307 

3ii 


401 

409 
419 
421 
43i 
43  3 
419 
443 
449 
4/7 
461 

463 

467 

479 

487 

491 

499 


;°3 
3-09 

su 
jzi 
/ 41 
j 47 
3i3  S 57 
3i7 \561 


617 

619! 

631 

641 

1543 

647 

<5/3 

6/9 

661 

673 

677 

683 

(691 

701 

709 

719 

717 

733 

739 

743 

7/i 

7/7 

761 

769 

773 

787 

797 


331 

337 

347 

349 

3/3 

3/9 

367, 


/69 
37 1 
/77 
/87 
/9  3 
/99 


601 

Ïf7  573I6o7 

J J / J 27»' 

•J63V' 


811 

821 

823 

827 

829 

839 

8/3 

8/7 

8/9 

863 


881 

883 

887 


907 
91 1 
919 
929 
937 
94i 
947 
9/3 
967 
971 
977 
983 
991 
997 


i«»i& 


1009 
101 3 
1019 
1021 
1031 
1033 
1039 
1049 
10  /i 
1061 
1063 
1069 
1087 
1091 
1093 
1097 

1103 
1 109 
1 1 17 
1123 


1129 
11/1 
ii/3 
1163 
1171 
1 1 81 
1187 

1193 


1429 
1433 
1439 
1447 
14/1 
14  SI 
14  59 
1471 

120! 

T2I3  1+  3 

1117  14!7 
1223 

1229  1+513 

1233  l”l 

1237  I/H 
1149  1/23 
12/9  1/31 
1277  i/43 
1179  1/49 
1283  I//3 
1289  i//9 
1291  1/67 
1297  3/71 


1741 

1747 

17/3 

17/9 

1777 

1783 

1787 

1789 


130!  ,77i> 

10,  1783 
1 f 97 
1307  

1319  1601 
160 

27  1609 


1321  'OU/ 
1 3 27 
1361  1613 
1367 
1373 
1381 
1399 


1409 

1423 

1427 


1 619 
1621 
1 1627 
'1637 
16/7 
1 66  3 
I 667 

-I  669 


1693 

1697 

1699 


1709 

1721 

1723 


1993 

1997 

1999 


2003 

201  I 
2017 


1733  2027 


I 801 
I 8l  I 

I823 

I83I 

I847 

I 86l 

I 867 
I87I 
1873 
1877 
1879 
I889 


1901 

1907 

1913 

1931 

1933 

1949 

I9/I 

1973 

1979 

1987 


2029 

2039 

20/3 
2063 
2069 
2081 
208  3 
2087 
2089 
2099 


21 1 1 
2113 
2129 
2131 
2137 
2141 
2143 
21/3 
2161 
2179 


2203 

2207 

2213 

2221 

2237 

2239 

2243 

22/1 

2267 

2269 


2273 

2281 

2287 

2293 

2297 


2309 
2311 
1333 
1-339 
2341 
1-347 
23/1 
i3/7 
2371 
1-377 
2381 
2383 
2389 
1-393 
13  99 


2411 
2417 
2423 
1437 
2441 
1447 
1-4  59 
2467 
1473 
1477 


2/03 

2J2I 

2/3 1 
1/39 
i/43 
i/49 
2//1 


i//7 
1/79 
1/91 
1/93 
2609 
2617 
2621 
1633 
2647 
16/7 
26/9 
2 66  3 
2671 
1677 
2683 
2687 
2689 

1693 

1699 

1707 

2711 

1713 

1719 

1719 

1731 

2741 

1749 

17/3 

1767 

2777 

1789 

1791 

1797 

2801 

2803 

1819 

1833 


PROBLEMES  d’ArITHMETÎqUE. 

7 able  des  Nombres  premiers , entre  1 & I OOOO; 


2,837 

2-845 

2.8/1 

28/7 

l8él 

2875 

2887 

285)7 

25)03 

2909 


3 1 87 

3I5)J 


3103 
3 209 
3217 
3221 
32251 
3 2/1 
31/3 
3 2- J 7 
2 5)  1 7 j 32/9 


3+99 


2927 

2939 

19/3 

19/7 

2963 

2969 

2971 

2999 

3001 


3301 
3 307 
3313 
3 3 1 9 
3 5 2-3 
3 319 
3 3 3 1 
3cii  3343 


3271 

3299 


3/ U 
3/17 
3J27 
3 J 2-9 
335  3 
3339 
33+) 
3347 
3337 
3339 
5371 
3381 
3383 
3393 


3797 


3°r  9 
3023 

3037 

3041 

3049 

3061 

3067 

3079 

3083 

3089 

3109 

3119 

3121 

3137 

3 1 6 3 
3 1 67 

3169 

3x81 


3347 
3 339 
3361 
3 3 71 
3373 
3 3 89 
3 3 9i 


3407 
3413 
34+3 
3449 
3 437 
3461 
3463 
3467 

3469 

3+91 


3607 

3613 

3617 

3625 

3631 

3637 

3643 

3639 

3671 

3^73 

3677 

3693 

3697 


3803 
3821 
3823 
3 833 
3847 
3851 
5835 
3863 
5 877 
3881 
3889 


+1 1 1 
4127 
4129 
413  3 
+ 139 
4133 
4137 
4139 
4177 


5907 
39ii 
3917 
3919 
3913 
3919 
395  1 
3943 
3947 
3967 
3989 


3701 
3709 
3719 
3717 
373  3 
3739 
3761 
3767 
3769 
3779 
379  3 


4001 
4003 
4007 
4013 
4019 
4021 
4027 
40+9 
40/1 
4°/  7 

4073 

+079 

4091 


4201 

4211 

4217 

4219 

4229 

4231 

4241 

41+3 

42/3 

42/9 

4261 

4271 

4273 

4283 

4289 


44/ 1 
+4/7 
4463 

4+8i 

4483 

+493 


4/07 

4/13 

4/17 

+JI9 

4/23 

4/47 

4/49 

4/61 

4/67 

4/83 

4/91 

4/97 


4789 
+79  3 
+799 


4801 

4813 

4817 

4831 

4861 

4871 

4877 

4885) 


+297 


+603 

4621 

4637 

4639 

4643 

+6+9 


43  27 
4557 
4539 
4549 
+ 3/7 
43^3 
+ 373 
+ 391 
43  97 


[46/1 

46/7 

4663 

4673 

4679 

4691 


4409 
4421 
4093  J4423 
409 9 I 4441 
“"|  4447 


4703 

4721 

4723 

4729 

4733 

47/i 

47/9 

4783 

4787 


4903 

4909 

4919 

+931 

4933 

4937 

4943 

49/1 

+9/7 

4967 

4 969 

+975 

4987 

+993 

4999 


/IOI 

/107 

Z1 1 3 
/119 
/i+7 
/i/3 
/167 

/171 

/I79 

/189 

/I97 


/449 

/47I 

/477 

/479 

/+83 


//oi 

//°3 

//07 

//I9 

//11 

//27 


/209I//3 I 


/ 227 
/231 

f 233 
/ 237 

/2él 

/ 2-7  3 
/i79 
/281 
/297 


///7 

//63 

//69 

//73 

//81 

//9i 


/003 

/009 

/ou 

/021 

/023 

/°39 

/0/1 

/°/9 

/°77 

/081 

/087 

/099 


/303 
/309 
/315 
/ 3 3 3 
/ 3 47 
/ 3 / 1 

/3  81 
/3  87 
/ 3 9 3 
/ 3 99 


/+°7 
/4I3 
/ + !7 
/4i9 
/43i 
/437 
/4+i 
/443 


:/62j 

/639 

/6+I 

/647 

/4/1 

/6/3 

/6/7 
/6/9 
/469 
/<98  3 
/ 6 85 

5693 


f7°  i 

/7H 
/717 
/ 737 
/74i 
/743 
/749 
5119 
51%î 


| /79I 

/801 

/807 

/8 1 3 

/821 

/S27 

/ 8 3 /i 

/8+3 

/ 849 
/8/1 
/S/7 

/8éi 

/867 

/865> 

/879 

/88r 

3897 

/903 

/913 

J'927 

590 

/9/î 

/98l 

59'Sf 

6007 
601 1 
6029 
6037 
6043 
6047 
6°/J 
606  j 
6073 
6079 
6089 
609 1 

5101 

6X1  J 


3 6 Récréât»  Mathemàt.  et  Phys," 

Table  des  Nombres  premiers , entre  i & 10000* 


6i  ii 

6 13 x 

éi33 

6143 

6i/i 

6163 

6173 

615)7 

6199 

6103 

6211 

6217 

6221 

6229 

6247 

62/7 

6263 

6269 

6271 

6277 

6287 

6299 

6301 

6311 

6317 


643.5) 

6431 

6469 

6473 

6381 

6492 


6 J 2 1 

6329 

6347 

6331 

é//3 

6363 

6369 

6371 

6;  77 

6381 

6399 


66  07 
6615) 
6637 
6633 
6639 

666l 

6673 
6679 
6323  6689 


6803 
6823 
6827 
6825) 
6833 
6 83.1 
6877 
6863 
6869 
6871 
6883 
6899 


6329 
6337 
6343 
63/5 
63/9 
6361 
6367 
6373 
6 3 72 
6389 
6397 
6421 
6427 


6691 


6907 

691 1 
6917 
6947 
65)49 
6979 
65)61 
6967 
6971 
6977 
6983 
695)1 

6997 


7IJI 

71/9 

7177 

7187 

7193 


7207 

7211 

7213 

7119 

7229 

7237 

7243 

7247 

72  J 3 
7283 
72.97 

7307 

7309 

7321 

73  3 i 
73  3 3 
7349 
73  J1 
7369 
7393 


6701 

6703 

6709 

6719 

6733 

6737 

6761 

6763 

6779 

6781 

6791 

6^93 


7001 
7013 
7019 
7027 
70  39 
7043 
70/7 
7069 
7079 


7103 

7io9 

7121 

7127 

7129 


7J2  3 
7/29 
7337 
734i 
7347 
7349 
7339 
7361 

7373 

7377 

7383 

7389 

739i 


7603 

7607 

7621 

7639 

7643 

7649 

7669 
7673 
7681 
7687 
7691 
7699  j 


7873 

7867 

7873 

7877 

7879 

788? 


7901 

7907 

7917 

7927 

7933 
793  7 
7949 
7971 

796  3 
7995 


7411 
7417 
743  3 
7471 
7477 
7439 
7477 
748i 
7487 
7489 
7499 


7707 

7317 


8009 
80x1 
8017 
8039 
8073 
8099 
8069 
8081 
8087 
7703 I8089 
771718093 
77*3  8loJ 
77*7  8lII 
7741 ,8l 
7773  8l23 


8219 

8221 

8231 

8233 

8237 

8243 

8263 

8269 

8273 

8287 

8291 

8293 

8297 


83x1 

8317 

8329 

8373 

8363 

8369 

8377 

8387 

8389 


8419 

8423 

8429 

8431 

8443 

8447 

8461 

8467 


7777 
7779 
7789 
779  3 


78x7 

7823 

7829 

7841 


8147 

8161 

8167 

8171 

8179 

8391 


8209 


8/01 
8ji  3 
8921 
8J27 

8/37 

8/39 

8/43 

8/63 

8/73 


8781 

8/97 

8/99 


8609 

8623 

8627 

8629 

8641 

8647 

8665> 

8677 

8681 

8689 

8693 

8699 


8893 


8923 
8929 
893  3 
8941 
89/1 
8963 
8969 
8971 
8999 


8707 

8713 

8719 

8731 

8737 

8741 

8747 

87/5 

8761 

8779 

8783 


8803 

8807 

8819 

8821 

8831 

8837 

8839 

8849 

8861 

8863 

8867 

8887 


9001 
9007 
9011 
901 3 
9029 
9041 
9043 
9049 
903-  9 
9067 
9091 


9103 

9109 

9127 


9241 

92/7 
9277 
9281 
9283 
9 29* 
9311 
9319 
9323 
93  37 
934i 
9343 
9349 

9371 
93  77 
9391 
9397 
9403 
9413 
9419 
9421 
9431 
943  3 
9437 
9439 


9133  9461 
9137  , 

9463 


9iji 

9i/7 

9161 

9173 

9181 

9187 

9199 


9203 

9209 

9221 

9127 

9239 


9467 

9473 

9479 

9491 
9497 
9/1 1 
9/21 

9/3  3 
9/39 
9/47 
9//I 


Proble’mes  d’Arithmetique.I  3 
Table  des  Nombres  premiers  entre  i &c  i OOOO. 


9S%7 
9601 
5>6 1 3 
9619 
96z 3 


I962.9 

96  77 

9711 

9767 

9803 

9839I9883 

9919 

19631 

9679 

9733 

9769 

98x1 

98;i  9887 

9931 

[9643 

9689 

9739  9781 

9871 

9941 

9649 

9697 

9743 

9787 

9819 

9*S9Y9J901 

9949 

1 9661 

,97 19 

9749 

j 9791 

9833 

9967 

997  3 


PROBLEME  VI. 


Des  Triangles 

ON  appelle  Triangle  reÜangle  en  nombres  , 
trois  nombres  inégaux  , dont  le  plus  grand 
eft  tel  j que  Ton  quarté  eft  égal  à la  Comme  des 
quarrez  des  deux  autres  ; comme  3 , 4 , 5 , car  le 
quarré  25  du  plus  grand  ç , qu’on  appelle  Hypote*- 
nnfe  , eft  égal  à la  Comme  des  quarrez  ,9,16,  des 
deux  autres  3,4,  qu’on  appelle  Cotez, , dont  l’un 
étant  pris  pour  la  Bafe  du  Triangle  reétangle  , l’au- 
tre en  Cera  la  Hauteur,  La  moitié  6 du  produit  12 
Cous  cette  BaCe  & cette  H tuteur  , Ce  nomme  Aire  , 
qui  eft  toujours  divifible  par  3.  Vous  remarquerez 
que  pour  le  produit  de  deux  nombres  nous  enten- 
dons celuy  qui  vient  de  leur  mutuelle  multiplica- 
tion. 

Il  y a une  infinité  de  Triangles  reétangles  de  di- 
verfe  eCpece,tant  en  nombres  entiers  , qu’en  nom- 
bres rompus  : mais  011  les  conçoit  ordinairement 
en  nombres  entiers  , entre  leCquels  le  premier  & le 
moindre  de  tous  eft  le  precedent  3,4,5,  qui  a 
une  infinité  de  belles  proprietez,  qu’il  Ceroit  par 
conCequent  trop  long  de  rapporter  ici  : c’eft  pout- 
quoy  je  me  contenteray  de  dire  que  la  Comme  2 I 6 
des  Cubes  27  > 64  > I 2 5 > de  Ces  deux  cotez  3 s 4, 


^8  Récréât.  Mathemât.  et  Phys. 

6c  de  Ton  hypotenufe  5 , eft  un  Cube  , dont  le  côté 
0 eft  égal  a l'on  Aire. 

Pour  trouver  en  nombres  autant  de  Triangles 
rectangles  qu'on  voudra  , prenez  à plaifîr  deux 
nombres  , comme  2 > 3 > qu’on  appelle  Nombres 
générateurs , & les  multipliez  enfemble  , pour  a- 
voir  leur  produit  6 , dont  le  double  I 2 fera  le  cô- 
té d’un  Triangle  reétangle  , l’autre  côté  étant  égal  à 
la  différence  j des  quarrez  4,5?,  des  Nombres  gé- 
nérateurs 2 , 3 , & Phypotenufe  étant  égale  à la 
fomme  13  des  mêmes  quarrez  4,9  : tellement 
qu’on  aura  ce  Triangle  rectangle  5,12,  1 3,  car  le 
quarté  1 69  de  l’hypotenufe  1 3 , eft  égal  à la  Pomme 
des  quarrez  2f  , 144,  des  deux  cotez  5)12- 

Le  premier  Triangle  reétangle  3 ,4,5,  dont  les 
deux  nombres  générateurs  font  I , 2 > eft  tel , que 
la  différence  des  deux  cotez  3 , 4 , eft  1 ; & fî  vous 
çn  voulez  trouver  un  autre  de  cette  qualité , pre- 
nez pour  le  plus  petit  de  fes  deux  nombres  géné- 
rateurs le  plus  grand  2 du  precedent , & pour  avoir 
le  plus  grand  du  fécond , ajoutez  au  double  4 du 
plus  grand  2 du  premier  le  plus  petit  r , & vous 
aurez  ^ pour  le  plus  grand  nombre  générateur  du 
fécond  Triangle  reétangle,  lequel  par  confequent- 
fera  20 , 2 I , 29  ? où  la  différence  1 des  deux  cô,- 


te  z 20  , 

21  , eft  aufîi 

1. 

Cotez. 

Hypoten. 

Nomb. 

gen. 

3 

4- 

T 

I • 

1- 

20 

21. 

29. 

2- 

î* 

1 19 

1 20. 

1 69. 

î* 

I 2- 

6<)6 

697. 

1025. 

I 2* 

29. 

4 o*9 

4060. 

574i* 

29. 

70. 

23  660 

23  661. 

334ÔÏ. 

70. 

i 6 9- 

Si  vous  voulez  un  troifiéme  Triangle  reétangle 
•'  ■ - • t?  0 


Proble’mes  d’Arithmetique.  39 
de  la  même  qualité,  fervez-vous  pareillement  du 
precedent  20,  2 1 , 29,  dont  les  deux  nombres 
générateurs  font  2,5,  ôc  prenez  le  plus  grand  5 
pour  le  plus  petit  du  troifiéme  Triangle  reétangle  , 
& pour  avoir  le  plus  grand  , ajoutez  comme  aupa- 
ravant au  double  10  du  plus  grand  5 du  fécond 
le  plus  petit  1,  !k  vous  aurez  12  pour  le  plus 
grand  nombre  générateur  du  troifiéme  Triangle 
reétangle  , lequel  par  confequent  fera  1 19 , 1 20  > 
I 69  , où  la  différence  des  deux  cotez  119,  120, 
eft  aufti  1.  Ainfi  des  autres. 

Le  même  premier  Triangle  reétangle  3,4,5, 
eft  aullî  tel , que  l’excès  de  l’hypotenufe  5 fur  le 
côté  4 eft  aufti  1 , parce  que  fes  deux  nombres  gé- 
nérateurs 1,2,  different  de  l’unité  : 


Bas. 

Haut. 

Hyp. 

nom. 

gen 

3- 

4- 

s* 

I. 

2 • 

S- 

1 2. 

13* 

2. 

3* 

7- 

24. 

25. 

3- 

4- 

9- 

40. 

41. 

4- 

s- 

1 r. 

60. 

61. 

S- 

6 . 

14. 

84. 

85. 

6. 

7» 

c’eft  pourquoy  on  pourra  trouver  une  infinité d' an* 
très  Triangles  rectangles  de  cette  qualité , fi  pour 
leurs  nombres  générateurs  on  prend  deux  nom- 
bres differens  de  l’unité  , comme  vous  voyez  ici, 
où  les  premières  différences  des  Bafes  3,557,9, 
&c.  font  égales , & où  les  fécondés  différences  des 
Hauteurs  4 , 1 2 , 24  , 40  , &c.  font  auffi  égales  , 
ce  qui  arrive  aullî  aux  Hypotenufes  5 , 13,  25, 
4 ï , Sec. 

Les  Bafes  font  ici  des  nombres  impairs  , & fi 
l’on  veut  <y\elles  [oient  Us  quarrez,  de  ces  mêmes 

C iiij 


4©  Récréât.  Mathemât.  et  Phys. 
nombres  impairs  , il  ne  faut  que  prendre  les  Hau- 
teurs & les  Hypotenufcs  pour  les  nombres  géné- 
rateurs des  Triangles  rectangles  qu’on  cherche  a 
Iefquels  par  confequent  feront  tels. 


B, if  es . 

Haut. 

Hypoten. 

Na.  gcv. 

9- 

4Q. 

41. 

4- 

î* 

2 5* 

312. 

3 13* 

1 2. 

*3* 

49. 

I 200. 

1201. 

24. 

25. 

81. 

3 280. 

3281. 

40. 

41. 

1 21. 

73  i0- 

73  2I- 

60. 

6 1. 

1 69. 

14280. 

14281. 

84. 

85. 

Si  au  lieu  d 

’un  côté , 

vous  vou 

ez  que 

lJ  Hypote* 

nufe  foit  un  nombre  quarré , il  faut  que  les  deux 
nombres  générateurs  foient  les  cotez  d’un  Trian- 
gle reCtangle  , comme  vous  voyez  ici  , où  l’hypo- 
tenufe  eft  le  quatre  du  plus  grand  nombre  généra- 
teur augmenté  de  l’unité. 


Cotef. 

Hypoten. 

No. 

gen. 

7 • 

24. 

M* 

3* 

4. 

119. 

1 20. 

169. 

S- 

I 2, 

334. 

S27 

6z^. 

7* 

24. 

720. 

1519- 

1681. 

9. 

40. 

1 3 20. 

3479- 

372ï- 

1 1. 

60. 

2184. 

6887. 

7225. 

13- 

84. 

Le  Triangle  reCtangle  fuivant  21,28,  3 ç , eft: 
tel  que  les  deux  cotez  21  , 28  , font  des  nombres 
Triangulaires,  dont  les  cotez  6, 7,  different  de 
l’unité,  & le  quarté  1225  de  l’Hypotenufe  3 5 eh 
aufïî  un  nombre  Triangulaire  , dont  le  côté  eft  49. 
Il  arrive  la  même  chofe  à cet  autre  Triangle  rec~ 

o 

tan.gle  820,  8 6^  1 , 1189  , caries  deux  côte?. 


Proble’mes  d’Arithmetique.  4ï 
8lO  ) 861  , font  des  nombres  Triangulaires,  dont 
les  cotez  40  , 41  , different  auffi  de  l’unité,  &c 
le  quatre  1413721  de  l’hypotenufe  1 1 89  eft  auffi 
un  nombre  Trianglaire , dont  le  côté  eft  1681. 

Il  arrive  encore  la  même  chofe  à ce  troifiéme 
Triangle  reétangle  28441 , 28680,  403  91  , car 
les  deux  cotez  28441  , 28680,  font  des  nom- 
bres Triangulaires  , dont  les  cotez  238  , 239, 
different  auiîi  de  l’unité  ,&  le  quarté  163  1432881 
de  1 Hypotenufe  4039  I eft  auffi  un  nombre  Trian- 
gulaire , dont  le  côté  eft  114243-  Ainfi  des 
autres. 

Les  Triangles  reétangles  fuivans , que  l’on  peut 
prolonger  à l'infini , font  tels  que  les  Bafes  & les 


Bafes. 

Haut. 

Hypoten. 

No-  gen. 

6. 

8. 

IO- 

I.  3. 

36. 

27. 

4S- 

3.  6. 

1 20. 

64. 

136. 

6.  10. 

300. 

Î25- 

3 3 5- 

10.  iç. 

630. 

2 I 6. 

666. 

1 ç.  21. 

1 176. 

343- 

I 22$. 

21.  28. 

Hypotenufes  font  des 

nombres 

Triangulaires  , 

les  Hauteurs 

font  des 

nombres 

cubiques.  On 

trouvera,  autant  que  l’on  voudra  , en  ajoutant  éc 
en  ôtant  un  nombre  quarré  de  fon  quarré , car  la 
moitié  de  la  fomme  fera  l’Hypotenufe  , & la  moi- 
tié du  refte  fera  la  Bafe,  la  hauteur  étant  égale  au 
Cube  du  côté  du  premier  nombre  quarré  : ou  bien, 
ce  qui  eft  la  même  chofe , en  prenant  pour  nom- 
bres générateurs  les  nombres  Triangulaires  par 
ordre,  comme  vous  voyez  ici,  où  le  plus  petit 
nombre  générateur  d’un  Triangle  reétangle  eft  le 
même  que  le  plus  grand  du  Triangle  reétangle 
precedent , &c. 


4i 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 


PROBLEME  VIL 

De  la  Progrejfion  Arithmétique . 

ON  appelle  Progrejfion  Arithmétique  une  fuite 
de  quantitez  appellées  Termes , qui  augmen- 
tent continuellement  par  un  excès  égal,  comme  i , 
3 j 5 j 7 5 9 j I I > &c.  où  Y excès  eft  z , ou  bien  i, 
4 j 7 3 I o , 13,1b,  &c.  où  l’excès  eft  3 , ou  bien 
encore  z , 6 , 10,14,18,22,  &c.  où  l’excès 
eft  4.  Ainfi  des  autres. 

La  principale  propriété  de  la  Progreffion  Arith- 
métique , eft  que  de  trois  termes  continuels , com- 
me 6 , 10 , 14 , la  fomme  20  des  deux  extrêmes 
6 , 1 4 , eft  double  du  moyen  1 o j & que  de  qua- 
tre termes  continuels,  comme  6 , 10,14,18, 
la  fomme  24  des  deux  extrêmes  6 , I 8 , eft  égale  à 
celle  des  deux  moyens  10,  14  :&  enfin  que  dans 
une  plus  grande  multitude  de  termes  continuels  , 
comme  dans  ces  fix , 2 , 6 , 1 0 , 14,18,22,  la 
fomme  24  des  deux  extrêmes  2, 22  , eft  la  même 
que  celle  des  deux  6 , 1 8 , qui  en  font  également 
éloignez  , ou  que  celle  des  deux  10,  14,  qui  en 
font  auftî  également  éloignez.  D’où  il  eftaifé  de 
conclure,  que  îorfque  la  multitude  des  termes 
eft  un  nombre  impair  , cette  fomme  eft  double 
du  terme  moyen,  comme  il  arrive  dans  ces  cinq 
termes  2,  6 , 10,  14,  1 8 , car  la  fomme  20 
des  deux  extrêmes  2 , 1 8 , ou  des  deux  6 , 14, 
qui  en  font  également  éloignez  , eft  double  du 
moyen  10. 

On  peut  aifément  trouver  autant  de  fois  que  l’on 
voudra,  deux  nombres , tels  que  la  fomme  de  leurs 
quarrez  foit  un  nombre  quarté , ou  ce  qui  eft  la 


Proble'mes  d’Arithmetiq^e.  43 
même  chofe  , les  cotez  d’un  Triangle  reétangle  en 
nombres , par  le  moyen  de  cette  double  Progref- 

lion  Arithmétique  i-l,  z-y,  3 y-,  4—,  Sec.  ou 

l’excès  eft  z dans  les  Fractions , Se  1 dans  les  Nom- 
bres  entiers:  car  fi  l’on  réduit  l’entier  avec  fa  Frac- 
tion en  une  feule  Fraétion,comme  1 — en  — , le  nu- 

3 3 

merateur  4,  & le  dénominateur  3 , feront  les  co- 
tez de  ce  Triangle  reétangle  3 , 4, 5 , & pareille- 
ment fi  l’on  réduit  z— en— , ce  qui  fe  fait  en 
5 5 

multipliant  le  nombre  entier  z par  le  dénomina- 
teur 5 , de  en  ajoûtant  au  produit  1 o le  numéra- 
teur 2 , le  dénominateur  5 , 8e  le  numérateur  1 z , 
feront  les  cotez  de  ce  Triangle  rectangle  5,12, 
13.  Ainfi  des  autres  : 011  vous  voyez  que  tout 
nombre  impair  peut  être  l’un  des  deux  cotez  d’un 
Triangle  reétangle,  en  nombres  entiers. 

Au  lieu  de  cette  double  Progrefiion  Arithmeti- 

que,  l’on  peut  fe  fervir  de  cellc-cy , i-l-,  z~  3 

2—I  4— , <~y  Sec.  où  l’excès  eft  4 dans  les 
fractions.  Se  pareillement  1 dans  les  nombres  en- 
tiers : car  fi  l’on  réduit  1 — ,en—  , le  dénomina- 

teur  S,  & le  numérateur  1 5 , feront  les  deux  co- 
tez de  ce  Triangle  reétangle  85  15,  17,  Se  pa- 
reillement fi  l’on  réduit  2—,  en—  , le  dénomina- 

1 z 11 

teur  1 2 3 & le  numérateur  3 5 , feront  les  deux 
cotez  de  cet  autre  Triangle  reétangle  12,353  37. 
Ainfi  des  autres,  où  vous  voyez  qu’un  nombre  di- 
vifibîe  par  4 peut  être  l’un  des  deux  cotez  d’un 
Triangle  rectangle  en  nombres  entiers. 


44  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Dans  une  Progre-ffion  Arithmétique,  la  fomme 
des  termes  eft  égale  à la  fomme  des  deux  extrêmes, 
multipliée  par  la  moitié  du  nombre  de  la  multitude 
de  tous  ces  termes.  C’eft  pourquoy  pour  trouver « 
la  fomme  à’  autant  de  termes  qu  on  voudra  d’une 
Progrejfon  Arithmétique , par  exemple  de  ces  huit, 

3 , S>7’9>  1 1 » 13»  I J ) 17  > on  multipliera 
par  leur  nombre  de  multitude  8 , la  fomme  20  des 
deux  extrêmes  3 , 17,  & la  moitié  80  du  produit 
160  fera  la  fomme  qu’on  cherche, 

Si  tout  au  contraire  l’on  connoît  la  fomme  des 
termes,  dont  le  premier  eft  aulïi  connu  , & encore 
le  nombre  de  leur  multitude  , l’on  trouvera  ces  ter- 
mes en  cherchant  leur  excès  en  cette  forte.  Si  la 
fomme  donnée  des  termes  eft  par  exemple  80  , que 
leur  nombre  de  multitude  foit  8 , 8c  que  le  pre- 
mier terme  foit  3 , divifez  par  le  nombre  donné 
de  multitude  8 le  double  160  de  la  fomme  don- 
née 80,  8c  ôtez  du  quotient  20  le  double  6 du 
premier  terme  donné  3 , 8c  enfin  divifez  le  refte 
14  par  le  nombre  donné  de  multitude  diminué  de 
l’unité,  c’eft-à-dive  dans  cet  exemple  par  7 , 8c  le 
quotient  2 fera  l’excès  qu’on  cherche,  lequel  étant 
ajouté  au  premier  terme  donné  3 , on  aura  3 pour 
le  fécond  terme  , auquel  fi  l’on  ajoute  pareille- 
ment le  même  excès  2,  on  aura  7 pour  le  troifié- 
me  terme,  & ainfienfuite. 

Mais  fi  l’on  donne  la  fomme  des  termes,  le  nom- 
bre de  leur  multitude  , & l’excès,  on  trouverais 
premier  terme , 8c  par  confequent  tous  les  autres 
en  cette  forte.  Que  la  fomme  donnée  des  termes 
foit  80  j que  le  nombre  de  leur  multitude  foit  8, 
8c  que  l’excès  foit  z divifez  le  double  160  delà 
fomme  donnée  80  par  le  nombre  donné  8 de  mul- 
titude, 8c  ôtez  du  quotient  20  autant  de  fois  l’ex- 

( 


/ 


Proble’mes  ^Arithmétique. 
cês  2 , que  le  nombre  donné  de  multitude  8 com- 
prend d’unitez  moins  une,  fçavoir  ^foisjou  14, 
& la  moitié  3 du  relie  6 fera  le  premier  terme  , 
auquel  ajoutant  l’excès  donné  2 , on  aura  5 pour 
le  fécond  terme  , auquel  pareillement  fi  l’on  ajoute 
le  même  excès  2,  on  aura  7 pour  le  troifiéme  ter- 
me , ôc  ainfi  enfuite.  Nous  allons  faire  l’appli- 
cation de  ces  trois  cas  dans  les  Queftions  fuivantes. 


Q^U  E S T I O N I. 


Un  Proprietaire  fait  faire  un  Puits  a un  Maffon 
avec  cette  condition,  qu'il  luy  donnera  3 livres 
pour  la  première  toife  de  profondeur , ç pour  la 
fécondé  , 7 pour  la  troifie'me  , or  ainfi  enfuite  en 
augmentant  de  2 livres  à chaque  toife  jufqud 
20  toife  s de  profondeur.  On  demande  combien 
il  fera  dû  au  Maffon  , quand  les  20  toifes  de 
profondeur  feront  achevées. 

POur  refoudre  cette  Quellion,  multipliez  les  2 
livres  d’augmentation  pour  chaque  toife  de 
profondeur  par  le  nombre  des  toifes  moins  une  de 
toute  la  profondeur , fçavoir  par  1 5) , & ayant  ajou- 
té au  produit  38  le  double  6 de  3 , qui  eft  le 
nombre  des  livres  promifes  pour  la  première  toife, 
multipliez  la  fomme  44  par  la  moitié  10  du  nom- 
bre 20  des  toifes  de  toute  la  profondeur,  &vous 
aurez  440  livres  pour  l’argent  dû  au  Malfon  fur 
2 0 toifes  de  profondeur. 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys; 


Question  IL 

%Jn  Voyageur  a fait  IOO  lieues  en  8 jours  dé 
temps  , & chaque  jour  il  a fait  également  plus 
de  chemin  que  le  jour  precedent  , & fçachant 
que  le  premier  jour  il  a fait  feulement  2 lieues, 
on  demande  combien  de  lieues  il  a fait  chacun 
des  autres  jours. 

POur  refoudre  cette  Qucftion  , divifez  le  double 
200  des  lieiiës  données  100  par  le  nombre 
donné  8 des  jours  , & ôtez  du  quotient  2 5 le 
double  4 du  nombre  donné  2 des  lieues  du  pre- 
mier jour,  pour  diviferle  refte  21  par^,  qui  eft 
le  nombre  donné  des  jours,  diminué  de  l’unité, 
& le  quotient  3 fera  connoître  que  le  Voyageur 
a fait  chaque  jour  3 lieues  plus  que  le  precedent  5 
d’où  il  eft  ailé  de  conclure,  que  comme  le  pre- 
mier jour  il  a fait  2 lieues,  le  fécond  il  en  aura 
fait  5 , le  CLoifiéme  8 , le  quatrième  1 I , le  cin- 
quième 14,  le  ftxiéme  17,  le  feptiéme  20  , & le 
huitième  23  , ce  qui  fait  en  tout  1 00  lieues  , com- 
me porte  la  Queftion. 

Qjj  estîon  III. 

! 

Vn  Voyageur  a fait  iOO  lieues  en  8 jours  de  temps, 
& il  a,  fait  chaque  jour  3 Itetiés  plus  que  lé 
precedent  ; on  demande  Combien  de  licués  il  a 
fait  chaque  jour . 

Î)  Our  refoudre  cette  Queftion  , divifez  le  dou- 
. ble  200  des  lieues  données  100,  par  le  nom- 
bre donné  8 des  jours,  & ôtez  du  quotient  25  lé 


Proble’mes  d’Arithmetique.  4 7 

nombre  1 1 , qui  eft  le  nombre  donné  3 des  lieues 
de  furplus  en  chaque  jour,  multiplié  par  le  nombre 
donné  des  jours  moins  un , c’eft-à-dire  par  7 , Sc 
la  moitié  2 du  refte  4 fera  connoître  que  le  pre- 
xnier  jour  le  Voyageur  a fait  2 lieuës,  6c  que  par 
confequent  il  en  fait  5 le  fécond  jour,  8 le  troifié- 
fiéme,  11  le  quatrième,  1 4 le  cinquième  , 171e 
ftxiéme,  20  le  feptiéme  , 6c  23  le  huitième,  ce 
qui  fait  en  tout  100  lieuës  , comme  porte  la 
Queftion. 

QjJ  ESTION  IV. 


Un  Voleur  en  s' enfuyant  fait  8 lieuës  par  jour , & 
un  Archer  le  pourfuit,  qui  n a fait  que  3 lieues 
le  premier  jour , 5 le  fécond , 7 le  troifie'me  , & 
ainfi  enfuite  en  augmentant  de  2 lieués  chaque 
jour . On  demande  en  combien  de  jours  l’ Archer 
atteindra  le  Voleur,  & combien  de  lieués  cha- 
cun aura  fait. 


POur  refoudre  cette  Queftion  6c  fes  femblables, 
ajoutez  le  nombre  2 des  lieuës  que  l’Archer 
fait  chaque  jour  plus  que  le  precedent,  au  double 
16  du  nombre  8 des  lieuës  que  le  voleur  fait  cha- 
que jour,  6c  ayant  ôté  de  la  fomme  1 8 le  double 
6 du  nombre  3 des  lieuës  que  l’Archer  a fait  le 
premier  jour  , divifez  le  refte  1 2 par  le  nombre  2 
des  lieuës  que  le  meme  Archer  fait  de  plus  chaque 
jour,  6c  le  quotient  6 fera  connoître  que  l’Archer 
atteindra  le  Voleur  au  bout  de  fix  jours  , 6c  que 
par  confequent  chacun  aura  fait  48  lieuës,  parce 
que  6 fois  8 font  48  , 6c  que  la  fomme  de  ces  ftx 
termes  de  la  Progreflion  Arithmétique,  3 , 5 ,7, 
$ » il  > 13,  fait  aufl*  48, 


48  Récréât.  MathemAt.  Et  Phys.' 


Question  V. 

On  fuppofe  que  de  Paris  à Lyon  il  y a I OO  lieuic 
& que  deux  Couriers  font  partis  en  même  temps * 
& par  la  meme  route , l’ un  de  Paris  pour  aller 
a Lyon  , en  faifant  2 heués  chaque  jour  plus  que 
le  precedent  , & l autre  de  Lyon  pour  venir  À 
Paris , en  faifant  3 lieués  chaque  jour  plus  que 
le  precedent  : & que  precif'ment  au  milieu  du 
ch  emm  ils  fe  font  rencontrez,  , le  premier  au 
bout  de  ç jours  , & le  fécond  au  bout  ds  4 jours  < 
On  demande  combien  de  lieues  ces  deux  Couriers 
ont  fait  chaque  jour. 

POür  fçavoir  combien  de  lieues  a fait  chaque 
jour  ceiuy  qui  pour  rencontrer  l’autre  , a em- 
ployé ç jours  , ôtez  ce  nombre  ç de  fon  quarré 
25  , & ayant  multiplié  le  refte  20  par  le  nombre 
2 des  lieues  que  ce  Courier  a fait  chaque  jour  plus 
que  le  precedent,  ôtez  le  produit  40  du  nombre 
IOO  de  la  diftance  de  Paris  à Lyon,  pour  divifef 
le  refte  60  par  le  double  10  du  nombre  5 des 
jours  , Sc  le  quotient  6 fera  connoître  que  le  Cou- 
rier a fait  6 lieues  le  premier  jour,  & par  confe- 
quent  8 le  fécond , 1 o le  troifiéme , 1 2 le  qua- 
trième, & 14  le  cinquième. 

Pareillement  pour  fçavoir  combien  de  lieues  a 
fait  chaque  jour  ceiuy  qui  pour  rencontrer  l’autre 
a employé  4 jours  , ôtez  ce  nombre  4 de  fon  quar- 
ré 16 , & ayant  multiplié  le  refte  1 2 par  le  nom- 
bre 3 des  lieues  que  ce  Courier  a fait  chaque  jour 
de  plus,  ôtez  le  produit  36  du  nombre  100  de 
la  diftance  de  Paris  à Lyon,  pour  divifer  le  refte 
G\  par  le  double  8 du  nombre  4 des  jours , &£ 


Proële’mes  d’Arithmetiquh»  49 
le  quotient  8 fera  connoître  que  ce  Courier  a fait 
8 lieues  le  premier  jour,  & par  confequent  1 1 le 
fécond,  14  letroifieme  , 8c  17  le  quatrième. 

CCu  ESTION  VI. 

Il  y a cent  pommes  & un  panier,  rangea  en  ligne 
droite  , & éloignez,  par  tout  d’ un  pas  les  uns 
des  autres.  On  demande  combien  de  pas  feroit 
celuy  qui  entreprendrait  de  cueillir  ces  pommes 
les  unes  après  les  autres  , & de  les  rapporter 
dans  fon  panier , qui  feroit  toujours  dans  la  me-* 
me  place. 

IL  eft  certain  que  pour  la  première  pomme  il 
faut  faire  2 pas , un  pour  aller  , 8c  un  pour  re- 
venir : que  pour  la  fécondé  pomme  il  faut  faire  4 
pas  , deux  pour  aller , 8c  deux  pour  revenir  *.  que 
pour  la  troifiéme  pomme  il  faut  faire  6 pas,  trois 
pour  aller,  8c  trois  pour  revenir  : 8c  ainfi  enfuite 
dans  cette  Progreffion  Arithmétique  ,2,4,658* 
IO,  «Sic.  dont  le  dernier  8c  plus  grand  terme  fera 
200  , Içavoir  le  double  du  nombre  des  pommes* 
auquel  ajoutant  le  premier  terme  2 ,8c  multipliant 
la  fomme  202  pat  la  moitié  50  du  nombre  des 
pommes , qui  eft  le  nombre  de  la  multitude  des 
termes  , le  produit  10100  fera  la  fomme  de 
tous  ces  termes, ou  le  nombre  des  pas  qu’on  cherche* 

PROBLEME  VIII. 

De  la  Progrejfion  Géométrique * 

ON  appelle  ProgreJJion  Géométrique  une  fuite 
de  plufieurs  quantitez  qui  croilTent  continuel^ 
Tome  /.  D 


% 

O Recéleat.  Mathemat.  et  Phys. 
lement  par  la  multiplication  d’un  même  nombre * 
comme  3 , 6 , n>  24 , 48  , 96  , &c.  où  chaque 
terme  eft  double  de  Ton  precedent  : ou  bien  2,  6 , 
18,  54, 162,486,  Scc.  où  chaque  terme  eft  tri^- 
pie  de  Ton  precedent.  Ainfi  des  autres 

La  principale  propriété  de  la  Progreffion  Géo- 
métrique, eft  que  de  trois  termes  continuellement 
proportionnels , comme  3,  6 , I 2 , le  produit  3 6 
des  deux  extrêmes  3 , 1 2 , eft  égal  au  quatre  du 
moyen  6 ; & que  de  quatre  termes  en  proportion 
continue,  comme  3,  6,  12,24,  le  produit  72 
des  deux  extrêmes  3 , 24  , eft  le  même  que  le  pro- 
duit des  deux  moyens  6 , 12:  & enfin  que  dans 
une  plus  grande  multitude  de  termes  continuelle- 
ment proportionnels,  comme  dans  ces  fix  3 , 6, 
12,  24,48  , 9(3,  le  produit  288  des  deux  ex- 
trêmes 3 , 96  , eft  le  même  que  celuy  des  deux 
6, 48,  qui  en  {ont  également  éloignez,  ou  des 
deux  12,  24  , qui  en  font  auffi  également  éloi- 
gnez. D’où  il  eft  aifé  de  conclure  , que  lorfquela 
multitude  des  termes  eft  un  nombre  impair  , ce 
produit  eft  égal  au  qi](irré  du  terme  moyen , comme 
il  arrive  dans  ces  cinq  termes  3 , 6 , 1 2 , 24  , 48  , 
car  le  produit  144  des  deux  extrêmes  3,48,  ou 
des  deux  6,24,  qui  en  font  également  éloignez  , 
eft  le  quarté  du  terme  moyen  I 2. 

Ainfi  vous  voyez  que  ce  qui  convient  à k Pro- 
greflion  Arithmétique  par  addition,  convient  à la 
Progreffion  Géométrique  par  multiplication  : mais 
il  y a une  autre  différence  confiderable  entre  ces 
deux  Progreffions , en  ce  que  dans  la  Progreffion 
Arithmétique  les  différences  des  termes  font  éga- 
les , & que  dans  la  Progreffion  Géométrique  , elles 
font  toujours  inégales  , Sc  confervent  entre  elles  la 
même  Progreffion  Géométrique , en  continuant  me- 


Probl3’mes  d’Arithmetique.  5 I 

mes  à l’infini  de  prendre  les  différences  des  diffé- 
rences , fans  pouvoir  jamais  venir  à des  différences 
égales.  Ainfi  l’on  void  que  dans  cette  Progreffion 
Géométrique  i , 6 , 18,54, 16X5486,  Tes  dif- 
férences des  termes  font  cette  femblable  Progreffion 
Géométrique  4 , 12,  36  , 108  , 3 24  , où  les 
différences  des  termes  font  auflî  cette  femblable 
Progreffion  Géométrique,  8,  24,72,  21  6 , ôc 
ainfi  enfuite. 

De  trois  termes  proportionnels  , comme  2,6, 
I 8 , le  cube  216  du  moyen  6 eft  égal  au  produit 
folide  qui  vient  en  multipliant  enfemble  les  trois 
nombres  2 , 6 , 1 8 : Sc  de  quatre  nombres  conti- 
nuellement proportionnels  , comme  2,  6 , 18,  54, 
le  cube  216  du  fécond  6 eft  égal  au  produit  folide 
qu’on  a en  multipliant  le  quatrième  54  par  le  quar- 
té du  premier  2 , & pareillement  le  cube  5 8 3 2 du 
troifiéme  î 8 eft  égal  au  produit  (olidc  qui  vient  en 
multipliant  le  premier  2 par  le  quarré  2916  du 
quatrième  54. 

On  connoît  âifément  par  ce  qui  aéré  dit jufqü’à 
prefent,  qu c pour  trouver  entre  deux  nombres  don- 
nez,  un  moyen  géométrique  proportionnel , comme 
entre  2 & I 8 , il  lauc  multiplier  enfemble  les  deux 
nombres  donnez  2 > 18  , 8c  prendre  la  Racine 
quarrée  6 de  leur  produit  3 6 , qui  fera  le  moyeu 
proportionnel  qu’on  cherche. 

Et  que  pour  trouver  entre  deux  nombres  donnez, 
deux  moyens  Géométriques  continu*  lie  ment  propor- 
tionnels , comme  entre  2 & 54  , il  faut  multiplier 
le  dernier  54  par  le  quarré  4 du  premier  2 , & la 
Racine  cubique  6 du  produit  216  fera  le  premier 
moyen  proportionnel , lequel  étant  multiplié  par 
le  fécond  nombre  donné  54  , la  Racine  quarrée 
18  du  produit  324  fera  l’autre  moyen  propos 
tionncl  qu’on  cherche.  D ij 


'j  a Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Mais  pour  trouver  entre  deux  nombres  donner 
un  moyen  proportionnel  Arithmétique , comme  en» 
tre  2 &:  8 , la  moitié  5 de  la  fomme  10  des  deux 
nombres  donnez  2,8,  fera  le  moyen  proportion- 
nel qu’on  cherche. 

Et  pour  trouver  entre  deux  nombres  donnez,  deux 
moyens  arithmétiques  continuellement  proportion- 
nels, comme  entre  z &c  1 1 , on  ôtera  le  plus  petit 
nombre  donné  z de  ces  deux  nombres  du  plus 
grand  1 1 , & on  ajoutera  feparement  au  même  plus 
petit  z le  tiers  3 du  refte  y , 8c  Ton  double  6 , 8c 
l’on  aura  5 & 8 pour  les  deux  moyens  propor- 
tionnels qu’on  cherche. 

Ou  bien  on  ajoutera  au  plus  grand  1 1 des  deux 
nombres  donnez  le  double  4 du  plus  petit  z , 8c 
réciproquement  au  plus  petit  z le  double  zz  du 
plus  grand  1 1 , 8c  les  tiers  des  deux  fouîmes  15, 
24  ) donneront  5 & 8 pour  les  deux  moyens 
qu’on  cherche. 

Il  eft  évident  que  toutes  les  Puiflances  par  or- 
dre d’un  même  nombre  comme  de  z , font  une 
Progreflîon  Géométrique  , telle  qu’eft  la  fuivante  , 

© 6)  © © , 

z , 4,8,  16 , 3 z , 64 , 1 z 8 , 256,  &c. 
iii  1 

3 ï 17  M7 

ou  vous  voyez  que  toutes  les  Puiflances  du  nom- 
bre z , dont  les  expofans  ©.  © , © , © , 
font  les  termes  d’une  Progrellîon  Géométrique, 
fçavoir  2,4,  I 6 , Z y 6 , 8cc.  font  telles  que  fi  à 
chacune  on  ajoute  l’unité,  les  fommes  3,5,17, 
257, 8cc,  font  des  nombres  premiers.  Par  où  il 


Problèmes  D’ARtTHMETiciUE. 
cfl  aifé  de  trouver  un  nombre  premier  plus  grand, 
que  quelque  nombre  donné  que  cefoit. 

Si  l’on  continue  à l’infini  une  Progrcfiion  Géo- 


métrique 


en 


dçcroiflant,  comme  6,1 , 


Z 

3 


ôcc.  la  différence  4 des  deux  premiers  termes 

6 , 1 , eft  au  premier  6 , comme  le  même  premier 
6 , eft  à la  fomme  de  tous  les  termes  infinis.  C’efl: 
pourquoy  pour  trouver  la  fomme  de  tous  les  ter- 
mes infinis  d’une  Progreffion  Géométrique  qui  de'~ 

croit  , comme  de  la  propofée  } 6,1,  — , L , 


~ , &c.  il  faut  divifer  le  quarré  36  du  pre- 
mier terme  6 , par  la  différence  4 des  deux  pre- 
miers 6 , 1 , Sc  le  quotient  9 fera  la  fomme  qu’on 
cherche , de  laquelle  ôtant  la  fomme  8 des  deux 
premiers  termes  6,1,  il  reftera  1 pour  la  fom- 
me de  ces  Fraétions  infinies  continuellement  pro- 


portionnelles — , &c,  on  connoîtra  de 

3a  même  façon  , que  la  fomme  de  toutes  ces  Frac- 
tions infinies  continuellement  proportionnelles , 

— , &cc.  vautauffi  1.  C’efl:  par 

z 4816  31’  1 

cette  réglé  qu’on  peut  refoudre  la  Queflion  fui- 
vante  , après  avoir  dit  que 

Quand  on  parle  de  quantités  proportionnelles 
fans  fpecifier  , cela  s’entend  toujours  de  la  Propor- 
tion Géométrique.  Nous  dirons  ici  en  paffant, 
que  fi  de  l’unité  , comme  numérateur  , & des  nom- 
bres naturels  1,1,  3 , 4 , ç , &c.  comme  Dé- 
nominateurs , on  fait  cette  fuite  de  Fractions  , 

— - , -y , & c.  qui  vont  toujours  en  tu-* 


54  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
mnmant,  ces  Fraétions  étant  prifes  confecutive- 
ment  de  trois  en  trois,  comme  l’on  voudra,,  fe- 
ront en  proportion  harmonique  , c’eft-à-dire  que 
la  première  de  ces  trois  fera  à ia  troifiéme  , com- 
me la  différence  des  deux  premières  eft  à la  diffé- 
rence des  deux  dernieres  , comme  l’on  connoîtra 
encore  mieux  en  reduifant  ces  Fraétions  en  même 
dénomination  , ou  en  entiers  , ce  qui  fe  fera  ici 

pour  les  cinq  Fractions  — , —,  — , en 

2.  3 4 J 

les  multipliant  par  le  même  nombre  6 o,  qui  eft 
divifible  par  tous  les  dénominateurs  2,3  , 4, 5 ? 
car  à la  place  de  ces  cinq  Fraétions  , on  aura  ces  cinq 
nombres  entiers  60 , 30  , 20  , 15,  12,  dont  les 
trois  premiers  6 O , 30,  20,  font  bien  en  pro- 
portion harmonique  , car  le  premier  6 O eft  au 
troifiéme  20  , qui  en  eft  la  troifiéme  partie  , com- 
me la  différence  30  des  deux  premiers  eft  à la  dif- 
férence 1 o des  deux  derniers , qui  en  eft  auftî  la 
troifiéme  partie.  C’eft  par  un  femblable  raifonne- 
menc  que  l’on  counoîrra  que  ces  trois  30,  20, 
1 5 , font  aufiî  en  proportion  harmonique , & pa- 
reillement ces  trois  20,15,12. 


(Vu  e s t 1 o N. 


Vn  grand  Navire  en  pourfuit  far  le  meme  Kamb 
an  plus  petit , dont  il  eft  éloigné  de  4 lieuès  , & 
il  marche  deax  fois  plus  vîte  que  le  plus  petit . 
On  demande  le  chemin  que  le  grand  Navire  doit 
faire  pour  atteindre  le  plus  petit . 

PArce  que  la  diftance  des  deux  Navires  eft  4 , 8c 
que  leurs  vîteffesfont  en  raifon  double,  con- 
tinuez à l’infini  cette  Progceflion  Géométrique  dou~ 


Pr.oble’mis  d’Arithmetique  55 

ble  4 , 2 , i , — , — , , &c.  dont  le  premier  8c 

le  plus  grand  terme  Toit  4 : 8c  trouvez  la  fomme  de 
tous  ces  termes  infinis,  en  divifant  le  quarté  16 
du  premier  4 par  la  différence  2 des  deux  pre- 
miers 4 , 2 , vous  aurez  8 pour  cette  fomme,  qui 
fera  connoître  que  lorfque  le  grand  Navire  aura 
fait  8 lieues,  il  atteindra  le  plus  petit. 

PROBLEME  IX. 

Des  £)uarrez,  Magiques, 

ON  appelle  Quarré  Magique  un  Quarré  di- 
vilé  en  plufieurs  autres  petits  quarrez  égaux, 
ou  cafés  remplies  des  termes  d’une  Progreflion  Arith- 
métique , qyi  y font  tellement  tranfpofez  que  tous 
ceux  d’une  même  bande  , ou  d’un  même  rang,  tant 
en  long , qu’en  travers  , 8c  qu’en  diagonale  , font 
enfemble  une  même  fomme. 

Comme  il  arrive  à cç  Quarré  qui  eft  divifé  en 
2£  petites  Cales  égales,  ouïes  25  premiers  nom- 
bres naturels  152,3,4, 
Sec.  font  tellement  tranf- 
pofez, que  la  fomme  de 
chaque  rang , foitdehaut 
en  bas  , foit  de  droit  à 
gauche  , 8c  de  ceux  des 
diagonales  ou  diamètres 
du  Quarré  , eft  par  tout 
6 f , laquelle  fomme  6$ 
«ft  dans  tout  Quarré  impair , c’eft-à-dire  qui  a un 
nombre  quarré  impair  de  Cafés  , comme  celui-ci 
qui  en  a 2^,  eft  égal  au  produit  fous  la  Racine 
quarrée  $ de  ce  nombre  quarré  25  , & le  terme 

D iiij 


ni 

24 

7 1 

20 

1'  3 

4| 

12 

Ml 

8 

16 

l7\ 

5 

1 3 ! 

2 1 

9 

io| 

i8j 

Il 

14 

22 

Ml 

6 

19 

2 

M 

^ 6 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
moyen  13  de  la  Progreffion  Arithmétique  1 , 2 ■% 

^ j 4 j &c. 

Cette  fomme  fe  trouve  auffi  en  difpofant  les  ter- 
mes donnez  de  la  Progreffion  Arithmétique , félon 
leur  fuite  naturelle  I , 2 , 3 1 4 > &c.  dans  les  Ca- 
fés du  Quarré  , comme 


1 *1 

2 1 

5! 

4l 

5 

7l 

81 

9\ 

10 

tu 

12! 

>3! 

H 

1 S 

1 6 

*7 1 

1 8 1 

19 

20 

2 ! 

22I 

2Q 

2-4 

vous  voyez  ici  j car  alors 
la  fomme  des  nombres  de 
chaque  Rang  diagonal  y 
c’eft-à-dire  , qui'  va  d’un 
angle  à l’autre  du  Quarré, 
fera  celle  qu’on  cherche  , 
ce  qui  arrivera  auffi  aux 
J9itarrez>  pairs  , c’effià- 
dire  qui  contiennent  un  nombre  quarré  pair  de 
Cafés. 

Pour  difpofer  magiquement  dans  les  Cafés  d’un 
Quarré  impair,  par  exemple  de  celuy  dont  le  côté 
eft  5 , ou  qui  a 2 5 Cafés , autant  de  nombres  don- 
nez en  Progreffion  Arith- 


ni 

24 

7 1 

20 

3 

4! 

12 

Ml 

8[ 

1 6 

J7l 

5l 

Ml 

21 

9 

|io| 

18 

Il 

14 

22 

U3I 

4 

I5>| 

1 5 

métique  , comme  1,2, 
3 , 4 , ç , & ainli  enfuite 
jufqu’au  dernier  «Se  plus 
grand  2$  , écrivez  le 
premier  îk  plus  petit  1 
dans  la  Café  qui  répond 
immédiatement  fous  cel- 
le du  milieu , où  eft  le 
Centre  du  Quarré  ,&  en  fuivant  la  Diagonale  vers 
la  droite  écrivez  le  fécond  terme  2 dans  la  Café 
voifine  & plus  baffie  de  la  bande  qui  fuit  vers  la 
droite,  & continuez  ainfi  jufqu’à  ce  que  vous  ayez 
rempli  la  plus  baffie  Café , comme  il  arrive  ici  att 
fécond  terme  2. 

Après  cela  parce  qu’en  continuant  félon  la  di**-. 


Proble’mes  d’Arithmetique.  57 
gonalc  de  la  gauche  vers  la  droite  , le  terme  fuivant 
5 fe  rencontie  en  dehors , on  le  placera  à la  Café 
oppofée  de  la  bande  où  il  fe  rencontrera  : & enco- 
re parce  qu’en  continuant  toujours  félon  la  diago- 
nale vers  la  droite  , le  terme  fuivant  4 fe  trouvé 
anffi  en  dehors  , on  le  placera  pareillement  dans  la 
Café  oppofée  du  rang  où  il  fe  rencontre  en  dehors, 
après  quoy  l’on  continuera  à placer  les  termes  fui- 
vans  toûjours  en  décendant  félon  la  diagonale  vers 
la  droite  : mais  parce  que  le  terme  6 tombe  dans 
une  Café  qui  eft  déjà  remplie  , fçavoir  dans  celle 
où  il  y a déjà  1 , on  rétrogradera  félon  la  diagona- 
le de  la  droite  vers  la  gauche , &:  l’on  écrira  ce 
terme  6 dans  la  fécondé  Café  du  rang  , où  le  ter- 
me precedent  5 fe  rencontre  , en  forte  qu’entre  ces 
deux  termes  il  refte  une  Café  vuide  j ce  qu’il  faut 
toûjours  ainfi  pratiquer,  lorfqu’une  Café  fe  trou- 
vera déjà  remplie. 

Enfin  l’on  continuera  félon  ces  réglés  à placer 
les  autres  termes  dans  les  Cafés  vuides  , jufqu’à  ce 
qu’on  foit  parvenu  à l’angle  du  Quarré,  où  dans 
cet  exemple  le  terme  1 5 fe  rencontre  : & alors 
comme  l’on  ne  peut  plus  fe  conduire  fclon  la  Dia- 
gonale en  décendant  vers  la  droite,  pour  placer  le 
terme  fuivant  1 6 , on  le  placera  toûjours  dans  la  fé- 
condé Café  d’en  haut  du  même  rang , après  quoy 
les  autres  termes  fe  placeront  dans  les  autres  Ca- 
fés vuides  comme  les  precedens  , fins  qu’il  puifîc 
plus  arriver  quelque  nouvelle  difficulté. 

Ces  mêmes  termes  peuvent  avoir  d’autres  difpo- 
litions  magiques,  telles  que  font  les  fuivantes,quc 
nous  avons  trouvées  par  une  autre  maniéré,  qui 
n’étant  pas  fi  facile  que  la  precedente  , ne  fera  pas 
ici  expliquée  , non  plus  que  celle  qui  fert  pour 
les  Quarrez  pairs,  parce  qu’elle  eft  trop  difficile 


5 8 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
pour  être  inferée  dans  des  Récréations  Mathé- 
matiques. 


3 1 

i o | z ) i ï 6 1 

1 1 

zoj 

8 1 1 9 i ï z | 

«1 

5 1 

9l  i 3 1 ï7l 

21 1 

2 Z | 

1 4 i 7i 1 8 i 

4| 

Ml 

Z4|  i|  z| 

23 

I Z 1 2. 5 1 

6\ 

1^1 

3 

5 1 1 1 l24l 

8[ 

l7 

i6\  4! 

1 3 1 

zz\ 

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Ml 

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14 

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22 

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M| 

il 

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23 1 1 ^l 

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3 1 IO! 

M 

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M 

*3 1 

51 

7U4I 

1 6 

4l 

6 1] 

3 1 z°| 

zz 

io[ 

iz| 

[ 5>l  z 1 1 

3 

ni 

1 8 S 

mI  2I 

9 

ii| 

zz  | 

5>|zo| 

3 

1 

141 

z 5 1 8| 

1 6 

19\ 

si 

1 3 1 z 1 1 

7 

io| 

i8| 

1 1 1 2(24 

z3 1 

*\ 

17I  4l 

M 

PrOBLe’mES  d’ArïTHMETIQU*.  fp 

Remarque. 

CE  Quarré  a été  appellé  Magique , parce  qu’il 
a été  en  grande  vénération  parmy  les  Egy- 
ptiens , 8c  les  Phytagoriciens  leurs  Difciples  , qui 
pour  donner  plus  d’édcace  & de  vertu  à ce  Quarré, 
le  dédioient  aux  fept  Planètes  en  differentes  manié- 
rés , <Sc  le  gravoientfur  une  lame  du  métal  qui  fympa- 
tifoit  avec  la  Planète, à laquelle  il  étoit  dédié  en  l’en- 
fermant dans  un  Polygone  régulier  inferit  en  un 
Cercle  diviféen  autant  de  parties  égales  que  le  cô- 
té du  Quarté  avoit  d’unitez  , avec  les  noms  des  An- 
ges de  la  Planete  , 8c  des  Signes  du  Zodiaque  , qu’ils 
écrivoient  dans  les  efpaces  vuides  entre  le  Polygo- 
ne 8c  la  circonférence  du  Cercle  circonfcrit  *,  croyant 
par  une  vaine  fupcrftition  qu’une  telle  médaille,  ou 
talifman  étoit  favorable  à celuy  qui  la  portoitavec 
foy  en  temps  8c  lieu. 

Us  attribuoient  à Saturne  le  Quatre  de  9 Cafés , 
ayant  3 pour  côté,  8c  1 ç pour  la  lomme  des  nom- 
bres de  chaque  Bande.  A Jupiter  le  Quarré  de  1 6 
Cafés  , ayant  4 pour  côté  , & 3 4 pour  la  fomme  des 
nombres  de  chaque  Bande.  A Mars  le  Quarré  de  2 j 
Cafés  , ayant  $ pour  côté  , 8c  6 $ pour  la  fomme 
des  nombres  de  chaque  Bande.  Au  Soleil  le  Quarré 
de  3 6 Cafés,  ayant  6 pour  côté  , & 1 1 1 pour  la 
fomme  des  nombres  de  chaque  Bande.  A Venus  le 
Quarré  de  49  Cafés,  ayant  7 pour  côté,  & 17Ç 
pour  la  fomme  des  nombres  de  chaque  Bande.  A 
Mercure  le  Quarré  de  64  Cafés,  ayant  8 pour  cô- 
té, 8c  z6o  pour  la  fomme  des  nombres  de  cha- 
que Bande.  A la  Lune  le  Quarré  de  8 1 Cafés,  ayant 
9 pour  côté,  & 369  pour  la  fomme  des  nombres 
de  chaque  Bande. 


60  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Enfin  , ils  attribuoient  à la  matière  imparfaite  le 
Quarré  de  4 Cafés  , ayant  2 pour  côté  , & à Dieu  ie 
Quarté  d’une  feule  Cafe,aya  tpour  côté  l’unité,  qui 
étant  multipliée  par  elle-même,  ne  fe  change  pas. 
Par  le  moyen  de  ce  Problème  nous  refoudrons  cette 

Q^U  E S T 1 O N. 


Difpofer  en  trois  rangs  les  neuf  premières  Cartes » 
depuis  l As  )ufqu  au  Neuf , de  forte  que  tous  les 
points  de  cloaque  rang  pris  en  long , ou  en  large s 
ou  en  diagonale  , fajfent  enfemble  une  même 
fommec 


4l  9 

2 

3 

s!  7, 

8 

I 

6 

ON  difpofera  magiquement  les  neuf  premiers 
nombres  naturels  I , 2 : , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 
5?  , par  la  Méthode  que  nous  avons  enfeignée  , com- 
me vous  voyez  ici , Sc  alors  on  con- 
noîtra  que  les  Cartes  marquées  des 
mêmes  points  que  font  les  chifres  de 
chaque  Café  , doivent  être  rangées  de 
la  même  façon , afin  que  la  fomme  de 
tous  les  points  de  chaque  rang  foit par 
tout  le  même  , fçavoir  1 5. 

Au  lieu  de  la  Progreflîon  Arithmétique  , l’on 
peut  prendre  la  Progreflîon  géométrique , par  exem- 
ple , cette  Progreflîon  dou- 
ble, 1 , 2,  4 , 8,  1 6, 3 2,6 4, 
128,  256,  Sc  alors  il  arri- 
vera que  ces  neuf  termes  é- 
taat  difpofez  magiquement 
par  la  Méthode  qui  a été  en- 
feignée auparavant,  le  produit  qui  viendra  en  mul- 
tipliant enfemble  ceux  qui  feront  dans  chaque  rang  , 
fera  par  tout  le  même  , fçavoir  40516  , qui  câ 


S 8 1 

2ç6| 

2 

1 4 

16  | 

64 

112.8 

1 1 

3 1 

Proele’mes  d’Arithmetique  61 
égal  au  Cube  du  terme  moyen  1 6. 

Nous  ajouterons  ici  en  paflànc  cet  autre  Quarré 
de  neuf  Cafés , dont  les  nombres  qui  font  dans  cha- 
que rang , de  quelque  ma- 
niéré qu'on  le  prenne,  c’eft- 
à-dire  foit  en  long  ou  en 
travers  , ou  en  diagonale 
font  en  proportion  harmo- 
nique : & l’on  peut  trouver 
autant  d’autres  nombres  qu’on  voudra  de  la  même 
qualité  , fi  au  lieu  des  nombres  precedens  on  met 
des  lettres,  comme  vous  voyez  icy,  où  les  gran- 
deurs littérales  de  chaque  rang  font  harmonique- 
ment ptoportionelles  : c’eft  pourquoy  en  donnant 


i 260I840I630 
504I420!  3 60 
3 1 5I280I251 


a. 

z ac 

c. 

Zab 

' « 

a “1"  C 

zabc 

■ • 

a-\ -b 

zbc 

z ab+ac — bc 

b. 

b~hc 

abc 

Zabc 

ab-+-ac — bc 

z ac-+-ab — bc 

aux  trois  lettres  indéterminées  a , b , c,  des  valeurs 
differentes  , on  aura  en  la  place  de  ces  quantitez 
littérales  des  nombres  qui  conferveront  toujours 
dans  chaque  rang  la  proportion  harmonique. 


&%  Récréât.  Mathemat.  et  Phys* 


Plan- 
che x. 
î.  Fig, 


PROBLEME  X. 

T) h Triangle  Artithmetique. 

ON  appelle  Triangle  Arithmétique  la  moitié 
d’un  Quarté  divifé  comme  le  Quarré  Magi- 
que , en  plufieurs  petites  Cafés  égales  qui  contien- 
nent les  nombres  naturels  i , z , 3 , 4,  <Scc.  les  nom- 
bres Triangulaires  1,3,6,  10,  êtc.  qu’on  a par 
l’addition  continuelle  des  nombres  precedens  : les 
nombres  Pyramidaux  1,4,  10 , 2,0,  &c.  que  don- 
ne l’addition  continuelle  des  nombres  Triangulai- 
res : les  nombres  Pyramido-pyramidaux  1,5,  155 
3 5 , &c.  qui  viennent  par  l’addition  continuelle  des 
nombres  Pyramidaux  : ainfi  enfuite,  comme  vous 
voyez  dans  la  Figure , qu’il  ne  faut  que  regarder 
pour  la  comprendre. 

Entre  les  differens  ufa^es  du  Triangle  Arithme- 
tique  j je  parlerAy  feulement  de  ceux  qui  font  pour 
les  Combinaifons  , pour  les  permutations  , &pour 
les  Partis  dii  Jeu,  parce  que  les  autres  font  trop 
fpeculatifs  pour  des  Récréations  Mathématiques. 

Des  Combinaifons . 

NOus  entendons  ici  pour  Combinaifons  tous 
les  diff  rens  choix  qu’on  peut  faire  de  pim 
'Ce urs  chofes  , dont  la  multitude  eft  connue,  en 
les  prenant  en  diverfes  maniérés  , une  à une  , deux 
à deux,  trois  à trois  , &c.  fans  jamais  prendre  les 
mêmes  deux  fois. 

Comme  fi  l’on  a quatre  chofes  exprimées  par  ces 
quart  e lettres  a , b , c , d , toutes  les  d;verfes  maniè- 
res d’en  prendre  par  exemple  deux  differentes , fça~ 


Proble’mes  d5  Arithmétique.  6$ 

voir  ab  , àc,  ad,  bc,bd,cd , ou  trois  differentes, 
fçavoir  abc,  abd,  acd , bcd , s’appellent  Combinai - 
fons , où  il  cft  ailé  de  voir , que  de  quatre  chof'es 
propofées  , on  les  peut  prendre  d’une  à une  en  qua- 
tre façons,  de  deux  à deux  en  fîx  façons,  de  trois 
à trois  en  quatre  façons  , & de  quatre  à quatre  en 
une  maniéré  feulement  : de  forte  que  i fe  combine 
dans  4 quatre  fois,  2 fix  fois , 3 quatre  fois,  & 4 
une  fois. 

Pour  trouver  dans  une  plus  grande  multitude  de 
chofcs  differentes,  par  exemple  de  fept , les  diver- 
fescombinaifons  que  l’on  peut  faire  en  les  prenant 
diverferaent,  foit  pour  les  ajouter  enfemble  , ou 
pour  les  multiplier , comme  fi  l'on  vouioit  fçavoir 
toutes  les  conjonctions  pofîrbîes  des  fept  Planètes  , 
en  les  prenant  de  deux  à deux,  c’eft-à-dire,  fi  l’on 
vouioit  fçavoir  combien  de  fois  2 fe  combine  dans 
7;  ajoutez  l’unité  à chacun  des  deux  nombres  don- 
nez 2,7,  pour  avoir  ces  deux  autres  nombres  3 , 
8 , qui  font  connoître  que  dans  la  troifiéme  Café 
de  bas  en  haut,  ou  de  haut  en  bas,  de  la  huitième 
diagonale  du  Triangle  Arithmétique  , l’on  trouvera 
le  nombre  des  combinaifons  qu’on  cherche  , fçavoir 
21  , qui  marque  les  diverfes  rencontres  des  fept 
Planètes  conjointes  deux  à deux. 

Ou  bien  parce  que  les  deux  nombres  donnez  font 
2 , 7 , & que  le  plus  petit  efl  2 , ajoutez  enfemble 
tous  les  nombres  du  deuxieme  rang  ufqu’à  la  feptié- 
me  diagonale , parce  que  le  plus  grand  nombre 
donné  eft  7 , fçavoir  1,2,  3 >4, Ç, 6,  & la  four- 
me 2 I fera  le  nombre  qu’on  cherche. 

Si  vous  n’avez  point  de  Triangle  Arithmétique 
qui  mêmes  peut  manquer,  lorfque  le  nombre  de 
multitude  des  chofes  propofées  paffera  9 , parce 
que  nous  ne  l’avons  pas  prolongé  au  delà  de  ^ » 


^4  Récréât.  Mathemat*  et  Phys. 
quoique  cela  Toit  facile  , apprenez  cette  autre  Règle 
qui  eft  generale  pour  quelque  nombre  de  multitu- 
de que  ce  (oit. 

Etant  donc  donnez  les  deux  nombres  2,7, 
pour  fçavoir  combien  de  fois  le  plus  petit  2 fe 
combine  dans  le  plus  grand  7 , faites  des  deux 
nombres  donnez  z , 7,  ces  deux  Progreflions  Arith- 
métiques z , I , & 7, 6 , qui  décroilfent  de  l’unité, 
Sc  qui  ne  doivent  avoir  que  deux  termes,  fçavoir 
autant  que  le  plus  petit  nombre  donné  z comprend 
d’unitez.  Après  cela  multipliez  enfemble  tous  les 
termes  de  chaque  Progreflion  , fçavoir  7 par  6 , & 
z par  1 j &:  divifez  le  premier  produit  42  par  le 
fécond  z , & le  quotient  zi  fera  la  multitude  des 
Combinaifons  de  z en  7. 

C’eft  par  cette  manière , ou  par  la  precedente , 
qu’on  trouvera  que  3 fe  combine  dans  7,35  fois, 
& 4 auilî  3 5 fois,  que  ç s’y  combine  22  fois,  ôc 
6 feulement  7 fois.  D’où  il  fuit  que  la  multitude 
de  toutes  les  Combinaifons  qui  fe  peuvent  faire 
dans  fept  chofes  differentes , en  les  prenant  une  à 
une,  deux  à deux  , trois  à trois  , quatre  à quatre  , 
cinq  à cinq  , fix  à fîx , & fept  à fept , eft  1 27 , que 
l’on  trouve  en  ajoutant  enfemble  toutes  les  multitu- 
des particulières  de  Combinaiforts  ,7,21,  35, 
2 1 , 7 , I , qui  conviennent  aux  nombres  1 , 
2,3,4,  D 7>  ma^s  cette  multitude  fe  peut 
trouver  plus  facilement  en  faifant  cette  Progreflion 
Géométrique  double  1,  2,4,8,16,32,64, 
qui  doit  être  compofée  de  fept  termes  , parce  que 
le  nombre  propofé  des  chofes  à combiner  eft  7 î 
car  la  fournie  1 27  de  tous  ces  termes  fera  le  nom- 
bre qu’on  cherche  , qui  fe  peut  trouver  encore  plus 
facilement  en  cette  forte.  Otez  l’unité  du  nombre 
propofé 7 , 5c  parce  qu’il  refte  6 , cela  vousfait  voir 

que 


Froble’mes  d’Arithmetique.  é'ç 
que  du  nombre  2 il  en  faut  prendre  la  fixiémc 
Puiffance  qui  eft  6 4,  dont  le  double  128  doit 
être  diminué  de  l’unité  , 8c  le  relie  1 27  fera  le 
nombre  qu’on  cherche. 

Auparavant  que  de  finir  , j’ajoûteray  ici  deux 
Méthodes  particulières  aux  deux  nombres  z 8c  3 , 
pour  trouver  combien  de  fois  ils  fe  combinent  dans 
un  nombre  propofé  qui  doit  être  plus  grand,  pat 
exemple  dans  le  même  nombre  donné  7. 

Pour  donc  trouver  premièrement  combien  de 
fois  2 fe  combine  dans  7 , ôtez  ce  nombre  7 de  fon 
quarré  49  , & !a  moitié  du  relie  42  donnera  21 
pour  le  nombre  des  fois  que  2 fe  combine  dans  7, 

Pour  trouver  combien  de  fois  3 fe  combine 
dans  7 , ajoutez  au  Cube  343  du  nombre  donné 
7 le  double  1 4 de  ce  même  nombre  7 , 8c  ôtez  de 
la  fomme  3 $7  le  triple  147  du  quarté  49  du  mê- 
me nombre  7 , & la  fixiéme  partie  du  relie  21 0 
donnera  3 5 pour  le  nombre  des  fois  que  3 fe  com- 
bine dans  7. 


Des  Permutations. 

IL  y a une  autre  forte  de  Combioaifons  , que 
l’on  peut  appeller  Permutation  , où  l’on  prend, 
les  mêmes  chofes  deux  fois  : comme  fi  l’on  veut 
combiner  ces  trois  nombres  z , 5,6,  en  les  pre- 
nant deux  à deux , pour  fçavoir  les  differentes  va- 
leurs qu’ils  peuvent  produire  , en  confiderant  les 
deux  premiers  nombres  en  cette  forte  ,25  » on  dira 
qu’ils  font  vingt-cinq,  8c  en  les  confiderant  ainfi  , 
52  on  prononcera  qu’ils  font  5 2.  Pareillement  en 
confiderant  le  premier  8c  le  troifiéme  nombre  en 
cette  force  2 6 , on  connoîtra  qu’ils  font  vingt- fix  , 
8c  en  les  confiderant  ainfi,  6 2 , on  dira  qu’ils  font 
Terne  /.  £ 


$6  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
foixantc-deux.  Ainfi  des  autres , où  vous  voyez  que 
îa  multitude  des  Permutations  eft  double  de  celle 
des  Combinaifons. 

On  fe  fert  tres-utilcment  des  Permutations  , 
quand  on  veut  faire  des  Anagrammes,  où  l’on  fait 
quelquefois  des  rencontres  heureufes  , c’eft-à-dire 
qui  conviennent  fort  à leur  fujet , comme  il  arrive 
à ce  mot  ROMA , dont  les  lettres  étant  tranfpo- 
fées  font  cet  autre  mot  AMOR.  Mais  la  rencontre 
eft  bien  plus  heureufe  dans  ces  deux  Vers  Latins  j 

Signa  te  , Jlgna  , temere  me  tan  gis  et  an  gis  , 
Roma  tibi f vbito  motibus  tbit  amor. 

dont  les  lettres  étant  prifes  à contre-fens  font  les 
mêmes  Vers. 

On  fe  fert  aufti  des  Permutations  dans  le  Jeu  de 
Dez , pour  connoîcre  le  nombre  des  hazards  qu’au- 
roit  celuy  qui  avec  deux  Dez  entreprendroit  de 
faire  par  exemple  5?  , étant  certain  qu’il  auroit  qua- 
tre hazards  , parce  que  9 fe  peut  fane  en  quatre  fa- 
çons , fçavoir  par  le  4 du  premier  Dé  3c  le  ç du 
fécond  , ou  bien  par  le  ç du  premier  & le  4 du 
fécond  : 3c  encore  par  le  3 du  premier  Dé  3c  le  6 
du  fécond,  ou  bien  par  le  6 du  premier  & le  3 du 
fécond. 

Pour  combiner  enfemble  fimplement  plufteurs 
lettres  , par  exemple  ces  quatre  AMOR  , c’eft-à-di- 
re , pour  trouver  le  nombre  de  leurs  Permutations 
fimples , en  les  tranfpofant  félon  toutes  les  maniè- 
res pofiibles  , faites  cette  Progreftîon  Arithméti- 
que 1 , 1 , 3 , 4 , compofce  d’autant  de  termes 
qu’il  y a de  lettres  à combiner  enfemble , comme 
en  cet  exemple  de  quatre  termes , parce  qu’il  y a 
quatre  lettres  à combiner,  en  forte  que  le  premier 
terme  foie  toujours  l’unité,  3c  que  le  dernier  ex- 


Proble’mes  d’Arithmetique.'  gy 
prime  le  nombre  des  lettres  : 8<  alors  en  multi- 
pliant enfemble  tous  ces  termes  , le  produit  24 


AMOR 

AMRO 

AOMR 

AORM 

ARMO 

AROM 


MARO 
MAO  R 
MOAR 
MORA 
MRAO 
MROA 


OAMR 
OARM 
OMaR 
O MR  A 
ORAM 
ORMA 


ROMA 
RO  AM 
RMAO 
RMOA 
RAMO 
RAOM 


fera  le  nombre  des  Permutations  , ou  des  chan- 
gemens  differens  que  l’on  peut  faire  des  quatre  let- 
tres propofées  AMOR  , comme  vous  voyez  ici. 

C’eft  de  la  même  façon  que  l’on  trouvera  le 
nombre  des  Permutations  d’une  autre  multitude  de 
lettres  , fçavoir  en  faifant  une  Progreflion  d’autant 
de  nombres  naturels  1 , 2,3  ,4,5,  &c.  qu’il  y 
aura  de  lettres  à combiner  enfemble , Sc  en  multi- 
pliant enfemble  tous  les  termes  de  cette  Progref- 
lion.  Ainfi  vous  trouverez  que  cinq  Lettres  fe  peu- 
vent combiner  Amplement , ou  tranfpofer  en  1 20 
maniérés,  fix  en  720  > & ainfi  des  autres,  com- 
me vous  voyez  dans  la  Table  fuivante  , qui  mon- 
tre que  les  23  lettres  de  l'Alphabet  fe  peuvent  com- 
biner en  258 5 20167388842766400OQ  fa- 
çons. 


6d 


i 

z 

3 

4 

5 

6 


8 


5 

10 

î i 

11 

1 3 
1 4 
1 S 

ï 6 


19 

zo 

21 

2Z 

*3 

24 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys." 

1.  A. 

2.  B. 

6*  C. 

24.  D. 

i zo.  B. 

720.  F. 

5040.  G. 

40320.  H* 

3 62880.1. 

3 628800.  K. 

3991  6800.  L. 

479001600.  M. 

6227020800.  N. 

87178291 200. 0. 

1 3076743  68000.  P. 
20922789888000. 

3 5 <;687428o9,6ooo.  R. 

6402  3 73  70572.  §000.  S. 
121645100408832000.  T. 

243  2902008 176640000.  V. 

5 1 090942 171 709440000.  X. 

1 1 24000727777607680000.  Y. 
2585  201 673 8884976640000.  Z. 
62044840173  3 23  94393  60000. 
1551 1 2100433  30985984000000. 


Cette  Table  eft  aifée  à confttuire , car  ayant  con- 
nu par  exemple  que  4 lettres  fc  peuvent  combiner 
ou  tranfpofer  en  24  façons, fi  l’on  multiplie  ce  nom- 
bre 24  clés  combinaifons  par  le  nombre  5 , qui 
fuit  immédiatement  apres  le  4 , on  aura  1 20  poul- 
ie nombre  des  combinaifons  de  5 lettres  , lequel 
étant  multiplié  par  le  nombre  fuivant  6,  on  aura 
720  pour  le  nombre  des  combinaifons  de  6 lettres. 


Proble’mes  d’Arithmetique.  69 
lequel  étant  pareillement  multiplié  parle  nombre 
fuivant  7 , le  produit  5040  fera  le  nombre  des 
Combinaifons  de  7 lettres,  6c  ainli  enfuite. 

Des  Partis  du  Jeu, 

ON  appelle  Parti  en  matière  de  Jeu , la  jufte 
diftribution  , ou  le  reglement  de  ce  qui  doit 
appartenir  à plusieurs  Joueurs  de  l’argent  quieft.au 
Jeu  , 6c  qu’ils  jouent  en  un  certain  nombre  de  par- 
ties, proportionnellement  à ce  que  chacun  adroit 
d’efperer  de  la  fortune  par  le  nombre  des  parties 
qui  luy  manquent  pour  achever. 

Comme  fi  deux  Joiieurs  ont  mis  chacun  40  pi- 
ftoles  au  Jeu  , qui  dans  ce  cas  ne  leur  appartiennent 
plus  , parce  qu’en  les  mettant  au  Jeu  ils  en  ont 
quitté  la  propriété,  ayant  en  revanche  le  droit  d’at- 
tendre ce  que  le  hazard  leur  en  peut  donner , fuivant 
les  conditions  dont  ils  font  convenus  en  mettant 
leur  argent  au  Jeu,  en  forte  qu’ils  jouent  80  pi- 
ftoles  par  exemple  en  trois  parties  , que  le  premier 
ait  une  partie , 6c  que  le  fécond  n’en  ait  pas  une , 
c’eft- à-dire  qu’il  manque  deux,  parties  au  premier 
pour  gagner , 6c  3 au  fécond  ; Il  les  Joiieurs  fe 
veulent  feparer  en  renonçant  à l’attente  du  hazard  , 
pour  rentrer  chacun  à la  propriété  de  quelque  cho- 
fe  , le  premier  à raifon  des  1 parties  qui  luy  man- 
quent, 6c  le  fécond  à raifon  des  3 parties  qu’il  luy 
faut  pour  remporter  tout  l’argent , la  portion  iufte 
qui  doit  appartenir  à chacun  de  cet  argent  s’appelle 
Party,  qui  fe  peut  trouver  par  le  moyen  du  Trian- 
gle Arithmétique , en  cette  forte. . 

Parce  que  nous  avons  fuppofé  qu’il  manque  au 
premier  Joueur  z parties,  & 3 au  fécond  pour  ga- 
gner , 6c  que  la  forame  des  deux  nombres  z 6c  § 

B iij 


Plan- 
che i. 
i.  fig. 


jq  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
eft  $ , il  faut  prendre  dans  la  5 Diagonale  dîî 
Triangle  Arithmétique  , la  fomme  5 des  deux  pre- 
miers nombres  1,4,3  c iufe  des  deux  parties  qui 
manquent  au  premier  Joiieur  , &c  la  fomme  1 1 des 
trois  autres  6 , 4 , 1 , à caufe  des  trois  parties  qui 
manquent  au  fécond  Joiieur , 8c  ces  deux  dernieres 
fommes  5,11,  donneront  la  raifon  réciproque 
des  deux  partis  qu’on  cherche  , de  forte  que  le 
parti  de  celuy  à qui  il  ne  manque  que  2 parties  eft 
au  parti  de  celuy  à qui  il  en  manque  3 , comme 
Il  eft  à 5. 

Mais  pour  déterminer  ces  deux  partis , c’eft-à- 
dire  pour  aftîgner  à chacun  la  parr  des  80  piftoles 
qui  font  au  Jeu,  à raifon  des  avantages  qu’il  a , il 
faut  divifer  ce  nombre  80  en  deux  parties  propor- 
tionnelles aux  deux  termes  1 1 , 5 , ce  qui  fe  fera 
en  multipliant  feparém  nr  par  ces  deux  termes  1 1, 
5 , le  nombre  80  des  piftoles  qui  font  au  Jeu,  ÔC 
en  divifant  chacun  des  deux  produits  8 80 , 400  5 
par  la  fomme  1 6 des  deux  mêmes  termes  1 1 , ^ , 
ÔC  l’on  aura  5 ç pour  le  nombre  des  piftoles  que 
doit  emporter  le  premier  Joiieur  qui  a fait  une  par- 
tie , & 2 J pour  le  nombre  des  piftoles  pour  le  fé- 
cond Joiieur  qui  n’a  fut  aucune  partie. 

Pareillement  s’il  manque  1 partie  au  premier 
Joiieur,  Sc  2 au  fécond  pour  gagner,  on  ajoûtera 
enfemble  ces  deux  nombres  de  parties  1,2  , de 
parce  que  leur  fomme  eft  3 , on  prendra  dans  la 
3e  diagonale  du  Triangle  Arithmétique  le  feul&: 
premier  nombre  1 , & la  fomme  3 des  deux 
autres  2 , I > 8c  ces  deux  nombres  1,3,  font 
connoître  que  le  parti  du  premier  Joiieur  eft  au 
parti  du  fécond  , comme  3 eft  à 1 ; 8c  parce 
que  la  fomme  de  ces  deux  termes  1 , 3 , eft  4 , 
il  s’enfuit  quç  le  premier  Joiieur  doit  avoir  les 


Proble’mes  d’Arithmetique.  71 
J-  des  80  piftoles  qui  font  au  Jeu,  5c  le  fécond 

feulement  — , 5c  que  par  confequent  il  appartient 

60  piftoles  au  premier  Joueur , 5c  20  au  fécond, 
dans  la  fuppofition  que  nous  avons  faite  , qu’ils  fe 
veulent  feparer  fans  continuer  le  Jeu. 

Par  là  vous  voyez  que  fi  le  Jeu  eft  dans  cet  état» 
qu’il  manque  au  premier  Joiieur  une  partie,  &au 
fécond  deux  parties  pour  achever  , le  premier 
Joiieur  pourroit  parier  au  pair  3 contre  1 , ce  que 
l’on  peut  aufti  connoître  fans  le  Triangle  Arithmé- 
tique , en  cette  forte. 

Puifqu’il  manque  au  premier  Joiieur  une  partie 
pour  achever  , & qu’il  en  manque  deux  au  fécond, 
on  confiderera  que  fi  les  Joueurs  continuaient  de 
joiier  , 5c  que  le  fécond  gagnât  une  partie  , il  luy 
manqueroit  comme  au  premier  une  partie  pour  a- 
chever  , 5c  que  dans  ce  cas  les  deux  Joiieurs  ayant 
des  hazards  égaux  , leurs  Partis  feroient  a u 11  1 égaux, 
par  cette  réglé  generale  qui  porte , que  le  Parti  du 
premier  Joiieur  eft  au  Parti  du  fécond,  en  même 
raifon  que  le  nombre  des  hazards  qui  peuvent  faire 
gagner  le  premier  , au  nombre  des  hazards  qui 
peuvent  faire  gagner  le  fécond.  Ainfi  dans  cette 
fuppofition  le  parti  de  chacun  feroit  la  moitié  de 
l’argent  qui  eft  au  Jeu, 

Il  eft  donc  certain , que  fi  le  premier  gagne  /a 

f>artic  qui  fe  va  joiier,  tout  l’argent  qui  eft  au  Jeu 
uy  appartiendra , 5c  que  s’il  la  perd , il  luy  en  ap- 
partiendra la  moitié  : c’eft  pourquoy  s’ils  veulent 
fe  feparer  fans  joiier  cette  partie , le  premier  doit 
avoir  la  moitié  de  l’argent  qui  eft  au  Jeu  , 5c  encore 
de  la  moitié  du  même  argent , c’eft-à-dire , qu’il 

doit  avoir  les  —de  cet  argent , le  refte  — demeu- 
4 0 4 

E iiij 


. Cas. 


Cas. 


Cas. 


yz  Récréât.  Mathemat.  et  Phvs. 
ranc  pour  le  fécond  : car  il  eft  évident,  que  fl 
un  Joiieur  prétend  une  certaine  Pomme  en  cas  de 
gain,  & une  Pomme  moindre  en  cas  de  perte  , le 
Port  étant  égal , Pon  parti  eft  que  Pans  jouer  il  luy 
appartient  la  moitié  de  ces  deux  Pommes  priPes  en- 
femble. 

Ce  premier  Cas  Pervirapour  refoudre  le  Puivant, 
qui  PuppoPe  qu’au  premier  Joiieur  il  manque  une 
partie  pour  achever  , & au  fécond  trois  parties  : car 
lî  le  premier  gagne  une  partie,  il  doit  remporter 
les  80  piftoles  qui  Pont  au  Jeu,  &:  s’il  perd  une 
partie,  en  Porte  qu’il  n’en  faille  plus  que  deux  au 
fécond  pour  achever,  il  appartiendra  au  premier 


les  — de  1 argent , par  le  i . Cas . Ainft  en  cas  de 

gain  , le  premier  emportera  tout  l’argent  , Sc  en 
cas  de  perte  , il  ne  luy  en  appartiendra  que  les 

— : c’eft  pourquoy  en  cas  de  Parti , il  ne  luy  en 

doit  appartenir  que  la  moitié  de  ces  deux  Pommes 

prifes  cnlemble  , c’eft-à-dire  , ou  yo  piftoles , le 


refte  ou  io  pifcoles  demeurant  pour  le  fécond. 

Ce  fécond  Cas  fervira  de  la  même  façon  pour 
refondre  le  Puivant , qui  PuppoPe  qu’il  manque  deux 
parties  au  premier  Joiieur  pour  achever,  &c  trois  au 
fécond  : car  Pi  le  premier  gagne  une  partie , il  doit 

avoir  les  ~ de  l’argent  qui  eft  au  Jeu  , parle  z.  Cas„ 

& s’il  perd  une  partie  , en  Porte  qu’il  n’en  faille  plus 
que  deux  au  fécond  pour  gagner  , Pçavoir  autant 
qu’il  en  manque  au  premier  , chacun  doit  avoir 
pour  Pon  Parti  la  moitié  de  l’argent  qui  eft  au  Jeu. 
C’eft  pourquoy  en  cas  de  gain  , le  premier  em= 


Proble’mes  d’Arithmetique.  75 

7 I 

portera—-  de  l’argent  qui  eftaujeu,  & — en  cas 

de  perce,  Sc  ainfi  en  cas  de  Parti  il  ne  luy  en  doit 
appartenir  que  la  moitié  de  ces  deux  Tommes  prifes 

enfemble , c’eft-à-dire,  -i-1  , ou  55  piftoles  , le 

refte  ~ , ou  Z5  piftoles  demeurant  pour  le  fé- 
cond. 

Le  même  fécond  cas  fervira  auiïi  pour  refoudre  4.  cas. 
ce  quatrième  , qui  fuppofe  qu’au  premier  Joueur  il 
manque  une  partie  pour  achever  , Sc  quatre  au  fé- 
cond : car  fi  le  premier  gagne  une  partie,  il  rem- 
portera les  80  piftoles  qui  font  au  Jeu,  & s’il  en 
perd  une , en  forte  qu’il  n’en  faille  plus  que  trois 
au  fécond  pour  achever,  il  appartiendra  au  pre- 
mier les  ~ de  tout  l’argent , parle  z*  Cas.  Ainfi 

puifqu’en  cas  de  gain  , le  premier  doit  emporter 
tout  l’argent , & qu’en  cas  de  perte  il  n’en  doit  em- 
porter que  les  — , en  cas  de  Parti  il  ne  luy  en  doit 
appartenir  que  la  moitié  de  ces  deux  fommes  prifes 
enfemble , c’eft-à-  dire  , d-d  , ou  7 ç piftoles , le  refte 

d^,ou  5 piftoles  demeurant  pour  le  fécond. 

Ce  quatrième  Cas  Sc  le  troifiéme  fervirontde  la  s • Cas. 
même  façon  pour  refoudre  le  fuivant , qui  fuppofe 
qu’il  manque  deux  parties  au  premier  Joueur  pour 
achever , Sc  quatre  au  fécond:  car  fi  le  premier  ga- 
gne une  partie , en  forte  qu’il  ne  luy  en  manque 

plus  qu’une  pour  achever  , il  doit  remporter  les  dd- 

de  l’argent  qui  eft  au  Jeu , par  le  4.  Cas  , & s’il 
en  perd  une  , en  forte  qu’il  n’en  manque  plus 


74  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
que  trois  au  fécond , il  doit  en  remporter  feu- 
lement les  , par  le  3.  Cas.  Ainfi  puifqu’en  cas 

de  gain  le  premier  doit  remporter  les  de  tout 

l’argent,  & feulement  les-|-i,  en  cas  de  perte,  il 
doit  en  cas  de  Parti  prétendre  la  moitié  de  ces  deux 
fommesprifes  enfemble  , c’eft-à-dire  ^ , ou 

piftoles , le  relie  ~ , ou  1 $ piftoles  demeurant 
pour  le  fécond.  Ainfi  des  autres. 

Autrement  Cr  pins  facilement . 

TOus  les  Cas  precedens,  8c  tous  les  autres  in- 
finis qui  peuvent  arriver , fe  peuvent  refou- 
dre encore  autrement  fans  le  Triangle  Arithméti- 
que , 8c  plus  facilement  en  cette  forte, 
j.  Cas.  Pour  refoudre  par  exemple  le  cinquième  Cas  , où 
l’on  fuppofe  qu’il  manque  deux  parties  au  premier 
Joueur  pour  achever  , 8c  4 au  fécond  , de  forte 
qu’il  leur  manque  enfemble  6 parties  pour  achever, 
ôtez  toujours  1 de  cette  fomme  6 , Sc  parce  qu’il 
refte  ç , on  fuppofera  ces  cinq  lettres  femblables 
aaaaa  favorables  au  premier  Joueur,  8c  pareille- 
ment ces  cinq  lettres  femblables  bbbbb  favorables 
au  fécond  Joiieur,  8c  l’on  combinera  enfemble  ces 
dix  lettres,  comme  vous  voyez  ici  , ou  des  32, 
Combinaifons  , les  z6  premières  vers  la  gauche, 
où  il  y a au  moins  deux  a,  feront  prifes  pour  le 
nombre  des  hazards  qui  peuvent  faire  gagner  le 
premier , parce  qu’il  luy  manque  deux  parties  : 8c 
les  fix  dernieres  qui  relient  à la  droite,  où  il  y a 
au  moins  quatre  b , feront  prifes  pour  le  nombre 


PROBLEMES  d’A RITHMETTQUF . 

des  hazards  qui  peuvent  faire  gagner  le  fécond  , 
parce  qu’il  luy  manque  quatre  parties.  Ainû  le 


aaaaa 

aaabb 

aabbb 

aaaab 

aabba 

abbba 

aaaba 

abbaa 

bbbaa 

aabaa 

bbaaa 

ababb 

abaaa 

aabab 

abbab 

baaaa 

abaab 

ababb 

baaab 

baabb 

baaba 

babba 

babaa 

bbaba 

ababa 

babab 

abbbb 

bbbba 

babbb 

bbabb 

bbbab 

bbbbb 


Parti  du  premier  Joiicur  fera  au  Parti  du  fécond , 
comme  i6  efb  à 6 , ou  comme  13  ell  à 3 , &c. 

Pareillement  pour  refondre  le  troifiéme  Cas  , qui  3* 
fuppofe  qu’il  manque  deux  parties  au  premier- 
joueur  pour  achever , & trois  parties  au  fécond  , 
de  forte  qu’enfemble  il  leur  manque  5 parties  pour 
achever , ôtez  toujours  1 de  cette  fomme  5 , & 
parce  qu’il  relie  4 , fuppofez  ces  quatre  lettres  fem- 
blables  aaaa  favorables  au  premier,  & ces  quatre 
lettres  femblables  bbbb  favorables  au  fécond  , & 
combinez  enfemblc  ccs  huit  lettres  , comme  vous 
voyez  ici , ou  des  1 6 Com- 
abbb  binaifons , les  1 1 premie- 
bbba  res  à la  gauche  , où  il  y a 
bbab  au  moins  deux  a , feront 
babb  prifes  pour  le  nombre  des 
bbbb  hazards  qui  peuvent  faire 
gagner  le  premier,  parce 
qu’il  luy  manque  deux  par- 
ties : Sc  les  ç dermeres  qui  relient  à la  droite  , où 
il  y a au  moins  trois  b,  feront  prifes  pour  le  nom- 


aaaa 

aabb 

aaab 

abba 

aaba 

bbaa 

abaa 

baab 

baaa 

baba 

abab 

Cas. 


<4*.  Cûis» 


Récréât.  Mathëmat.  et  Phys. 
bre  des  hazards  qui  peuvent  faire  gagner  le  fécond» 
parce  qu’il  Iuy  manque  trois  parties.  Ainfi  le  Parti 
du  premier  joueur  eft  au  Parti  du  fécond  , comme 
Il  eft  à 5 , &c. 

Parce  que  pour  refoudre  le  quatrième  Cas,  ou 
l’on  a fuppofé  qu’il  manquoit  au  premier  Joueur  une 
partie  pour  achever  , & quatre  au  fecond,il  vient 
la  même  fomme  ç des  parties  qui  manquent  enfem- 
ble  à ces  deux  Joueurs , on  fe  Servira  des  1 6 Com- 
binaifons  precedentes , entre  lefqueües  on  en  trou- 
vera i f , où  il  y a au  moins  une  lettre  a,  parce 
qu’il  manque  au  premier  Joueur  une  partie , pour 
le  nombre  des  hazards  qui  le  peuvent  faire  gagner, 
& feulement  une,  où  il  y a quatre  b , parce  qu’il 
manque  au  fécond  Joueur  quatre  parties  , pour  un 
feul  hazard  qui  le  peut  faire  gagner  : de  forte  que 
Se  Parti  du  premier  Joueur  eft  au  Parti  du  fécond, 
comme  i 5 eftài.  Ainf  des  autres. 

Du  jeu  des  Dez,. 

POur  fçavoir  entre  deux  Joueurs  l’avantage  que 
peut  avoir  celuy  qui  entreprend  de  faire  par 
exemple  6 avec  un  Dé  en  un  certain  nombre  de 
coups , Sc  premièrement  au  premier  coup  , on  con- 
sidérera que  le  Parti  à l’entreprendre  du  premier 
coup  eft  de  i contre  ^ , parce  que  celuy  qui  tient  le 
Dé , n’a  qu’un  hazard  pour  gagner , & qu’il  en  a 
5 pour  ne  rien  gagner  : & que  par  confequentpour 
i’entreprendre  en  un  feul  coup , il  ne  doit  mettre  que 
I contre  ç , ou  ce  qui  eft  la  même  chofe  , parier 
I contre  5 , ce  qui  fait  voir  que  d’entreprendre 
de  faire  6 avec  un  Dé  en  un  coup  il  y a defavan- 
tage. 

Pour  entreprendre  de  faire  fix  en  deux  coups  avec 


Probie’mes  d’Arïthmetique*  JJ 
un  Dé  j on  confiderera  que  c’eft  la  même  chofeque 
d’entreprendre  en  jettant  deux  Dez  à la  fois  d’en 
trouver  un  marqué  au  6 , & alors  celwy  qui  tient 
le  Dé  , n’a  que  i i hazards  pour  gagner  , car  il  peut 
faire  6 avec  le  premier  Dé,  & i , 1,3,4,  avec 
le  fécond  : ou  bien  6 avec  le  fécond  Dé  , & 1 , 2 » 
3,4,  5 , avec  le  premier  : ou  bien  encore  6 avec 
chaque  Dé:  & qu’il  en  a 2 5 pour  ne  rien  gagner , 


I,  I 

2,  1 

3>  1 

4’  1 

I>  2. 

2,  2 

3>  2, 

4,  2 

3 

2,  3 

3’  3 

4»  3 

i>  4 

2,  4 

3>  4 

4,  4 

5 

3 - 

3»  S 

4>  S 

comme  vous  voyez  ici  ; il  eft  aifé  de  conclure  , que 
celuy  qui  entreprend  en  deux  coups  de  faire  6 avec 
un  Dé  ne  doit  mettre  que  1 1 contre  2 Ç 5 & qu’ainfi 
il  y a defavantage  de  l’entreprendre  au  pair. 

Vous  prendrez  garde  que  la  fomme  3 6 de  tous 
les  hazards  1 1 , 25  , eft  le  quarré  du  nombre  don- 
né 6 , quand  on  entreprend  de  faire  6 en  deux 
coups  avec  un  Dé  : & que  le  nombre  25  des  ha- 
zards qui  peuvent  empêcher  de  gagner,  celuy  qui 
tient  le  Dé , eft  le  quarré  du  même  nombre  donné 
6 moins  1 , c’eft- à-dire  , de  C’eft  pourquoy  pour 
trouver  le  nombre  des  hazards  favorables  à celuy 
qui  tient  le  Dé  , il  n’y  a qu’à  ôter  1 du  double  1 2 
du  nombre  donné  6 , & le  refte  1 1 fera  le  nombre 
qu’on  cherche  , qui  étant  ôté  du  quarré  3 6 du  mê- 
me nombre  donnée,  le  refte  25  qui  fera  toûjours 
un  nombre  quarré  , fera  le  nombre  des  hazards 
contraires  à celuy  qui  tient  le  Dé. 

Pour  entreprendre  de  faire  6 en  trois  coups  avec 
un  Dé , on  confiderera  pareillement  que  c’eft  la. 


yS  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
même  chofe  que  d’entreprendre  en  jettant  trois  Dez 
à la  fois , d’en  trouver  un  marqué  au  6 , & alors  ce- 
luy  qui  tient  le  Dé,  a 91  hazards  favorables  , & 
1 25  contraires  , Sc  ainfi  il  ne  doit  mettre  que  511 
contre  125  , où  vous  voyez  qu’il  y a encore  defa- 
vantage  à entreprendre  au  pair  de  faire  6 entrois 
coups  avec  un  Dé. 

Vous  remarquerez  que  la  fomme  2.16  de  tous 
les  hazards  91,  1 2 f , eft  le  Cube  du  nombre  don- 
né 6 , quand  on  entreprend  de  faire  6 en  trois 
coups  avec  un  Dé  » &c  que  le  nombre  125  des  ha- 
zards contraires  à celuy  qui  tient  le  Dé,  eft  le  Cu- 
be du  même  nombre  donné  6 moins  1 , c’eft-à-di- 
rc,  de  C’eft  pourquoy  pour  trouver  le  nombre 
des  hazards  qui  peuvent  faire  gagner  celuy  qui 
tient  le  Dé,  il  n’y  a qu’à  ôter  du  Cube  216  du 
nombre  donné  6 , le  Cube  125  du  même  nombre 
donné  6 moins  1 , ou  de 

C’eft  de  la  même  façon  que  l’on  trouvera  l’avan- 
tage que  peut  avoir  celuy  qui  entreprendroit  en  qua- 
tre coups  de  frire  6 avec  un  Dé  : car  fi  l’on  ôte  de  la 
quatrième  Puiflànce , ou  du  quarré-quarré  12 96  Au. 
nombre  donnée,  le  quarré-quarré  6 25  du  même 
nombre  donnée  moins  1 , ou  de  5 , le  refte  don- 
nera 671  hazards  favorables  à celuy  qui  tient  le 
Dé  , le  plus  petit  quarré-quarré  precedent  6 2f 
étant  le  nombre  des  hazards  contraires  à celuy  qui 
tient  le  Dé  ; où  vous  voyez  que  celuy  qui  entre- 
prend en  quatre  coups  de  faire  6 avec  un  Dé  , peut 
mettre  67 1 contre  6 2 J , & qu’ainfi  il  y a avantage  a 
l’entreprendre  au  pair. 

L’avantage  fera  plus  grand  à entreprendre  de  faire 
6 en  cinq  coups  avec  un  Dé,  comme  l’onconnoîtra 
en  ôtant  de  la  cinquième  Puiflànce , ou  Surfoiide 
7775  du  nombre  donné  6 , le  Surfoiide  3125 


Proble’mes  d’Arithme  tique.  Jÿ 
du  même  nombre  donné  6 moins  i , ou  de  ç , car 
le  refte  4651  fera  le  nombre  des  hazards  favora- 
bles à celuy  qui  tient  le  Dé,  le  plus  petit  Surfolide 
precedent  3125  étant  le  nombre  des  hazards  con- 
traires à celuy  qui  tient  le  Dé  ; où  l’on  void  que 
celuy  qui  entreprend  en  cinq  coups  de  faire  6 avec 
un  Dé  , peut  mettre  46  Ç I contre  3 1 2 ç , & qu’ain- 
fl  il  y a de  l’avantage  à i’entreprendre  au  pair , &c. 

Si  vous  voulez  fçavoir  le  Parti  de  celuy  qui  vou- 
droit  entreprendre  en  un  coup  de  faire  avec  deux  , 
ou  plüfieurs  Dez  une  Rafle  déterminée  , par  exem- 
ple Terne,  vous  confidererez  que  s’il  l’entrepre- 
noit  avec  deux  Dez,  il  n’auroit  qu’un  hazard  pour 
gagner , & 3 y pour  perdre  , parce  que  deux  Dez 
fe  peuvent  combiner  en  3 6 façons  differentes , c’eft- 
à-dire,  que  leurs  faces  qui  font  au  nombre  de  6, 
peuvent  avoir  3 6 aflietes  diverfes  , comme  vous 
voyez  ici , ce  nombre  3 6 étant  le  quarré  du  nombre 


I»  I 

i>  1 

3>  1 

I,  2. 

2 > 2 

3,  2 

I»  3 

2,  3 

35  3 

I>  4 

2,  4 

3»  4 

5 

2,  5 

3»  * 

1,  6 

2,  6 

3’  6 

4»  1 

5’  1 

6,  r 

4>  2, 

6,  2 

4>  3 

1»  3 

3 

4,  4 

S>  4 

6,  4 

4’  5 

5’  5 

<5,  5 

4,  6 

5,6 

6, 

6 des  faces , parce  qu’il  y a deux  Dez , car  s’il  y avoit 
trois  Dez  , au  lieu  du  quarré  3 6 de  6 , on  auroit  le 
Cube  il  6 pour  le  nombre  des  Combinaifons  en- 
tre trois  Dez,  «5 c s’il  y avoit  quatre  Dez  , on  au- 
roit le  quarré-quarré  1296  du  même  nombre  6S 
pour  le  nombre  des  Combinaifons  entre  quatre 
Dez  , 8c  ainfi  enfuite. 

D’où  il  fuit  qu’on  ne  doit  mettre  que  1 contre 
3 f , pour  faire  une  Rafle  déterminée  avec  deux 


8o  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.’ 

Dez  en  un  coup  : 6c  l’on  connoîtra  par  un  fem- 
blable  raifonnement , qu’on  ne  doit  mettre  que  3 
contre  213,  pour  faire  une  Rafle  déterminée  avec 
trois  Dcz  , en  un  coup  , 6c  6 contre  1 290  , ou  un 
contre  215  avec  quatre  Dez,  6c  ainfi  enfuite , parce 
que  des  216  hazards  qui  fe  trouvent  entre  trois 
Dez,  il  y en  a trois  pour  celuy  qui  tient  le  Dé, 
puifque  trois  chofes  fe  peuvent  combiner  de  deux 
en  trois  façons,  5c  par  confequent  2 I 3 contraires 
à celuy  qui  tient  le  Dé  : Sc  que  pareillement  des 
129^  hazards  qui  fe  trouvent  entre  quatre  Dez, 
il  y en  a flxqtii  font  favorables  à celuy  qui  tient  le 
Dé  , puifque  quatre  chofes  fe  combinent  de  deux  à 
deux  en  fix  façons , 6c  par  confequent  1290  con- 
traires à celuy  qui  tient  le  Dé. 

Mais  fl  vous  voulez  fçavoir  le  Parti  de  ce- 
îuy  qui  entreprendroit  de  faire  une  Rafle  quel- 
conque du  premier  coup  avec  deux  ou  plufieurs 
Dez  , il  ne  fera  pas  difficile  de  connoître  qu’il 
doit  mettre  6 contre  3 o , ou  1 contre  5 avec  deux 
Dez  , parce  que  des  3 6 hazards  qui  fe  trouvent 
entre  deux  Dez  , ôtant  6 hazards  qui  peuvent  pro- 
duire une  Rafle,  il  refte  30.  On  connoîtra  auffi 
aifément  qu’avec  trois  Dez  il  peut  mettre  1 8 con- 
tre 198  , ou  1 contre  1 1 , parce  que  des  216 
hazards  qui  fe  rencontrent  entre  trois  Dez , ôtant 
18  hazards  qui  peuvent  produire  une  Rafle  , il 
refte  198  , &c. 


PROBLEME 


Proble’mes  d'àrithmetioue.  8î 

PROBLEME  XI. 


ftlujieurs  Dez,  étant  jettez, , trouver  le  nombre  des 
points  qui  en  proviennent  après  quelques 
operations. 

SI  quelqu’un  a jette  fur  une  table,  pat  exemple 
trois  Dez  , que  nous  appellerons  A,  B , C , di- 
tes-luy  qu’il  ajoute  enfemble  tous  les  points  de  def» 
fus,  & encore  ceux  de  de(Tous  de  deux  Dez  feule- 
ment tels  qu’on  voudra  , comme  des  deux  derniers 
B , C , en  mettant  à part  le  troifïéme  A , fans  en 
changer  l’alïîete.  Dites-luy  enluite  qu’il  jette  de 
nouveau  les  deux  mêmes  Dez  B , C,  & faites-luy 
ajouter  à la  fomme  precedente  tous  les  points  de 
deffus , & encore  ceux  de  deffous  de  l’un  de  ces 
deux  Dez,  comme  du  fécond  C,  en  mettant  pa- 
reillement à part  le  premier  B,  proche  du  prece- 
dent A , fans  en  changer  l’alfiete  , pour  avoir  une 
fécondé  fomme.  Enfin  faites-luy  encore  jetter  le  der- 
nier Dé  C , 5c  dites-luy  qu’il  ajoute  à la  fécondé 
fomme  precedente  les  points  de  défias  , pour  avoir 
une  troifïéme  fomme,  que  vous  trouverez  en  cette 
forte.  Ayant  approché  le  troifïéme  Dé  C proche  des 
deux  autres,  fans  en  changer  lafîtuation  , appro- 
chez-vous de  la  Table,  5c  ayant  compté  tous  les 
points  qui  fe  trouveront  au  dcfïûs  de  ces  trois  Dez, 
ajoutez  à leur  fomme  autant  de  fois  y , qu’il  y a 
de  Dez,  comme  ici  trois  fois  y,  ou  il  , ce  nom- 
bre y étant  le  nombre  des  points  des  deux  faces 
oppofées  d’un  Dé  , quand  il  eft  bien  fait , 8c  la 
fomme  fera  celle  qu’on  cherche. 

Suppofons  qu’ayant  jetté  pour  la  première  fois 
les  trois  Dez  A,  B,  C,  il  foie  venu  en  deffus  ces 
Tome  /.  F 


TBi  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
trois  points  1,4  , 5 , ayant  mis  par  exemple  îe 
premier  1 à part,  faites  ajourer  à ces  trois  points 
1,4,5»  ^es  ^eux  3 ’ 2 ’ qui  trouvent  au  deilous 
ces  deux  autres,  dont  les  points  de  defïus  font  4 , 
5,  pour  avoir  la  première  fomme  iç.  Suppofons 
maintenant , que  les  deux  mêmes  Dez  étant  jettez 
il  vienne  en  defïus  ces  deux  points  3 , 6 , dontee- 
luy  qui  a 3 étant  mis  à part  proche  de  celuy  qui 
avoit  1 , faites  ajouter  ces  deux  points  3 , 6 , & 
encore  1 , qui  fe  trouve  au  troifiéme  Dé  reliant , 
qui  a 6 au  delTus  , pour  avoir  une  fécondé  fomme 
25.  Suppofons  enfin  que  ce  troifiéme  &c  dernier 
Dé  étant  jetté  par  une  troifiéme  fois,  il  vienne  f> 
en  defïus  , que  vous  ferez  ajouter  à la  féconde 
fomme  2,5  , pour  avoir  cette  troifiéme  fomme  3 1, 
que  vous  devinerez  en  ajoutant  21  à la  fomme  10 
des  points  1 , 3 , 6 , qui  fe  trouvent  au  defïus 
des  trois  Dez  reftans  , &c. 

PROBLEME  XII. 

T) eux  Dez.  étant  jettez. , trouver  les  -points  de 
defftu  de  chaque  Dé , fans  les  voir. 

F Aires  jetter  à quelqu’un  deux  Dez  fur  une  Ta- 
ble, & faites-3uy  ajouter  5 au  double  des  points 
de  defïus  de  l’un  de  ces  deux  Dez  , & dites-luy  qu’il 
multiplie  la  fomme  par  îe  même  nombre  j , pour 
luy  faire  ajouter  au  produit  le  nombre  des  points 
de  defïus  du  fécond  Dé  : après  quoy  luy  ayant  de- 
mandé la  fomme,  ôtez-en  toujours  25  , quarrédu 
même  nombre  5 » & alors  il  reliera  un  nombre 
compofé  de  deux  figures,  dont  la  première  vers 
îa  droite  , qui  reprefente  les  dixaines , fera  le  nom- 
bre des  points  de  defïus  du  premier  Dé , & la  fe- 


Proble’mes  d’Arithmetïqhe. 
conde  vers  la  gauche  , qui  reprelente  les  fimples 
unitez  , fera  le  nombre  des  points  de  defius  du 
fécond  Dé. 

Suppofons  que  le  nombre  des  points  de  defius 
du  premier  Dé  foit  z , & que  le  nombre  des 
points  de  defius  du  fécond  Dé,  foit  3 ; fi  l'on  dou- 
ble z , le  nombre  des  points  de  deflùs  du  premier 
Dé,  & qu’au  double  4 on  ajoute  5 , on  aura  9 , 
qui  étant  multiplié  par  le  même  nombre  5 , on 
aura  45  , auquel  ajoutant  3 , le  nombre  des  points 
de  defius  du  fécond  Dé , on  aura  48 , d’où  ôtant 
Z 5 quarté  du  même  nombre  5 , il  refte  Z3  , dont 
la  première  figure  z , montre  le  nombre  des  points 
de  defius  du  premier  Dé , &c  l’autre  figure  3 fait 
connortre  le  nombre  des  points  de  defius  du  fé- 
cond Dé. 

Autrement. 

O u bien  demandez  à celuyqui  a jette  les  deux 
Dez  , combien  font  enfemble  les  points  de  deflous,, 
&c  de  combien  le  nombre  des  points  de  defibus  de 
l’un  des  Dez  furpaftè  le  nombre  des  points  de  def- 
fous  de  l’autre  Dé:  & fi  cet  excès  eft  par  exemple 
ï , & que  la  fomme  de  tous  les  points  de  defibus 
foit  9 , ajoûtez  enfemble  ces  deux  nombres  1,9, 
& ôtez  de  14  leur  fomme  10 , & la  moitié  z du 
refte  4 fera  le  nombre  des  points  de  defius  de  l’un 
des  deux  Dez-,  & pour  avoir  le  nombre  des  points 
de  defius  de  l’autre  Dé  , au  lieu  d’ajoûter  l’excès  1 
à la  fomme  9 , il  le  faut  ôter , &c  ryant  ôté  de  1 4 
le  refte  8 , on  aura  ce  fécond  refte  6 , dont  la  moi- 
tié 3 fera  le  nombre  qu’on  cherche. 

Encore  autrement. 

Ou  bien  encore  , dites  à celuy  qui  a jette  les 

F ij 


5 4 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

deux  Dez  qu’il  ajoute  enfemble  les  points  de  deflus, 

6 qu’il  vous  dife  leur  fomme , qui  foit  par  exem- 
ple 5.  Dites  luy  encore  qu’il  multiplie  le  nombre 
des  points  de  deflus  d’un  Dé  par  le  nombre  des 
points  de  deflus  de  l’autre  Dé,  8c  qu’il  vous  dife 
pareillement  leur  produit  , que  nous  fuppoferons 
6 , par  le  moyen  duquel  8c  de  la  fomme  prece- 
dente 5 , vous  trouverez  le  nombre  des  points  de 
deflus  de  chaque  Dé  en  cette  forte.  Multipliez  la 
fomme  ^ par  elle-même , pour  avoir  fon  quarré  2 
duquel  vous  ôterez  24  > le  quadruple  du  produit 
6 , 8c  il  refte  1 , vous  prendrez  la  Racine  quarrée, 
qui  eft  auflï  1 , laquelle  étant  ajoutée  8c  ôtée  de  la 
fomme  precedente  5 , on  aura  ces  deux  nombres 
6 , 4 > dont  les  moitiez  3,2,  feront  les  nombres 
des  points  de  deflus  de  chaque  Dé. 

PROBLEME  XIII. 

Trois  Dez,  étant  jetiez,  , trouver  les  f oints  de 
dejfus  de  chaque  Dé  fans  les  voir. 

FAites  jetter  à quelqu’un  trois  Dez  fur  une  Ta- 
ble , 8c  les  luy  ayant  fait  ranger  en  ligne  droi- 
te l’un  proche  de  l’autre,  demandez  luy  la  fomme 
des  points  de  deflous  du  premier  & du  fécond  Dé, 
qui  foit  par  exemple  9 , 8c  auflï  la  fomme  des 
points  de  deflous  du  fécond  8c  du  troifiéme  Dé , 
que  nous  fuppoferons  ç , 8c  enfin  la  fomme  des 
points  de  deflous  du  premier  8c  du  troifiéme  Dé, 
qui  foit  6.  Par  le  moyen  de  ces  trois  fommes,  ou 
nombres  connus  9 , ç , 6 , on  trouvera  le  nombre 
des  points  de  deflus  du  premier  Dé  ,en  ôtant  de 
la  fomme  15  du  premier  & du  troifiéme  nombre  le 
fécond  5 , 8c  en  ôtant  toûjours  de  14  le  refte  10  , 


Proble’mes  d'Arithmetique.  8 q 

pour  avoir  cec  autre  refte  4,  dont  la  moitié  z fera 
le  nombre  des  points  de  deflus  du  premier  Dé. 
Pour  trouver  le  nombre  des  points  de  deflus  du 
fécond  Dé , ôtez  de  la  fomme  1 4 des  deux  premiers 
nombres  9 , 5 , le  troifiéme  6 , Sc  ôtez  toujours 
de  14  le  refte  8,  pour  avoir  un  fécond  refte  6 , 
dont  la  moitié  3 fera  le  nombre  des  points  de  def- 
fus  du  fécond  Dé.  Enfin  pour  avoir  le  nombre  des 
points  de  deflus  du  rroifiémeDé,  ôtez  de  la  fom- 
me 1 1 du  fécond  nombre  5 , Sc  du  troifiéme  6 , le 
premier  9 , Sc  ôtez  toujours  de  14  le  refte  z , pour 
avoir  un  léeond  refte  iz  , dont  la  moitié  6 fera  le 
nombre  des  points  de  deflus  du  troifiéme  Dé. 


PROBLEME  XIV. 


Deviner  le  nombre  que  quelqu’un  a penfé. 

AYant  fait  ôter  1 du  nombre  penfé , faites  dou- 
bler le  refte  , Sc  ayant  fait  pareillement  ôter  1 
de  ce  double  , faites  ajouter  au  refte  le  nombre 
penfé  , Sc  enfin  demandez  le  nombre  qui  vient  par 
cette  addition  j car  fi  vous  luy  ajoutez  toujours  3, 
la  troifiéme  partie  de  la  fomme  fera  le  nombre 
penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  ç , Sc  qu’on  en  ôte  1 , 
il  reftera  4,  dont  le  double  8 étant  diminué  de 
I , Sc  le  refte  7 étant  augmenté  du  nombre  penfé 
5 , on  a cette  fomme  1 z , à laquelle  ajoutant  3 , on 
a cette  autre  fomme  1 5 , dont  la  troifiéme  partie  5 
eft  le  nombre  penfé. 

Autrement' 

Ou  bien  après  avoir  fait  ôter  1 du  nombre  pen- 
fé » faites  tripler  le  refte  , Sc  après  avoir  aufîi  fait 

F iij 


8 S Récréât.  Mathemat.  it  Phys. 
ôter  ï de  ce  triple  , faites  ajouter  au  refte  le  nom- 
bre penlé,  &c  enfin  demandez  le  nombre  qui  vient 
par  cette  addition  , car  fi  vous  luy  ajoutez  toujours 
4 , la  quatrième  partie  de  la  fomtne  fera  le  nom- 
bre penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , & qu’on  en  ôte  1 , 
il  reftera  4 , dont  le  triple  12  étant  diminué  de  1, 
» &Ie  refte  1 1 étant  augmenté  du  nombre  penfé  3, 
on  a cette  fomtne  1 6 , à laquelle  ajoutant  4 , on  a 
cette  autre  femme  20,  dont  la  quatrième  partie  ç 
eft  le  nombre  penfé. 

Autrement- 

Ayant  fait  ajouter  1 au  nombre  penfé , faites  dou- 
bler la  fomme,  & ayant  fait  pareillement  ajouter 
I à ce  double,  faites  ajouter  à la  fomme  le  nombre 
penfé  , & enfin  demandez  le  nombre  qui  vient  par 
cette  dernicre  addition  % car  fi  vous  en  ôtez  tou- 
jours 3 , la  troifiéme  partie  du  refte  fera  le  nom- 
bre penfé. 

Comme  fi  Ton  a penfé  5 , & qu’on  Iuy  ajoute  i9 
on  aura  6 » dont  le  double  1 2 étant  augmenté  de 
I j & la  fomme  1 3 étant  augmentée  du  nombre 
penfé  5,  on  a cette  fomme  1 8 , de  laquelle  ôtant 
3 , il  refte  1 3 , dont  la  troifiéme  partie  $ eft  le 
nombre  penfé. 

Autrement . 

Ou  bien  apres  avoir  fait  ajouter  1 au  nombre 
penfé,  faites  tripler  la  fomme,  & après  avoir  auffi 
fait  ajouter  1 à ce  triple , faites  ajouter  à la  fomme 
le  nombre  penfé , & enfin  demandez  le  nombre 
qui  vient  par  cette  derniere  addition  , car  fi  vousen 
ôtez  toujours  4 , la  quatrième  partie  du  refte  fera 
le  nombre  penfé. 


Proble’mes  d’Arithmetique.  87 
Comme  fi  l’on  a penfé  ^ , 8c  qu’on  luy  ajoute  1 , 
on  aura  6,  dont  le  triple  18  étant  augmenté  de 
I , & la  Comme  19  étant  augmentée  du  nombre 
penfé  5 , on  a cette  Comme  24,  de  laquelle  ôtant 
4,  il  refte  20  a dont’ la  quatrième  partie  5 eft  le 
nombre  penCé. 

Autrement. 


Ayant  fait  ôter  1 du  nombre  penfé  a faites  dou- 
bler le  refte , 8c  ayant  fait  pareillement  ôter  1 de 
ce  double , faites  ôter  du  refte  le  nombre  penCé  , 8c 
enfin  demandez  le  nombre  qui  refte  par  cette  der- 
nière fouftraétion  a car  fi  vous  luy  ajoutez  toujours 
3 j la  Comme  Cera  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penCé  j , 8c  qu’on  en  ôte  1 , il 
reftera  4,  dont  le  double  8 étant  diminué  de  1 , 
8c  le  refte  7 étant  encore  diminué  du  nombre  penCé 
5 , il  refte  2 : auquel  ajoutant  3 , la  Comme  5 eft 
le  nombre  penfé. 

« 

Autrement. 


Ayant  fait  ajouter  1 au  nombre  penfé  , faites 
doubler  la  Comme  , & ayant  frit  pareillement  ajou- 
ter 1 à ce  double  , faites  ôter  de  la  Comme  le  nom- 
bre penfé,  8c  enfin  demandez  le  nombre  qui  refte 
par  cette  fouftraétion , car  fi  vous  en  ôtez  toûjours 
3 , le  refte  Cera  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  $ , 8c  qu’on  luy  ajoute 
I , on  aura  6 , dont  le  double  1 2 étant  augmenté 
de  1 , 8c  la  Comme  1 3 écant  diminuée  du  nom- 
bre penfé  f , il  refte  8 , d’où  ôtant  3 , le  refte  j 
eft  le  nombre  penfé. 

Autrement. 

Après  avoir  fait  ôter  1 du  nombre  penfé , faites 

F îiij 


88  Récréât.  MathemAt.  et  Phÿs. 
tripler  le  refte,  & après  avoir  aufîî  fait  ôter  i de  ce 
triple , faites  ôter  du  refte  le  double  du  nombre 
penfé , 8c  enfin  demandez  le  nombre  qui  refte  par 
cette  derniere  fouftraétion , car  fi  vous  luy  ajoutez 
toujours  4 , la  Comme  fera  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , 8c  qu’on  en  ôte  1 , il 
reftera  4 , dont  le  triple  1 2 étant  diminué  de  1 , & 
le  refte  1 1 étant  encore  diminué  du  double  10  du 
nombre  penfé  , il  refte  1 , auquel  ajoutant  4 , la 
Comme  5 eft  le  nombre  penfé. 

Autrement. 

Après  avoir  fait  ajouter  1 au  nombre  penfé, fai- 
tes tripler  la  Comme  , 8c  après  avoir  aufifi  fait  ajou- 
ter 1 à ce  triple , faites  ôter  de  la  Comme  le  dou- 
ble du  nombre  penfé,  & enfin  demandez  le  nom- 
bre qui  refte,  car  fi  vous  en  ôtez  4,  le  refte  fera  le 
nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , 8c  qu’on  luy  ajoute 
I , l’on  aura  6,  dont  le  triple  18  étant  augmenté 
de  1 , & la  Comme  15)  étant  diminuée  du  double 
ÎO  du  nombre  penfé  j , on  a ce  refte  9 , duquel 
ôtant  4 , le  refte  5 eft  le  nombre  penfé. 

Autrement . 

Dites  à la  perfonne  à qui  vous  aurez  fait  penfer 
un  nombre  , qu’elle  multiplie  ce  nombre  par  3 , 8c 
que  du  triple  die  en  prenne  la  moitié,  au  cas  que 
cela  fe  puiffe  faire  fans  aucun  refte  , car  s’il  refte  1 , 
vous  luy  ferez  ajouter  1 à ce  triple , pour  en  pou- 
voir prendre  juftement  la  moitié , que  vous  ferez 
encore  multiplier  par  3 ; après  quoy  vous  deman- 
derez combien  il  y a de  fois  9 dans  ce  dernier  triple, 
§c  vous  prendrez  autant  de  fois  z , que  de  fois  il 


Proble’mes  d’Arithmetique.  89 
y aura  9 , pour  le  nombre  qui  aura  été  penfé , en 
vous  fouvenant  qu’il  luy  faut  ajouter  1 , fï  vous  l’a- 
vez fait  ajoûter  auparavant,  & que  le  nombre  pen- 
fé fera  1 , lorfque  dans  le  dernier  triple  il  ne  fe  trou- 
vera pas  feulement  une  fois  9. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , fon  triple  eft  15, 
dont  on  ne  peut  pas  prendre  exactement  la  moitié, 
c’eft  pourquoy  on  luy  ajoûtera  1 , & l’on  aura  1 6 , 
dont  la  moitié  8 étant  multipliée  encore  par  3 ,011 
a ce  produit  24,  dans  lequel  9 eft  compris  2 lois  „ 
pour  lefquelles  prenant  autant  de  fois  2 , on  a ce 
nombre  4,  auquel  ajoûtant  1 , qu’on  a fait  ajouter 
auparavant,  la  fomme  $ eft  le  nombre  penlé. 

Autrement . 

Faites  ajoûter  & ôter  1 du  nombre  penfé  , pour 
avoir  une  fomme  Sc  un  refte  que  vous  ferez  multi- 
plier enfemble,  & demandez  le  produit  qui  vient 
par  la  multiplication , car  fi  vous  ajoûtez  1 à ce 
produit,  la  Racine  quarrée  de  la  fomme  fera  le 
nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , en  ajoûtant  1 à ^ , on 
a la  fomme  6 , 8c  en  ôtant  1 de  $ , on  a le  refte  4, 
8c  multipliant  la  fomme  6 par  le  refte  4 , on  a 
au  produit  24  , auquel  ajoûtant  1 ,1a  Racine  quar.- 
rée  ç de  la  fomme  2 5 eft  le  nombre  penfé. 

Autrement. 

Ayant  fait  ajoûter  1 au  nombre  penfé , faites 
multiplier  la  fomme  par  le  nombre  penfé,  8c  fai- 
tes ôter  du  produit  le  même  nombre  penfé,  & en- 
fin demandez  le  nombre  qui  reftera  de  cette  fou- 
ftraétion , car  la  Racine  quarrée  de  ce  refte  fera  le 
nombre  penfé. 


ÿO  Récréât.  Mathe^at.  et  Phys. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , en  ajoutant  1 à $ , on 
a 6 , qui  étant  multiplié  pat  le  nombre  penfé  5 , 
on  a 3 0 j d’où  ôtant  le  même  nombre  penfé  5 , il 
refte  2f  , dont  la  Racine  quarrée  5 eft  le  nombre 
penfé. 

„ Autrement . 

Ou  bien  ayant  fait  ôter  1 du  nombre  penfé,  fai- 
tes multiplier  le  refte  par  le  nombre  penfé  , & fai- 
tes ajouter  au  produit  le  même  nombre  penfé,  8c 
enfin  demandez  la  fomme  qui  vient  par  cette  ad- 
dition, car  la  Racine  quarrée  de  cette  fomme  fera 
le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  ^ , en  ôtant  1 de  5 , il 
refte  4 , qui  étant  multiplié  par  le  nombre  penlé  5 , 
on  a 2.0,  auquel  ajoutant  le  même  nombre  penfé 
•T  , on  a 2 c , dont  la  Racine  quarrée  < eft  le  nom- 
bre penfé. 

Autrement. 

Ayant  fait  ajouter  2 au  nombre  penfé,  faites  a~ 
jouter  à la  fomme  un  o vers  la  gauche  , pour  avoir 
un  nombre  dix  fois  plus  grand,  auquel  vous  ferez 
ajouter  te  ûjours  12  » & vous  ferez  pareillement 
ajoûterà  la  fomme  uno  vers  la  gauche,  pour  avoir 
un  nombre  aufiî  dix  fois  plus  grand  , duquel  vous 
ferez  ôter  toujours  3 20  > après  quoy  vous  deman- 
derez le  refte  , dont  les  figures  fignificatives  vers  la 
gauche,  en  retranchant  les  deux  zéros,  qui  fe  ren- 
contreront toujours  à la  droite,  reprefenteront  le 
nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  f , en  luy  ajoutant  2 , on 
ay,  auquel  ajoutant  un  o vers  la  droite,  on  a 70, 
auquel  fi  l’on  ajoute  12,  on  a 82  > auquel  ajoutant 
pareillement  un  o vers  la  droite , on  a 8 20  , d’où 


Problèmes  d’Aritmetique.  $i 

ôtant  3 20  > il  refte  500  5 d’où  retranchant  lçs 
deux  zéros  à la  droite  , le  refte  5 eft  le  nombre 
penfé. 

u4ntrement. 

Ayant  fait  ajouter  5 au  double  du  nombre  pen- 
fé, faites  ajouter  à la  fomme  un  o vers  la  droite, 
pour  avoir  un  nombre  10  fois  plus  grand , auquel 
vous  ferez  ajouter  toujours  20  , 6c  vous  ferez  pa- 
reillement ajouter  à la  fomme  un  o vers  la  droite  , 
pour  avo  r un  nombre  aufli  dix  fois  plus  grand, 
duquel  vous  ferez  ôter  toûjours  700  , après  quoy 
vous  demanderez  le  refte  : duquel  vous  retranche- 
rez les  deux  zéros , qui  fe  rencontreront  toûjours 
à la  droite,  & la  moitié  du  nombre  qui  reliera 
vers  la  gauche  , fera  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , en  ajoutant  à fon  dou- 
ble 10  toûjours  5 , on  a 1 £ , auquel  ajoûtant  un 
O vers  la  gauche,  on  a 150,  auquel  fi  l’on  ajoûte 
20  , on  a 170,  auquel  ajoûtant  pareillement  un 
O vers  la  droite,  on  a 1700  , d’où  ôtant  700  , on 
a 1000,  d’où  retranchant  deux  zéros  à la  droite, 
la  moitié  5 du  refte  jo  eft  le  nombre  penfé. 

Autrement. 

Ces  deux  dernières  Méthodes  ne  font  pas  ex- 
trêmement fubtiles , parce  que  le  dernier  nombre 
étant  connu,  il  eft  ajfé  en  rétrogradant  de  connoî- 
tre  les  autres  nombres,  & par  confcquent  le  nom- 
bre penfë.  C’eft  pour  quoy  il  vaudra  mieux  fe  fer- 
vir  des  deux  Méthodes  fuivantes , dont  le  fecret 
eft  plus  caché.  ^ 

Ayant  fait  ajouter  1 au  triple  du  nombre  perde, 
fuites  multiplier  la  lomme  toujours  par  3 ayant 


S>t  Rhcrhat.  Mathemat.  et  Phys. 
fan  ajouter  à ce  triple  le  nombre  penfé  , demandez 
le  nombre  qui  proviendra  de  cette  addition,  car  fi 
de  cette  fomme  vous  en  ôtez  3 , ÔC  que  du  refte 
vous  retranchiez  le  o qui  fe  trouvera  toûjours  à 
îa  droite  , le  refte  vers  la  gauche  fera  le  nombre 
penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  j , en  ajoutant  1 à fon 
triple  ij,  on  a 1 6 , dont  le  triple  eft  48  , auquel 
ajoutant  le  nombre  penfé  J , on  a 53  , d’où  ôtant 
3 , & retranchant  du  refte  50  le  o qui  eft  à la 
droite  , il  refte  j vers  la  gauche  pour  le  nombre 
penfé. 

Autrement . 

Ayant  fait  ôter  1 du  triple  du  nombre  penfé , 
faites  multiplier  le  refte  toûjours  par  3 , Sc  ayant  fait 
ajouter  au  produit  le  nombre  penfé,  demandez 
le  nombre  qui  provient  de  cette  addition  , car'fi 
à cette  fomme  vous  ajoutez  3 , & que  de  cette  fé- 
condé fomme  vous  retranchiez  le  o , qui  doit  ne- 
ceftâirement  fe  trouver  à la  droite,  le  refte  vers  la 
gauche  fera  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  j , en  ôtant  1 de  fon  tri- 
ple 1 j , il  refte  14,  dont  le  triple  eft  42  , auquel 
ajoutant  le  nombre  penfé  j , on  a 47,  auquel  a- 
joûtant  3 , Se  retranchant  de  la  fomme  jo  le  o qui 
eft  à la  droite  , il  refte  j vers  la  gauche  pour  le  nom- 
bre penfé. 

Corollaires. 

Il  fuit  de  ces  deux  dernieres  Méthodes , que  f 
etu  triple  d’un  nombre  quelconque  on  ajoute  l’unité, 
CT  qu’au  triple  de  la  fomme  on  ajoute  le  même 
nombre  , on  aura  une  fécondé  fomme  qui  fe  termi- 
nera toujours  par  3.  Comme  fi  au  triple  18  du 


Proble’mes  d’Arithmstique.  93 
nombre  6 , on  ajoute  l'unité  , 8c  qu’au  triple  57 
de  la  fomme  15),  on  ajoute  le  même  nombre  6» 
on  a cette  fécondé  fomme  6 3 , qui  fe  termine  par  3. 

Il  s’enfuit  auiïi  que  fi  du  triple  d’ un  nombre  quel- 
conque on  ote  l’unité , & qu’au  triple  du  refle  on 
ajoute  le  même  nombre  , on  aura  une  fomme  qui 
fe  terminera  toujours  par  7.  Comme  fi  du  triple  1 8 
du  nombre  6 , on  ôte  l’unité , 8c  qu’au  triple  5 1 
du  refte  17,  on  ajoute  le  même  nombre  6 , on  a 
cette  fomme  57  , qui  fe  termine  par  7. 

Enfin  , il  s’enfuit  que  ce  Problème  double  eft 
impoffible  ; Trouver  un  nombre  tel,  que  fi  à fon 
triple  on  ajoute  ou  qu’on  ôte  l’unité , & qu’  au  tri- 
ple de  la  fomme  ou  du  refle  on  ajoute  le  même  nom- 
bre , la  fomme  foit  un  quarré  parfait,  parce  que 
tout  nombre  qui  finir  par  3 , ou  par  7,  ne  peut 
pas  avoir  une  Racine  quarrée  jufte  , comme  vous 
avez  vu  au  Probl.  5.  Voyez  le  Problème  fuivant. 

PROBLEME  XV. 


Trouver  le  nombre  qui  refie  a quelqu’un  apres 
quelques  operations , fans  luy  rien  demander. 

AYant  fait  penfer  un  nombre  à volonté , faites 
ajouter  à fon  double  un  nombre  pair  tel  qu’il 
vous  plaira , par  exemple  8 , 8c  faites  ôter  de  la 
moitié  de  la  fomme  le  nombre  penfé  , & ce  qui 
reliera  fera  toujours  la  moitié  du  nombre  pair  que 
vous  aviez  fait  ajouter  auparavant,  fçavoir  4.  Ainfi 
vous  direz  hardiment  qu’il  refte  4 , ce  qui  Surpren- 
dra agréablement  ceux  qui  n’enverront  pas  d’abord 
la  raifon,  quoique  la  démonftration  en  foit  facile, 
C’eft  pourquoy  pour  fçavoir  adroitement  le  nom- 
bre qui  aura  été  penfé , faites  Semblant  d’ignorer  le 


94  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
refte  4 , & le  faites  ôter  du  nombre  penfé , fî  îc 
nombre  penfé  eft  plus  grand,  ou  en  faites  ôter  le 
nombre  penfé,  fi  le  nombre  penfé  eft  moindre,  & 
demandez  le  refte , car  fi  vous  ajoûtez  ce  refte  à 
ia  moitié  4 du  nombre  8 , que  vous  aviez  fait  a- 
joùter  au  nombre  penfé,  fi  le  nombre  penfé  a été 
trouvé  plus  grand  que  cette  moitié  4,  ou  fi  vous 
ôtez  ce  refte  de  la  même  moitié  4 , fi  le  nombre 
penfé  a été  trouvé  moindre  que  cette  moitié  4 , 
vous  aurez  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , & qu’à  fou  double 
IO  on  ajoûte  8 , on  aura  18  , dont  la  moitié  eft 
9 , d’où  ôtartt  le  nombre  penfé  j , il  refte  4 , moi- 
tié du  nombre  ajouté  8 , & fî  l’on  ôte  cette  moi- 
tié 4 du  nombre  penfé  5 , qui  eft  plus  grand , il 
reftera  1 , qui  étant  ajouté  à la  même  moitié  4 , 
parce  que  le  nombre  penfé  f s’eft  trouvé  plus  grand 
que  cette  moitié  4 , la  fommë  5 fera  le  nombré 
penfé. 

Pareillement  fi  au  double  10  du  nombre  penfé 
£ , on  ajoûte  iz,  on  aura  22 , dont  la  moitié  eft 
I 1 , d’où  ôtant  le  nombre  penfé  5 , il  refte  6 moi- 
tié du  nombre  ajouté  12,  & fi  de  cette  moitié  6 , 
on  ôte  le  nombre  penfé  5 , qui  eft  plus  petit , il 
refléta  1 , qui  étant  ôté  de  la  même  moitié  6 , 
parce  que  le  nombre  penfé  f s eft  trouvé  mom- 
ie cette  moitié  6 , le  refte  5 fera  le  nombre 

plus  facilement  faites  ôter  du  double  du 
Sombre  penfe  un  nombre  pair  moindre  & tel  qu’il 
vous  plaira,  par  exemple  4 , & faites  ôter  la  moitié 
du  refte  du  nombre  penfé,  le  refte  fera  2 moitié 
du  nombre  ôté  4 : c’eft  pourquoy  pour  trouver 
le  nombre  penfé  , faites  ajouter  à cette  moitié  2 
le  nombre  penfé  9 de  demandez  la  fomme  3 qui  fait 


Proble’mEs  d’Arithmetique. 
par  exemple  j , de  laquelle  fi  vous  ôtez  la  même 
moitié  2 , le  telle  5 fêta  le  nombre  penfé. 

Mais  on  peut  trouver  encore  autrement  &p!us 
facilement  le  nombre  que  quelqu’un  aura  penfé, 
en  luy  faifant  ajouter  un  nombre  à volonté,  & en 
faifant  multiplier  la  fomme  par  le  nombre  penfé: 
car  fi  du  produit  vous  luy  faites  ôter  le  quarré  du 
nombre  penfé  , 8c  qu’il  vous  dife  le  relie , en  di- 
; vifant  ce  relie  par  le  nombre  que  vous  avez  fait 
ajouter  auparavant,  le  quotient  fera  le  nombre 
penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  $ , 8c  qu’on  luy  ajoute 
par  exemple  4 , on  aura  9 , qui  étant  multiplié  par 
le  nombre  penfé  5 , on  a 45  , d’où  ôtant  le  quarré 
2^  du  nombre  penfé  f , & le  relie  2 O étant  di- 
vifé  par  le  nombre  4 , qui  a été  ajouté  auparavant, 
le  quotient  donne  ^ pour  le  nombre  penfé. 

Ou  bien  faites  ôter  du  nombre  penfé  un  nom- 
bre moindre  8c  tel  qu’il  vous  plaira  , & faites  mul- 
tiplier le  relie  par  le  nombre  penfé  : car  fi  vous  fai- 
tes ôter  le  produit  du  quarré  du  nombre  penfé,  8c 
qu’on  vous  difelerefte,  en  divifant  ce  relie  par  le 
nombre  que  vous  avez  fait  ôter  du  nombre  penfé, 
vous  aurez  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  5 , & qu’on  en  ôte  par 
exemple  3 , il  reliera  2 , qui  étant  multiplié  par  le 
nombre  penlë  $ , ona  10  , qui  étant  ôté  du  quarré 
25  du  nombre  penfé  f , il  relie  1 j , qui  étant  di- 
vifé  par  le  nombre  3 qui  a été  ôté  du  nombre  penfé, 
le  quotient  ^ eft  le  nombre  penfé. 

La  maniéré  la  plus  facile  de  toutes  pour  devi- 
ner le  nombre  que  quelqu’un  aura  penfé  , eft  la  fui- 
vante.  Faites  ôter  du  nombre  penfé  un  nombre 
moindre  8c  tel  qu’il  vous  plaira , 8c  faites  mettre  le 
relie  à part.  Faites  ajouter  le  même  nombre  au  nom- 


\ 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
bre  penfé , & faites  ajouter  à la  fomme  le  refie 
precedent  , pour  avoir  une  fécondé  fomme , que 
vous  devez  demander  , parce  que  la  moitié  de  cette 
fomme  fera  le  nombre  penfé. 

Comme  fï  l’on  a penfé  5 , 8c  qu’on  en  ôte  par 
exemple  3 , il  reliera  2 , & fi  Ton  ajoute  le  même 
nombre  3 au  nombre  penfé  $ , on  aura  8 , auquel 
ajoutant  le  precedent  relie  2,  on  a 10,  dont  la 
moitié  5 effc  le  nombre  penfé. 


PROBLEME  XVI. 


Trouver  le  nombre  que  quelqu’un  aura  penfe' , fans 
luj  rien  demander. 

FAites  ajouter  au  nombre  penfé  fa  moitié  s’il 
ell  pair,  ou  fa  plus  grande  moitié  s’il  efl  im- 
pair, 8c  faites  aulli  ajouter  à la  fomme  fa  moitié , 
ou  fa  plus  grande  moitié  , lelon  qu’elle  fera  un 
nombre  pair  , ou  impair,  pour  avoir  une  fécondé 
fomme,  dont  vous  ferez  ôter  le  double  du  nom- 
bre penfé  , 8c  fûtes  prendre  la  moitié  du  relie , 
ou  la  plus  pente  moitié,  au  cas  que  ce  relie  foit 
un  nombre  impair,  8c  continuez  ainfi  à faire  pren- 
dre la  moitié  de  la  moitié  jufqu’à  ce  qu’on  vienne 
à l’unité.  Cela  étant  fait  , remarquez  combien  de 
foudivilîons  on  aura  faites  , 8c  pour  la  première 
divifion  retenez  2 , pour  la  fécondé  4 , pour  la 
troifiéme  8 , 8c  ainfi  des  autres  en  proportion  dou- 
ble , en  prenant  garde  qu’il  faut  ajouter  1 pour 
chaque  fois  que  vous  aurez  pris  Ia*plus  petite  moi- 
tié, parce  qu’en  prenant  cette  plus  petite  moitié, 
il  relie  toujours  1 , 8c  qu’il  faut  feulement  retenir 
I , lorfqu’on  n’aura  pu  faire  aucune  foûdivifion, 
car  ainfi  vous  aurez  le  nombre  dont  on  a pris  les 

moitiés 


Problèmes  d’ArITHMETIQUE.  t)  j 

’moitiez  des  moitiez,  & alors  le  quadruple  de  ce 
nombre  fera  le  nombre  penfé,  au  cas  qu’il  n’ait 
point  falu  prendre  au  commencement  la  plus  gran- 
de moitié  , ce  qui  arrivera  feulement  lorfque  le 
nombre  penfé  fera  pairement  pair , ou  divifibîe  par 
4:  autrement  on  ôtera  3 de  ce  quadruple  fi  à la 
première  divifion  l’on  a pris  la  plus  grande  moitié, 
ou  bien  feulement  2 fi  à la  fécondé  divifion  l’on 
a pris  la  plus  grande  moitié , ou  bien  enfin  5 fi  à 
chacune  des  deux  divifions  on  a pris  la  plus  grande 
moitié  , & alors  le  refte  fera  le  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  4 , en  luy  ajoutant  fa  moi- 
tié 2 , on  a 6,  auquel  fi  l’on  ajoute  pareillement  fa 
moitié  3 , on  a 9 , d’où  ôtant  le  double  8 du  nom- 
bre penfé  4 , il  refte  1 * dont  on  ne  fçauroit  pren- 
dre la  moitié,  parce  qu’on  eft  parvenu  à l’unité* 
c’eft  pourquoy  on  retiendra  1 , dont  le  quadruple 
4 eft  le  nombre  penfé. 

Si  l’on  a penfé  5 , en  luy  ajoutant  fa  plus  gran- 
de moitié  3 , on  a 8 , auquel  fi  l’on  ajoute  famoi- 
tié  4 , on  a 1 2 , d’où  ôtant  le  double  10  du  norri- 
bre  penfé  5 , il  refte  2 , dont  la  moitié  eft  1 : & 
comme  l’on  ne  fçauroit  plus  prendre  la  moitié* 
parce  qu’on  eft  parvenu  à l’unité,  on  retiendra  2, 
parce  qu’il  y a une  foûdivifion  ; &c  fi  du  quadruple 
8 de  ce  nombre  retenu  2 , on  ôte  3 , parce  que 
dans  la  première  divifion  l’on  a pris  la  plus  grande 
moitié , le  refte  £ eft  le  nombre  penfé. 

Si  le  nombre  penfé  eft  6 , en  luy  ajoûtant  fa  moi- 
tié 3 , on  a 9 , auquel  fi  l’on  ajoute  fa  plus  grande 
moitié  5 , on  a 14,  d’où  ôtant  le  double  12  du 
nombre  penfé  6 , il  refte  2»  dont  la  moitié  eft  1 • 
& comme  l’on  ne  fçauroit  plus  prendre  la  moitié  , 
parce  qu’on  eft  parvenu  à l’unité,  on  retiendra  2» 
parce  qu’il  y a une  foûdivifion  ; tte  fi  du  quadrüpl© 
Tome  L G 


aS  Récréât.  MathemAt.  et  Phys. 

S de  ce  nombre  retenu  z , on  ôte  z , parce  que 
dans  la  fécondé  divifion  l’on  a pris  la  plus  grande 
moitié  , le  refte  6 eft  le  nombre  penfé. 

Si  l’on  a penfé  7,  en  luy  ajoutant  fa  plus  grande 
moitié  4,  on  a 1 1 , auquel  fi  Ion  ajoute  pareille- 
ment  fa  plus  grande  moitié  6 , on  a 1 7 , d ou  otant 
le  double  1 4 du  nombre  penfé  7,  il  refte  3 , dont  la 
plus  pente  moitié  eft  I : & eommel’on  ne  lçau- 
roit  plus  prendre  la  moitié,  parce  qu’on  eft  parve- 
nu à l’unité  , on  retiendra  2,  auquel  on  ajoutera 
! , parce  qu’on  a pris  la  plus  petite  moitié , on  au- 
ra a , dont  le  quadruple  eft  n,  duquel  otant  5 , 
parce  que  dans  la  première  & dans  la  féconde  di- 
vifion l’on  a pris  la  plus  grande  moitié , le  refte  7 
eft  le  nombre  penfé.  Ainfi  des  autres. 

PROBLEME  XV II. 

Deviner  deux  nombres  que  quelqu  un  aura  penfez.. 

AYant  fait  ajouter  enfemble  les  deux  nombres 
penfez  , pour  avoir  leur  femme,  & ayant  fait 
Ôter  le  plus  petit  du  plus  grand  , pour  av“uJ‘^nr 
différence,  faites  multiplier  la  lomme  par  la  diffé- 
rence, Sc  ajouter  au  produit  lcquarre  du  plus  pe- 
tit nombre  penfé  : & alors  demandez  le  nombre 
qui  vient  par  cette  addition  , & en  prenez  la  Ra- 
cine quartée,  qui  fera  le  plus  grand  des  deux  nom- 
bres penfez-,  & pour  avoir  le  plus  petit  , au  lieu 
de  faire  ajouter  au  produit  le  quarré  du  plus  petit 
nombre  penfé,  faites  ôter  le  produit  du  quatre  du 
plus  orand  nombre  penfé,  & demandez  le  nombre 
qui  reftera , car  la  Racine  quarrée  de  ce  nombre 

fera  le  plus  petit  nombre  penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  3 & 5 , en  multipliant 


Prôble’mes  d’ArithmetiquE.  9^ 

leur  iorame  8 par  leur  differente  2,  on  a le  pro- 
duit r 6 , auquel  ajoûtant  le  quarré  9 du  plus  petit 
nombre  penié  3 , on  a 25  , dont  la  Racine  quarrée 
y eft  le  plus  grand  des  deux  nombres  penfez  : 8c 
ôtant  le  même  produit  1 6 du  quarré  2 5 du  plus 
grand  nombre  penfé  y , il  refte  9 , dont  la  Racine 
quarrée  3 eft  le  plus  petit  nombre  penfé. 

Ou  bien  plus  facilement  faites  ajoûter  à la  fom- 
me  des  deux  nombres  penfez  leur  différence , 8c 
demandez  le  nombre  qui  vient  par  cette  addition, 
car  la  moitié  de  ce  nombre  fera  le  plus  grand  des 
deux  nombres  penfez  : & pour  avoir  le  plus  petit 
faites  ôter  la  différence  des  deux  nombres  penfez 
de  leurfomme,  8c  demandez  le  nombre  qui  relie- 
ra, car  la  moitié  de  ce  refte  fera  le  plus  petit  nom- 
bre penfé. 

Comme  dans  cet  exemple  , en  ajoutant  la  diffé- 
rence z des  deux  nombres  penfez  à leurfomme  8» 
on  a 10,  dont  la  moitié  y eft  le  plus  grand  des 
deux  nombres  penfez  : & en  ôtant  la  différence  2 
de  la  fornrne  8 , il  refte  6 : dont  la  moitié  3 eft  le 
plus  petit  nombre  penfé. 

Ce  Problème  fe  peut  encore  refoudre  ainfi.  Faî- 
tes multiplier  la  fomme  des  deux  nombres  penfez 
par  elle-même,  pour  avoir  fo.n  quarré.  Ayant  fait 
ajoûter  au  plus  petit  des  deux  nombres  penfez  le 
double  du  plus  grand,  8c  ayant  fait  multiplier  la 
fomme  parle  plus  petit,  faites  ôter  le  produit  du 
precedent  quarré  , & demandez  le  refte  , car  la  Ra- 
cine quarrée  de  ce  refte  fera  le  plus  grand  des  deux 
21  unbres  penfez  : 8c  pour  avoir  le  plus  petit , ayant 
fait  ajoûter  au  plus  grand  le  double  du  plus  petit , & 
avant  fait  multiplier  la  fomme  par  le  plus  grand , 
faites  ôter  le  produit  du  precedent  quarré  , & de- 
mandez le  refte  , dont  la  Racine  quarrée  fera  le  plus 
petit  nombre  penfé.  G ij 


jo©  Récréât^  Mathemat.  et  Phys^ 

Comme  dans  cet  exemple  , où  l’on  a fuppofé 
que  les  deux  nombres  penfez  font  3 & 5 >leurfom- 
me  eft  8 , qui  étant  multipliée  par  foy-même  donne 
64  pour  fon  quarré.  En  ajoutant  au  plus  petit 
nombre  penfé  3 le  double  10  du  plus  grand  j , 
on  a 13,  qui  étant  multiplié  par  le  plus  petit  3 » on 
a 3 9 , qui  étant  ôté  du  precedent  quarré  64  , il 
refte  23  , dont  la  Racine  quarrée  5 eft  le  plus  grand 
des  deux  nombres  penfez.  En  ajoutant  au  plus  grand 
nombre  penfé  5 le  double  6 du  plus  petit  3 , on  a 
1 1 , qui  étant  multiplié  par  le  plus  grand  5 , le 
produit  eft  5 3 s qui  étant  ôté  du  precedent  quarré 
64  , il  telle  9 , dont  la  Racine  quarrée  3 eft  le  plus 
petit  nombre  penfé. 

Ce  Problème  fe  peut  encore  refoudre  tres-faci- 
îement  en  cette  forte.  Faites  multiplier  enfemble  les 
deux  nombres  penfez , pour  avoir  leur  produit.  Fai- 
tes auflî  multiplier  la  fomme  des  deux  mêmes  nom- 
bres par  celuy  que  vous  voulez  trouver , & faites 
ôter  de  ce  produit  le  produit  des  deux  nombres  s 
après  quoy  vous  demanderez  le  refte  s dont  la  Raci- 
ne quarrée  fera  le  nombre  que  vous  cherchez. 

Comme  dans  cet  exemple , fi  l’on  multiplie  en- 
femble les  deux  nombres  penfez  3 , f , on  aura  leur 
produit  15  : & fi  l’on  multiplie  leur  fomme  8 par 
le  plus  grand  nombre  ç , fi  vous  le  voulez  trouver, 
on  a ce  produit  40  5 duquel  ôtant  le  precedent  1 f , 
il  refte  2 5 , dont  la  Racine  quarrée  3 eft  le  nombre 
qu’on  cherche. 

Ou  bien  après  avoir  fait  multiplier  enfemble  les 
deux  nombres  penfez,  pour  avoir  leur  produit, 
faites  multiplier  leur  différence  par  le  nombre  que 
vous  cherchez  , & faites  ajouter  à ce  produit  le 
produit  des  deux  nombres , fi  vous  demandez  le 
plus  grand  nombre,  ou  bien  faites  ôter  ce  produit 


Proble’mes  d’Arithmetique  10  I 
du  produit  des  deux  nombres,  fi  vous  demandez 
le  plus  petit  : & alors  fi  vous  demandez  le  nombre 
qui  vient  par  cette  addition,  ou  par  cette  fouftrac- 
tign  , & que  vous  en  preniez  la  Racine  quarrée , 
vous  aurez  le  nombre  que  vous  cherchez. 

Comme  dans  cet  exemple  après  avoir  multiplié 
enfemble  les  deux  nombres  penfez  3 , f , pour  avoir 
leur  produit  1 5 , fi  l’on  fait  multiplier  leur  diffé- 
rence 2 par  le  plus  grand  nombre  f , & qu’on 
ajoute  le  produit  10  au  premier  produit  1 f , on 
aura  25  , dont  la  Racine  quarrée  f eft  le  plus 
grand  nombre  : & pareillement  fi  l’on  multiplie 
leur  différence  2 par  le  plus  petit  nombre  3 , &: 
qu’on  ajoûte  le  produit  6 du  premier  1 f , il  refte- 
ra  9 , dont  la  Racine  quarrée  3 eft  le  plus  petit 
nombre  penfé. 

Lorfque  le  plus  petit  des  deux  nombres  penfez 
ne  paffera  pas  9 , on  les  pourra  deviner  tres-faci- 
lement  en  cette  forte.  Ayant  fait  ajoûter  1 au  tri- 
ple du  plus  grand  des  deux  nombres  penfez  , fai- 
tes encore  ajoûter  au  triple  de  la  fomme  les  deux 
nombres  penfez  , &c  demandez  le  nombre  qui  vient 
par  cette  addition,  car  fi  vous  en  ôtez  3 , la  pre- 
mière figure  du  refte  vers  la  droite  fera  le  plus  pe- 
tit nombre  penfé , $c  ce  qui  reftera  vers  la  gauche, 
fera  le  plus  grand. 

Comme  dans  l’exemple  propofé  , où  les  deux 
nombres  penfez  font  3 , f , en  ajoutant  1 au  triple 
If  du  plus  grand  f , & en  ajoutant  au  triple  48 
de  la  fomme  1 6 les  deux  nombres  penfez  3 , f , ou 
8 , on  a fé,  d’où  ôtant  3 , il  refte  ^3  , dont  la 
première  figure  3 vers  la  droite  eft  le  plus  petit 
nombre  penfé,  & l’autre  figure  5 qui  refte  vers  la 
gauche , eft  le  plus  grand. 


102, 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 


PROBLEME  XVIII. 

Deviner  plusieurs  nombres  que  quelqu'un  aura 
penfez,. 

SI  la  multitude  des  nombres  penfez  eft  impaire  , 
demandes  les  fommes  du  premier  & du  fécond, 
du  fécond  Sc  du  troifiéme,  du  troifiéme  Sc  du  qua- 
trième , & ainfi  enfuite  jufqua  la  fomme  du  pre- 
mier Sc  du  dernier,  Sc  ayant  écrit  toutes  ces  Tom- 
mes par  ordre  , en  forte  que  la  fomme  du  premier 
Sc  du  dernier  foit  la  derniere  , ôtez  toutes  les  foin* 
mes  qui  feront  dans  les  lieux  pairs  de  toutes  celles 
qui  feront  dans  les  lieux  impairs  , Sc  la  moitié  du 
refte  fera  le  premier  nombre  penfé  , lequel  étant 
ôté  de  la  première  fomme  , il  reliera  le  fécond 
nombre  penfé  , lequel  étant  pareillement  ôté  de  la 
fécondé  fomme  , le  relie  fera  le  troifiéme  nombre 
penfé,  Sc  ainfi  enfuite. 

Comme  fi  l’on  a penfé  ces  cinq  nombres,  2, 
4 > Ç , 7 , 8 , les  fournies  du  premier  & du  fécond  , 
du  fécond  Sc  du  troifiéme  , Sc  ainfi  des  aurres  juf- 
qua la  fomme  du  premier  Sc  du  cinquième  font  6> 
9 , 12,15,  IO,  Sc  ôtant  la  fomme  24  des  deux 
5} , I 5 , qui  font  dans  les  lieux  pairs  , de  la  fonimé 
28  des  trois  6,  12,  10,  qui  font  dans  les  lieux 
impairs  , il  refie  4,  dont  la  moitié  2 eft  le  premier 
nombre  penfé  , lequel  étant  ôté  de  la  première  fom- 
me 6 , le  refie  4 eft  le  fécond  nombre  penfé,  le- 
quel étant  pareillement  ôté  de  la  féconde  fomme 
5)  , il  refte  5 pour  le  fécond  nombre  penfé  , &c. 

Si  la  multitude  des  nombres  penfez  eft  paire , de- 
mandez les  fommes  du  premier  & du  fécond,  du 
fécond  & du  troifiéme , du  troifiéme  Sc  du  quatrié- 


Proble’mes^  d’ArITHMETIQUE.  105 
me,  & ainfi  enfuite  jufqu’à  la  fomme  du  fécond  &c 
du  dernier,  &c  ayant  écrit  toutes  ces  fommes  par 
ordre  , en  forte  que  la  fomme  du  fécond  & du  der- 
nier foit  la  derniere,  ôtez  de  toutes  les  fommes 
qui  feront  dans  les  lieux  pairs  toutes  celles  qui  fe- 
ront dans  les  lieux  impairs  , excepté  la  première  , Sc 
la  moitié  du  refte  fera  le  fécond  nombre  penfé  , 
par  le  moyen  duquel  il  fera  facile  de  trouver  les 
autres , car  fi  on  fore  de  la  première  fomme , il 
reliera  le  premier  nombre  penfé  , & fi  on  l'ôte  de 
la  fécondé  fomme,  le  refte  fera  le  troifiéme  nom- 
bre penfé  , lequel  étant  pareillement  ôté  de  la  troi- 
fiéme fomme  , on  aura  au  refte  le  quatrième  nom- 
bre penfé  , &c  ainfi  enfuite. 

Comme  fi  l’on  a penfé  cesfix  nombres,  2,4, 
5 3 7 > 8 , 9 , les  fommes  du  premier  & du  fécond  , 
du  fécond  & du  troifiéme  , du  troifiéme  ôc  du  qua- 
trième , 8c  ainfi  enfuite  jufqu’à  la  fomme  du  fécond 
8c  du  fixiéme  , feront  6,9,  11,15 ,17,13  , 8c 
ôtant  la  fomme  29  de  la  troifiéme  12,  & de  la  cin- 
quième 17,  qui  font  dans  les  lieux  impairs  , en 
omettant  la  première,  de  la  fomme  357  des  trois  9, 
15,13,  qui  lont  dans  les  lieux  pairs  , il  refte  8 , 
dont  la  moitié  4 eft  le  fécond  nombre  penfé,  qui 
étant  ôté  de  la  première  fomme  6 , le  refte  2 eft 
le  premier  nombre  penfé,  & étant  ôté  de  la  fécon- 
dé fomme  9 , le  refte  5 eft  le  troifiéme  nombre  pen- 
fé, lequel  étant  pareillement  ôté  de  la  troifiéme 
fomme  1 2 , il  refte  7 pour  le  quatrième  nombre 
penfé,  de  ainfi  enfuite. 

Lorfquc  chacun  des  nombres  penfez  ne  fera  com- 
pofé  que  d’une  figure,  on  les  pourra  trouver  tres- 
facilement  en  cette  forte.  Ayant  fait  ajouter  1 au 
double  du  nombre  penfé  , faites  multiplier  le  tout 
par  5 , & ajouter  au  produit  le  fécond  nombre  pen- 

G iiij 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
s’il  y a un  troilîéme  nombre,  ayant  fatcpa- 


Ï04 
fé,  8c 

reillement  ajoûter  1 au  double  de  la  fomme  prece- 
dente , faites  multiplier  le  tout  par  5 , & ajoûter 
au  produit  le  troifiéme  nombre  penfé  : 8c  de  mê- 
me s’il  y a un  quatrième  nombre  , ayant  fait  auffi 
ajoûter  1 au  double  de  la  derniere  iomme  prece- 
dente , faites  multiplier  le  tout  par  3 , 8c  ajoûter 
au  produit  le  quatrième  nombre  penfé , 8c  ainfi  en- 
fuite  , s’il  y a davantage  de  nombres  penfez.  Après 
cela  demandez  le  nombre  qui  provient  par  l’addi- 
tion du  dernier  nombre  penfé , & en  ôtez  3 pour 
deux  nombres  penfez  , 8c  5 3 pour  trois  nombres 
penfez , 8c  333  pour  quatre  nombres  penfez , 8c 
ainfi  enfuite,  8c  alors  la  première  figure  du  refie 
vers  la  gauche  fera  le  premier  nombre  penfé,  la 
fuivante  en  allant  vers  la  droite  fera  le  fécond  nom- 
bre penfé  , 8c  ainfi  enfuite  jufqu’à  la  derniere  fi- 
gure vers  la  droite , qui  reprefentera  le  dernier  nom- 
bre penfé. 

Comme  fi  l’on  a penfé  ces  quatre  nombres  3 , 
4 , 6 , 9 , en  ajoutant  1 au  double  6 du  premier 
nombre  penfé  3 , 8c  en  multipliant  la  fomme  j par 

5 , on  a 33,  auquel  ajoutant  le  fécond  nombre 
penfé  4 , on  a 39,  dont  le  double  eftyS  , auquel 
ajoutant  1 , 8c  multipliant  la  fomme  79  par  3 , on 
a 39$  , auquel  ajoutant  le  troifiéme  nombre  penfé 

6 , on  a 40 1 , dont  le  double  eft  802 , auquel  a- 
joûtant  pareillement  1 , 8c  multipliant  la  fomme 
803  par  (Ç  , il  vient  4015  , auquel  ajoutant  le 
quatrième  nombre  penfé  9 , & ôtant  de  la  fomme 
4024  ce  nombre  333,  il  refle  3469  , dont  les 
quatre  figures  font  les  quatre  nombres  penfez.  ’ 

Ou  bien  plus  facilement , ayant  fait  ôter  1 du 
double  du  premier  nombre  penfé , 8c  ayant  fait  mul- 
tiplier le  relie  par  5 3 faites  ajoûter  au  produit  le 


PrOBLH’MES  ©'ARITHMETIQUE.'  ÏOÇ 

fécond  nombre  penfé,  &:  demandez  la  fomme  s’il 
n’y  a plus  de  nombres  penfez  , autrement  faites 
ajouter  ^ à cette  fomme  , pour  avoir  une  fécondé 
fomme,  & ayant  fait  pareillement  ôter  I du  double 
de  cette  fécondé  fomme , faites  aufii  multiplier  le 
relie  par  5 , &c  faites  ajouter  au  produit  le  troifié- 
me  nombre  penfé,  & demandez  la  fomme  s’il  n’y 
a plus  de  nombres  penfez , autrement  il  faudra  com- 
me auparavant  faire  ajouter  ç à cette  fomme  , pour 
avoir  une  fécondé  fomme  , & ayant  fait  de  la  mê- 
me façon  ôter  1 du  double  de  cette  fécondé  fom- 
me , faites  pareillement  multiplier  le  relie  par  ç , 
&c  faites  ajouter  au  produit  le  quatrième  nombre 
penfé , & fi  ce  quatrième  nombre  eft  le  dernier  , 
demandez  la  fomme  , à laquelle  fi  vous  ajoutez  5 s 
vous  aurez  une  fécondé  fomme,  dont  les  figures 
reprefenteront  comme  auparavant  les  nombres 
penfez. 

Comme  dans  la  fuppofition  que  nous  venons  de 
faire  de  ces  quatre  nombres  penfez  3 , 4 , 6 , 9 , eu 
ôtant  1 du  double  6 du  premier  nombre  penfé  3 * 
& en  multipliant  le  relie  5 par  5 , on  a z$  , au- 
quel ajoutant  le  fécond  nombre  penfé  4 , on  a cet- 
te fomme  z9  , à laquelle  fi  l’on  ajoute  j,oaa 
çette  fécondé  fomme  34,  dont  le  double  eft  68  s 
d’où  ôtant  1 , il  relie  67,  qui  étant  multiplié  par 
ç , on  a 3 3 5 » auquel  ajoutant  le  troifiéme  nom- 
bre penfé  6 , on  a cette  fomme  341  , à laquelle 
ajoutant  5 on  a cette  fécondé  fomme  346  , donc 
|e  double  69  z étant  diminué  de  1 , & le  relie  691 
étant  multiplié  par  ç , on  a 3455  , auquel  ajou- 
tant le  quatrième  nombre  penfé  9 , on  a cette  fom- 
me 3464,  à laquelle  ajoutant  3 , on  a cette  fécondé 
fomme  3469  , dont  les  quatre  figures  reprefentcnt 
les  quatre  nombres  penfez. 


lo6  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

PROBLEME  XIX. 

Une  personne  tenant  dans  une  main  un  certain 
nombre  pair  de  ptftoles  , & un  nombre  impair  en 
l’autre  main  , deviner  en  quelle  main  efl  le  nom- 
bre pair  & impair. 

FAites  multiplier  le  nombre  de  la  main  droite 
par  un  nombre  pair  tel  qu’il  vous  plaira  , com- 
me par  2 , & le  nombre  de  la  main  gauche  par  un 
nombre  impair  aulïi  tel  qu’il  vous  plaira  , comme 
par  3 , & ayant  fait  ajouter  enfemble  les  deux 
produits  , faites  prendre  la  moitié  de  leur  fom- 
me  : & alors  fi  cette  moitié  eft  jufte  , en  forte 
que  la  fomme  foit  un  nombre  pair , vous  connoîtrez 
par  là  , que  le  nombre  de  la  main  droite  , qui  a été 
multiplié  par  un  nombre  pair  eft  impair  , & que  par 
conf  quent  celuy  de  la  main  gauche  , qui  a été  mul- 
tiplié par  un  nombre  impair  eft  pair.  Il  arrivera 
tout  le  contraire  , lorfque  la  moitié  de  la  fomme 
ne  fera  pas  jufte,  c’eft-à-dire,  quand  cette  fomme 
fera  un  nombre  impair  : car  dans  ce  cas  le  nombre 
de  la  main  droite,  qui  a été  multiplié  par  un  nom- 
bre pair  , fera  pair,  ôc  celuy  de  la  main  gauche, 
qui  a été  multiplié  par  un  nombre  impair,  feraauflî 
impair. 

Comme  fi  dans  la  main  droite  il  y a 9 piftoles , 
& 8 en  la  gauche  , en  multipliant  le  nombre  9 de 
la  droite  par  2 , 8c  le  nombre  8 de  la  gauche  par  3, 
3c  en  ajoutant  enfemble  les  deux  produits  I 8 , 24» 
on  aura  leur  fomme  42  , qui  étantun  nombre  pair, 
fait  connoître  que  le  nombre  impair  9 , qui  a été 
multiplié  par  le  nombre  pair  2 , eft  en  la  main 
droite  , 3c  par  confequent  le  nombre  pair  8 dans  b 
gauche. 


Problèmes  ^Arithmétique.  loy 
Mais  fi  dans  la  main  droite  il  y a 10  piftoles  , 
Si  y en  la  gauche,  en  multipliant  le  nombre  iode 
la  droite  par  z , Sc  le  nombre  y de  la  gauche  par 
3 , & en  ajoutant  enfcmble  les  deux  produits  zo  > 
Zi  , on  aura  leur  fomme  41  , laquelle  étant  un 
nombre  impair  , fait  connoître  que  le  nombre  pair 
I o , qui  a été  multiplié  par  le  nombre  pair  z , eft 
en  la  main  droite  , Si  par  confisquent  le  nombre 
impair  y dans  la  main  gauche.  C’cft  par  le  moyen 
de  ce  Problème  qu’on  peut  refoudre  la  Queflion 
fuivante. 

Q^U  E s T I o N. 

Une  perfonne  tenant  une  piece  d’or  dans  une  main* 
& une  piece  d’ argent  en  l autre , trouver  en  quelle 
main  eft  la  piece  d’or  fir  la  piece  d’argent. 

A Prés  avoir  donné  à l’or  une  certaine  valeur 
qui  foit  un  nombre  pair , comme  8 , Si  à l’ar- 
gent une  certaine  valeur  qui  foit  un  nombre  im- 
pair , comme  ^ , faites  multiplier  le  nombre  de  la 
main  droite  par  un  nombre  pair  quelconque  , com- 
me par  z » & le  nombre  de  la  main  gauche  par  un 
nombre  impair  quelconque  , comme  par  3 , & 
ayant  fait  ajouter  enfemble  les  deux  produits , de- 
mandez fi  leur  fomme  eft  un  nombre  pair  ou  im- 
pair , ce  que  vous  fçaurez  fans  le  demander , fi  vous 
en  faites  prendre  la  moitié  : car  fi  cette  fomme  eft 
un  nombre  impair,  l’or  fera  dans  la  main  droite  , 
<$c  l’argent  en  la  gauche,  & tout  au  contraire  , fi 
elle  eft  un  nombre  pair  , l’or  fera  dans  la  main 
gauche  , Si  l’argent  en  la  droite. 


I oS  Récréât.  Matkemat.  et  Phys. 

PROBLEME  XX. 

Trouver  deux  nombres , dont  on  connoît  l&Raifo» 
çr  lu  différence. 

POur  trouver  deux  nombres,  dont  le  premier 
foit  au  fécond  , par  exemple  comme  ^ eft  à z , 
& dont  la  différence  , ou  l’excès  du  plus  grand  fur- 
ie plus  petit  foit  par  exemple  1 2 ; multipliez  cette 
différence  i z parle  plus  petit  terme  z de  la  Raifon 
donnée  , &:  divifez  le  produit  24,  par  la  différence  3 
des  deux  termes  c , 2 , de  la  même  Raifon  donnée, 
& le  quotient  8 fera  le  plus  petit  des  deux  nombres 
qu’on  cherche , auquel  ajoutant  la  différence  don- 
née 1 2 , la  fomrae  20  fera  le  plus  grand,. 

Ou  bien  multipliez  la  différence  donnée  1 2 par 
le  plus  grand  t.rme  5 delà  raifon  donnée , & divi- 
fez  le  produit  60  parla  différence  3 des  deux  ter- 
mes ç , 2 , de  la  même  Raifon  donnée  , & le  quo- 
tient 20  fera  le  plus  grand  des  deux  nombres  qu’on 
cherche  , duquel  ôtant  la  différence  donnée  1 2 , 
le  refte  8 fera  le  plus  petit , comme  auparavant. 

Ou  bien  encore  multipliez  chacun  des  deux 
termes  ^ , 2,  de  la  Raifon  donnée,  par  la  différen- 
ce donnée  1 2 , & divifez  chacun  des  deux  produits 
6 o , 24  , par  la  différence  3 des  deux  mêmes  ter- 
mes f , 2 , Sc  les  quotiens  20  > 8 , feront  les  deux 
nombres  qu’on  cherche , comme  auparavant.  Parle 
moyen  de  ce  Problème  , l’on  peut  aifément  refon- 
dre IaQueftion  fuivante. 


Proble’mes  d Arithmétique. 
Q3  e s t i o n. 


105 


jyhiflqn’  un  ayant  autant  de  pièces  de  monnoye  dans 
fine  main  que  dans  t autre , deviner  combien 
il  7 en  a en  chaque  mam. 


FAites  mettre  quelques  pièces  de  la  main  gau- 
che à la  main  droite , par  exemple  deux  , en- 
forte  qu’il  y ait  quatre  pièces  plus  dans  la  main  droi- 
te que  dans  la  gauche,  Sc  demandez  laRaifon  du 
nombre  des  pièces  de  la  main  droite  au  nombre 
des  pièces  de  la  main  gauche  , qui  foit  par  exemple 
égale  à celle  de  5 à 3 : Sc  alors  il  faudra  multiplier 
la  différence  4 du  nombre  des  pièces  d’une  main  au 
nombre  des  pièces  de  l’autre , par  le  plus  petit  ter- 
me 3 de  la  Raifon  donnée , Sc  divifer  le  produit 
I z par  la  différence  z des  deux  termes  5,3,  de  la 
même  Raifon  donnée  , Sc  le  quotient  6 fera  le 
nombre  des  pièces  de  la  main  gauche , auquel  ajou- 
tant la  différence  4 des  deux  nombres  des  pièces  qui 
font  en  chaque  main,  011  aura  10  pour  le  nombre 
des  pièces  de  la  main  droite  , auquel  fî  l’on  ajoûte 
le  nombre  6 des  pièces  de  la  main  gauche , on  aura 
I 6 pièces  en  tout , dont  la  moitié  8 fait  connoître 
qu’au  commencement  il  y avoit  8 pièces  de  mon- 
noye  dans  chaque  main. 


I 


\iq  Récréât.  Mathemat.  etPhts» 

PROBLEME  XXL 

Deux  perfonnes  étant  convenus  de  prendre  àplaijtf 
des  nombres  moindres  quun  nombre  propofé,  en 
continuant  alternativement  jufqu’a  ce  que  tous 
leurs  nombres  fajfent  enfemble  un  nombre  dé  ter- 

, faire  qu’on  ar- 
hs  grand. 

P Oui;  faire  que  le  premier  arrive  par  exemple  à 
IOO)  en  fuppofant  qu’il  lu  y eft  libre , auiïî  bien 
qu’au  fécond  , de  prendre  alternativement  un  nom- 
bre tel  qu’il  voudra  , pourvu  qu’il  foit  moindre  par 
exemple  que  1 1 , qu’il  bte  ce  nombre  1 1 de  i oo 
autant  de  fois  qu’il  pourra , & alors  il  reliera  ces 
nombres  i ,u,  23  , 34,45, 56 , 6yt , 78,  89  s 
dont  il  fe  doitfouvenir  & prendre  le  premier  1 , car 
ainlî  quelque  nombre  que  le  fécond  prenne,  il  ne 
pourra  pas  empêcher  le  premier  de  parvenir  au  fé- 
cond nombre  1 2,, car  lî  le  fécond  prend  par  exemple 
3 , qui  avec  1 fait  4 , le  premier  n’a  qu’à  prendre  8 * 
pour  parvenir  à 1 iraprésquoy  quelque  nombre  que 
prenne  le  fécond  , il  ne  pourra  pas  empêcher  que  le 
premier  ne  parvienne  au  troifiéme  nombre  23  , car 
s’il  prend  par  exemple  1 , qui  avec  1 2 fait  j 3 , le 
premier  n’a  qu’à  prendre  10  > qui  avec  1 3 fait  23  } 
enfiite  de  quoy  quelque  nombre  pareillement  que 
le  fécond  prenne  , il  ne  pourra  pas  empêcher  le 
premier  de  parvenir  au  quatrième  nombre  34,  & 
enfuite  au  cinquième  45  , & en  apres  au  fixiéme 
3 6 , & de  là  au  feptiéme  6 y , de  là  au  huitiè- 
me 78,  delà  au  dernier  89  , ôc  de  là  enfin  à 1 00. 

Si  le  fécond  vouloir  gagner  , il  eft  évident  qu’il 
devroit  prendre  au  commencement  un  nombre  qui 
fût  le  refte  à 1 2 du  nombre  que  le  premier  auroit 


miné  plus  grand  que  le  propofé 
rive  a ce  nombre  déterminé  pli 


Proble MES  d’Arithmetique  III 
pris,  afin  de  pouvoir  parvenir  à iz  , comme  fi  le 
premier  avoitpris  z , le  fécond  devroit  prendre  io: 
mais  fi  le  premier  fçait  la  finefiè , il  ne  peut  prendre 
que  i , Sc  alors  le  fécond  devroit  prendre  1 1 , ce 
qui  ne  fe  peut , parce  qu’ils  font  convenus  de  pren- 
dre des  nombres  moindres  que  1 1 . Mais  ces  for- 
tes de  Jeux  ne  fe  font  ordinairement  que  parmy 
ceux  qui  les  ignorent  : Ainfi  fi  le  fécond  ne  fçait  pas 
la  finefie  du  Jeu , le  premier  qui  veut  gagner  ne  doit 
pas  prendre  toujours  i au  commencement  , mais 
quelqu’autre  nombre  apres  avoir  gagné  la  première 
partie , en  rifquant  de  perdre  la  fécondé  , pour 
mieux  cacher  l’artifice. 

Si  le  premier  veut  gagner,  il  ne  faut  pas  que  le 
plus  petit  nombre  propofé  mefure  le  plus  grand  , 
car  dans  ce  cas  le  premier  n’auroit  pas  une  réglé  in- 
faillible pour  gagner.  Par  exemple  fi  au  lieu  de  1 1, 
on  avoir  io  qui  mefure  ioo>  en  ôtant  io  conti- 
nuellement de  ioo,  on  auroit  ces  nombres  io» 
zo , 3 o , 40 , 5 o , ôo  , 70  j 80 , 90 , dont  le  pre- 
mier 1 o ne  pourroit  pas  être  pris  par  le  premier  , 
ce  qui  fait  qu’étant  obligé  de  prendre  un  nombre 
moindre  que  10,  li  le  fécond  étoit  auffi  fin  que  luy, 
il  pourroit  prendre  le  relie  à 10  , & ainfi  il  auroit 
une  réglé  infaillible  pour  gagner. 

Il  n’eft  pas  ncccfîàire  d ’ôter  continuellement  le 
plus  périt  nombre  du  plus  grand,  pour  fçavoirle 
nombre  que  le  premier  doit  prendre  pour  gagner, 
car  il  fuffit  de  divifer  le  plus  grand  par  le  plus  petit, 
& le  refte  de  la  divifion  fera  le  nombre  que  le  pre- 
mier doit  choifir  au  commencement.  Comme  dans 
l’exemple  propofé  en  divifant  1 00  par  1 1 , il 
refte  1 , pour  le  premier  nombre  du  premier , 
auquel  s’il  ajoute  1 1 , il  aura  1 z pour  fon  fé- 
cond nombre  , auquel  ajoutant  pareillement  1 1 , 


1 1 % RecrëAt.  Mathemat.  et  Phys: 
il  aura  23  pour  Ton  troifiéme  nombre , & ainft  eiià 
fuitejufqua  100. 

PROBLEME  XX  IL 

Divifer  un  nombre  donne  en  deux  parties , dont 
la  Raifon  foie  égale  a celle  de  deux  nombres 
donnez» 

QU’il  faille  divifer  le  nombre  donné  60  en 
deux  autres  nombres  tels  que  le  plus  petit 
loit  au  plus  grand , par  exemple  comme  1 eft  à 2 s 
en  forte  qu’une  partie  foit  double  de  l’autre. 

Ajoutez  enfemble  les  deux  termes  1 , 2 > de  la 
Raifon  donnée , &c  divifez  par  leur  fomme  3 le 
nombre  donné  60  ; & le  quotient  20  fera  le  plus 
petit  des  deux  nombres  qu’on  cherche  , lequel  étant 
ôté  du  nombre  donné  60,  Ierefteqo  fera  le  plus 
grand  nombre. 

Ou  bien  multipliez  les  deux  termes  1,2,  de 
la  Raifon  donnée  , chacun  par  le  nombre  donné  6 os 
& divifez  les  produits  60,  i2os  chacun  par  la 
fomme  3 des  deux  mêmes  termes  1 , 2 , & les  deux 
quotiens  20  , 40  > feront  les  deux  nombres  qu’on 
cherche. 

Ce  Problème  eft  le  même  que  la  fécondé  Qua- 
tion du  Livre  premier  de  Diophante  , & l’on  peut 
aifément  par  fou  moyen  refoudre  la  Queftion  fui- 
vante*. 

MU  ^5 
MU 

QjJE  S T I O Ni 


^ROBLE  MES  d’AritRMETI(^U£.  i I ^ 
Q^U  E S T I O N. 

Faire  la  monnoye  d’un  écu  blanc  en  deux  efpeces 
differentes  , en  forte  qu  il  y ait  autant 
d’une  efpece  que  de  l’autre . 

COmme  l’on  cherche  une  lolution  en  nombres 
entiers , il  eft  ai fé  de  connoître  que  cette  Ques- 
tion ne  fe  peut  pas  refoudre  generalement  pour  tou- 
tes fortes  de  monnoyes  , car  afin  que  la  Queftion 
foit  poflible,  il  faut  que  la  fomme  des  deux  termes 
qui  expriment  la  Raifon  des  deux  efpeces  propo- 
sées puiffe  divifer  exactement  la  valeur  d’un  écu 
blanc,  lorfqu’il  fera  réduit  en  la  monnoye  la  plus 
baffe. 

Ainfi  en  faifant  valoir  6 O fols  un  écu  blanc  , ou 
2,40  liards , on  connoît  qu’on  en  peut  donner  la 
monnoye  en  fols  & en  liards , parce  que  fa  valeur 
240  fe  peut  divifer  par  la  fomme  y des  deux  ter- 
mes 1,4,  qui  expriment  la  Raifon  d’unliard  aura 
fol,  parce  que  quatre  liards  font  un  fol.  Si  donc 
on  divife  240  liards  par  5 , on  aura  48  liards  , & 
par  confequent  48  fols,  pour  la  refplution  de  la 
Queftion,  car  48  fols  avec  48  liards , qui  valenc 
t 2 fols,  font  60  fols,  telle  qu’eft  la  valeur  fuppo- 
fée  d’un  écu  blanc. 

On  connoîtra  de  la  même  façon  , qu’il  faut  1 2 
fols  8c  1 2 pièces  de  quatre  fols  pour  faire  un  écu 
de  60  fols,  parce  que  divifant  60  par  5 , le  quo- 
tient eft  1 2 i 8c  qu’il  faut  1 3 fols  , 8c  I 3 pièces  de 
quatre  fols , pour  faire  un  écu  de  6 3 fols , parce 
que  divifant  65  par  3 , le  Quotient  eft  1 3. 

Pareillement  pour  donner  eu  fols  8c  en  pièces 
de  quatre  fols  la  monnoye  d’un  Louis  d’or  valant 
Tome  /.  H 


1 1 4 Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 

1 1 livres,  ou  zio  fols , en  forte  qu’il  y ait  autant  de 
fols  que  de  pièces  de  quatre  fols , il  faut  44  fols  , & 
44  pièces  de  quatre  fols,  parce  que  divifantzzo 
par  5 , le  Quotient  eft  44  : 3c  que  pour  donner 
dans  les  deux  mêmes  efpeces  la  monnoye  d’un 
Louis  d’or  valant  1 1 livres  5 fols  , ou  145  fols , en 
farte  qu’il  y ait  autant  d’une  efpece  que  de  l’autre  , 
il  faut  49  fols , &49  pièces  de  quatre  fols, parce 
que  divifant  2.4 ^ par  ç , le  quotient  eft49. 

Enfin  l’on  connoîtra  que  pour  faire  la  monnoye 
en  fols  3c  en  deniers  d’un  écu  valant  6 5 fols,  ou 
780  deniers  , en  forte  qu’il  y ait  autant  de  fols  que 
de  deniers,  il  faut  60  fols  , 3c  60  deniers  , parce 
que  divifant  780  par  13,  qui  eft  la  fomme  des 
deux  termes  1 , 1 z , qui  expriment  la  Raifon  d’un 
denier  à un  fol,  parce  qu’un  fol  contient  iz 
deniers  , le  Quotient  eft  6 o.  Ainfi  des  autres. 

PROBLEME  XXIII. 

Trouver  un  nombre , qui  étant  divifé  fepdrément 
par  des  nombres  donnez, , il  refie  par  tout  1 , & 
étant  divifé  par  un  autre  nombre  donné , il  ne 
refie  rien. 

POur  trouver  un  nombre  tel  que  fi  on  le  di« 
vife  feparément  par  les  deux  nombres  donnez 
5,7,  chaque  refte  foit  1 , 3c  que  fi  on  le  divifé 
par  ce  troifiéme  nombre  donné  3 , qui  doit  être 
premier  avec  les  deux  precedens , il  ne  refte  rien. 

Multipliez  enfcmble  les  deux  premiers  nombres 
donnez  5 , 7 , pour  avoir  leur  produit  3 $ , auquel 
ajoutant  1 , on  aura  ce  nombre  36  , qui  fera  tel 
qu’étant  divifé  par  5 , 3c  par  7 , il  reliera  1 ; 8i 
somme  il  arrive  par  hazard  que  ce  même  nombre 


Problb’mes  d’ Arithmétique.^  i i ^ 

3 6 étant  divifé  pat  le  troifiéme  n ambre  donné  3, 
il  ne  relie  rien,  il  s’enfuit  que  3 6 eft  le  nombre 
qu’on  cherche. 

Mais  on  peut  trouver  une  infinité  d’autres  nom- 
bres plus  grands  , qui  fatisferont  aux  conditions 
du  Problème , ce  qui  fe  fera  par  le  moyen  du  pre- 
mier & plus  petit  nombre  trouvé  36,  en  cette 
forte. 

Pour  donc  trouver  un  fécond  nombre,  ajoutez 
le  premier  nombre  trouvé  36  au  produit  10  Ç des 
trois  nombres  donnez  5 , 7,  3 ,8c  lafomme  141 
fera  le  fécond  nombre  qu’on  cherche , auquel  a- 
joûtant le  produit  precedent  iof  , on  aura  246 
pour  troifiéme  nombre,  auquel  fi  l’on  ajoute  pa- 
reillement le  même  produit  1 o J , on  aura  3 j 1 pour 
quatrième  nombre,  & ainfi  enfuite. 

Pareillement  pour  trouver  un  nombre  , qui 
étant  divifé  feparément  par  les  trois  nombres 
donnez  2 , 3 , 5 , il  relie  1 , & étant  divifé  par 
ce  quatrième  nombre  donné  11  , qui  doit  pareil- 
lement être  premier  avec  les  trois  precedens  2, 3, 
5 , il  ne  relie  rien. 

Multipliez  cnfemble  les  trois  premiers  nombres 
donnez  2 , 3 , ç , pour  avoir  leur  produit  30,  au- 
quel ajoutant  1 , on  aura  ce  nombre  3 1 , qui  étant 
divifé  par  chacun  des  trois  premiers  nombres  don- 
nez , 2 > 3 , 5 , il  doit  relier  1 : & fi  étant  divifé 
par  le  quatrième  nombre  donné  1 1 , il  nereftoic 
rien,  ce  nombre  31  feroit  celuy  qu’on  cherche  , 
mais  parce  qu’il  relie  5)  , le  nombre  3 1 n’eft  pas 
celuy  qu’on  cherche , & pour  le  trouver  on  fera 
ainfi. 

Parce  que  le  produit  3 o des  trois  premiers  nom- 
bres donnez  2,3,  55  étant  divifé  par  le  quatrième 
nombre  donné  1 1 , il  relie  8 » dont  le  quadruple 

H ij 


il  6 HecReàt.  MatheMAt.  et  PhVs. 

^2.  n’eft  moindre  que  de  1 du  nombre  33  qui  e 
multiple  de  1 1 , fçavoir  le  triple,  filon  multiplie 
ce  produit  30  par  4,  & qu'au  produit  120  on 
ajoute  1 j la  foin  me  121  fera  le  nombre  qu’on 
cherche  , par  le  moyen  duquel  on  en  pourra  trou- 
ver autant  d’autres  qu’on  voudra  , en  cette  forte. 

Pour  donc  avoir  un  fécond  nombre  , ajoutez  le 
premier  nombre  trouvé  121  au  produit  i 3 20  des 
quatre  nombres  donnez  2,3,53  1 1 , & la  fem- 
me 1441  fera  le  fécond  nombre  qu’on  cherche» 
auquel  ajoutant  le  produit  precedent  1320  , on 
aura  2761  pour  troifiéme  nombre  , auquel  fi  l’on 
ajoute  pareillement  le  même  produit  1320,  on 
aura  4081  pour  quatrième  nombre,  & ainfi  enfuite. 

On  pourra  par  un  femblable  raifonnement  trou- 
ver un  nombre  , qui  étant  divifé  féparément  par  ces 
trois  nombres  donnez  3 , 5,7,1!  refte  un  autre 
nombre  que  l’unité  , par  exemple  2 , 8c  étant  divifé 
par  ce  quatrième  nombre  donné  8 , il  ne  refte  rien. 

Multipliez  enfemble  les  trois  premieis  nombres 
donnez  3,5,7 ,8c  divifez  leur  produit  1 o 5 par  le 
quatrième  nombre  donné  8 , ÔC  parce  qu’il  refte  1 , 
multipliez  le  produit  105  par  6,  afin  que  le  produit 
6 30  étant  divifé  par  8 , il  refte  6 > qui  eft  moindre 
que  8 de  2 , car  ainfi  ajoutant  2 au  dernier  produit 
630,  la  fomme  6 32  fera  le  nombre  qu’on  cher- 
che  , qui  fervira  pour  en  trouver  autant  d’autres 
qu’on  voudra  de  la  même  qualité,  par  Une  Métho- 
de femblable  à la  precedente  , comme  vous  allez 
voir. 

Pour  donc  trouver  un  fécond  nombre  plus  grand, 
ajoutez  le  nombre  trouvé  63  2 au  produit  840  des 
quatre  nombres  donnez  3 , 5 ,7 , 8 , & la  fomme 
2472  fera  le  fécond  nombre  qu’on  cherche,  auquel 
ajoutant  le  produit  precedent  840 , on  aura  23  1 1 


PrOBLE’mES  d’ArITHMETIQUE.  jij 

pour  le  troifiéme  nombre,  auquel  lî  l'on  ajoute  pa- 
reillement le  même  produit  840,  on  aura  3 
pour  le  quatrième  nombre,  & ainfi  enfuite. 

Pareillement  pour  trouver  un  nombre  qui  étant 
divifé  par  ces  trois  nombres  donnez,  3 , 3 , 7,  il 
refte  2 , & étant  divifé  par  ce  quatrième  nombre 
donné  1 1 , il  ne  refte  rien*  divifez  le  produit  10  J 
des  trois  premiers  nombres  donnez  3 , 5 , 7 , par  le 
quatrième  1 1 , & parce  qu’il  refte  6 , dont  le  dou- 
ble 1 2 furpaftè  le  divifeur  1 1 de  1 , multipliez  le 
produit  105  par  2 , afin  qu’étant  divifé  par  11, 
il  refte  1 , & comme  l’on  voudroit  qu’il  reftât  9 „ 
qui  eft  moindre  que  le  divifeur  1 1 de  2 , multi- 
pliez par  9 le  dernier  produit  210,  afin  que  le 
produit  1890  étant  divifé  par  1 1 , il  refte  9 , car 
ainfi  ajoutant  2 à ce  dernier  produit  1890,  la 
fomme  1892  étant  divifée  par  1 1 , il  ne  reliera 
rien  , & elle  fera  par  confequent  le  nombre  qu’on 
cherche , par  le  moyen  duquel  on  en  pourra  trou- 
ver une  infinité  d’autres  de  la  même  qualité  , com- 
me nous  avons  déjà  fait  voir  par  plusieurs  exem- 
ples , fans  qu’il  foit  befoin  de  le  repeter  davantage. 

De  même  pour  trouver  un  nombre  qui  étant  di- 
vifé par  ^ , ou  par  7 , ou  par  8 , il  refte  3 , & étant 
divifé  par  1 1 , il  ne  refte  rien  , on  multipliera  par  9 
le  produit  28odes  trois  premiers  nombres  donnez 
5 , 7,  8 , afin  que  le  produit  2520  étant  divifé 
par  le  quatrième  nombre  donné  1 1 , il  refte  1 : car 
ainfi  on  pourra  faire  qu’il  refte  8 , qui  eft  moindre 
que  1 1 du  nombre  donné  3 , en  multipliant  par  8 
le  produit  precedent  2520,  pour  avoir  ce  dernier 
produit  io\6o,  auquel  par  confequent  fi  l’on  a- 
joute  3 , la  fomme  20163  fera  le  nombre  qu’on 
cherche.  C’eft  par  le  moyen  de  ce  Problème  que 
l’on  peut  refôudre  la  Queftion  fuivante, 

H üj 


I ï 8 Récréât.  Mathem aï.  et  Phys» 
Question. 

Trouver  combien  il  y avait  de  louis  d’or  dans  une 
bourfe  , qu’une  perfonne  dit  avoir  perdue,  & 
qui  ajfure  qu  en  les  comptant  deux  à deux  , ou 
trois  À trois  , ou  Cinq  a cinq  , il  en  refioit  tou- 
jours un,  & qu'en  les  comptant  fept  à fept , il 
n en  rcfioit  point . 

IL  s’agit  ici  de  trouver  un  nombre,  qui  étant  di- 
vifé  par  celuy  qu’on  voudra  des  trois  nombres 
donnez  2 , 3 , 5 , il  refte  1 , 8c  étant  divifé  par  le 
quatrième  nombre  donné  y , il  ne  refte  rien  , car 
ce  nombre  fera  celuy  des  piftoles  qui  étoient  dans 
la  bourfe  : 8c  comme  il  y a plufieurs  nombres  qui 
peuvent  fatisfairc  à laQueftion,  comme  vous  avez 
Vu  au  Problème  precedent,  on  pourra  juger  par  la 
grofteur  ou  par  la  pefanteur  de  la  bourfe , du  nom- 
bre des  piftoles  qu’elle  pouvoir  contenir. 

Mais  pour  trouver  le  moindre  de  tous  ces  nom- 
bres, cherchons  premièrement  un  nombre  qui  liait 
exaétement  divifible  par  2 , par  3 , 8c  par  5 , 8c  qui 
étant  augmenté  de  1 , la  fournie  l'oit  aulll  exacte- 
ment divifible  par  7.  Si  l’on  multiplie  enfemble  les 
trois  premiers  nombres  donnez  2 , 3 , 5 , leur  pro- 
duit 30  fera  divifible  par  chacun  de  ces  trois  nom- 
bres , mais  en  Iuy  ajoutant  1 , la  fomme  3 1 n’eft 
pas  divifible  par  le  quatrième  nombre  donné  7 , car 
il  refte  3 : 8c  comme  le  produit  30  étant  divifé  par 
7 , il  refte  2 , fon  double  60  étant  divifé  par  7 , iî 
reftera  4 double  de  2 > & pareillement  fon  triple  90 
étant  divifé  par  7 , il  reftera  6 triple  de  2 , 8c 
moindre  de  1 que  le  divifeur  7 , ce  qui  fait  que  fi 
à ce  triple  ÿQ  l’on  ajoute  1 3 la  fomme  jji  fera 


Proble’mes  d’Arithmetique.  I I ^ 
exactement  divifible  par  7 , ôc  reprefenterapar  con- 
fequcnt  le  nombre  qu’on  cherche. 

Pour  trouver  un  fécond  nombre  plus  grand  qui 
fatisfafte  à la  Queftion  , multipliez  enl'emble  les  qua- 
tre nombres  donnez  2 , 3 , 5 , 7 , & ajoutez  à leur 
produit  zi  o le  premier  8c  plus  peut  nombre  trou- 
vé 9 1 , & la  fomme  301  fera  le  fécond  nombre 
qu’on  cherche , auquel  fi  l’on  ajoute  le  produit 
precedent  z I O , la  fomme  5 1 1 fera  un  troifiéme 
nombre  qui  fatisfera , auquel  pareillement  fi  l’on 
ajoute  le  même  produit  zio  , la  fomme  7ZI  fe- 
ra un  quatrième  nombre  qui  fatisfera  , 8c  ainfi  à 
l’infini. 

Ainfi  pour  la  refolution  de  la  Queftion  , l’on  peut 
dire  que  dans  la  bourfe  perdue  il  pouvoit  y avoir 
51  louis  d’or,  ou  bien  301  > ou  bien  51 1 , ou 
bien  encore  7 z I , & c’eft  félon,  comme  nous  avons 
déjà  dit  , la  grofleur  de  la  bourfe. 

PROBLEME  XXIV. 

Divifer  plufeurs  nombres  donnez,  chacun  en  deux 
parties  , dr  trouver  d,eux  nombres,  en  forte  que 
multipliant  la  première  partie  de  chacun  des 
nombres  donnez,  par  le  premier  nombre  trouvé , 
dr  la  fécondé  par  le  fécond,  la  fomme  des  deux 
produits  foit  par  tout  la  même. 

SI  l’on  donne  par  exemple  ces  trois  nombres  1 o, 
Z 5 , 3 o , &C  qu’on  veuille  avoir  une  folution  en 
nombres  entiers , prenez  pour  les  deux  nombres 
qu’on  cherche  deux  nombres  quelconques , pourvu 
• que  leur  différence  foit  1 , ou  telle  qu’elle  puilîe 
divifer  exactement  le  produit  fous  le  plus  grand  de 
ces  deux  nombres  & la  différence  de  deux  quel- 

H iiij 


j i o Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
conques  des  trois  nombres  donnez,  & que  îe  plus 
grand  de  ces  deux  nombres  , multiplié  par  le  plus 
petit  nombre  donné  10  , furpaffe  le  plus  petit  des 
deux  mêmes  nombres  , multiplié  par  le  plus  grand 
nombre  donné  3 o , comme  2 , & 7. 

Ayant  ainfi  trouvé  les  deux  nombres  qu’on  cher- 
che , 2 , 7 , la  première  partie  du  premier  nombre 
donné  10,  fe  pourra  prendre  à volonté,  pourvu 
quelle  foit  moindre  que  ce  nombre  donné  10,  & 
que  le  nombre  qui  vient  en  ôtant  le  plus  petit  nom- 
bre trouvé  2 multiplié  par  le  plus  grand  donné  3 0, 
du  plus  grand  nombre  trouvé  7 multiplié  par  le 
plus  petit  nombre  donné  ip,  & en  divifantle  refte 
I o par  la  différence  ç des  deux  nombres  trouvez  2, 
7,  c’cft-à  dire  , moindre  que  2,  comme  1,  qui 
étant  ôté  du  premier  nombre  donné  10,  le  refte  9 
fera  l’autre  partie,  laquelle  étant  multipliée  par  le 
fécond  nombre  trouvé  7,  & la  première  1 étant 
multipliée  par  le  premier  nombre  trouvé  2 j la 
fomme  des  deux  produits  6 3 , 2 , eft  6 f . 

Pour  trouver  la  première  partie  du  fécond  nom- 
bre donné  2 f , multipliez  la  différence  1 ç des  deux 
premiers  nombres  donnez  10,  2$  , par  le  plus 
grand  nombre  trouvé  7 , 8c  ayant  divifé  le  produit 
105  par  la  différence  $ des  deux  nombres  trouvez 
2,  Ç , ajoutez  le  quotient  21  lia  première  partie 
trouvée  1 du  premier  nombre  donné  10»  8c  la  fom- 
me 22  fera  la  première  partie  du  fécond  nombre 
donné  25  , c’eft  pourquoy  l’autre  partie  fera  3 , la- 
quelle étant  multipliée  parle  fécond  nombre  trou- 
vé 7 , & la  première  22  par  le  premier  2,  lafom- 
me  des  deux  produits , 21  , 44 , fait  aufîî  6ç. 

Enfin  pour  trouver  la  première  partie  du  tro.i- 
fléme  nombre  donné  30.  multipliez  la  différence 
5 çhs  deux  derniers  nombres  donnez  25 , 3 0,  par 


Proble’mes  d’Arïthmetique.  lit 
le  plus  grand  nombre  trouvé  7 , Sc  ayant  divifé  le 
produit  3 5 par  la  différence  5 des  deux  nombres 
trouvez  2,7,  ajoutez  le  quotient  7 a la  première 
partie  22,  du  fécond  nombre  donné  30  > & la  fotn- 
tne  29  fera  la  première  partie  dutroifiéme  nombre 
donné  30  » c’eft  pourquoy  l’autre  partie  fera  1 , la- 
quelle étant  multipliée  par  le  fécond  nombre  trou- 
vé 7 , Sc  la  première  29  parle  premier  2,  laiom- 
me  des  deux  produits  7,  58  , fait  aufl]  6^ 

Ou  bien  multipliez  la  différence  20  du  premier 
Sc  du  troifïéme  nombre  donné,  parle  plus  grand 
nombre  trouvé  7,  Sc  ayant  divifé  le  produit  140 
par  la  différence  j des  deux  nombres  trouvez  2,  7» 
ajoutez  le  quotient  28  à la  première  partie  I du 
premier  nombre  donné  10,  & vous  aurez  29» 
comme  auparavant , pour  la  première  partie  du  troi- 
fié me  nombre  donné  3 o. 

Si  l’on  prend  1,6,  pour  les  deux  nombres 
qu’on  cherche , Sc  4 pour  la  première  partie  du 
premier  nombre  donné  10,  auquel  cas  l’autre  par- 
tie fera  6 , qui  étant  multipliée  par  le  fécond  nom- 
bre trouvé  6 i Sc  la  première  4 parle  premier  1 , 
la  fomme  des  deux  produits  3 6,  4,  eft  40,  la 
première  partie  du  fécond  nombre  donné  2$  fera 
2 z,  & l’autre  partie  par  confequent  fera  3,  qui 
étant  multipliée  par  le  fécond  nombre  trouvé  6 > 
Sc  la  première  22  par  le  premier  1 , la  fomme  des 
deux  produits  18,  22,  eft  auflî  40;  Sc  enfin  la 
première  partie  du  troifïéme  nombre  donné  30  fera 
28  , ce  qui  fait  que  l’autre  partie  fera  2 , qui  étant 
multipliée  par  le  fécond  nombre  trouvé  6 , Sc  la  pre- 
mière 28  par  le  premier  1 , la  fomme  des  deux 
produits  12,  28  , eft  auftï  40.  Ce  Problème  fert 
pour  refoudre  la  Qaeftion  fuivante. 


ii  2 Récréât.  Ma themat.  et  Pîî^s* 


Question. 


Vne  femme  a vendu  l 5 pommes  au  Marché  a un 
certain  prix , une  antre  femme  en  a vendu  25 
au  même  prix  , & une  troifiéme  femme  en  a 
vendu  3 o aujfi  au  même  prix , & chacune  a rap* 
porté  une  même  fomme  d’ argent.  On  demande 
comment  cela  fe  peut  &fe  doit  faire . 

IL  ell  évident  qu’afin  que  laQueftion  Toit  poffi- 
ble,  il  faut  que  les  femmes  vendent  leurs  pom- 
mes à deux  diverfes  fois,  & à divers  prix  , bien 
qu’a  chaque  fois  elles  vendent  chacune  à un  même 
prix.  Si  ces  deux  prix  differens  font  2 ,7  » qui  font 


Pom. 


Dm.  Pom.  Den. 


les  deux  nombres  que  nous  avons  trouvez  au  Pro- 
blème precedent , & fi  l’on  fuppofeque  la  premiè- 
re fois  elles  vendent  2 deniers  la  pomme  , ôc  qu’à 
ce  prix  la  première  vende  1 pomme , la  fécondé 
22  , & la  troifiéme  29  > les  trois  nombres  1,2 2 » 
251  ï étant  les  premières  parties  des  trois  nombres 
donnez  10,  2^,  30  , qui  ont  été  trouvées  au 
Problèmes  precedent , dans  ce  cas  la  première  fem- 
me aura  2 deniers , la  fécondé  en  aura  44 , &c  la 
troifiéme  en  aura  En  après  fi  l’on  fuppofe 
qu’elles  vendent  le  relie  de  leurs  pommes  7 deniers 
la  pomme,  alors  la  première  femme  aura  6 3 de- 
niers pour  9 pommes  qui  luy  relient , la  fécondé 
aura  21  deniers  pour  3 pommes  qui  luy  relient, 


Problèmes  d’Arithmetiqpj. 
la  troifiéme  aura  7 deniers  pour  1 pomme  qui  luy 
refte , de  forte  que  chacune  aura  en  tour  65  de- 
niers. 

Ou  bien  fi  les  deux  prix  differens  font  1 , 6 , qui 
font  les  deux  nombres  que  nous  avons  trouvez  au 
Problème  precedent , 5c  fi  l’on  fuppofe  que  la  pre- 
mière fois  elles  vendent  1 denier  la  pomme  , 5c 


10. 

25. 

30. 


Pom. 

4 

22  ' 

1* 


\ 

a 

\ 

a 

\ 

a 


Dm.  Pom. 

I 6 à 

I 3 à 

I 2 à 


Dm. 


40 


qu’à  ce  prix  la  première  vende  4 pommes , la  fé- 
condé 22,  & la  troifiéme  28  , ces  trois  nombres 
4,  22  j 28,  étant  les  premières  parties  des  trois 
nombres  donnez  10,  25,30,  qui  ont  été  trou- 
vées au  Problème  precedent,  dans  ce  cas  la  pre- 
mière femme  aura  4 deniers , la  fécondé  en  aura 
22  , 5c  la  troifiéme  en  aura  28.  En  après  fi  l’on 
fuppofe  qu’elles  vendent  le  refte  de  leurs  pommes 
6 deniers  la  pomme,  alors  la  première  femme  aura 
3 6 deniers  pour  6 pommes  qui  Iuy  reftent,  la  fé- 
condé aura  1 8 deniers  pour  3 pommes  qui  luy 
reftent , & la  troifiéme  aura  1 2 deniers  pour  2 
pommes  qui  luy  reftent,  de  forte  que  chacune  aura 
en  tout  40  deniers. 

PROBLEME  XXV. 

De  plufieurs  nombres  en  Progreffion  Arithmétique, 

& difpofezj  en  rond , dont  le  premier  fait  l’uni- 
té' , trouver  celuy  que  quelqu’un  aura  penfé. 

POur  deviner  celuy  que  quelqu’un  aura  penfé  ^ri" 
par  exemple  des  dix  nombres  naturels  1 , 2,  z.  Fig. 


124  Récriât.  Mathemat.  et  Phys. 
5,4,5,6,7,8,9,10,  difpofez  en  rond , com- 
me vous  voyez  dans  la  Figure,  qui  peuvent repre- 
fenter  dix  Cartes  differentes  , dont  la  première  mar- 
quée par  la  lettre  A feroit  l’As , 8c  la  derniere  re- 
prefentée  par  la  lettre  K feroit  le  Dix. 

Ayant  fait  toucher  un  nombre , ou  une  carte  telle 
que  voudta  celuy  qui  en  aura  déjà  penfé  une,  a- 
joutez  au  nombre  de  cette  carte  touchée  le  nombre 
qui  exprime  la  multitude  des  cartes,  comme  10 
dans  cet  exemple  , 8c  faites  compter  lafommeque 
vous  aurez  à celuy  qui  a penfé  la  carte  , par  un  or- 
dre contraire  à celuy  des  nombres , en  commençant 
parla  carte  qu’il  aura  touchée,  8c  en  attribuant  à 
cette  Carte  le  nombre  de  celle  qu’il  aura  penfée 
car  en  comptant  de  la  forte  , il  finira  à compter 
cette  fomme  fur  le  nombre  ou  fur  la  Carte  qu’il 
aura  penfée , 8c  vous  fera  par  confequent  connoî- 
tre  cette  Carte. 

Comme  fi  l’on  a penfé  3 marqué  par  la  lettre 
C,  & qu’on  ait  touché  6 marqué  par  la  lettre  F, 
fi  l’on  ajoute  10  à ce  nombre  6,  on  a la  fomme 
I 6 y 8c  comptant  cette  fomme  1 6 depuis  le  nom- 
bre touché  F vers  E , D , C , B , A , 8c  ainfi  enfuite 
par  un  ordre  rétrogradé  , en  forte  que  l’on  com- 
mence à compter  le  nombre  penfé  3 fur  F , 4 fur 
E,  5 furD,  6 furC,  8c  ainfi  enfuite jufqu’à  1 6, 
ce  nombre  1 6 fe  terminera  en  C , 8c  fera  connoî- 
tre  qu’on  a penfé  3 , qui  répond  à C. 


ProBLe’mES  d’AriTHMETIC^TE.  Il  J 

PROBLEME  XXVI. 

Deviner  de  trois  perfonnes , combien  chacune  aura, 
pris  de  Cartes  ou  de  Mettons. 

FAites  prendre  au  troifiéme  un  nombre  de  Jet- 
tons  , ou  de  Cartes  , tel  qu’il  voudra , pourvu 
qu’il  foit  paircment  pair , c’eft-à-dire  , diviiîble 
par  4 , Ôc  faites  prendre  au  fécond  autant  de  fois  7 
que  le  premier  aura  pris  de  fois  4 , ôc  au  premier 
autant  de  fois  13.  Après  cela  dites  au  premier  qu’il 
donne  de  fes  Jettons  aux  deux  autres  autant  qu’ils 
en  auront  chacun , ôc  au  fécond  qu’il  donne  de  fes 
Jettons  auflî  aux  deux  autres  autant  qu’ils  en  au- 
ront chacun  , ôc  enfin  au  troifiéme  qu’il  donne  de 
fes  Jettons  pareillement  aux  deux  autres  autant  qu’ils 
en  auront  chacun  : ôc  alors  il  arrivera  que  chacun 
aura  autant  de  Jettons  l’un  que  l’autre , & le  nom- 
bre de  chacun  fera  double  de  ccluy  que  le  troifié- 
me a pris  au  commencement.  C’eft  pourquoy  fi  vous 
demandez  à l’une  de  ces  trois  perfonnes  le  nombre 
de  fes  Jettons,  la  moitié  de  ce  nombre  fera  le  nom- 
bre des  Cartes  ou  des  Jettons  que  le  troifiéme  avoic 
au  commencement  : ôc  fi  vous  prenez  autant  de 
fois  y , ôc  autant  de  fois  1 3 , que  dans  le  nombre 
du  troifiéme  il  y aura  de  fois  4 , vous  aurez  le  nom- 
bre des  Cartes  ou  des  Jettons  que  le  fécond  ôc  le 
premier  avoient  pris. 

Comme  fi  le  troifiéme  prend  8 Cartes , le  fécond 
en  doit  prendre  14,  fçavoir  deux  fois  y,  parce 
que  dans  8 il  y a deux  fois  4 , & le  premier  en 
doit  prendre  16  , fçavoir  deux  fois  1 3 , par  la  me- 
me raifon.  Si  le  premier  qui  a 2.6  Cartes,  donne 
des  fiennçs  14  au  fécond  qui  en  a autant , ôc  8 au 


iz6  Récréât.  Mathemàt.  et  Phys. 
premier  qui  en  a auflî  autant,  il  Iuy  en  reftera  feule- 
ment 4 , & le  fécond  en  aura  28  , & le  troifiéme 
I 6.  Mais  fi  le  fécond  qui  a 
28  Cartes,  donne  des  fien- 
nés  4 au  premier  qui  en  a 
autant,  & 16  au  troifiéme 
qui  en  a auflî  autant , il  luy 
en  reftera  8 , 6c  le  premier 
en  aura  8 , Sc  le  troifiéme 
3 2.  Enfin  fi  le  troifiéme  qui  332  Cartes , en  don- 
ne 8 à chacun  des  deux  autres  qui  en  ont  autant, 
tous  trois  en  auront  1 6 , qui  eftle  double  du  nom- 
bre 8 des  Cartes  que  le  premier  a pris  au  com- 
mencement , &c. 


Ie. 

2e- 

3 e- 

z6 

14 

8 

4 

28 

1 6 

8 

8 

32 

1 6 

1 6 

1 6 

PROBLEME  XXVII. 

De  trois  Cartes  inconnues , deviner  celle  que  chacune 
de  trois  perfonnes  aura  prife. 

IL  ne  faut  pas  que  le  nombre  des  points  de  cha- 
cune des  trois  Cartes  qui  aura  été  prife , furpafte 
9 :&  alors  pour  trouver  ce  nombre,  dites  à la  pre- 
mière perfoune  qu’elle  ôte  1 du  double  du  nombre 
des  points  de  fa  Carte,  & qu’aprés  avoir  multiplié 
le  refte  par  ç , qu’elle  ajoute  au  produit  le  nombre 
des  points  de  la  Carte  que  la  fécondé  perfonne 
aura  prife.  Après  cela  faites  ajouter  5 à cette  fom- 
me  , pour  avoir  une  fécondé  foraine  , & ayant  fait 
ôter  1 du  double  de  cette  fécondé  fomme , faites 
multiplier  le  refte  par  3 , & ajouter  au  produit  le 
nombre  des  points  de  la  Carte  que  la  troifiéme  per- 
fonne aura  prife.  Enfin  demandez  la  fomme  qui 
vient  par  cette  derniere  addition,  car  fi  vous  luy 
ajoutez  5 , vous  aurez  une  autre  fomme  compofée 


Probie’mes  d’Arïthmetique.  ny 
de  trois  figures , dont  la  première  vers  la  gauche  fe- 
ra le  nombre  des  points  de  la  Carte  que  la  première 
perfonne  aura  prifc  , celle  du  milieu  fera  le  nombre 
des  points  de  la  Carte  de  la  fécondé  perfonne,  Sc 
la  derniere  vers  la  droite  fera  connoître  la  Carte  de 
la  troifiéme  perfonne. 

Comme  fi  le  premier  a pris  un  3 , le  fécond  un 
4,  & le  troifiéme  un  7,  en  ôtant  1 du  double  6 
du  nombre  3 des  points  de  la  Carte  du  premier  , 
Sc  en  multipliant  le  rcfte  $ par  $ , on  a 1 ç , auquel 
ajoûtant  le  nombre  4 des  points  de  la  Carte  du  fé- 
cond , on  a cette  fomme  29  , à laquelle  fi  l’on  ajou- 
te ç , on  a cette  fécondé  fomme  34  , dont  le  dou- 
ble eft  6%  , d’où  ôtant  1 , il  refte  67  , qui  étant  mul- 
tiplié par  ^ , on  a 3 3 5 , auquel  ajoûtant  le  nombre 
7 des  points  de  la  Carte  du  troifiéme  , Sc  f de  plus, 
on  a cette  derniere  fomme  347»  dont  les  trois  fi- 
gures reprefentent  feparément  les  nombres  des 
points  de  chaque  Carte. 

Autrement. 

Ayant  dit  au  premier  qu’il  ajoute  1 au  double 
du  nombre  des  points  de  fa  Carte,  faites  multiplier 
la  fomme  par  < , Sc  ajouter  au  produit  le  nombre 
des  points  de  la  Carte  du  fécond  : Sc  ayant  fait  pa- 
reillement ajouter  1 au  double  de  la  fomme  prece- 
dente , faites  multiplier  le  tout  par  5 , & ajouter  au 
produit  le  nombre  des  points  de  la  Carte  du  troi- 
fiéme. Après  cela  demandez  la  fomme  qui  viendra 
par  cette  derniere  addition  , Sc  en  ôtez  < y , pour 
avoir  au  reRe  un  nombre  qui  fera  compote  de  trois 
figures , dont  chacune  reprefentera  comme  aupara- 
vant , le  nombre  des  points  de  chaque  Carte. 

Comme  dans  cet  exemple  , en  ajoûtant  1 au 


*2,8  •'  Récréât.  Ma them AT  et  Phys. 
double  6 du  nombre  3 des  points  de  la  Carte  dt4 
premier  ; 5c  en  multipliant  la  fomme  7 par  ç , on  â 
3 5 , auquel  ajoutant  le  nombre  4 des  points  de  la 
Carte  du  fécond  , on  a 3 9 , dont  le  double  eft  78» 
auquel  ajoutant  1 , 5c  multipliant  la  fomme  79  par 
5 , on  a 3 9 3 , auquel  ajoutant  le  nombre  7 des 
points  de  la  Carte  du  troifiéme,  on  a 402,  d’où 
ôtant  5 5 î il  refie  347>  dont  les  trois  figures  re- 
prefentent  en  particulier  le  nombre  des  points  de 
chaque  Carte. 

PROBLEME  XX  VIIL 

De  trois  Cartes  connues  deviner  celle  que  chacuns 
de  trois  perfonnes  aura  prife . 

DEs  trois  Cartes  connues , nous  en  appellerons 
une  A , l’autre  B , & la  derniere  C , 5c  ayant 
laide  choifir  une  de  ces  trois  Cartes  à chacune  de 
trois  perfonnes,  ce  qui  fe  peut  Faire  en  fix  maniè- 
res differentes , comme  vous  voyez  ici , donnez  à 
la  première  perfonne  ce  nombre  1 2 > à la  fécondé 
ce  nombre  24 , & à la  troifiéme  ce  nombre  3 fi, 

Ie»  2C.  3e. 

12.  24.  ? fi. 

ABC 
A C B 

BAC 
CAB 
B C A 

C B A 

Après  cela  dites  à la  première  perfonne  qu’elle  a-' 
joûte  enfemble  la  moitié  du  nombre  de  celle  qui  a 

1 Prif6 


Sommes . 

*3 

24 

*7 

28 

29 


PrûBIe’mHS  D’AlUTSîMETÎQUEr 
prife  la  Carte  A,  le  tiers  du  nombre  de  celle  qui 
a prife  la  Carte  B,  & le  quart  du  nombre  de  celle 
'qui  a prife  la  Carte  C , & luy  demandez  la  fomme 
qui  fera  ou  23  , ou  24,  ou  2 ç , ou  27  , ou  28  » 
ou  19,  comme  vous  voyez  dans  cette  Table,  qui 
montre  que  fi  cette  fomme  eft  par  exemple  25,1» 
première  perfonne  aura  prife  la  Carte  B,  la  leçon- 
de  la  Carte  A,  & la  troifiéme  la  Carte  C ? 8c  que 
fi  cette  fomme  eft  28  , la.  première  perfonne  aura 
prife  la  Carte  B , la  deuxième  la  Carte  C , & la  troi- 
fiéme la  Carte  A,  Ainfi  des  autres, 

PROBLEME  XXIX. 

Deviner  entre  plujteurs  Cartes , Celle  que  quclept  UÛ 
aura  penfé 

AYant  pris  à volonté  dans  un  Jeu  de  Cartes  j 
un  certain  nombre  de  Cartes  , 8c  les  ayant 
montrées  par  ordre  fur  une  Table  à celuÿ  qui 
en  veut  penfer  une  , en  commençant  par  celle 
de  delfous  j 8c  en  les  mettant  proprement  l’a* 
ne  fur  l’autre , en  forte  que  leurs  points  8c  leurs 
figures  regardent  en  haut , 8c  en  les  comptant  adroi- 
tement, pour  en  fçavoir  le  nombre,  qui  foit  par 
exemple  ï 2 ; dites-luy  qu’il  fe  fouvienne  du  nom- 
bre qui  exprime  laqumtiéme  qu’il  aura  penfée  „ 
fçavoir  de  1 , s’il  a penfé  la  première  ; de  2 > s’il  a 
' penfé  la  fécondé  j de  3 , s’il  a penfé  la  troifiéme  , 
&c.  Après  cela  pofez  vos  Cartes  l’une  après  l’autre 
fur  le  relie  du  Jeu,  dans  une  fituation contraire t 
en  commençant  à mettre  fur  le  refte  du  Jeu  la  Carte 
qui  aura  été  mife  la  première  fur  la  Table,  8c  en 
finilfant  parcelle  qui  aura  été  montrée  la  derniere; 
& ayant  demandé  le  nombre  de  la  Carte  penfée  «t 
Tme  h I 


$ 3 ô Récréât.  M athemat.  et  Phys. 

«jue  nous  fuppoferons  4 , en  forte  que  la  quatrié* 
me  Carte  ait  été  penfée,  remettez  à découvert  vos 
Cartes  fur  la  Table  l’une  après  l’autre  , en  com- 
mençant par  celle  dedeffus  , à laquelle  vous  attri- 
buerez le  nombre  4 delà  Carte  penfée , en  com- 
ptant 5 fur  la  fécondé  Carte  fuivante , & pareil- 
lement 6 fur  la  troifiéme  Carte  plus  baffe, &ainfi 
enfuite  jufqû’à  ce  que  vous  foyez  parvenu  à vôtre 
nombre  1 2,  des  Cartes  que  vous  aviez  prifes  au 
commencement,  car  la  Carte  fur  laquelle  tombera 
■ce  nombre  1 z , fera  celle  qui  aura  été  penfée. 

PROBLEME  XXX. 

Tlufîeurs  Cartes  differentes  étant  propofées  fucceff - 
•ventent  d autant  de  perfonnes , pour  en  retenir 
une  dans  fa  mémoire , deviner  celle  que  chacun 
aura  penfé. 

S’il  y a par  exemple  trois  perfonnes , qu’on  mon- 
tre trois  Cartes  à la  première  perfonne  , pour 
en  retenir  une  dans  fa  penfée , 8c  que  l’on  mette  à 
part  ces  trois  Cartes.  Qu’on  prefente  auffi  trois  au- 
tres Cartes  à la  fécondé  perfonne,  pour  enpenfet 
une  à fa  volonté , Ôc  mettez  auifi  à part  ces  trois 
Cartes.  Enfin  prefentez  à la  troifieme  perfonne  trois 
autres  Cartes , pour  luy  faire  penfer  celle  qu’il  vou- 
dra , & mettez  pareillement  à part  ces  trois  derniè- 
res Cartes.  Cela  étant  fait,  difpofez  à découvert 
les  trois  premières  Cartes  en  trois  rangs , & y met- 
tez deffus les  trois  autres  Cartes,  Sc  defîus  celles- 
cy  les  trois  dernieres , pour  avoir  ainfi  toutes  les 
Cartes  difpofées  en  trois  rangs , dont  chacun  fera 
compofé  de  trois  Cartes.  Après  quoy  il  faut  deman- 
der à chaque  perfonne  dans  quel  rang  efl  la  Carte 


î?ROjBIE’MtS  D’ÀRiTtïMÊTiQUï. 

qifiï  a penfée,  &;  alors  il  fera  facile  de  connoïtre 
cette  Carte  , parce  que  la  Carte  de  la  première 
perfonne  fera  la  première  de  fon  rang , & pareille- 
ment la  Carte  de  la  fécondé  perfonne  fera  la  fécon- 
dé de  fon  rang , & de  même  la  Carte  de  la  troifié- 
me  perfonne  fera  la  troifiéme  de  fon  rang*, 

PROBLEME  XXXI. 

ï)e  plujieurs  Cartes  difpofe'es  également  en  trois 
rangs , deviner  celle  que  quelqu’un  aura  penfé. 

IL  eft  évident  que  le  nombre  des  Cartes  dok 
être  divifible  par  3 , afin  qu’on  en  puiffe  faire 
trois  rangs  égaux.  Suppofant  donc  qu’il  y ait  par 
exemple  36  Cartes,  dont  chaque  rang  en  com- 
prendra par  confequent  1 2,  , demandez  en  quel 
rang  eft  la  Carte  qti'on  aura  penfé  , & ayant  ramafifé 
toutes  les  Cartes  , en  forte  que  le  rang  où  fera  la 
Carte  penfée , foit  entre  les  deux  autres  rangs , dif- 
pofez  de  nouveau  ces  36  Cartes  en  trois  rangs 
égaux  , en  mettant  la  première  au  premier  rang  , la 
fécondé  au  fécond,  la  troifiéme  au  troifiéme  , puis 
la  quatrième  au  premier  rang,  & pareillement  la 
fuivantc  au  fécond  rang  , & en  continuant  ainfi 
jufqu’à  ce  que  toutes  les  Cartes  foient  rangées, 
après  quoy  vous  demanderez  encore  dans  quel 
rang eft  la  Carte  penfée  , &c  ayant  ramafifé  de  nou- 
veau toutes  les  Cartes,  en  forte  que  le  rang  où  fera 
la  Carte  penfée , foit  aulïï  entre  les  deux  autres , 
Vous  ferez  comme  auparavant,  trois  rangs  égaux 
des  mêmes  Cartes  , & ayant  enfin  demandé  dans 
quel  rang  eft  la  Carte  penfée,  vous  connoîtrez  ai- 
fément  cette  Carte , parce  qu’elle  fe  trouvera  au 
milieu  de  fort  rang,  fçavoir  dans  cet  exemple  la 


X 2 1 Récréât»  Mayhemat.  èt  Phys! 

6 . Ou  bien  poilu  mieux  cacher  l’artifice  , elle  fé 
trouvera  au  milieu  de  toutes  les  Cartes  , ou  la  1 8e* 
loi- {qu’on  les  aura  ramaffées  comme  auparavant , en 
forte  que  le  rang  où  fera  la  Carte  penfée , foit  tou- 
jours entre  les  deux  autres. 

PROBLEME  XXXII. 

Deviner  combien  il  y ci  de  points  dans  une  Carte 
que  quelqu’un  a tirée  d’un  jeu  de  Cartes  completi 

AYant  fait  tirer  à quelqu’un  une  Carte  telle 
qu’il  voudra , d’un  Jeu  de  Cartes , où  il  y en 
ait  par  exemple  $ z > tel  qu’eft  celuy  dont  on  fc 
fert  pour  joiier  à l’Ombre  , vous  fçaurez  com- 
bien il  y a de  points  dans  la  Carte  tirée,  enfaifant 
valoir  i o chaque  Carte  figurée , ôe  les  autres  au- 
tant qu’elles  contiendront  de  points , ôc  en  regar- 
dant le  refte  des  Cartes  les  unes  après  les  autres  9 
vous  ajouterez  les  points  de  la  première  Carte  aux 
points  de  la  fécondé  , ôc  à la  fomme  les  points  de 
la  troifiéme  , ôe  ainfi  enfuite  jufqu’à  la  derniere 
Carte  , en  rejettant  neanmoins  toujours  i o de  cette- 
fomme  quand  elle  fera  plus  grande  » où  l’on  voit 
qu’il  eft  inutile  de  compter  les  Dix  ôe  les  Cartes  fi- 
gurées, puifque  valant  io  on  les  doit  rejetter  : & 
alors  fi  l’on  ôte  la  derniere  fomme  de  io  , le  refte 
fera  le  nombre  des  points  de  la  Carte  qu  on  aura 
tirée. 

Il  eft  aifé  de  connoître  que  quand  il  ne  reftera 
rien , la  Carte  qu’on  aura  tirée  fera  ou  un  D;X , ou 
une  Carte  figurée  , ôc  que  dans  ce  cas  fi  c eft  une 
Carte  figurée  , on  ne  pourra  pas  alfùrer  qu’elle  eft 
plutôt  un  Roy  qu’une  Dame,  ou  qu  un  Valet  : ôc 
pour  le  pouvoir  connoître,  il  vaudra  mieux fe  fer- 


Proble’mes  d’Arithmetique.  133 
vir  d’un  Jeu  compofé  feulement  de  36  Cartes,  tel 
qu’étoit  celuy  dont  on  fe  fervoit  autrefois  pour 
joiier  au  Piquet , & faire  valoir  2 chaque  Valet  , 
3 chaque  Dame  , &c  4 chaque  Roy. 

Si  Ton  veut  fe  fervir  d’un  Jeu  compofé  feule- 
ment de  3 2 Cartes  , dont  on  fe  fert  à prefent  pour 
jouer  au  Piquet,  on  fera,  comme  il  vient  d’être 
dit,  excepté  qu’il  faut  ajouter-  toujours  4 à la  der- 
nière fomme , pour  avoir  une  autre  fomme  , laquel- 
le étant  ôtée  de  10  , fi  elle  eft  moindre  , ou  de 
20  , fi  elle  furpafle  1 o 5 le  refte  fera  le  nombre  de 
la  Carte  qu’on  aura  tirée  , de  forte  que  s’il  relie  2» 
ce  fera  un  Valet,  s’il  refte  3 , la  Carte  qu’on  aura 
ïirée  fera  une  Dame , & fi  le  refte  eft  4 , on  aura 
tiré  un  Roy , &c. 

Si  le  Jeu  de  Cartes  eft  imparfait , on  doit  pren- 
dre garde  aux  Cartes  qui  y manquent , 8c  ajouter  a 
la  derniere  fomme  le  nombre  des  points  de  toutes 
ces  Cartes  qui  y manquent , après  que  de  ce  nom- 
bre on  aura  ôté  autant  de  fois  1 o qu’il  fera  polfi- 
ble  , enfuite  de  quoy  la  fomme  qui  viendra  par 
cette  addition,  doit  être  comme  auparavant,  ôtée 
de  1 o > ou  de  20  , félon  qu’elle  fera  au  deftbus , ou 
au  deftiis  de  20.  Il  eft  évident  que  fi  l’on  regarde 
encore  une  fois  les  Cartes , on  pourra  nommer  la 
Carte  qui  aura  été  tirée. 

PROBLEME  XXX IIL 

Deviner  le  nombre  de  tous  les  points  cjui  font  en 
deux  Cartes  cju’  on  aura  tirées  d'un  Jeu  de 
Cartes  complet . 

Dites  à celuy  qui  aura  tiré  à Pavanture  deux 
Cartes  d’un  Jeu  compofé  de  5 2 Cartes  v qu'il 

I iij 


ï 34  Récréât.  Mathemat. et  Prys. 
ajoute  à chacune  de  fes  Cartes  autant  d’autres  Car- 
tes que  le  nombre  de  fes^oints  fera  au  deiTous  do 

2 ç , qui  eft  la  moitié  de  toutes  les  Cartes , dimi- 
nué d’un , en  donnant  à chaque  Carte  figurée  tel 
nombre  qu’on  voudra , comme  fi  la  première  Car- 
te eft  un  Dix  , on  luy  ajoutera  i ç Cartes  , & fi  la 
fécondé  Carte  eft  un  Sept , on  luy  ajoutera  1 8 Car- 
tes , çe  qui  fera  en  tout  3 ç Cartes , de  forte  que 
dans  cet  exemple  il  reftera  de  tout  le  Jeu  17  Car- 
tes. Prenant  donc  les  Cartes  qui  relient  du  Jeu , & 
trouvant  qu’il  en  relie  \y • , ce  nombre  17  fera  le 
nombre  de  tous  les  points  pris  enfemble  des  deux 
Cartes  qu’on  aura  tirées. 

Pour  mieux  cacher  l’artifice , il  ne  faut  point 
toucher  aux  Cartes,  mais  il  faut  faire  bter  le  nom- 
bre des  points  de  chacune  des  deux  Cartes  qui  ont 
été  prifes  de  261,  qui  eft  la  moitié  du  nombre  de 
toutes  les  Cartes  , & faire  ajouter  enfemble  les 
deux  relies  » polir  avoir  leur  fomme  , que  vous 
devez  demander , afin  de  l’ôter  du  nombre  de  tou- 
tes les  Cartes,  c’eft-à-dire  de  Ç2>  carie  nombre 
qui  reftera,  fera  celuy  qu’on  cherche. 

Comme  dans  cet  exemple  , où  l’on  fuppofe  qu’on 
a pris  un  Dix , & un  Sept , en  ôtant  10  de  26  , il 
relie  1 6 , ôc  en  ôtant  7 de  26  , il  relie  1 9 , & en 
ajoutant  enfemble  les  deux  relies  16 , 19  , on  a 

3 $ pour  leur  fomme  , laquelle  étant  ôtée  de  ç 2 , 
il  relie  1 7 pour  le  nombre  des  points  des  deux  Car- 
tes qu’on  a tirées. 

On  travaillera  de  la  même  façon  pour  un  Jeu  de 
Piquet  compofé  de  3 6 Cartes , ou  feulement  de  3 2. 
Cartes  : mais  pour  cacher  encore  mieux  l’artifice  , 
auiieu  cte  la  moitié  26  de-routes  les  Cartes,  quand 
il  y en  a $2,  prenez  un  autre  nombre  moindre x 
mais  plus  grand  que  1 o , comme  24 , duquel  ôtant: 


FrOBLe’mES  d’AriTHMETIQUE.  I 3ÿ 
IO  & 7 , il  refte  14  , 8c  17,  dont  la  Tomme  3 1 
étant  ôtée  de  la  Comme  $2  de  toutes  les  Cartes,  il 
refte  2 1 , d’où:  vous  ôterez  encore  4 , qui  eft  le 
double  de  l’excès  de  26  Cur  24,  pour  avoir  au 
refte  17  le  nombre  des  points  'des  deux  Cartes 
qu’on  a tirées,  Cçavoir  du  Dix  8c  du  Sept. 

Quand  on  Te  fervira  d’un  Jeu  de  Piquet  compofé 
de  3 6 Cartes,  au  lieu  de  la  moitié  18  du  nombre 
3 6 de  toutes  les  Cartes , on  prendra  pareillement 
un  nombre  moindre,  comme  16,  duquel  ôtant 

10  8c  y j il  refte  6 8c  9 , dont  la  Tomme  1 5 étant 
ôtée  du  nombre  3 6 de  toutes  les  Cartes , il  refte 
21  > d’où  vous  ôterez  encore  4,  qui  eft  le  double 
de  l’excès  de  1 8 ftrr  1 G , pour  avoir  au  refte  17  le 
nombre  des  points  des  deux  Cartes  qui  ont  été 
tirées. 

Pareillement  lî  le  Jeu  de  Piquet  n’eft  que  de  32 
Cartes,  au  lieu  de  la  moitié  16  du  nombre  32, 
de  toutes  les  Cartes , on  prendra  un  nombre  moin- 
dre tel  que  l’on  voudra  , pourvu  qu’il  Toit  plus 
grand  que  10  ? comme  14,  duquel  ôtant  10  8c  y , 

11  refte  4 & 7 , dont  la  Tomme  1 1 étant  ôtée  de 
3 2 j il  refte  2 1 > d’où  il  ftaut  encore  ôter  4 , qui  eft 
le  double  de  l’excès  de  16  Cur  14  , pour  avoir  au 
refte  17  le  nombre  des  points  du  Dix  & du  Sept 
qu’on  a tiré. 

PROBLEME  XXXIV. 

Deviner  le  nombre  de  tons  les  points  qui  font  en 
trois  Cartes  qu’on  aura  tirées  à volonté  d’ un 
"jeu  de  Cartes  complet. 

POur  reCoudre  ce  Problème  comme  le  prece- 
dent, en  Tuivant  la  voye  la  plus  courte  , il  faut 

I iiij 


j 


s 3 <5  Récréât.  Mathemàt.  et  Phys." 
que  le  nombre  des  Cartes  , dont  le  Jeu  eft  compofé, 
foit  divifible  par  3 , ainfi  le  Jeu  de  j 2 Cartes , ni 
celuy  de  3 2 Cartes  ne  font  pas  propres  , mais  bien 
celuy  de  3 6 Cartes , parce  que  le  nombre  3 6 de 
toutes  les  Cartes  a fa  troifîéme  partie  1 2 , qui  nous 
fervira  pour  refoudre  la  Queftion  en  cette  forte. 

Dites  à celuy  qui  aura  tiré  à fa  volonté  trois  Car- 
tes d’un  Jeu  de  Piquet  compofé  de  3 6 Cartes , qu’il 
ajoute  à chacune  de  fes  Cartes  autant  d autres  Car- 
tes que  le  nombre  de  fes  points  fera  au  deftous  de 
1 1 , qui  eft  le  tiers  du  nombre  de  toutes  les  Cartes 
diminué  d’un,  en  donnant,  comme  dans  le  Pro- 
blème precedent , à chaque  Carte  figurée  tel  nom- 
bre qu’on  voudra , comme  fi  la  première  Carte  eft 
un  Neuf,  on  luy  ajoutera  2 Cartes,  fi  la  fécondé 
Carte  eft  un  Sept , on  luy  ajoutera  4 Cartes  , &c  fi 
la  troifîéme  Carte  eft  un  Six,  on  luy  ajoûtera  5 
Cartes,  ce  qui  fait  en  tout  14  Cartes,  de  forte 
que  dans  cet  exemple  il  reftera  de  tout  le  Jeu  12, 
Cartes.  Prenant  donc  les  Cartes  qui  reftent  du  Jeu, 
& trouvant  qu’il  en  refte  22,  ce  nombre  22  fêta 
connoître  le  nombre  de  tous  les  points  des  trois 
Cartes  qu’on  aura  tirées. 

Ou  bien  fans  toucher  aux  Cartes,  &pour  mieux 
cacher  l’artifice,  faites  ôter  12  qui  eft  le  tiers  du 
nombre  3 6 de  toutes  les  Cartes , le  nombre  des 
points  de  chacune  des  trois  Cartes  qu’on  a prifes  , 
& faites  ajouter  enfemble  les  trois  reftes  , pour 
avoir  leur  fortune , que  vous  devez  demander , 
afin  de  l’ôter  du  nombre  de  toutes  les  Cartes  , 
c’eft-à-dire  de  3 6 , car  le  nombre  qui  reftera,  fera 
celuy  qu’on  cherche. 

Comme  dans  cet  exemple , où  l’on  a fuppofé 
qu’on  a pris  un  Neuf , un  Sept,  & un  Six,  enôtmt 
p de  ! 2,  il  refte  3 , & eri  ôtant  7 de  1 2 , il  refte  5-, 


ProBLE’MES  ü’ARlTHMETlQlÿ.  J 37 
Qc  enfin  en  ôtant  6 de  1 2 , il  refte  6 , & ajoutant 
enfemble  les  trois  reftes  3 , ç , 6 , on  a 14  pour 
leur  Tomme  , laquelle  étant  ôtée  de  3 6 , il  refte  22, 
pour  le  nombre  des  points  des  trois  Cartes  qui 
ont  été  tirées. 

Pour  mieux  encore  cacher  l’artifice  , & pour  ap- 
pliquer la  Réglé  à un  Jeu  de  plus  ou  de  moins  de 
3 6 Cartes , comme  de  j 2 Cartes  , fervez-vous  d’un 
nombre  plus  grand  que  1 o , & moindre  que  le  tiers 
17  de  $2  3 par  exemple  de  1 5 : & dites  à celuy 
qui  aura  tiré  les  trois  Cartes , qu’il  ajoute  à chacune 
de  Tes  Cartes  autant  d’autres  Cartes  que  le  nombre 
de  Tes  points  fera  au  deflous  de  1 ç , comme  fi  la 
première  Carte  eft  un  Neuf,  on  luy  ajoutera  6 
Cartes , fi  la  fécondé  Carte  eft  un  Sept , on  luy  a- 
joûtera  8 Cartes,  &fi  la  troifiéme  Carte  eft  un  Six, 
ôh  luy  ajoûtera  5»  Cartes,  ce  qui  fera  en  tout 
Carres , de  forte  que  dans  cet  exemple  il  refte ra  de 
tout  le  Jeu  2 6 Cartes.  Prenant  donc  les  Cartes  qui 
relient  du  Jeu  , & trouvant  qu’il  en  refte  2 6 , ôtez 
de  ce  nombre  2 6 toujours  4 , qui  eft  l’excès  du 
nombre  5 2 de  toutes  les  Cartes  fur  le  triple  de  1 ç, 
augmenté  de  3 , c’eft-à-dire  , fur  48  , & le  refte 
2 2 fera  le  nombre  de  tous  les  points  des  trois  Car- 
tes qui  auront  été  tirées  du  Jeu. 

Ou  bien  fans  toucher  aux  Cartes , faites  ôter  le 
nombre  des  points  de  chacune  des  trois  Cartes  qui 
auront  été  prifes,  de  16  , quifurpaftè  d’un  le  pre- 
mier nombre  I y , & faites  ajouter  enfemble  tous 
les  reftes,  pour  avoir  leur  fomme , que  vous  de- 
vez demander , afin  de  l’ôter  du  nombre  precedent 
48  , car  le  refte  fera  le  nombre  de  tous  les  points 
des  trois  Cartes  qu’on  aura  prifes. 

Comme  dans  ce c exemple  , où  l’on  fuppofe 
qu’on  a pris  un  Neuf,  un  Sept , Ôc  un  Six , en  ôtant 


ï 38  Récriât.  MaïTiemat.  it  Phys. 

9 de  1 6 , il  reftc  y , & en  ôtant  y de  1 6 > il  reâe 
9,  & enfin  en  ôtant  6 de  i <? , il  relie  iq,  & en 
ajoûtant  enfemble  Ie9  trois  relies  7,  9,10,0m 
26  pour  leur  fomme,  laquelle  étant  ôtée  de  48  , il 
relie  22  perur  le  nombre  des  points  des  trois  Car- 
tes qui  ont  été  prifes. 

Pareillement  pour  un  Jeu  compofé  de  3 6 Car- 
tes, lervez-vous  d’un  nombre  plus  grand  que  10* 
comme  de  1 $ : 6c  Ci  vous  vous  fervez  des  Cartes 
ajoutées , qui  feront  au  nombre  de  26,  comme 
vous  avez  vu,  ayant  ôté  ce  nombre  26  du  nom- 
bre 3 6 de  toutes  les  Cartes , ajôûftez  au  relie  10 
ce  nombre  12,  qui  efl  l’excès  du  triple  de  1 5 » 
augmenté  de  3 , c’eft-à-dire , de  48  fiir  le  nombre 
3 6 de  toutes  les  Cartes , 6c  la  fomme  22  fera  Ie 
nombre  des  points  qu’on  cherche.  Au  lieu  de  1 z9 
il  faut  ajouter  1 6 , pour  un  Jeu  de  Piquet  de  3 a 
Cartes , parce  qu’ôtant  3 2 de  48 , il  relie  1 6. 

A l’imitation  de  ce  Problème  6c  du  precedent* 
jî  fera  aifé  de  refoudre  la  Queftion  pour  quatre 
Cartes  qu’on  aura  tirées , 6c  pour  davantage. 

PROBLEME  XXXV. 

Dpi  jeu  de  V Anneau. 

CE  Jeu  fe  peut  pratiquer  agréablement  dans  une 
Compagnie  compofée  de  pluficurs  perfonnes  , 
dont  le  nombre  ne  doit  pas  être  plus  grand  que  9, 
fi  l’on  ne  veut , afin  que  l’on  y puilfe  plus  facile- 
ment appliquer  le  Probl.  18.  fçavoir  en  ^aifant  va- 
loir 1 la  première  perfonne,  2 la  fécondé,  3 la 
troifiéme  , 6c  ainfi  enfuite  : 6c  en  faifant  pareille- 
ment valoir  1 la  main  droite  , 5c  2 la  main  gauche  y 
& en  donnant  pareillement  1 au  premier  doigt  d’u- 


ProBLe'meS  d’AriTHMETIQ^E.' 
ne  main , z au  fécond , 3 au  troifiéme , 4 au  qua- 
trième, & 5 au  cinquième  : & enfin  1 à la  pre- 
mière jointure  , z à la  fécondé , & 3 à la  troifiéme  ; 
car  fi  l’on  fait  mettre  a l’une  de  ces  perfonnes  , par 
exemple  à la  cinquième,  un  Anneau  à la  premiers 
jointure  du  quatrième  doigt  de  là  main  gauche  , il 
eft  évident  que  pour  deviner  la  perfonne  qui  aura 
pris  cet  Anneau  ou  Bague  , &c  dire  en  quelle  main  3 
en  quel  doigt,  &c  en  quelle  jointure  il  eft,  il  n’y  a 
qu’à  deviner  ces  quatre  nombres  $ , 1,4,2,  le 
premier  3 reprefentant  la  cinquième  perfonne , le 
fécond  1 la  première  jointure  , le  troifiéme  4 le 
quatrième  doigt , & le  quatrième  z la  main  gau- 
che ; ce  qui  fe  fera  en  fuivant  la  derniere  Métho- 
de du  Probl.  1 8.  comme  vous  allez  voir. 

En  ôtant  toujours  1 du  double  1 o du  premier 
nombre  3 , & en  multipliant  le  refte  9 toûjours 
par  3 , on  a 45  , auquel  ajoutant  le  fécond  nom- 
bre 1 , on  a cette  fomme  46  , à laquelle  fi  l’on  a- 
joûte  toûjours  3,  on  a cette  fécondé  fomme  31, 
dont  le  double  eil  102  , d’où  ôtant  toûjours  1 , il 
refte  igi  , qui  étant  multiplié  toûjours  par  3 , on 
a 505  , auquel  ajoûtant  le  troifiéme  nombre  4 , 
on  a cette  fomme  309,  à laquelle  ajoûtant  toû- 
jours 3 , on  a cette  lèconde  fomme  3 14  , dont  le 
double  iqz8  étant  diminué  toûjours  de  1 , & le 
refte  1027  étant  multiplié  toûjours  par  3 , on  a 
3133,  auquel  ajoûtant  le  quatrième  nombre  2 , 
on  a cette  fomme  5137}  à laquelle  ajoûtant  toû- 
jours 3 , on  a cette  fécondé  fomme  3142»  dont  les 
quatre  figures  reprefentent  les  quatres  nombres 
qu’on  cherche,  & font  connoître  par confequent » 
que  l’Anneau  eft  dans  la  première  jointure  du  qua- 
trième doigt  de  la  main  gauche  de  la  cinquième 
perfonne. 


ï4©  Récréât.  Mathemat.  et  Phys* 

PROBLEME  XXXVI. 

Ayant  un  Vafe  rempli  de  huit  pintes  de  quelque 
liqueur > en  mettre  juflement  la  moitié  dans  un 
autre  V a/e  de  cinq  pintes , par  le  moyen  d'un 
troijiéme  V afe  contenant  trois  pintes. 


ON  propofc  ordinairement  cette  queftion  de 
la  forte  ',  Quelqu’un  ayant  une  Bouteille  plei- 
ne de  8 pintes  d’excellent  Vin  , en  veut  faire  pre- 
fent  de  la  moitié,  ou  de  quatre  pintes  à un  defes 
amis:  mais  pour  la  mefurer  il  n’a  que  deux  autres 
bouteilles  , dont  l’une  contient  ç pintes , & l’au- 
tre 3 . On  demande  comment  il  doit  faire  pour  met^ 
îre  quatre  pintes  dans  la  bouteille  qui  en  contient 
cinq. 

Pour  le  fçavoir,  appelions  A la  bouteille  de  8 
pintes , B celle  de  5 , & C celle  de  3 , en  fuppo- 
fant  qu’il  y a 8 pintes  de  Vin 
dans  la  Bouteille  A , 8c  que  les 
deux  autres  B,  C,  foient  vui- 
des  , comme  vous  voyez  en  D> 
& ayant  rempli  la  Bouteille  B 
du  Vin  de  la  Bouteille  A,  où 
il  ne  reliera  plus  que  3 pintes, 
comme  vous  voyez  en  E , rem- 
plilfez  la  Bouteille  C du  Vin 
de  la  Bouteille  B,  où  par  con- 
fequent  il  ne  reliera  plus  que  2. 
pintes  s comme  vous  voyez  en  F.  Après  cela  ver- 
fez  le  vin  de  la  Bouteille  C dans  la  Bouteille  A , 
où  par  confequent  il  y aura  6 pintes , comme  vous 
voyez  en  G,  8c  verfez  les  % pintes  de  la  Bouteil- 
le B dans  la  Bouteille  C 5 où  il  y aura  a pintes  s 


8- 

S- 

3* 

A. 

B. 

C. 

D. 

8. 

O. 

o* 

E. 

3* 

S' 

0. 

F. 

3- 

2. 

3- 

G. 

6. 

2. 

0. 

H. 

6. 

0. 

2. 

I. 

i- 

s- 

2. 

K. 

4- 

3- 

IProbie’mes  ©'Arithmétique.  ï4t: 
comme  vous  voyez  en  H , Ôc  ayant  rempli  la  Bou- 
teille B du  Vin  de  la  Bouteille  A,  où  il  rtftera feu- 
lement I pinte , comme  vous  voyez  en  I , ache- 
vez de  remplir  la  Bouteille  C du  Vin  de  la  Bou- 
teille B , où  il  reftera  4 pintes , comme  vous  voyez 
en  K , & ainfi  la  Queftion  fe  trouvera  refoluc. 

Remarque. 

SI  au  lieu  de  la  Bouteille  B,  vous  voulez  qu’il 
refte  quatre  pintes  de  Vin  dans  la  Bouteille  A , 
que  nous  avons  fuppofée  remplie  de  huit  pintes  j 
ayant  rempli  la  Bouteille  C du  Vin  qui  eft  en  la  Bou- 
teille A , où  alors  il  ne  reftera  plus  que  5 pintes, com- 
me vous  voyez  en  D,  verfez  les  trois  pintes  de  la 
Bouteille  C,  dans  la  Bouteille 
B , où  il  y aura  par  confequent 
3 pintes  deVin,  comme  vous 
voyez  en  E : ôc  ayant  encore 
rempli  la  Bouteille  C du  Vin  de 
la  Bouteille  A , où  il  ne  reftera 
plus  que  2 pintes , comme  vous 
voyez  en  F , achevez  de  remplir 
la  Bouteille  B du  Vin  qui  eft  dans 
la  Bouteille  C , où  il  ne  reftera 
plus  qu’une  pinte  , comme  vous 
voyez  en  G.  Enfin  ayant  verfé  le 
Vin  de  la  Bouteille  B dans  la  Bouteille  A , où  il  fe 
trouvera  y pintes  , comme  vous  voyez  en  H , verfez 
la  pinte  de  Vin , qui  eft  en  C,  dans  la  Bouteille  B,  ou 
il  y aura  par  confequent  1 pinte  , comme  vous 
voyez  en  I , rempliftez  la  Bouteille  C du  Vin  de 
la  Bouteille  A , où  il  ne  reftera  que  4 pintes , com- 
me il  étoit  propofé , & comme  vous  voyez  en  K, 


A. 

B. 

C. 

8. 

0. 

0. 

D. 

5- 

0. 

3- 

E. 

S* 

3- 

0. 

F. 

2. 

3* 

3- 

G. 

2. 

5- 

1. 

H. 

7- 

0. 

1. 

I. 

7* 

1. 

0. 

K. 

4- 

1. 

3- 

Plan- 
che il 
i*  fi|S* 


î4 L Reçreat.  MathemAt.  Et  Privs* 

làriàr  ifavfr  •uSnl&l& 

«vx*  r^>  r^u  <"vu  <-^>  osu  r^»  * r^>  r'îu  c\^ 

^ ^1  d^i  : Oÿt  >^t  v^i  • u^t 

PROBLEMES 

DE  GEOMETRIE* 

LA  Géométrie  n’eft  pas  moins  fécondé  que  l’A- 
rithmetique,  mais  elle  n’eft  pas  fi  facile  , ni 
par  confequenr  fi  agréable , parce  que  fans  démon- 
ftration  elle  ne  montre  pas  aulfi  exactement  que 
l’Arithmetique  la  preuve  de  fes  operations.  C’eft 
pourquoy  je  wettray  feulement  ici  les  Problèmes 
qui  me  fembleront  les  plus  faciles  & les  plus  a- 
greables» 

PROBLEME  t 

Titrer  à une  ligne  donnée  une  perpendiculaire  pcll 
l’une  de  fes  extrémités. 

POur  tirer  une  perpendiculaire  à la  ligne  don- 
née AB  , par  fon  extrémité  A,  parcourez  à 
volonté  fur  cette  ligne  AB , prolongée  vers  B au- 
tant qu’il  en  fera  befoin , depuis  l’extremité  don- 
née A , trois  parties  égales  AC , CD , DB , dont  la 
derniere  DB  fe  termine  ici  par  hazard  à l’autre  ex- 
trémité B de  la  ligne  donnée  AB.  Décrivez  à l’in- 
tervalle CB,  des  deux  dernieres  parties  , depuis 
leurs  extremitez  B,  C,  deux  arcs  de  Cercle,  qui 
fe  coupent  ici  au  point  E , & des  deux  points  E , C, 
décrivez  avec  la  même  ouverture  du  Compas  deux 
autres  arcs  de  Cercle,  qui  fe  coupent  iciaupoinc 


Récréations  Æathemahcj  ■ Planche  i.Pacre  1 4.O.  . 


ProôleVbs  de  Geometius.’  14$ 
f , par  lequel  & par  l'extrémité  donnée  A , vous 
tirerez  la  droite  AF,  qui  fera  perpendiculaire  à la 
ligne  propofée  AB. 

Si  vous  voulez  tirer  par  l’autre  extrémité  B de 
la  même  ligne  donnée  ÂB , une  ligne  qui  luy  foit 
en  même  temps  égale  & perpendiculaire,  divifez 
la  ligne  AB  en  trois  parties  égalés  aux  points  C , 
D : &c  ayant  trouvé  le  point  F,  comme  il  vient 
d’être  enfeigné  , décrivez  de  l'extrcmité  donnée  B, 
avec  l'ouverture  AF , l’arc  de  Cercle  GHI , & portez 
fur  cet  arc  la  même  ouvertute  du  Compas  deux 
fois  depuis  G en  H , & depuis  H en  I.  Enfin  dé- 
crivez avec  la  même  ouverture  du  Compas  , de» 
deux  points  H , I , deux  arcs  de  Cercle  qui  fe  cou- 
pent ici  au  point  K , & menez  la  droite  AK  , qui 
iera  égale  Sc  perpendiculaire  à la  ligne  propofée  AB. 

PROBLEME  IL 

Tirer  far  un  point  donné  me  ligne  parallèle  à m» 
ligne  donnée. 

POur  tirer  par  le  point  donnée,  une  ligne  pa- 
rallèle à la  ligne  donnée  AB , prenez  à volonté 
fur  cette  ligne  AB,  deux  points  proches  des  deux 
extremitez  A , B , comme  D , E , 6c  ayant  avec  l’ou- 
verture DE  décrit  un  arc  de  Cercle  du  point  donné 
C,  décrivez  du  point  E,  avec  l’ouverture  CD  un 
autre  arc  de  Cercle , qui  rencontre  ici  le  premier 
au  point  F , par  lequel  Sc  par  le  point  donné  C,  vous 
mènerez  la  droite  CF , qui  fera  parallèle  à la  pro- 
pofée AB. 

Si  vous  voulez  que  la  ligne  parallèle  foit  aufli. 
égale  à la  ligne  AB  , au  lieu  de  vous  fervir  des  deux 
points  D , E , fervez-vous  des  deux  extremitez  A * 


Plan- 
che î. 

} . Fig. 


Plan- 
che i. 
5-fl  g- 


I44  Récréât.  Mathemat.  et  Phys." 

B , c’eft-à-dire  , décrivez  du  point  donné  C , avël 
l’ouverture  de  la  ligne  donnée  AB,  un  arc  de  Cer- 
cle , 5c  un  autre  de  l’extremité  B avec  l’ouverture 
AC,  5c  par  le  point  G,  où  ces  deux  arcs  s’entre- 
coupent, tirez  au  point  donné  C,  la  droite  CG  ^ 
qui  fera  égale  5c  parallèle  à la  propofée  AB. 

PROBLEME  III. 

Divifer  avec  une  même  ouverture  du  Compas  uné 
Ligne  donnée  en  autant  de  parties  égales 
quon  voudra* 

Sï  vous  voulez  divifer  îa  ligne  donnée  AB  en 
quatre  parties  égales,  par  exemple,  parcourez 
fur  cette  ligne  AB  prolongée  les  quatre  parties  éga- 
les AB  , BC , CD,  DE , & faites  fur  ces  parties  les 
quatre  Triangles  équilatéraux  ABF,  BCG,CDHS 
DEI , ce  qui  fe  peut  faire  avec  la  même  ouverture 
du.  Compas.  Enfin  menez  les  droites  AG  , AH  * 
AI,  5c  alors  de  quatre  parties  de  là  ligne  AB,  la 
ligne  HM  en  reprefentera  une,  ôc  la  ligne  DM  en 
reprefentera  par  confequent  trois  1 êc  la  ligne  FK, 
ou  BK  en  reprefentera  deux* 

Mais  la  feule  ligne  Ai  fuffit , car  elle  retranche 
îa  ligne  Bi  , égale  à la  quatrième  partie  de  la  li- 
gne AB,  îa  ligne  Cz  égale  à la  moitié  de  la  même 
ligne  AB,  5c  la  ligne  D3  égale  aux  trois  quarts  de 
la  même  ligne  AB.  La  ligne  AH  fért  pour  divifer  la 
ligne  propofée  AB  en  trois  parties  égales  , car  la  li- 
gne GL  en  reprefente  une  , 5c  la  ligne  CL  en  re- 
prefente  par  confequent  deux,  mais  la  même  li- 
gne Ai  fuffit  auffi  pour  la  divifion  de  la  ligne  don- 
née AB  en  trois  parties  égales , parce  que  la  ligne 
BN  en  reprefente  unes  5c  la  ligne  CO  en  repre- 

fenté 


Proble’mes  de  Géométrie.  14  j 

fente  deux,  d’où  il  luit  que  la  ligne  HO  en  irepre* 
fente  aulii  une. 

PROBLEME  IV; 

Faire  Un  Angle  égal  à.  la  moitié,  ou  bien  au  doublé 
d’un  anale  donné. 

POur  faire  premièrement  un  angle  égal  à la  moi-  Plan- 
tiède  l’angle  donné  ABC,  décrivez  à volonté  clie  V 
de  fa  pointe  B , le  demi-cercle  DEF,  & joignez  la  6'  ^l£3' 
droite  DE  , qui  fera  au  point  D , l’angle  ADG  égal 
à la  moitié  du  donné  ABC. 

Secondement  pour  faire  un  angle  égal  au  double 
de  l’angle  donné  ADG,  décrivez  du  point  B pris  i 
diferetion  fur  la  ligne  AB  , par  la  pointe  D de  l’an- 
gle donné  ADG,  le  demi-cercle  DEF,  & joignez 
îa  droite  BE , qui  fera  en  B l’angle  ABC  égal  au 
double  du  donné  ADG. 

PROBLEME  V. 

Faire  un  angle  égal  au  tiers  , ou  bien  au  triple 
d’un  anale  donné. 

O 

POur  faire  premièrement  un  angle  égal  à la  7t 
troilîéme  partie  de  l’angle  donné  ABC  , décri- 
vez à volonté  de  fa  pointe  B , le  demi-cercle  DEF, 

6c  appliquez  une  Réglé  bien  droite  au  point  E,  en 
forte  que  fa  partie  GI  , terminée  par  la  circonfé- 
rence du  demi-cercle  DEF  , & par  la  ligne  AD  pro- 
longée , foit  égale  au  demi-Hiametre  BD,  ou  BE. 

Après  cela  menez  la  droite  GE,  qui  fera  au  point 
G , l’angle  A^H  égal  à la  troifiéme  partie  de  l’angle 
ABC  , ce  qui  fait  que  l’arc  ID  fera  auffi  égal  à la 
Tome  /.  K 


Flan- 
che i. 

7*  Kg. 


146  Récréât.  Mathemat.  et  Phts." 
troifiéme  partie  de  l’arc  EF,  qui  mefure  l’Angld 
donné  ABC. 

Secondement , pour  faire  un  angle  égal  au  triple 
de  l’angle  donné  AGH , ayant  pris  à diicretion  fur 
la  ligne  GH  , le  point  I , portez  la  longueur  IG  fur 
la  ligne  AG  , depuis  I en  B , pour  décrire  du  point 
B,  avec  la  même  ouverture  du  Compas  le  demi- 
cercle  DEF,  qui  pafifera  par  le  point  I,  & donnera 
fur  la  ligne  GH  le  point  E , par  lequel  8c  par  le 
point  B,  vous  tirerez  la  droite  BE , qui  fera  l’an- 
gle ABC  triple  du  donné  AGH. 


PROBLEME  VI. 


! Trouver  à deux  lignes  données  une  troifiéme , & 
autant  d'autres  proportionnelles  qu  on  voudra. 

POur  trouver  premièrement  aux  deux  lignes 
données  AB,  AG,  une  troifiéme  proportion- 
nelle, décrivez  de  l’extremité  B de  la  première  AB , 
par  l’autre  extrémité  A , l’arc  de  Cercle  AF  , fur  la- 
quelle ayant  mis  la  longueur  de  la  fécondé  AC, 
depuis  A en  F,  portez  la  même  longueur  fur  la  li- 
gne AC  , prolongée  autant  qu’il  en  fera  befoin , 
depuis  F en  D , & la  ligne  AD  fera  troifiéme  pro- 
portionnelle aux  deux  lignes  données  AB,  AC. 

Pareillement  pour  trouver  aux  trois  lignes  AB  ; 
AC  , AD,  une  quatrième  proportionnelle, ou  bien  ce 
qui  eft  la  même  chofe  , aux  deux  AC , AD  , une  troi- 
fiéme proportionnelle  , décrivez  de  l’extremité  C 
de  la  première  AC  , par  l’autre  extrémité  A , l’arc  de 
Cercle  ÂG  , fur  lequel  ayant  mis  la  longueur  de 
l’autre  ligne  AD,  depuis  A en  G , portez  la  même 
longueur  AD  fur  la  ligne  AD  prolongée  , depuis  G 
en  E , & la  ligne  AE  fera  celle  qu’on  cherche  : Si 
ginfi  en  fui  te. 


Récréations Æalhemaha  . Planche  a.Pac/e  ij-jf . 


\ 


PrOBLe’mES  DE  GEOMETRIE. 


147 

PROBLEME  VIL 

Décrire  fur  une  ligne  donnée  autant  deTriangles 
different  qu  on  'voudra  , dont  les  aires 
foient  égales . 

SI  la  ligne  donnée  eft  AB  , tirez-luy  à volonté  la 
parallèle  CD,  fur  laquelle  ayant  pris  à volonté 
autant  de  points  differens  que  vous  voudrez  de 
Triangles  égaux , comme  E , F , G , pour  trois  Trian- 
gles , tirez  de  ces  trois  points  E , F , G,  aux  extre- 
mitez  A , B , de  la  bafe  donnée  AB  , des  lignes  droi- 
tes , &c  vous  aurez  les  trois  Triangles  égaux  AEB  s 
AFB  , AGB , fur  la  même  bafe  AB. 

PROBLEME  VIII. 

Décrire  fur  une  ligne  donnée  autant  deTriangles 
differens  qu’on  voudra  , dont  les  contours 
foient  égaux . 

SI  la  bafe  donnée  eft  AB  , divifez-la  en  deux  éga-  10.  Fi 
lement  au  point  C , & la  prolongez  de  part  ôc 
d’autre  à volonté  en  D,  & en  E , en  forte  que  les 
deux  lignes  CD  , CE,  foient  égales  entre  elles  , & 
toute  la  ligne  DE  fera  prife  pour  la  fomme  des  deux 
cotez  de  chaque  Triangle  , qu’on  décrira  fur  la  bafe 
donnée  AB  en  cette  forte. 

Décrivez  du  point  A , avec  une  ouverture  du 
Compas  un  peu  plus  grande  que  AD  , un  arc  de 
Cercle,  & ayant  porté  cette  ouverture  fur  la  ligne 
DE , depuis  D en  I , décrivez  du  point  B , avec 
l’ouverture  IE  , un  autre  arc  de  Cercle  , qui  coupe 
ici  le  premier  au  point  F,  qui  fera  le  fommet  du. 
premier  Triangle  ABF. 

K ij 


ï 4S  Récréât.  Mathem at.  et  Phts* 

Plan-  Décrivez  pareillement  du  point  A , avec  une  oü^ 
che  i.  verture  un  peu  plus  grande  que  AF  , un  arc  de 
JO'  Cercle  , & ayant  porté  cette  ouverture  fur  la  ligne 
DE,  depuis  D en  K,  décrivez  du  point  B,  avec 
l’ouverture  KE.un  autre  arc  de  Cercle,  qui  coupe 
ici  le  premier  au  point  G,  qui  fera  le  fommet  du 
fécond  Triangle  AGB  , dont  le  contour  fera  égal 
à celuy  du  premier  AFB. 

Si  vous  voulez  un  troifiéme  Triangle , décrivez 
pareillement  du  point  A un  arc  de  Cercle  avec  une 
ouverture  du  Compas  un  peu  plus  grande  que  AG  , 
3c  ayant  porté  comme  auparavant  cette  ouverture 
fur  la  ligne  DE  , depuis  D en  L , décrivez  du  point 
JB  , avec  l’ouverture  LE  un  autre  arc  de  Cercle , 
qui  coupe  ici  le  premier  au  point  H , qui  fera  le 
fommet  du  troifiéme  Triangle  AHB,  dont  le  con- 
tour fera  le  même  que  celuy  des  deux  precedens. 
Ainfi  des  autres. 

Vous  remarquerez  que  les  fommets  F , G,H, 
de  tous  ces  Triangles  fe  trouvent  fur  la  circonfe- 
rence  d’une Ellipfe , dont  le  grand  Axe eft DE,  3>C 
les  deux  Foyers  font  A , B. 

PROBLEME  IX. 

Décrire  deux  Triangles  ifofcéles  dijferens , de  meme 
aire , & de  même  contour. 

P Reparez  une  Echelle  divifée  en  parties  égales 
d’une  grandeur  volontaire  , comme  IK  , Sc 
ayant  pris  fur  la  bafe  AB , les  deux  parties , ou  Seg- 
’ Fig  mens  GA,  GB , chacun  de  iz  parties  prifes  fur 
l’Echelle,  élevez  du  point  G fur  la  même  bafe  AB 
la  perpendiculaire  GC  de  3 f des  mêmes  parties, 
gz  joignez  les  deux  ligues  égales  AC , BC  j 3c  vous 


PROBLEMES  DE  GEOMETRIE.  149 

aurez  le  premier  Triangle  ifofcéle  ABC,  dont cha-  Plaa 
cun  des  deux  cotez  égaux  AC , BC  , fe  trouvera  de  c'lc  2*. 
37  parties,  comme  l’on  connoîtra  en  ajoutant  le  XI’  riS* 
quatre  144  du  Segment  AG,  avee le  quatre  1225 
de  la  perpendiculaire  CG  , & en  prenant  la  Racine 
quarrée  delà  femme  1369. 

Pour  avoir  un  Triangle  de  même  aire  8c  de  mê- 
me contour  que  le  precedent,  prenez  fur  la  bafe 
DE , les  deux  Segmens  HD , HE  , chacun  de  20 
parties  , 8c  ayant  élevé  du  point  H fur  la  bafe  DE 
la  perpendiculaire  HF  de  21  parties,  joignez  les 
lignes  égales  EF  , DF , dont  chacune  le  trouvera  de 
29  parties , comme  l’on  connoîtra  en  ajoutant  le 
quarré  400  du  Segment  DH,  avec  le  quatre  441 
delà  perpendiculaire  HF  , 8c  en  prenant  la  Racine 
quarrée  de  la  femme  841 . 

Ainfi  vous  aurez  le  Triangle  ifofcéle  DEF  , dont 
le  contour  98  eft  égal  au  contour  , c’cft-à-dire  à la 
fomme  des  trois  cotez  du  premier  Triangle  ifofcé- 
le ABC:  & dont  Faire,  ou  le  contenu  420  eft  égal 
au  contenu  du  premier  Triangle  ifofcéle  ABC  , 
comme  l’on  connoît  en  multipliant  DH  par  FH* 
ou  20  par  21  , parce  que  le  produit  420  qui  eu 
provient  pour  Faire  du  Triangle  DEF , eft  le  mê- 
me que  celuy  qui  provient  en  multipliant  AG  pat 
CG  , ou  12  par  3 y , pour  Faire  du  Triangle  ABC. 

On  peut  décrire  autant  de  couples  qu’on  voudra, 
de  Triangles  ifofcéles  , en  chacun  defquels.  l’airo. 
des  deux  Triangles  fera  la  même  , 8c  le  contour  auflï 
le  meme,  en  trouvant  en  nombres  ces  couples,  ce 
qui  fe  peut  faire  en  cherchant  les  deux  nombres  gé- 
nérateurs des  moitiez  AGC  ,DHF  , qui  font  deux 
Triangles  rectangles  égaux  , que  l’on  pourra  en- 
fuite  exprimer  en  nombres  par  le  moyen  de  leurs 
nombres  générateurs , comme  il  a été  enfeigné  au 

K üj 


Plan- 
che i. 
il,  fig- 


ï^o  Récréât.  Mathhmat.  et Phvs.’ 

Trobl,  6,  Arithm.  ces  deux  nombres  générateurs 
fe  trouveront  par  ce  Canon  general  qui  a fa  démon- 
ftration. 

Si  l’on  divife  la  différence  de  deux  Cubes  -par  la 
différence  de  leurs  cotez,  , & fi  l’on  multiplie  cette 
différence  des  cotez,  par  lafomme  des  mêmes  cotez,) 
on  aura  les  deux  nombres  générateurs  d.u  premier 
Triangle  rettangle  AGC  : & fi  l’on  divife  la  dif- 
férence des  deux  mîmes  Cubes  par  la  différence  de 
leurs  chez, , comme  auparavant , & fi  l’on  multiplie 
par  le  plus  petit  côte  la  fomme  de  ce  petit  côté  & 
du  double  du  plus  grand , on  aura  les  deux  nom- 
bres générateurs  du  fécond  Triangle  rectangle 
D H F. 

On  peut  trouver  infiniment  les  deux  mêmes 
Triangles  re£tangles  par  cet  autre  Canon  ; Si  de 
deux  nombres,  dont  le  plus  grand,  fait  moindre  que 
le  quintuple  du  plus  petit , on  multiplie  la  fomme 
par  la  di  fférence , & qu’on  multiplie  par  le  double 
du  plus  petit  la  fomme  du  plus  grand  & dufeptu- 
ple  du  plus  petit,  on  aura  les  deux  nombres  géné- 
rateurs du  premier  Triangle  reSlangle  AGC:  & fi 
du  quarre  de  la  fomme  du  plus  grand  & du  dou- 
ble du  plus  petit,  on  ôte  le  quarre  du  plus  petit , 
<gr  qu’on  multiplie  par  le  double  du  plus  petit  l’excès 
du  quintuple  du  plus  petit  fur  le  pim  grand,  on 
aura  les  deux  nombres  générateurs  du  fécond  Trian- 
gle reth angle  DH  F. 


«ÿ  - 


Récréations Æatheinatia  . Planche  j . Pag e>  i pl  ■ 


Proble’mes  DE  GEOMETRIE.'  I 5 £ 

PROBLEME  X. 

Décrire  trois  Triangles  rectangles  d’fferens  , dont 
les  aires  foient  égales. 

AYant  préparé  une  Echelle  de  parties  égales,' 

prenez  la  bafe  AB  de  42  parties,  Si  lahau-  Plan 
teur  ou  perpendiculaire  AC  de  40  , Si  alors  l’hypo-  c^e 
tenufe  BC  du  premier  Triangle  rectangle  ABC  fe  IJ" 
trouvera  de  58  parties,  comme  l’on  connoîtra  en 
ajoûtant  le  quarré  1764  de  la  bafe  AB  , avec  le  quar- 
té 1600  de  la  hauteur  AC,  & en  prenant  la  Ra- 
cine quarrée  de  la  fournie  3364. 

Prenez  enfuite  la  bafe  DE  du  fécond  Triangle 
reétangle  DEF  de  70  parties,  Si  la  hauteur  DF  de 
24 , & alors  l’hypotenufe  EF  fe  trouvera  de  74  par- 
ties , comme  l’on  co nnoîtra en  ajoutant  enfemble  le 
quarré  4900  de  la  bafe  DE,  Si  lequarré  5 y 6 de 
la  hauteur  DF,  8i  en  prenant  la  Racine  quarrée  de 
la  fomme  5476  : Si  Faire  de  ce  fécond  Triangle 
reétaugle  DEF  fera  égale  à celle  du  premier  ABC  , 
chacune  étant  840,  comme  l’on  connoît  en  mul- 
tipliant la  bafe  par  la  hauteur  , Si  en  prenant  la 
moitié  du  produit. 

Enfin  prenez  la  bafe  FG  du  troifiéme  Triangle 
reétangle  FGH  , de  1 j 2 parties,  & la  hauteur  FH 
de  1 3 , & alors  l’hypotenufe  BC  fe  trouvera  de  1 1 5 
parties,  comme  l’on  connoîtra  en  ajoutant  enfem- 
ble le  quarré  12544  de  la  bafe  FG  , Si  le  quarré 
225  de  la  hauteur  FH  , Si  en  prenant  la  Racine 
quarrée  de  la  fomme  izyé9>Si  Faire  decetroi- 
fiéme  Triangle  reétangle  FGH  fera  aufiï  840* 

Ces  trois  Triangles  rectangles  ont  été  trouvez  en 
nombres  entiers  , par  ce  Canon  que  nous  avons 
üré  de  l’Algebre,  qui  nous  apprend  que^pour 

K iiij 


j Récréât.  Mathemat.  it  Phvs» 

trouver  en  nombres  entiers,  trois  Triangles  rec- 
tangles égaux  , on  doit  auparavant  trouver  trois 
nombres  qui  ferviront  de  nombres  générateurs , en 
cette  forte. 

$i  de  deux  nombres  quelconques  on  ajoute  le  pro- 
duit a la  fomme  de  leurs  quarrez, , on  aura  le  pre- 
mier nombre.  La  différence  de  leurs  quarrez,  fera 
le  fécond  : & la  fomme  de  leur  produit  & du 
quarré  du  plus  petit  fera  le  troiféme  nombre  géné- 
rateur. 

Si  de  ces  trois  nombres  ainfi  trouvez,  conforme 
trois  Triangles  reElangles , fçavoir  V un  des  deux 
premiers , l’ autre  des  deux  extrêmes  , & le  troi-, 
féme  du  premier  & de  la  fomme  des  deux  au- 
tres , ces  trois  Triangles  réel  angle  s feront  égaux 
entre  eux. 

On  peut  trouver  en  nombres  rompus  autant 
d’autres  Triangles  rcéfcingles  qu’on  voudra,  donc 
les  aires  feront  égales  entre  elles  & à l’un  des  trois 
precedens,  en  trouvant  par  le  moyen  de  ce  Trian- 
gle reétangle  un  autre  Triangle  reétangle  égal , en 
cette  forte. 

Formez,  de  l’hypotenufe  du  Triangle  reébangle 
•propofé  , çjr  du  quadruple  de  fon  aire  , un  autre 
Triangle  rectangle  , que  vous  diviferez,  par  le  double 
Au  produit , qui  viendra  en  multipliant  l’bypote- 
yiufe  du  Triangle  re  Elan  aie  propofé  par  la  différen- 
ce des  quarre z,  des  deux  autres  cotez,  du  même 
Triangle  reEl angle  , & vous  aurez,  un  Triangle  reç~ 
t angle  égal  au  propofé. 


Problèmes  de  Geometrieî 
PROBLEME  XI. 


Décrire  trois  Triangles  égaux  , dont  le  -premier 
[oit  reUangle  , le  fécond  foit  oxygone , & le 
troifiéme  foit  amblygone . 

AYant  préparé  comme  auparavant,  uneEchel-  pian- 
le  de  parties  égales  , qui  peuvent  reprefenter  che  5. 
des  Pieds,  des  Toiles,  Sc  tout  ce  qu’il  vous  plai-  IT  F,§’ 
ra , prenez  la  bafe  AB  du  Triangle  reéfcangle  ABC 
de  24  parties  , & la  hauteur  AC  de  7,  Sc  alors 
l’hypotenufe  BC  fe  trouvera  de  25  parties,  com- 
me l’on  connoîcra  en  ajoutant  enfemble  le  quarré 
57 6 de  la  bafe  AB  , Sc  le  quarré  49  de  la  hauteur 
AC  , Sc  en  prenant  la  Racine  quarréc  delafom- 
rae  61$, 

Prenez  enfuite  fur  la  bafe  DE  du  Triangle  oxy- 
gone DEF , le  Segment  KD  de  $ parties  , Sc  le  Seg- 
ment KE  de  9 , & élevez  du  point  K fur  la  bafe 
DE  , la  perpendiculaire  KF  de  12  parties , & alors 
Je  côté  DF  fe  trouvera  de  1 3 parties  , comme  l’on 
connoîtra  en  ajoûtant  enfemble  le  quarré  25  du 
Segment  DK,  &c  le  quarré  144  de  la  hauteur  FK, 

& en  prenant  la  Racine  quarrée  delà  fomme  169: 

& l’autre  côté  fe  trouvera  de  1 5 parties , comme 
l’on  connoîtra  en  ajoutant  enfemble  le  quarré  81 
du  Segment  KE , Sc  le  quarré  1 44  de  la  perpendi- 
culaire KF , Sc  en  prenant  la  Racine  quarrée  de  la 
fomme  zif. 

Enfin  prenez  fur  la  bafe  GH  du  Triangle  ambly- 
gone GHI , le  Segment  LG  de  6 parties , Sc  le  Seg- 
ment LH  de  1 5 , & élevez  du  point  L , fur  la  baie 
GH,  la  perpendiculaire  LI  de  8 parties,  Sc  alors 
îc  côté  GI  fe  trouvera  de  1 o parties , comme  Fora 


Plan- 
che 5 . 
i } . Fig. 


1 54  Récréât.  Matmemât.  et  Phys»' 
connoîtra  en  ajoutant  enfemble  le  quatre  ^6  du 
Segment  GL  , & le  quarré  £4  de  la  hauteur  IL  » 
8c  en  prenant  la  Racine  quarrée  delà  fomme  100“ 

le  côté  Hi  fe  trouvera  de  iy  parties,  comme 
î’on  connoîtra  en  ajoutant  au  quarré  225  du  Seg- 
ment LH,  le  quarré  64  de  la  perpendiculaire  LI, 
ik  en  prenant  la  Racine  quarrée  de  la  fomme  289. 

On  connoîc  que  le  Triangle  ABC  eft  reétangle 
en  A,  parce  que  la  fomme  625  des  quarrez  49  , 
576  , des  deux  cotez  AC  , AB  , eft  égale  au  quar- 
ré du  troiftéme  côté  BC  : que  le  Triangle  DEF  eft' 
oxygone  , parce  que  la  fomme  des  quarrez  de  deux 
cotez  quelconques  eft  plus  grande  que  le  quarré  du 
troifiérne  côté:  8c  enfin  que  le  Triangle  GHI,  eft 
amblygone,  8c  que  l’angle  I eft  obtus,  parce  que 
le  quarré  441  de  fon  côté  oppofé  GH  , qui  eft  de 
21  parties  , eft  plus  grand  que  la  fomme  389  des 
quarrez  1005289,  des  deux  autres  côtez  GI,  HI. 

Enfin , l’on  connoît  que  ces  trois  Triangles 
ABC  , DEF  , GHI , font  égaux  , c’eft-à-dire  , que 
leurs  aires  font  égales  entre  elles,  parce  qu’en  mul- 
tipliant la  bafe  AB  par  la  hauteur  AC , il  vient  la 
même  chofe  qu’en  multipliant  la  bafe  DE  par  la 
hauteur  FK , 8c  aulfi  la  même  chofe  qu’en  multi- 
pliant la  bafe  GH  par  la  hauteur  LI , fçavoir  168, 
qui  eft  le  double  de  l’aire  de  chaque  Triangle  , la- 
quelle par  confequent  fera  84.  Les  trois  côtez  du 
Triangle  oxygone  DEF,  & la  perpendiculaire  FK  , 
font  dans  une  continuelle  Proportion  Arithmé- 
tique 


1 


PîlOBtE’MES  de  GEOMETRIE.' 

PROBLEME  XII. 


‘Trouver  une  ligne  droite  égale  a un  arc  de 
Cercle  donné. 

POur  trouver  une  ligne  droite  égale  à l’arc  de  P-an* 
Cercle  BCD  , dont  le  centre  eft  A , de  dont  le  ^ie 
Rayon  ou  Demi  diamètre  eft  AB,  ou  AD,  divifez 
cet  arc  en  deux  également  au  point  C , & tirez  les 
cordes  BC , CD  , BD.  Prolongez  la  corde  BD  en 
E,  en  forte  que  la  ligne  BE  foit  double  de  l’une 
des  deux  cordes  égales  BC , CD  , c’eft- à-dire  , égale 
à la  Comme  de  ces  deux  cordes.  Prolongez  encore 
la  ligne  BE  en  F , en  forte  que  la  ligne  EF  foit  éga- 
le à la  troifiéme  partie  de  la  ligne  DE  , fk  la  ligne 
droite  BF  fera  à peu  prés  égale  à la  courbe  BCD  ; 

J’ay  dit  à peu  prés , parce  que  la  ligne  BF  eft  tant 
foit  peu  moindre  que  l’arc  BCD  , mais  la  différen- 
ce eft  fi  petite  lorfque  l’arc  BCD  ne  paffe  pas  30 
degrez , qu’il  n’y  a pas  feulement  une  partie  à redire 
de  cent  mille  qu’on  peut  donner  au  Rayon  AB, 
ou  AD. 

Remarque. 

Ceux  qui  fçavent  la  Trigonométrie,  trouveront 
que  fi  l’arc  BCD  eft  precifément  de  3 o degrez , ou 
la  douzième  partie  de  la  circonférence  de  tout 
le  Cercle  , &C  que  le  Rayon  AB , ou  AC  foit  de 
50000  parties,  en  forte  que  leDiametre  foit  de 
I OOOOO  parties  , chacune  des  deux  cordes  BC, 

CD  , fera  de  1 3 o 5 3 parties , & que  par  confis- 
quent leur  fomme,  ou  la  ligne  BE  fera  de  16106 
parties,  de  laquelle  ôtant  la  corde  BD , qui  fe  trou- 
vera de  z 5 8 8 2 parties , il  en  reliera  2.2,4  pour  1s 


?s«_  Récréât.  Mathemat.  it  PhÿsÎ 
ligne  DE , dont  la  troifiéme  partie  eft  74  pour  la  1k 
gnc  EF  , laquelle  étant  ajoutée  à la  ligne  BE,  ou  a 
26io6,!a  fomme  fera  26180  pour  la  ligne  BF, 
ou  pour  l’are  BCD  , lequel  enfin  étant  multiplié 
par  1 2 , on  aura  314160  pour  la  circonférence 
du  Cercle.  Ainfi  nous  fçavons  que  quand  le  Diamè- 
tre d’un  Cercle  eft  de  1 oooqo  parties , la  circon* 
ference  eft  d’environ  314160  femblables' parties  , 
& que  par  confequent  le  Diamètre  d’un  Cercle  eft 
à fa  circonférence  j environ  comme  ioooooeftà 
3 1 41  60  , ou  comme  10000331416. 

Ce  qui  fert  pour  trouver  la  circonférence  d’un 
Cercle , dont  on  connoît  le  Diamètre  , fçavoir  en 
multipliant  ce  Diamètre  toujours  par  31416,  de 
en  divifant  le  produit  par  10000,  ce  quife  fera 
en  retranchant  de  ce  produit  quatre  figures  à la 
droite , car  les  figures  qui  relieront  à la  gauche , 
feront  connoître  la  circonférence  du  Cercle  , & les 
figures  retranchées  feront  le  Numérateur  d’une 
fraélion , dont  le  Dénominateur  fera  1 oooo. 

Comme  pour  connoître  la  circonférence  d’un 
Baffin  rond  d’une  fontaine , dont  le  Diamètre  eft: 
par  exemple  de  6 4 pieds,  en  multipliant  64  par 
3 ï 4 1 6 , & en  retranchant  quatre  figures  à la  droite 
du  produit  2010624,  on  aura  201  pieds  , de 

— 4 - , pour  la  circonférence  qu’on  cherche. 

Il  faudroit  faire  tout  le  contraire  , fil’onvouloit 
connoître  le  Diamètre  d'un  Cercle  , ou  d’une  boule 
far  fa  circonférence  connue  , c’eft-à-dire  , qu’il  fau- 
droit multiplier  cette  circonférence  par  10000, 
ce  qui  fe  fera  en  luy  ajoutant  vers  la  droite  quatre 
zéros,  de  en  divifant  le  produit  par  3 1 41  6. 

Ainfi  pour  connoitre  le  Diamètre  dune  Tour 
ronde , dont  on  a mefuré  le  contour  ou  la  circonfe^ 


Froble’mes  de  Geometriè.  I <pj 
Srence  en  dehors  par  le  moyen  d’une  longue  corde, 
qui  foit  par  exemple  de  154  pieds,  en  ajoutant 
quatre  zéros  à la  droite  de  ce  nombre  1 54  , & en 
divifant  1 5 40000  par  31416,  on  aura  45)  pieds 
pour  le  Diamètre  qu’on  cherche. 

PROBLEME  XIII. 

Trouver  entre  deux  lignes  données  une  , ou  deux , 
ou  trois  moyennes  proportionnelles. 

PRemierement , pour  trouver  entre  les  deux  li- 
gnes données  AB , AC , une  moyenne  propor- 
tionnelle , ayant  décrit  autour  de  la  plus  grande 
AB  , le  Demi-cercle  ADB,  élevez  de  l’extremité  C 
de  la  plus  petite  AC , la  perpendiculaire  CD , & 
menez  la  droite  AD  , qui  fera  moyenne  propor- 
tionnelle entre  les  deux  AB,  AC. 

Pour  trouver  entre  les  deux  lignes  données  AB  , 
AC  , deux  moyennes  continuellement  proportion- 
nelles, ayant  fait  de  ces  deux  lignes  données  AB, 
AC  , le  Parallélogramme  reétangle  ABDC,  décrivez 
de  fon  centre  E,  le  quart  de  Cercle  GHF  de  telle 
grandeur  que  la  droite  FG  , qui  fera  tirée  par  les 
deux  points  F , G , où  il  coupe  les  deux  lignes 
données  AC  , AB  , prolongées  , paife  par  l’angle 
droit  D , & alors  les  deux  lignes  CF  , BG  , feront 
les  deux  moyennes  proportionnelles  qu’on  cher- 
che , de  forte  que  les  quatre  lignes  AB  , CF  , BG , 
AC  , feront  continuellement  proportionnelles. 

Enfin , pour  trouver  entre  les  deux  lignes  don- 
nées AB  , AC  , trois  moyennes  continuellement 
proportionnelles,  ayant  trouvé  entre  ces  deux  li- 
gnes données  AB  , AC,  une  moyenne  proportion- 
nelle AD,  comme  il  a étéenfeigné,  cherchez  de 


Plan- 
che 3 . 
D-  Fig» 


16.  Fig. 


ij.  Fig. 


içB  Récréât. Mathemât.  et  Phys." 

Plan-  la  même  façon  entre  cette  moyenne  AD,  ôc  la  prê- 
che j . niiere  AC , une  autre  moyenne  proportionnelle  AF, 
FlS'  entrera  même  moyenne  AD  6c  la  derniere  AB  , 
une  autre  moyenne  proportionnelle  AG  , 6c  les 
trois  lignes  AF , AD  , AG , feront  les  moyennes  pro- 
portionnelles qu’on  cherche  , de  forte  que  les  cinq 
lignes  AC  , AF , AD , AG , AB , feront  dans  une 
proportion  continue. 

Remarque. 

Si  les  deux  lignes  AB , AC , font  données  en  nom- 
bres, comme  fi  AB  étoit  de  32.  pieds,  6c  AC  de 
2,  , on  pourra  exprimer  en  nombres  les  trois 
moyennes  AF  , AD,  AG,  en  multipliant  enfemble 
les  deux  nombres  32,  6c  2 , des  deux  lignes  don- 
nées AB,  AC,  6c  en  prenant  la  Racine  quart ée  du 
produit  64  , qui  donnera  8 pour  la  moyenne  AD  , 
laquelle  étant  multipliée  feparément  par  la  premiè- 
re AC  , 6c  par  la  derniere  AB  , les  Racines  quarrées 
des  deux  produits  16,  256,  donneront  4 pour 
AF  , 6c  1 6 pour  AG. 

16.  Fiy*  Mais  pour  trouver  en  nombres  feulement  deux 
moyennes  proportionnelles  entre  les  deux  propo- 
fées  AB  , AC , telles  que  font  les  deux  CF  , BG  , en 
fuppofant  que  la  plus  petite  AB  foie  de  2 pieds  , 5c 
la  plus  grande  AC  de  1 6',  multipliez  le  quarré  4 
de  la  première  AB,  par  la  derniere  AC,  6c  prenez 
îa  Racine  cubique  du  produit  64  , qui  donnera  4 
pour  la  première  moyenne  proportionnelle  CF,  qui 
fuit  en  proportion  la  première  des  deux  données 
AB:  6c  pareiMement  multipliez  le  quarré  256  de 
îa  derniere  AC,  par  la  première  AB,  6c  prenez  la 
Racine  cubique  du  produit  ç 1 2 , qui  donnera  § 
pour  l’autre  moyenne  proportionnelle  BG, 


PrOBLe’meS  DE  GEOMETRIE. 

PROBLEME  XIV. 


Décrire  dans  un  Cercle  donné  quatre  Cercles  égaux 
qui  fe  touchent  mutuellement  , & aujfi  la 
circonférence  du  Cercle  donné. 

AYant  divifé  le  Cercle  donné  ABCD,  dont  le  plan 
centre  eft  E , en  quatre  parties  égales,  par  che 
les  deux  Diamètres  perpendiculaires  AC,  BD  , pre-  17 • 
nez  fur  le  Diamètre  BD  , la  ligne  DF,  cg  aie  à la  li- 
gne CD  , qui  eft  la  foûtendante  ou  la  corde  du 
quart  de  Cercle , &c  la  ligne  EF  donnera  la  lon- 
gueur du  Rayon  de  chacun  des  quatre  Cercles  é- 
gaux  qu’on  cherche.  Si  donc  on  porte  la  longueur 
de  cette  ligne  EF  fur  les  Diamètres  perpendiculai- 
res AC  , BD  , en  AK  , BG , CH  , DI , & que  des 
centres  K,  G , H,  I,  l’on  décrive  par  les  points 
A , B,  C , D , quatre  circonférences  de  Cercle  , el- 
les fe  toucheront  mutuellement  , & auffi  celle  du 
Cercle  donné  ABCD. 

Remarque. 

Si  l’on  joint  deux  centres  quelconques  , comme 
I , K , par  la  ligne  droite  IK  , cette  ligne  droite 
IK  fera  parallèle  à fa  corde  correfpondante  DA  , & 
pafleraparle  point  d’attouchement  O : elle  fera  par 
confequent  en  I un  angle  demi-droit,  ou  de  4^ 
degrez  avec  le  Diamètre  BD  5 ce  qui  fait  que  l’arc 
LO  fera  auffi  de  4^  degrez,  auffi-bien  que  l’arc 
MO  , parce  que  tout  l’arc  LM  eft  un  quart  de 
Cercle.  D’où  il  fuit  que  fi  l’on  joint  la  droite  CF, 
l’angle  ECF  fera  de  22.  degrez  & 30  minutes, 
d’où  l’on  peut  tirer  une  autre  conftruéfcion  pour  la 
ïefolution  du  Problème. 


£ (éo  Récréât.  Mathemat.  et  Phys" 

PROBLEME  XV. 

Décrire  dans  un  Demi-cercle  donné  trois  Cercles  i 
qui  touchent  la  circonférence  & le  Diamètre  de 
ce  Demi-cercle  donné > & dont  celuj  du  milieu 
qui  efi  le  fins  grand  , touche  les  deux  autres 
qui  font  égaux . 

Plab-  "F7  Levez  du  centre  D du  Demi-cercle  donné  ABC, 
che  4.  JQ  fur  fon  Diamètre  AC  , la  perpendiculaire  DB, 
î8.  Fig.  ^ ia  divifcz  en  deux  également  au  point  E , qui 
fera  le  centre  du  plus  grand  des  trois  Cercles  qu’on 
cherche  , lequel  par  confequent  fera  BIDK. 

Pour  décrire  les  deux  autres  Cercles  qui  font 
égaux  entre  eux  , divifez  le  Demi-diametre  DE* 
en  deux  également  au  point  H , & décrivez  de? 
part  8c  d’autre  des  deux  points  E , D , avec  l’ouver- 
ture BH  , deux  arcs  de  Cercle  , qui  fe  coupent  ici 
aux  deux  points  F , G , qui  feront  les  centres  des 
deux  Cercles  égaux  , qu’il  ne  fera  pas  difficile  de 
décrire , parce  que  le  Rayon  de  'chacun  eft  égal  à 
la  ligne  DH,  ou  à la  quatrième  partie  du  Diamè- 
tre BD,  ou  bien,  ce  qui  eft  la  même  chofe , à la 
huitième  partie  du  grand  Diamètre  AC. 

Remarque . 

lî  eft  évident  que  le  Demi-cercle  ABC  eft  dou- 
ble du  Cercle  BIDK , parce  que  le  Diamètre  AC 
eft  double  du  Diamètre  BD:  & que  pareillement 
le  Demi-cercle  BID  eft  double  du  Cercle  ILO , 
parce  que  le  Rayon  DE  eft  double  du  R yon  FIS 
ou  FL.  D’où  il  eft  a fé  de  conclure  que  le  Triangle 
mixiiligne  ABID  eft  égal  au  Demi*cercle  BDI,  & 

que 


Recréa  bons  Æat/iemahLj  ■ r/anche  4..  Pctÿee  lôû. 


Proble’mes  de  Geometrie.  ièt 
que  par  confequenr  le  Demi-cercle  ABC  fe  trouve 
divilé  en;  quatre  parties  égales  par  le  Diamètre  BD? 
& par  la  circonférence  BIDK. 

PROBLEME  XVI. 

Décrire  quatre  Cercles  proportionnels  , en  forte 
que  leur  fomme fait  égale  à un  Cercle  donné , & 
que  la  fomme  de  leurs  Rayons  foit  égale  à une 
ligne  donnée. 

QUe  le  Cercle  donné  foit  ABCD  , dontlecen- 
tre  foit  O,  & un  Diamètre  foit  AC  , & que 
la  ligne  donnée  foit  AE,  qui  doit  être  plus  grande 
que  le  Rayon  AO,  & moindre  que  le  Diamètre 
AC  , fi  1 'on  veut  que  les  quatre  Cercles  qu’on  cher- 
che, foient  inégaux.  Les  Diamètres  de  ces  quatre 
Cercles  fe  détermineront  en  cette  forte. 

Ayant  tiré  à volonté  dans  le  Cercle  donné  ABCD, 
la  ligne  FG  parallèle  au  Diamètre  AC,  de  ayant  re- 
tranché de  la  ligne  donnée  AE  , là  partie  EH  égale 
à la  moitié  de  la  ligne  FG , tirez  par  l’extremité  A, 
du  Diamètre  AC , la  ligne  AI  égale  à la  ligne  AH  , 
& perpendiculaire  au  Diamètre  AC,  & tirez  parle 
point  I , au  même  Diamètre  AC , la  parallèle  IB  , 
qui  rencontre  ici  la  circonférence  du  Cercle  d .ur- 
iné au  point  B , par  lequel  on  tirera  la  ligne  BD, 
perpendiculaire  à la  ligne  FG,  & les  quatre  lignes 
KF , KB  , KG , KD  , feront  les  Diamètres  des  quatre 
Cercles  qu’on  cherche. 

Remarque. 

Il  peut  arriver  que  les  deux  plus  petits  Cercles 
KF  , KB  , feront  égaux  entre  eux  , auïîi-bien  que  les 
deux  plus  grands  KG , KD , fçavoir  lorfque  la  li« 
Tonte  /.  L 


Plan- 
che 4 i 


i6z  Récriât.  Màthemat.'  et  Phys." 
gnc  FG  fera  égale  à la  ligne  donnée  AE.  Ainfi  quand 
on  voudra  que  tous  ees  quatre  Cercles  foient  iné- 
gaux , on  doit  tirer  la  ligne  FG , avec  cette  circon- 
fpeétion , qu’elle  foit  plus  grande  ou  plus  petite  que 
la  ligne  donnée  AE , & dans  ce  cas  , le  Cercle  KF 
fera  le  plus  petit  de  tous , ôc  le  Cercle  KD  fera  le 
plus  grand. 

PROBLEME  XVII. 

déterminer  fur  la  circonférence  d'un  Cercle  donné 
tin  arc , dont  le  Sinus  foit  égal  à la  corde  dtc 
complément  de  cet  arc . 

Plan-  D Our  déterminer  fur  la  circonférence  du  quart 

che  X de  Cercle  ABC , dont  le  centre  eft  A , l’arc  CD, 

a o.  Fig.  dont  le  Sinus  ED  foit  égal  à la  corde  BD  du  com- 
plément de  cet  arc  •,  ayant  élevé  de  l’extremité  B , du 
Rayon  AB , la  perpendiculaire  BG  égale  à la  corde 
BC  du  quart  de  Cercle,  tirez  du  centre  A par  le 
point  G,  la  droite  AG,  8c  ayant  pris  fur  le  Rayon 
AB , la  partie  AF  égale  à la  partie  GH  , élevez  du 
point  F fur  AB,  la  perpendiculaire  FD,  qui  déter- 
minera l’arc  CD  qu’on  cherche. 

Remarque. 

La  Secante  AG  de  l’arc  BH  eft  égale  à la  Tan- 
gente d’un  arc  de  60  degrez,  c’eft-à-dire,  que  le 
Rayon  AH  étant  de  iooooo  parties  la  ligne  AG 
en  comprend  173205  » de  laquelle  ôtant  GH,  ou 
I OOOOO  > le  refte  73205  eft  la  partie  GH,  ou 
AF,  c’eft-à-dire  le  Sinus  ED  de  l’arc  CD  , qui  fe 
trouvera  de  47.  3'.  3 1".  & par  confequent  fon  com- 
plément BD  de 42.  Ainfi  nous  fçavons 


, )'■  .'.ü/  . 

' 


A 


>J  — 


1 


Récréations  Matkem  ■ Planche  £ ■ Page  16a.  . 


PROBLE’mES  DE  GEOMETRIE.  163 

que  le  Sinus  d’un  arc  de  47.  3'.  31".  eft  égal  à la 
corde  d’un  arc  de  42.  5 6'.  2.9".  qui  eft  fon  com- 
plément. 

PROBLEME  XVIII. 

Décrire  un  Triangle  rectangle,  dont  les  trois  côtex» 
foient  en  Proportion  Géométrique. 

AYant  décrit  à volonté  le  Demi-cercle  ABC,  pian 
donc  le  centre  eft  D , & dont  le  Diamètre  che 
AC  fera  pris  pour  l’hypotenufe  du  Triangle  rec-  2I* 
tangle  qu’on  cherche , tirez  par  I’extremité  C de 
ce  Diamètre  AC,  la  ligne  CE  égale  5c  perpendi- 
culaire au  même  Diamètre  AC , 5c  joignez  la  droi- 
te DE,  qui  le  trouve  ici  coupée  par  la  circonfé- 
rence du  Demi-cercle  ABC  au  point  F.  Portez  la 
longueur  de  la  partie  EF  fur  la  circonférence  ABC, 
depuis  A en  B , & joignez  les  droites  AB  , BC  , qui 
feront  au  point  B un  angle  droit , 5c  le  Triangle  rec- 
. taiigle  ABC,  fera  celuy  qu’on  cherche  , de  forte 
qu’il  y aura  même  raifon  du  côté  AB,  au  côté  BC, 
que  du  même  côté  BC , àl’hypotenufe  AC. 

Remarque.. 

Si  de  l’angle  droit  B,  l'on  tire  la  ligne  BG  per- 
1 pcndiculaire  à l’hypotenufe  AC , le  plus  grand  Seg- 
ment CG  fera  égal  au  plus  petit  côté  oppofé  AB , 
ou  à la  partie  EF , d’où  l’on  peut  tirer  une  autre 
■ conftruétion  pour  la  refolution  du  Probême  , fça-* 
voir  en  prenant  fur  le  Diamètre  AC  , la  partie  CG 
égale  à la  partie  EF,  & en  abaiflànt  du  point  G , la 
perpendiculaire  GB  , &c. 

On  aura  une  troifiéme  conftuuéHon  , ftl’oncon- 

L ij 


ï^4  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.’ 

Flan-  fidere  que  l’hypotenufe  AC  fe  trouve  coupée  au 

c^e  S-  point  G .par  Ta  perpendiculaire  BG  , dans  la  moyen- 

i I.  jfi(T,  * r a r r-  > n x j 1,1  ' 

» ne  8c  extreme  railon  , c elt-a-dire , que  1 hypotenu- 
fe  AC  tft  à Ton  plus  grand  Segment  CG  , comme  le 
même  p'us  grand  Segment  CG  eft  au  plus  petit  AG. 

Si  vous  voulez  une  quatrième  conftruétion  , 
abaiflez  de  l’extremité  A,  la  ligne  AG  perpendicu- 
laire au  Diamètre  AC , & égale  à la  troifiéme  partie 
<du  même  Diamètre  AC  , & tirez  par  le  point  G , au 
Diamètre  AC,  la  parallèle  GH,  qui  fera  égale  à la 
troifiéme  partie  du  petit  Segment  AG , &c. 

PROBLEME  XIX. 

Décrire  quatre  Cercles  égaux  qui  fe  touchent  mu- 
tuellement, & qui  touchent  par  le  dehors  la 
circonférence  d’ un  Cercle  donné \ 

4.*.  Fig;  A Yant  divifé  le  Cercle  donné  ABCD  en  quatre 
Jlj L parties  égales  par  les  deux  Diamètres  AG , 
BD,  qui  fe  coupent  à angles  droits  au  centre  E, 
prenez  fur  le  Diamètre  AC  prolongé  la  ligne  AF 
égale  à la  ligne  AB  , ou  à la  corde  du  quart  de 
Cercle  , & la  ligne  EF  donnera  la  longueur  du 
Rayon  de  chacun  des  quatre  Cercles  égaux  qu’on 
cherche.  Si  donc  on  porte  cette  longueur  EF  fur 
chacun  des  deux  Diamètres  prolongez  AC , BD,  de- 
puis la  circonférence  du  Cercle  donné  ABCD  , aux 
points  G , H , I , K , & que  de  ces  points  G , H , I , 
K,  comme  centres  on  décrive  parles  points  A,  B , 
C , D , autant  de  Cercles  égaux , ces  quatre  Cer- 
cles fe  toucheront  mutuellement,  & aulfi  la  circon- 
férence du  Cercle  donné  ABCD. 


c 


PROBLEMES  DE  GEOMETRIE. 


Remarque. 


lé* 


Plan- 
che y. 


Si  l’on  joint  deux  centres  quelconques  , comme 
G , H , par  la  droite  GH , cette  ligne  GH  fera  pa- 
rallèle à la  corde  correfpondante  AB,  & elle  par- 
fera par  le  point  d’attouchement  O : elle  fera  par 
confequent  aux  points  G , H , des  angles  demi- 
droits,  ou  de  4Ç  degrez  , ce  qui  fait  que  chacun 
des  arcs  AO  , BO  , fera  auffi  de  4 5 degrez.  D’où 
il  eft  aifé  4e  conclure  , qu’en  prolongeant  de  part 
& d’autre  la  corde  AB  en  M & en  N , chacun  des 
arcs  AM , BN , fera  un  quart  de  Cercle. 


PROBLEME  XX. 


De'crire  un  Triangle  reB  angle  , dont  les  trois  cotez, 
foient  en  Proportion  Arithmétique. 

AYant  parcouru  fur  la  ligne  indéfinie  AB  cinq  pj^^ 
parties  égales  d’une  grandeur  volontai-  che  6. 
tes  , depuis  A jufqu’en  B , & ayant  pris  la  ligne  ter-  1 3*  F'g* 
minée  AB  pour  l’hypotenufe  du  Triangle  reétangle 
qu’on  cherche  -,  décrivez  de  fon  extrémité  A , à l’ou- 
verture de  trois  parties  un  arc  de  Cercle,  & de 
l’autre  extrémité  B , à l’ouverture  de  quatre  par- 
ties un  autre  arc  de  Cercle  , qui  coupera  le  pre- 
mier en  un  point,  comme  C , duquel  vous  tirerez 
aux  deux  extremitez  A , B , de  l’hypotenufe  AB  , les 
droites  AC , BC , & le  Triangle  ABC  fera  reétangle 
en  C , & fes  trois  cotez  AB,  BC  , AC  , feront  en 
Proportion  Arithmétique  , c’eft-à-dire  , qu’ils  fc 
furpaflèront  également , puifque  le  côté  AB  eft  dq 
5 parties , le  côté  BC  de  4 , & le  côté  AC  de  3 . 


I 66  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 


Plan- 
che G, 

»j.  Fig.' 


Remarque. 


Ce  Triangle  reétangle  eft  le  feul  dans  fon  elpe- 
ce,  dont  les  trois  cotez  foient  Arithmétiquement 
proportionnels , ils  font  tels  , que  la  fomme  de 
leurs  Cubes  en  nombres  eft  un  Cube  parfait  : car 
AB  étant  $ , fon  Cube  eft  1 z 5 > BC  étant  4 , fon 
Cube  eft  64  j 8c  AC  étant  3 , fon  Cube  eft  17 , & 
la  fomme  z 1 6 de  ces  trois  Cubes  1 z 5;  , 64  > Z7» 
a fa  Racine  cubique  6,  qui  dans  ce  Triangle  rec-. 
tangle  fe  rencontre  égale  à fon  aire. 

Ü4>  Fig.  si  pon  double  tous  les  cotez  du  Triangle  ABC  , 
en  forte  que  le  coté  AB  foit  de  1 o parties , le  côté 
BC  de  8 , & le  côté  AC  de  6 \ on  aura  un  autre 
Triangle  rcéfcangle  femblable  au  precedent , ce  qui 
fait  que  fes  trois  côtez  feront  toujours  enPropor-* 
tion  Arithmétique  , & que  la  fomme  de  leurs  Cu- 
bes fera  auffi  un  Cube  parfait , fçavoir  17Z8  , dont 
le  côté , ou  la  Racine  cubique  eft  1 z.  De  plus  l’aire 
£c  le  contour  de  ce  fécond  Triangle  reétangle  ABC 
feront  égaux  entre  eux,  chacun  étant  24.  Voyez 
le  Probl  Z3. 


PROBLEME  XXL 


Récrire  fx  Cercles  égaux  qui  fe  touchent  mutuel- 
lement , & auffi  les  trois  cotez,  & les  trois  angles 
d’un  Triangle  donné  équilatéral. 

a j.  Fig.  l^e  le  Triangle  équilatéral  donné  fôitABC* 
8c  que  fon  centre  foit  D.  Tirez  de  ce  centre 
D , par  les  trois  angles  A , B , C , 8c  par  les  milieux 
E , F , G , des  trois  côtez  autant  de  lignes  droites  * 
pour  y marquer  les  centres  K,  L»  M,  N, O, P*, 


Récréations  Matkenuiii  . Planche  6 Pcu?eié>6 - 


i 


- 


i . 


/ 


PrOBLe’mES  DE  GEOMETRIE.  i*7 

des  fix  Cercles  qu  on  cherche  , en  cette  forte.  Plan 
Ayant  pris  fur  le  côté  AB,  la  partie  EH  égale  à C'1C 
la  moitié  de  la  perpendiculaire  DE  , & ayant  joint  *** 
la  droite  DH,  prolongez  cette  ligne  DH  en I,  en 
forte  que  la  partie  HI  (oit  égale  à la  partie  HE  , Sc 
toute  la  ligne  DI  donnera  la  longueur  du  Rayon 
de  chacun  des  fîx  Cercles  égaux  qu’on  veut  dé- 
crire, dont  les  centres  fe  trouveront  en  portant 
cette  longueur  DI , depuis  E en  K , depuis  B en 
L , &c. 

Remarque. 

Si  l’on  joint  les  deux  centres  P , L , par  la  droite 
PL  , cette  ligne  PL  fera  parallèle  au  côté  AB , èc 
divifera  par  confequent  à angles  droits  & en  deux 
également  au  point  Q , le  Rayon  EK.  D’où  il  fuit 
que  fi  l’on  joint  la  droite  EL  , & la  droite  KL  , 
qui  paflèra  par  le  point  d’attouchement  R , le 
Triangle  EL  K fera  ifofcéle,  chacun  des  deux  côtez 
égaux  EL , KL  , étant  double  de  la  bafe  EK  : l’arc 
ER  fera  de  jj.  3 i1.  zc/'.  & l’arc  BR  de  44.  28*. 

40;/.  ce  qui  fait  que  ces  deux  arcs  font  enfemblc 
precifément  izodegrez,  fçavoir  autant  que  l’angle 
PDL. 

PROBLEME  XXII. 

Etant  donnez,  plufeurs  Demi-cercles  qui  fe  touchent 
à l’angle  droit  de  deux  lignes  perpendiculaires , 

& qui  ont  leurs  centres  fur  l’une  de  ces  deux  li- 
gnes : trouver  les  points  oà  ces  Demi-cercles  peu - 
vent  être  touchez,  par  des  lignes  droites  tirées 
de  ces  points  à un  point  donné  fur  l’autre  ligna 
perpendiculaire . 

QUe  les  Demi-cercles  ABC  , ADE  , AFG  l 1 6, 
AHI,  AKL,  qui  ont  leurs  centres  fur  la  ligne 

L iiij 


ï 6 8 Reçue  at.  Mathemat.  et  Phys.' 

Plan-’  AL  perpendiculaire  à la  ligne  AM,  fe  touchent  à l’an« 
gle  droit  A , & qu’il  faille  trouver  les  points  ou  tous 
fcf-'fig.  Ces  Demi-cercles  feront  touchez  chacun  par  une  li- 
gne droite  tirée  du  point  M donné,  fur  la  ligne  AM. 

Pécrivez  du  point  donné  M , comme  centre , par 
îe  point  d’attouchement  A,  l’arc  de  Cercle  AK» 
qui  coupera  les  circonférences  des  Demi-cercles 
donnez  en  des  points,  comme  B,  D,  F,  H,  K, 
qui  feront  les  points  d’attouchement  qu’on  cher- 
che. 

Remarque. 

Lorfque  les  divifions  de  la  ligne  AL  feront  éga- 
les entre  elles,  on  pourra  fe  fèrvir  de  ces  Demi- 
cercles  pour  divifer  une  ligne  donnée  en  parties 
égales,  fçavoir  en  appliquant  cette  ligne,  comme 
feroit  AK,  ou  AO,  depuis  le  point  A fur  la  cir- 
conférence du  cinquième  Demi-cercle  , fi  on  la 
veut  divifer  en  cinq  parties  égales  , comme  elle  fc 
trouvera  ainfi  divifee  par  les  circonférences  des  au- 
tres Demi-cercles.  C’eft  delà  meme  façon  que  l’on 
divifera  en  trois  parties  égales  la  ligne  propoféc,  ou 
bien  la  ligne  AN , &c. 

PROBLEME  XXIÏL 

Décrire  un  Triangle  re  El  angle , dont  l’aire  [oit  en, 
nombres  égale  au  contour . 

pfân.  Irez  les  deux  lignes  perpendiculaires  AB,  AC  s 

chey.  X d’une  telle  grandeur  , que  la  première  AB  foit 
â7*  F*»»  de  £ parties  prifes  fur  une  Echelle  divifée  en  par- 
ties égales , & que  la  fécondé  AC  foit  de  1 1 parties 
de  la  même  Echelle , & joignez  l’hypotenufe  BC , 
qui  fe  trouvera  precifément  de  53  parties  égales. 


Récréations  JMathemaiuf  . Planche  y.  Paye  i ù 8 . 


X 


PROBLEMES  DE  GEOMETRIE»  ^9 

comme  l’on  connoît  en  ajoûtanc  enfembîe  les  quar- 
rcz  1 f , 1 44 , des  deux  cotez  AB , AC , & en  pre- 
nant la  Racine  quarrée  de  la  Tomme  169  : îk  l’aire 
du  Triangle  reétangle  ABC  fera  égale  à Ton  con- 
tour , ou  à la  Tomme  des  trois  cotez,  chacun  étant 
30.  Il  arrive  la  même  chofe  à cet  autre  Triangle 
reétangle  en  nombres,  6,  8,  10  > dont  l’aire  & 
le  contour  font  chacun  24. 


Man- 
che 7 • 
17.  Fig. 


Remarque. 

Il  n’y  a en  nombres  entiers  que  ces  deux  Trian- 
gles reétangles , 6,8,  10,  & 12,  13»  dont 

l’aire  dans  chacun  Toit  égale  à Ton  contour  :mais  en 
nombres  rompus  il  y en  a une  infinité,  que  Ton 
peut  trouver  par  ce  Canon  general  qui  a fa  démon- 
ftration.  Formez,  d’un  nombre  quarré  quelconque , 
& du  meme  nombre  quarré  augmenté  de  2 , un 
Triangle  réel  angle  , & le  divifez,  par  ce  nombre  quar- 
ré, pour  avoir  un  fécond  Triangle  retlangle , dont 
l’aire  fera  égale  à fon  contour. 

Comme  fi  de  9 & de  1 1 , on  forme  ce  Triangle 
reétangle  40,  Ip8 , 202  , & qu’on  le  divifepar^, 

on  aura  cet  autre  Triangle  reétangle 

dont  l’aire  & le  contour  font  égaux  , chacun  étant 

Pareillement  fi  de  1 6 &c  de  1 8 , on  forme 

ce  Triangle  reétangle  6 8,  5 76,  580  qu’on 
le  divife  par  1 6,  on  aura  cet  autre  Triangle, 

ij_,  144,  h;,  cjont  je  contour  ^ pajrc pont cka„ 

4 

cun  "p"*  Ainfi  des  autres, 


(F  v-  ijo  Récréât.  Mathemat.  et  Fmrsr 

PROBLEME  XXIV. 

Décrire  an  dedans  d’un  Triangle  équilatéral  > trois 
Cercles  égaux  qui  fe  touchent  mutuellement , & 
aujfi  les  trois  côtez,  du  Triangle  équilatéral. 

Plan-  T)  Our  inftrire  dans  le  Triangle  équilatéral  ABC» 
ehe  7.  ^ trois  Cercles  égaux  qui  fe  touchant  rnutuel- 

4 ‘ lement  , touchent  aufli  les  cotez  de  ce  Trian- 
gle , divifez  chacun  de  ces  cotez  en  deux  égale- 
ment aux  points  D , E , F , par  lefquels  vous  ti- 
rerez aux  angles  oppofez  autant  de  lignes  droites  » 
fur  lefquelles  on  marquera  les  centres  G,  H,I» 
des  trois  Cercles  qu’on  cherche , en  tranfportant 
fur  chaque  ligne  perpendiculaire  la  moitié  du  côté 
du  Triangle  équilatéral  depuis  fon  point  de  milieu» 
fçavoir  la  moitié  AD , ou  BD  , depuis  D en  G , de- 
puis E en  I , &c  depuis  F en  H , &c. 

Remarque. 

Si  Ton  joint  les  trois  centres  G , H,l3  par  des 
lignes  droites  qui  paieront  par  les  points  d’attou- 
chement , 011  aura  le  Triangle  équilatéral  GHI  ,dont 
les  cotez  feront  parallèles  a ceux  du  Triangle  donné 
ABC , & trois  Trapezoïdes  égaux  AIHB , BHGC  s 
CGIA  , dont  chacun  a trois  cotez  égaux  à ceux  du 
Triangle  équilatéral  GHî  » & dont  les  aires  font 
égales  chacune  à la  huitième  partie  du  quarré  du 
côté  AB  du  Triangle  donné  ABC. 


Proble’mes  de  Geomitrîe?  tjt 

PROBLEME  XXV. 

Décrire  un  Triangle  rectangle , dont  V aire  en  nom- 
bre foit  fefqtti altéré  du  contour. 

Tirez  les  deux  lignes  perpendiculaires  AB,  AC, 
d’une  telle  grandeur  que  la  première  AB  foit 
de  8 parties  prifes  fur  une  Echelle  diviféc  en  parties 
égales , 5c  que  la  fécondé  AC  foit  de  i 5 parties  de 
Ja  même  Echelle,  5c  joignez  l’hypotenufe  BC  ,qui 
fe  trouvera  precifément  de  17  parties  égales  , com- 
me l’on  connoîr  en  ajoutant  enfemble  les  quarrez 
64  , 2 2 £ , des  deux  cotez  AB  , AC , 5c  en  prenant 
la  Racine  quarrée  de  la  fomme  285)  : 5c  l’aire  60 
du  Triangle  reétangle  ABC  fera  au  contour  40  , 
comme  j eft  à 2.  Il  arrive  la  même  chofe  à oet  au- 
tre Triangle  reétangle  en  nombres  7,  24,  25» 
dont  Taire  84  eft  auiîî  fefquialtere  du  contour  5 6, 
de  forte  que  ce  contour  eft  égal  aux  deux  tiers 
de  l’aire  84. 

Remarque. 

Iln’yaennombres.entiers  que  ces  deux  Triangles 
rectangles  8 , 15,27,8c 7,  24,  2 5, dont  Taire  dans 
chacun  foit  fefquialtere  de  fon  contour  : mais  en 
nombres  rompus  il  y en  a une  infinité  d’autres  de  la 
même  qualité  , que  Ton  peut  trouver  par  ce  Canon 
general  , que  nous  avons  tiré  de  l’Algebre.  For- 
mer d’un  nombre  quarré  quelconque , & du  même 
nombre  quarré  augmenté  de  3 , un  Triangle  rectan- 
gle , G?*  le  divfez.  par  ce  nombre  quarré , pour  a- 
<voir  un  fécond  Triangle  reVt angle  , dont  l’aire  fera 
fefquialtere  du  contour. 

Comme  fi  de  4 & de  7,  on  forme  ce  Triangle 


Plan- 
che 7. 

f‘g. 


Ï71  H.ecriat.  MathematI  et  Phys. 

Plan-  reéfcangle  3 3 , 3 6 , 6 5 , & qu’on  le  divife  par  4 9 

t/.7fig.  on  aura  cet  autre  Triangle  reéfcangle  LllL’  IL» 
dont  Paire  eft  à Ton  contour  — , comme  ? 

4 -L  J 

eft  à 1.  Pareillement  fi  de  1 6 & de  1 9 , on  forme 
ce  Triangle  re&angle  105  > 608,  617 , &c  qu’on 
le  divife  par  16 , on  aura  cet  autre  Triangle  rec- 

tangle , dont  laire— - -j-  eft  a fon 


66y 

contour  — - 

o 


comme  3 eft  à %.  Ainfi  des  autres. 


PROBLEME  XXVI. 

Décrire  au  dedans  d'un  Quarré  donné  quatre 
Cercles  égaux , qui  fe  touchent  mutuellement  y 
& aujfî  les  cotez,  de  ce  Quarré. 

SI  le  Quarré  donné  eft  ABCD  , divifez  chacun 
de  fes  cotez  en  deux  également  aux  points  F , G* 
H,I,  8c  menez  les  droites  FH  , GI,  qui  fe  cou- 
peront à angles  droits  & en  deux  également  au  cen- 
tre E du  Quarré.  On  marquera  fur  ces  deux  lignes 
FH  , GI , les  centres  L,M,N,0,  des  quatre  Cer- 
cles qu’on  cherche , en  cette  forte. 

Joignez  la  droite  HI,&  en  retranchez  la  partie 
IK  égale  à la  moitié  IE  3 ou  GE  de  la  ligne  IG  , ou 
du  côté  du  Quarré  donné  , & le  refte  HK  fera  le 
Rayon  de  chacun  des  quatre  Cercles  qu’on  veut  dé- 
crire : c’eft  pourquoy  fi  l’on  porte  la  longueur  HK 
fur  les  lignes  FH  , GI , depuis  leurs  extremitez  F , 
G , H j I , aux  points  N,  M,L,  Os  le  Problème 
fera  refolu. 

Ou  bien  plus  facilement  » retranchez  de  la  ligne 
IG , la  partie  IT , égale  à la  ligne  IH , & faites. les 


Problèmes  de  Géométrie.'  173 
lignes  EL , EM  , EN , EO  , égales  chacune  au  refte 
TG,  pour  avoir  , comme  auparavant , les  centres 
L , M , N , O , des  quatre  Cercles  qu’on  cherche , 
que  l’on  trouvera  auflï  en  faifant  les  lignes  FN , GM, 
HL  , IO , égales  chacune  à la  partie  ET. 

On  bien  encore  , faites  les  quatre  lignes  AP , AQ^ 
CR  , CS  , égales  chacune  à la  ligne  1H  , & joignez 
les  droites  PQ^RS,  qui  donneront  fur  les  deux 
lignes  FH , G1 , les  centres  L , M , N , O , des 
quatres  Cercles  qu’on  cherche. 


Remarque* 

II  eft  évident  que  chacune  des  deux  lignes  PQ , 
RS,  eft  égale  au  côté  AB  du  Quarré  donné  ABCD  , 
& que  chacune  des  deux  lignes  PR,QS,  eft  égale 
au  Diamètre  de  chacun  des  Cercles  égaux  qui  le 
touchent.  Il  eft  évident  aufli  que  chacun  des  deux 
Triangles  ifofcéles  reétangles  APQ^,  CRS,  eft  égal 
au  Quarré  DIEH  , ou  à la  quatrième  partie  du  Quar- 
ré propofé  ABCD  : & que  le  Triangle  ifofcéle  rec- 
tangle OEN , eft  égal  au  Quarré  du  Rayon  OI. 


PROBLÈME  XXVII. 


Décrire  un  Parallélogramme  re  El  angle  , dont  L‘ airs 
en  nombres foit  égale  au  conteur . 

Tirez  les  deux  lignes  perpendiculaires  AB,  AD, 
d’une  telle  grandeur  , que  la  première  AB  foit 
de  3 parties  prifes  fur  une  Echelle  divifée  en  parties 
égales,  & que  la  fécondé  AD  foit  de  6 parties  de  U 
même  Echelle.  Décrivez  du  point  D , avec  l’ouver- 
ture de  la  ligne  AB  , un  arc  de  Cercle  , & du  point 
B,  avec  l’ouverture  de  la  ligne  AD,  un  autre  arc  de 


Plah~  ’ ^ 
che  7; 

i o.  f 


ji  Fig. 


Plan  - 
ehe  7. 
$ï.  Fig. 


Plan- 
che 2. 

3 z.  Fig. 


ïy 4 Récusât.  MathëMAt.  et  Phys.' 

Cercle,  qui  rencontre  ici  le  premier  au  point  C* 
par  où  vous  tirerez  les  deux  lignes  BC , CD , qui 
achèveront  le  Rectangle  ABCD  , dont  l’aire  eft  éga- 
le au  contour,  chacun  étant  18. 


Remarque. 


Il  n’y  a en  nombres  entiers  que  ce  Reétangle , 5c 
le  Quarré,  dont  le  côté  eft  4,  où  dans  chacun 
l’aire  foit  égale  au  contour:  mais  il  y en  a une  infi- 
nité en  nombres  rompus , dont  la  longueur  & la 
largeur  Ce  détermineront  en  cette  forte. 

Ayant  donné  au  côté  AD  tel  nombre  qu'on  vou- 
dra , mais  plus  grand  que  1 , comme  8 , divifez 
fon  double  1 6 par  le  même  côté  diminué  de  1 , 

g 

c’eft-à-dire  , par  6 , & le  quotient  — fera  l’autre 


côté  AB.  Ainfi  on  aura  en  nombres  un  Parallélo- 
gramme reétangle , ayant  8 pour  longueur  , & ^ 
pour  largeur , dont  le  contour  & faire  feront  cha- 


cun 


6 4 

y > OU2I 


PROBLEME  XXVIII. 

Jkfefurer  avec  le  Chapeau  une  ligne  accejfible  fur 
la  terre  en  l’une  de  fes  deux  extremitez,. 

IL  ne  faut  pas  que  la  ligne  à mefurer  foit  d’une 
grandeur  énorme  , autrement  il  feroit  difficile  de 
la  mefurer  exactement  avec  le  Chapeau,  parce  que 
pour  peu  que  l’on  manquât  à vifèr  jufte  , ou  à fc  te- 
nir bien  droit,  on  fe manqueroit  fenfiblement  dans 
la  mefure  d’une  ligne  fi  longue,  fur  tout  fi  le  ter- 
rain étoit  un  peu  inégal. 


i) 


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) 


Problèmes  de  Geometriê.'  17^ 

Pour  donc  mefurer  avec  le  Chapeau  la  ligne  AB  Plat* 
ûcceftîbleen  fon  extrémité  A,  comme  feroit  la  lar-  clie  sf*.^ 
geur  d’une  petite  rivicre,il  faut  que  celuy  qui  la 
veut  mefurer  fe  tienne  bien  droit  à cette  extrémi- 
té A , & qu’appuyant  fon  menton  fur  un  petit  bâton 
qui  doit  être  aufti  appuyé  fur  quelque  bouton  de 
fon  habit,  afin  que  fa  tête  puiffe  demeurer  en  mê- 
me état , il  abaiflè  fon  chapeau  fur  le  front , juiqu’à 
ce  que  le  bord  de  fon  chapeau  cache  à fa  vue  fcx- 
tremité  inacceflible  B de  la  ligne  à mefurer  AB } a- 
prés  quoy  il  doit  fe  tourner  vers  un  terrain  égal  & 
uniforme,  & remarquer  en  regardant  par  le  même 
bord  de  fon  chapeau  le  point  de  ce  terrain,  cùlà 
vûë  fe  terminera  comme  C , & alors  en  mefurant 
avec  un  cordeau , ou  avec  une  chaîne  la  diftance  AC 
il  aura  la  longueur  de  la  ligne  propofée  AB. 

PROBLEME  XXIX. 


Mefurer  une  ligne  horizontale  accejfble  en  l’une  de 
fes  deux  extremitez  parle  moyen  de  deux 
Bâtons  inégaux . 

POur  connoître  la  longueur  de  la  ligne  hori-  j j.  Fig» 
zontale  AB  , qui  reprefente  la  largeur  du  foftë 
ABCD  , & qui  eft  aeceflîble  en  fon  extrémité  A , 
élevez  à plomb  en  cette  extrémité  A,  le  plus  petit 
bâton  AE  des  deux,  dont  vous  voulez  vous  fervir 
pour  mefurer  cette  ligne  A*B , & plantez  auflî  à 
plomb  l’autre  bâton  plus  grand  FG  , en  ligne  droi- 
te avec  la  ligne  à mefurer  AB,  & à telle  diftance  du 
premier  AE,  que  par  les  deux  bouts  E,  G,  de  ces 
deux  bâtons  ainfî  élevez  vous  appercc/iez  l’autre 
extrémité  B inacceflible.  Après  cela  mefurez  exac- 
tement la  diftance  AF  » que  nous  fuppoferons  de  1 i 


ïyê  Recrsat.  Mâthemat.  et  Phys.' 

Plan-  pieds  , & la  longueur  des  deux  bâtons  AE  , FG,  dont 
cive  8.  le  plus  petit  AE  fera  fuppofé  de  3 pieds,  & le  plus 
3 3*  grand  FG  de  y , de  forte  que  dans  cette  fuppofmon 
l’excès  du  grand  bâton  FG  fur  le  plus  petit  AE  fera 
de  z pieds  , comme  l’on  connoît  en  ôtant  3 de  f ; 
cet  excès  2,  fera  le  premier  terme  d’une  Réglé  de 
trois  direète , dont  le  fécond  fera  u,  ou  la  dis- 
tance AF , & le  troifiéme  fera  3 , ou  le  plus  petit  bâ- 
ton AE  , le  quatrième  étant  la  ligne  AB  qu’on  cher- 
che , qui  dans  cet  exemple  fc  trouvera  de  1 8 pieds: 
car  fi  l’on  multiplie  le  fécond  terme  1 z , qui  eft  la 
diftance  AF  , par  le  troifiéme  3 , qui  eft  le  plus  pe- 
tit bâton  AE , & qu’on  divife  le  produit  3 6 par  z » 
qui  eft  l’excès  du  grand  bâton  FG  fur  le  plus  petit 
AE , on  a 1 8 pieds  pour  la  longueur  de  la  ligne 
propolee  AB. 

PROBLEME  XXX. 

Mefurer  une  Hauteur  accsjfible  far  le  moyen  de 
fon  ombre. 

3 frg-  T)  Our  connoître  la  Hauteur  acceflible  AB  , par 
Jl  le  moyen  de  fon  ombre  AC  terminée  par  le 
Rayon  BC  du  Soleil,  élevez  à plomb  le  bâton  DE 
d’une  longueur  volontaire,  comme  de  8 pieds,  &c 
mefurez  la  grandeur  de  fon  ombre  DF , que  nous 
fuppoferons  de  1 z pieds.  Mefurez  en  même  temps 
l’ombre  AC , qui  foit  par  exemple  de  3 6 pieds , 
j’ay  dit  en  même  temps , parce  qu’autrement  le  So- 
leil changeant  par  fon  mouvement , ou  par  celuy 
de  la  Terre,  les  Rayons  BG,EF,  ne feroient  plus 

Îiaralleles  , ce  qui  empêcheroit  de  pouvoir  trouver 
a hauteur  AB  par  la  Réglé  de  Trois  direéle , en  di- 
fanc , fi  1 z pieds  de  l’ombre  DF  proviennent  d’une 

hauteur 


Problèmes  de  Geometrie.  177 
hauteur  DE  de  8 pieds,  de  quelle  hauteur  pro-  Plan— 
viendra  l’ombre  AC  de  3 6 pieds  } 5c  l’on  trouvera  c*'c  8-, . 
24  pieds  pour  la  Hauteur  AB  qu’on  cherche  : car  î4' 
en  multipliant  le  troifiéme  terme  3 6 par  le  fécond 
8 , & en  divifant  le  produit  288  par  le  premier 
12,  le  quotient  eft  24  pour  le  quatrième  terme 
proportionnel , ou  pour  la  Hauteur  ptopofée  AB. 

PROBLEME  XXXI. 


Trouver  à trois  lignes  données  une  quatrième 
proportionnelle. 

POur  trouver  aux  trois  lignes  données  AB  , AC,  3 S • Fig* 
AD  , une  quatrième  proportionnelle  , décrivez 
des  deux  extremitez  B,  D,  de  la  première  5c  de  la 
troifiéme  ligne  donnée,  par  l’extremité  commune 
À , les  deux  arcs  de  Cercle  AEF  , AGH , 5c  ayant  ap- 
pliqué furie  premier  AEF  la  ligne  AE  égale  à la  fé- 
condé ligne  donnée  AC  , prolongez  cette  ligne  AE 
jufqu’à  ce  qu’elle  rencontre  le  fécond  arc  AGH  , en 
quelque  point , comme  en  G , 5c  toute  la  ligne  AG 
fera  la  quatrième  proportionnelle  qu’on  cherche. 

PROBLEME  XXXII. 

Décrire  fur  une  ligne  donnée  un  P ar aile logr amine 
reblangle , dont  V aire  foit  double,  de  celle  d’un 
Triangle  donné. 

SI  le  Triangle  donné  eft  ABC,  5c  que  la  ligne  3 ,j. 

donnée  foit  BE  , tirez-luy  la  perpendiculaire»5' 

ËF,  qui  foit  quatrième  ptoportionnelle  à la  Bafc 
donnée  BË , à la  Bafè  AÎ3  du  Triangle  donné  ABC  , 

& à fa  hauteur  CD  , 5c  achevez  le  Reétangle 
Tome  /.  M 


fis 


178  Récréât.  Mathemat.  etPhvs. 

BEFG  , qui  fera  celuy  qu’on  cherche.  Ce  Problème 
n’a  été  ici  mis  que  pour  refoudre  le  fuivant. 

PROBLEME  XXXIII. 

Changer  un  Triangle  donné  en  un  autre  Triangle  » 
dont  chaque  côté  foit  plus  grand  que  chaque 
côté  du  Tri  an  aie  donné. 

o 

SI  le  Triangle  donné  eft  ABC , prolongez  fa  bafe 
AB  de  part  8c  d’autre  en  D 8c  en  E , en  forte  que 
Ja  ligne  AD  foit  égale  au  côté  AC,  8c  la  ligne  BE 
au  côté  BC  , & par  le  moyen  du  Problème  prece- 
dent , décrivez  fur  la  ligne  DE  le  Parallélogramme 
reétangle  DEGF,  qui  foit  double  du  Triangle  don- 
né ABC.  Cela  étant  fait , fi  l’on  prend  fur  la  ligne 
DE  entre  les  points  A , B , un  point  à diferetion  , 
comme  H , duquel  on  tire  aux  deux  extremitez  F , 
G , les  droites  FH  , GH  , le  Triangle  FGH  fera  celuy 
qu’on  cherche,  c’eft-à-dire  , qu’il  fera  égal  au  pro- 
pofé  ABC,  chacun  étant  la  moitié  du  Reétangle 
FGED,  8c  que  chacun  de  fes  cotez  fera  plus  grand 
que  chacun  des  cotez  du  Triangle  donné  ABC. 

Remarque . 

On  peut  memes  avoir  un  Triangle  moindre  que 
le  propofé  ABC  , quoique  rous  fes  côtcz  foient  plus 
grands  que  tous  les  côtcz  du  Triangle  ABC,  fçavoir 
en  prenant  le  fommet  H du  Triangle  FGH  au  def- 
fous  de  la  Bafc  AB. 


Proble'mes  de  Geometrîe. 


1 79 

PROBLEME  XXXIV. 

ÜEtant  donnez,  fur  une  même  ligne  droite  deux  De- 
mi-cercles qui  fe  touchent  en  dedans , décrire  un 
Cercle  qui  touche  la  ligne  droite  & les  circon- 
férences des  deux  Demt-cercles  donnez. 

JE  fuppofe  que  les  deux  Demi-cercles  ABC,  ADE,  ^an“ 
font  pofez  fur  la  ligne  droite  AC,  & qu’ils  fe  ^ j- 
touchent  au  point  A.  Pour  décrire  un  Cercle  qui 
touche  les  deux  circonférences  ABC  , ADE , & la 
partie  EC  de  la  ligne  droite  AC , portez  la  lon- 
gueur du  Dcmi-diametre  AG  du  grand  Demi-cer- 
cle ABC,  depuis  le  centre  F du  petit  Demi-cercle 
ADE  , en  O , pour  avoir  la  ligne  AO  égale  à la  fo ra- 
me des  Demi-diametres  AF,  AG,  des  deux  Demi- 
cercles  donnez  ABC , ADE.  Elevez  du  point  E , fur 
AC,  la  perpendiculaire  EB  , & joignez  la  droite 
AB.  Cherchez  aux  deux  lignes  AO  , AB  , une  troi- 
fiéme  proportionnelle  AH  , pour  avoir  en  H le 
point  d’attouchement  du  Cercle  qu’on  veut  décrire, 

& de  la  ligne  droite  EC.  Elevez  de  ce  point  H fur 
EC  la  perpendiculaire  HI  quatrième  proportion- 
nelle aux  trois  lignes  AO,AH,FG,  pour  avoir  en 
I le  Centre  du  Cercle  qu’on  cherche,  dont  la  circon- 
férence doit  pader  par  le  point  H,  &c. 

. Remarque , 

Si  au  dedans  de  l’cfpace  terminé  par  les  deux 
circonférences  ABC,  ADE,  l’on  décrit  un  fécond 
Cercle  qui  touche  le  premier  décrit  du  centre  I , & 
les  deux  circonférences  ABC  , ADE  , & que  du  con- 
tre K de  ce  f.cond  Cercle  l’on  abaide  la  droite  KL 

M ij 


I$0  RECREAT.  MàTHEMAT.  ET  PlîŸS. 
perpendiculaire  au  Diamètre  AC,  cette  perpendi- 
culaire KL  fera  triple  du  Rayon  du  Cercle  décrit  du 
centre  K : & fi  au  dedans  dumêmecfpace  l’on  dé- 
crit un  ti'O  lïéme  Cercle  qui  touche  le  fécond  décrit 
du  centre  K,  & les  circonférences  ABC  , ADE  , la 
perpendiculaire  tirée  du  centre  M de  ce  troifiéme 
Cercle  fur  le  Diamètre  AC  , fera  quintuple  du 
Rayon  du  même  Cercle  : & pareillement  fi  au  de- 
dans du  même  efpace  l’on  décrit  un  quatrième 
Cercle  qui  touche  le  troifiéme  décrit  du  centre  K , 
de  les  circonférences  des  deux  Demi-cercles , la 
perpendiculaire  tirée  du  centre  P de  ce  quatrième 
Cercle  fur  le  Diamètre  AC  , fera  fèptuple  du  Rayon 
du  même  Cercle  , & ainfi  des  autres  , félon  laPro- 
grelïion  des  nombres  impairs  3,5, 7,9, 

Nous  remarquerons  ici  pour  les  Sçavans , que 
tous  les  Cercles  infinis  qui  peuvent  toucher  les 
deux  circonférences  ABC  , ADE,  ont  leurs  centres 
dans  la  circonférence  d’une  Ellipfe,  dont  un  Axe 
cft  AO  j qui  a la  ligne  AH  pour  Paramétré. 

PROBLEME  XXXV. 

'Etant  donnez,  fur  une  ligne  droite  trois  Demi- cer- 
cles ejm  fe  touchent  en  dedans,  décrire  un  Cer- 
cle qui  touche  les  circonférences  des  trois  De- 
mi-cercles, 

SI  les  trois  Demi-cercles  font  ABC  , ADE  , EIC  , 
dont  les  centres  F,  G , H , font  fur  la  ligne  droi- 
te AC,  ayant  trouvé  à la  ligne  FG  , & au  Rayon  AF „ 
une  troifiéme  proportionnelle  AL  , cherchez  à la 
fomme  des  deux  lignes  AL  , AG  , au  Rayon  AG  , & 
au  Rayon  AF,  une  quatrième  proportionnelle  qui 
fera  la  longueur  du  Rayon  Kl  du  Cercle  qu’on  cher- 


: , 


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« ' 


Récréations  Matkemaiicr  ■ Planche  o-Pa^qej  181  ■ 


[ 


Proble’mes  de  GEOMETRIE.  181 

che  , dont  la  longueur  doit  être  portée  fur  la  ligne  Plan 
AC,  depuis  G en  M,  8c  depuis  F en  N,  afin  que  clie 
décrivant  du  centre  N avec  l’ouverture  NE  un  arc 
de  Cercle  , & du  centre  H , avec  l’ouverture  FM  un 
autre  arc  de  Cercle  , que  l’on  pourroit  auflî  décrire 
du  centre  G avec  l’ouverture  MC , on  ait  en  la  com- 
mune interfeétion  K de  ces  deux  arcs  , le  centre  du 
Cercle  qu’on  cherche,  qu’il  ne  fera  pas  difficile  de 
décrire , puifque  fon  Rayon  eft  connu  , fçavoir  GM, 
ou  FN. 

Remarque. 

Si  l’on  joint  le  centre  K avec  les  centres  F , G , H, 
des  trois  Demi-cercles  donnez  , par  les  lignes  droi- 
tes FK  , GK  ,HK , on  aura  les  deux  Triangles  FKG  , 
GKH , de  meme  contour,  le  contour  de  chacun 
étant  égal  au  Diamètre  AC  du  grand  Demi-cer- 
de  donné  ABC  , à caufe  des  deux  lignes  égales 
AF,  GH. 

entre  les  deux  circonférences  ABC,  ADE  , l’on 
.décrit,  comme  dans  le  Problème  precedent,  au- 
tant de  Cercles  qu’on  voudra , qui  fe  touchent  mu- 
tuellement, 6c  aulîi  les  deux  circonférences  ABC , 
ADE , & que  de  leurs  centres  O , P , Q^JK  , l’on  tire 
fur  le  Diamètre  AC,  autant  de  perpendiculaires, 
la  perpendiculaire  KV  fera  égale  au  Diamètre  de 
fon  Cercle,  la  perpendiculaire  QT  fera  double  du 
D îametre  de  fon  Cercle  , la  perpendiculaire  PS  fera 
triple  du  Diamètre  de  fon  Cercle,  la  perpendicu- 
laire OR  fera  quadruple  du  Diamètre  de  fon  Cercle, 

8c  ainfi  des  autres  , félon  la  fuite  des  nombres  na- 
turels 1,2,3  > 4 > S > 6 > 


S S 2,  Récréât.  Mathemat.  et  Phys  } 
PROBLEME  XXXVI. 


Jetant  donnez,  fur  une  ligne  droite  trois  Demi-cer- 
cles qui  fe  touchent  en  dedans  , avec  une  autre 
ligne  droite  tire'e  far  le  point  d‘  attouchement  des 
deux  Demi-cercles  intérieurs  , & perpendiculaire 
à la  première  ligne  droite  ; décrire  deux  Cercles 
..  égaux  qui  touchent  cette  perpendiculaire  & les 
circonférences  de  deux  Demi-cercles . 


Plan- 
che 9. 
.4 o. 


SI  les  trois  Demi-cercles  donnez  font  ABC,ADE, 
EOC  , dont  les  centres  F , G , H , font  placez  fur 
la  ligne  droite  AC,  qui  efl:  coupée  à angles  droits 
au  point  Epar  la  ligne  droite  BE  > on  trouvera  le 
Rayon  commun  aux  deux  Cercles  égaux  qui  doivent 
toucher  la  perpendiculaire  BE , & les  circonféren- 
ces de  deux  Demi-cercles,  en  décrivant  du  point 
A par  le  centre  F,  l’arc  de  Cercle  FI,  du  point  I 
par  le  point  A , l’arc  de  Cercle  AK , 8c  la  ligne  KF 
donnera  la  longueur  du  Rayon  des  deux  Cercles 
égaux  qu’on  cherche  , dont  les  centres  M , N , fe 
trouveront  en  cette  forte. 

Ayant  fait  la  ligne  G L égale  à la  ligne  KF,  décri- 
vez du  centre  G , avec  l’ouverture  LC  , l’arc  de  Cer- 
cle MN,  & du  centre  F , avec  l’ouverture KE,  un 
autre  arc  de  Cercle  qui  donnera  fur  le  premier  MN, 
le  centre  M du  Cercle  qui  doit  toucher  les  circon- 
férences des  deux  Demi-cercles  ABC,  ADE  , 8c  la 
perpendiculaire  EB.  Décrivez  aulfi  du  centre  H 
avec  l’ouverture  FL , un  autre  arc  de  Cercle  qm 
coupera  le  premier  MN  au  centre  N du  Cercle  qui 
doit  toucher  la  perpendiculaire  BE  , 8c  les  deux  cir- 
conférences ABC , ÊOC. 


Problèmes  de  Geometrie. 


183 


\r 

Remarque. 


Plan- 

che 

4°. 


Si  l’on  joint  les  deux  centres  M , N , avec  les 
trois  F , G j H , par  des  lignes*  droites  , on  aura  les 
deux  Triangles  FMG  , GNH , d’un  contour  égal , ce 
contour  étant  dans  chaque  Triangle  égal  au  Diamè- 
tre AC  du  plus  grand  Demi-cercle  donné  ABC  , à 
caufe  des  deux  cotez  égaux  GM,  GN , de  la  bafe  GH 
égale  au  Rayon  AF  , & de  la  bafe  FG  égale  au  Rayon 
EH.  De  plus  le  Rayon  MN  j ou  NO  , eft  quatrième 
proportionnel  aux  trois  lignes  AG  , AF  , FG.  Enfin 
fi  l'on  joint  les  droites  AO  , CD,  elles  Feront  per- 
pendiculaires à leurs  Rayons  , c’clt-à-dire  , que  la 
ligne  AO  Fera  perpendiculaire  au  Rayon  HO , ou 
NO  , 5c  touchera  par  conFequent  les  circonféren- 
ces de  ces  deux  R lyons  au  point  O : 5c  que  la  ligne 
CD  Fera  perpendiculaire  à chacun  des  deux  Rayons 
FD  , MD  , 5c  touchera  par  conFequent  au  point  D » 
les  circonférences  de  ces  deux  Rayons.  D’où  l’on 
peut  tirer  une  autre  conllruétion  pourla  refolution 
du  Problème. 


PROBLEME  XX  XVII. 


Décrire  un  Triangle , dont  l’ aire  cr  le  contour  fotent 
un  meme  nombre  quarré. 

AYant  fait  la  Bafe  AB  de  imparties  prifesfur  4*- 
une  Echelle  divifée  en  parties  égales  , décri- 
vez de  l’extremité  A,  avec  l’ouverture  de  9 de  ces 
parties  un  arc  de  Cercle,  5c  un  autre  arc  de  Cer- 
cle de  l’autre  extrémité  B , avec  l’ouverture  de  10 
des  mêmes  parties  , qui  coupera  le  premier  en  un 
point , comme  C , 5c  joignez  les  droites  AC , BC , 

M inj 


Tg. 


ï 84  Récréât.  Mathemât.  ït  Phys." 

Plan-  de  le  Triangle  ABC  fera  celuy  qu’on  cherche  , fan 

r. he  9 . aùe  Se  fon  conroMr  étant  chacun  3 6 , dont  la  Raci- 

ne  quarrée  eft  6. 

Remarque* 

Ce  Triangle  a été  trouvé  en  nombres  par  le 
moyen  de  ces  deux  Triangles  reétangles  en  nom- 
bres de  même  hauteur  72 , 135,  I 5 3 , & J2-» 
I 54  , 170  j dont  les  nombres  générateurs  font  1 z, 
3 j Se  1 1 , 7,  fçavoir  enjoignant  enfemble  ces  deux 
Triangles  reétangles,  pour  avoir  le  Triangle  obli- 

ai.  Pig.  quangle  ABC,  dont  la  hauteur  CD  fera  71  à l’é- 

gard delà  Bafe  AB  , qui  eft  289  , & en  divifant  cha- 
que côté  par  la  Racine  quarrée  17  de  cette  Bafe 
285? , &c. 

PROBLEME  XXXVIII. 


Faire  pajfer  une  circonférence  de  Cercle  par  trois 
points  donnez,,  fans  en  connaître  le  centre. 


Plan- 
che 9. 

JFig. 


POur  décrire  un  arc  de  Cercle  par  trois  points 
donnez  , comme  par  les  trois  angles  du  Trian- 
gle ABC,  fans  en  avoir  le  Centre  , faites  de  quelque 
matière  folide,  comme  de  Carton,  un  angle  égal  à 
l’angle  C ,dc  appliquez  en  diverfes  maniérés  un  côté 
de  cet  angle  au  point  A , en  forte  que  l’autre  côté 
tombe  fur  le  point  B , de  alors  la  pointe  du  même 
angle  marquera  un  point  de  l’arc  qu’on  cherche  , 
que  l’on  décrira  en  joignant  tous  fes  divers  points , 
que  l’on  peut  trouver  d l'infini, par  une  ligne  cou.r= 
$>,es  Sec,. 


PrOBLe’mES  DE  GEOMETRIE.'  I§5 

PROBLEME  XXXI X. 

Etant  données  deux  lignes  perpendiculaires  à uns 
meme  ligne  tirée  par  leurs  extremitez, , trouver 
fur  cette  ligne  un  point  également  éloigné  de  cha- 
cune des  deux  autres  extremitez. ,. 

SI  l’on  donne  les  deux  lignes  AB , CD , perpendi- 
culaires à la  ligne  AC , qui  paflè  par  leurs  ex- 
tremitez  A,C,  on  trouvera  fur  cette  ligne  AC  le 
point  F également  éloigné  des  deux  autres  extremi- 
tez  B,D,  en  joignant  ces  deux  extremitez  par  la 
droite  BD  , & en  luy  tirant  par  fon  point  de  milieu 
E,  la  perpendiculaire  EF,  qui  donnera  fur  la  ligne 
AC  le  point  F qu’on  cherche  , de  forte  que  les  deux 
lignes  FB  , FD,  feront  égales  entre  elles. 

Remarque. 

Ce  Problème  fe  propofe  ordinairement  ainfî  j 
Etant  données  les  hauteurs  AB  , CD  , & leur  dif- 
tance  AC  , trouver  fur  leTerrain  AC,  le  point  F , 
en  forte  que  les  cordes  qui  feront  tendues  depuis 
les  fommets  B , D , jttfqu  au  point  F,  foient  égales 
entre  elles. 

Lorfque  les  hauteurs  AB,  CD,  & leur  diftance 
AC  feront  connues  en  nombres,  comme  fi  la  hauteur 
ABétoitde  $ 6 pieds, la  hauteur  CD  de  63,6e  la  dif- 
tance  AC  de  49 , on  trouvera  la  partie  AF  en  ôtant 
de  la  foin  me  des  deux  quarrez  AC  , BD  , le  quarré 
AB , 6c  en  divifant  le  refte  par  le  double  de  AC  : & 
pareillement  on  trouvera  la  partie  CF  , en  ôtant  de 
la  fomme  des  quarrez  AC , AB , le  quarré  CD  , & 
en  divifaju  le  refte  par  le  double  de  AC.  Ainfi 


Plan- 
che 9. 
44-  Fig, 


Plan- 
che 5. 
45-  fi, 


j%6  Récréât.  Mathemay.  et  PHrs.’ 
partie  AF  fe  trouvera  de  3 3 pieds  , 8c  l’autre  partie 
CF  de  16  : & chacune  des  deux  cordes  égales  FC  a 
FD , fe  trouvera  de  6 5 pieds , comme  l’on  connoî- 
tra  en  ajoutant  enfemble  les  deux  quarrez  AB , AF  » 
ou  bien  les  deux  CD,  CF,  8c  en  prenant  la  Raci- 
ne quarrée  de  la  fonnne  42.2  5 , 8cc. 

PROBLEME  XL. 

Décrire  deux  Triangles  rettangles , dont  les  lignes 
J oient  telles  que  la  différence  des  deux  pins  peti- 
tes du  premier  fott  égale  à celle  des  deux  pins 
grandes  du  fécond,  & que  réciproquement  la 
diff'erence  des  deux  plus  petites  du  fécond  fait 
égale  à celle  des  deux  plus  grandes  du  premier. 

Tirez  premièrement  les  deux  lignes  perpendicu- 
laires AB,  AC  , d’une  telle  grandeur  que  la 
première  AB  foit  de  6 O parties  prifes  fur  une  Echel- 
le divifée  en  parties  égales , 8c  la  fécondé  AC  de  1 1 
parties , & alors  l’hypotenufe  BC  fe  trouvera  de  6 I 
parties  , comme  l’on  connoîtra  eu  ajoutant  enfem- 
ble les  quarrez  AB  , AC , 8c  en  prenant  la  Racine 
quarrée  de  la  fomme  3 yz  I . 

Tirez  enfuite  les  deux  lignes  perpendiculaires 
DE  , EF  , dont  la  première  DE  foit  de  1 1 57  parties, 
8c  la  fécondé  EF  de  1 20 , 8c  alors  l’hypotenufe  DF 
fe  trouvera  de  1 69  parties  , comme  l’on  connoîtra 
en  ajoutant  enfemble  les  quarrez  DE,  EF,  & en  pre- 
nant la  Racine  quarrée  de  la  fomme  28561  ; & les 
deux  Triangles  rectangles  ABC,  DEF,  fatisferont 
au  Problème , car  la  différence  49  des  deux  plus  pe- 
tites lignes  AB , AC  , du  premier  ABC  , eft  égale  à 
la  différence  des  deux  plus  grandes  DE  , EF , du  fé- 
cond DEF  : 8c  réciproquement  la  différence  1 Sdes 


PROBLEMES  DE  GEOMETRIE.1  187 
deux  plus  petites  DE  ,EF  , du  fécond  DEF , eft  éga- 
le à la  différence  des  deux  plus  grandes  AB , BC  , 
du  premier  ABC. 

Remarque. 

Ces  deux  différences  49 , 1 , Ce  rencontrent  ici 
des  nombres  quarrez  , & elles  feront  toujours  telles 
dans  tous  les  autres  couples  de  Triangles  rectan- 
gles qu’on  peut  trouver  par  ce  Canon  general , que 
j’ay  tiré  de  1 Algèbre  j Le  double  du  produit  fous  le 
plus  grand  de  deux  nombres  quelconques  & leut 
fomme  , & la  fomme  des  quarrez,  des  deux  memes 
nombres  , font  les  deux  nombres  générateurs  de  l'un 
des  deuxTriangles  reblanales  qu'on  cherche:  & le 
double  du  produit  fous  le  plus  petit  des  deux  me- 
mes nombres  & leur  fomme  , & la  même  fomme  des 
quarrez,  , font  les  deux  nombres  générateurs  de 
l’autre  Triangle  retbangle  qu’on  cherche. 

De  ces  trois  nombres  générateurs  , ccluy  qui  eft 
commun  aux  deux  Triangles  reétangles  , eft  l’hy- 
potenufe  d’un  troifiéme  Triangle  reétangle , Fun 
des  deux  autres  eft  le  contour  de  ce  troifiéme 
Triangle  reétanglc  , 8c  le  troifiéme  eft  le  me- 
me contour , en  y changeant  le  plus  grand  nom- 
bre générateur  du  troifiéme  Triangle  reétangleau 
plus  petit. 


Plan- 
che 9. 

4 J- Fig. 


ïS8  Récréât.  Mathemàt.  et  Phys» 


Plan- 
che i o. 

46.  Fig. 


PROBLEME  X L I. 

Divifer  la  circonférence  d’un  Demi-cercle  donne 
en  deux  arcs  inégaux  , en  forte  que  le  Demi - 
diamètre  fait  mojen  proportionnel  entre  les  Cor- 
des de  ces  deux  arcs . 

SI  le  Demi  cercle  donné  eft  ABE , dont  le  cen- 
tre foit  D , décrivez  par  ce  centre  D , de  l’ex- 
tremitéB,  du  Diamètre  rtB,  l’arc  de  Cercle  DE, 
8c  ayant  divifé  l’arc  BE  en  deux  également  au  point 
C,  tirez  les  deux  cordes  AC,  BC,  entre  lefquel- 
les  le  Demi-diametre  AD,  ou  CD,  fera  moyen 
proportionnel. 

Remarque. 

Il  eft  évident  que  l’arc  BE  eft  de  60  degrez  , 8c 
que  par  confequent  fa  moitié  BC,  ou  CE,  eft  de 
30  degrez  , 8c  l’autre  arc  AEC  de  150  degrez. 
D’où  il  eft  aifé  de  conclure,  que  parce  que  le  Si- 
nus d’un  arc  eft  la  moitié  de  la  corde  d’un  arc 
double  , 8c  que  la  moitié  du  Rayon  ou  Sinus  To- 
tal eft  le  Sinus  d’un  arc  de  30  degrez,  ce  Sinus 
d’un  arc  de  30  degrez  eft  moyen  proportionnel 
entre  le  Sinus  d’un  arc  de  1^  degrez , 8c  le  Si- 
nus de  fon  complément , ou  le  Sinus  d’un  arc  de 
75  degrez. 


I 


' 


. -"v 


s 


: 


. 


. .*• 


ProBIe’mes  de  Géométrie.  189 

PROBLEME  X L I I. 


*Vne  Echelle  d’ une  longueur  connue  étant  appuyée 
contre  une  muraille  d'une  certaine  difiance , 
trouver  combien  elle  décendra , lorfcju'on  l'éloi- 
gnera un  peu  davantage  du  pied  de  la  même 
muraille. 

SUppofons  que  l’Echelle  EF  , qui  eft  appuyée 
contre  la  muraille  ABCD , foie  longue  de  2f 
pieds , & éloignée  de  la  même  muraille  de  7 pieds, 
en  forte  que  la  ligne  FG , qui  eft  perpendiculaire  à 
la  muraille  , foit  d’autant.  Suppofons  encore  qu’on 
éloigne  cette  Echelle  , depuis  F vers  H , de  8 pieds, 
en  forte  qu’ayant  la  fituation  HI , la  partie  FH  foit 
de  8 pieds , St  toute  la  ligne  GH  par  confequent 
de  i 5 pieds,  auquel  cas  1 Echelle  fera  décenduë  de 
la  ligne  El , qu’on  trouvera  en  cette  forte. 

Multipliez  la  longueur  EF  de  l’Echelle  par  elle- 
même,  c’eft. à-dire,  2 J par  iç,  pour  avoir  (on 
quarré  615.  Multipliez  aulli  la  longueur  FG  par 
elle- même , c’eft  à-dire  , 7 par  7,  pour  avoir  fon 
quarré  49,  qu’il  faut  ôter  du  quarré  precedent  61 5, 
& le  refte  576  fera  lequarré  de  la  hauteur  EG,à 
caufe  du  Triangle  EFG  reétangle  en  G , c’eft  pour- 
quoy  fi  l’on  prend  la  Racine  quarrée  de  ce  refte 
$7 6 , on  aura  14  pieds  pour  la  hauteur  EG. 

Multipliez  pareillement  la  longueur  HI  par  el- 
le-même, ou  25  par  2$  , pour  avo;r  fon  quarré 
6z^  : & aufti  la  longueur  HG  par  elle-même , ou 
15  par  iç,  pour  avoir  fon  quarré  22  lequel 
étant  ôté  du  precedent  quarré  6 25  5 il  reliera  400 
pour  le  quarré  de  la  hauteur  IG  , c’eft  pourquoy  fi 
l’on  prend  la  Racine  quarrée  de  ce  refte  400 , orv 


Plan- 
che 1 o. 
48.  Fig. 


tyo  Récréât.  Mathemat.  et  Pmÿs. 
aura  20  pour  la  hauteur  IG,  laquelle  étant  ôtée 
de  la  hauteur  EG  , qui  a été  trouvée  de  24  pieds  s 
le  refte  donnera  4 pieds  pour  la  ligne  El  qu’on 
cherche. 


PROBLEME  XLIII. 

Aïe  [tirer  une  ligne  accejfiblc  fur  la  Terre  par  le 
moyen  de  la  lumière  & du  bruit  d'un  Canon. 

FAitcs  avec  une  balle  deMoufquet  un  Pendule 
long  de  1 1 pouces  8c  4 lignes , en  prenant 
cette  longueur  depuis  le  centre  de  mouvement  juf- 
qu’au  centre  de  la  balle  : 8c  au  moment  que  vous 
appercevrez  la  lumière  du  Canon  qui  doit  être  au 
lieu  dont  vous  cherchez  la  diftance  du  lieu  où  vous 
êtes,  mettez  le  pendule  en  branle,  en  forte  que 
les  arcs  des  Vibrations  ne  paftènt  pas  3 o degrez  -,  8c 
enfin  multipliez  toujours  par  100  le  nombre  des 
Vibrations  qui  fe  feront  faites  depuis  le  moment 
que  vous  avez  apperçù  la  lumière  jufqu’à  celuy  où 
vous  avez  entendu  le  bruit  du  coup  de  Canon  , 
pour  avoir  en  toifes  de  Paris  la  diftance  du  lieu 
où  vous  êtes  au  lieu  où  l’on  a tiré  ce  coup  de  Ca- 
non, 

Remarque . 

C’eft  à peu  prés  de  la  même  maniéré  qu'on  pourra 
mefurcr  la  hauteur  d’une  nuée,  lorfqu’clle  eft pro- 
che duZenit,  8c  qu’il  y fait  des  Eclairs  & des  Ton- 
nerres : mais  cette  manière  de  mefurer  une  telle 
diftance  eft  fort  incertaine  , &j’ay  feulement  voulu 
l’indiquer  ici  par  récréation. 

Elle  fera  plus  certaine,  lorfqu’on  voudrramefu- 
rcr  une  médiocre  diftance  fur  la  terre,  dont  le? 


Prôble’mes  de  GEOMETRIE.  îpï 

extremitez  ne  peuvent  pas  êcrc  vues  l’une  de  l’au- 
tre ; mais  au  lieu  du  Canon , il  fera  plus  commo- 
de de  fe  fervir  de  l’Arquebufe  , dont  le  Ton  fe  por- 
te à la  diftance  de  230  toifes  en  une  fécondé  de 
temps. 

Ainft  pour  mefurer  cette  diftance  , il  faut  pari* 
moyen  d’une  horloge  à pendule , compter  les  fé- 
condés de  temps  , qui  fe  feront  écoulées  entre  la  hir- 
miere  de  l’Arquebufe  qui  aura  été  tirée  à l’une  des 
deux  extremitez  de  la  ligne  propofée,  &lefonqui 
fera  parvenu  aux  oreilles  d’une  perfonne  , qui  doit 
être  fituée  à l’autre  extrémité  de  la  même  ligne  ; 

o 

car  en  multipliant  le  nombre  des  fécondés  par 
230,  on  aura  en  toifes  la  longueur  de  la  ligne  pro- 
poféc. 

Le  Pere  Schot  dit  que  par  plusieurs  expériences 
on  a connu  qu’un  boulet  de  gros  Canon  pointé 
horizontalement  fait  une  lieuë  d’Allemagne  de 
4000  Pas  Géométriques  en  deux  fécondés  de 
temps  : ce  qui  peut  fervir  auifi  pour  mefurer  uut 
diftance  fur  la  terre,  s’il  eft  vray  que  la  vîteftè  du 
fon  eft  égale  à cede  du  boulet , car  ainii  l’on  pour- 
ra dire  que  la  diftance  en  Pas  Géométriques  eft  au 
temps  en  fécondés  entre  la  lumière  & le  coup  en- 
tendu , comme  4000  eft  à 2 > ou  comme  200Q 
à 1.  &c. 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys-? 


4s  ! %&&&&■&$,& 

PROBLEMES 

D O P T I QJJ  E, 

L’Optique,  félon  fou  étymologie  ert  la  fcience 
de  la  Villon,  qui  fe  fait  en  trois  maniérés  dif- 
ferentes, fçavoir  pat  des  Rayons  dire&s  , ou  direc- 
tement envoyez  de  l’objet  à l’œil  , ce  qui  fait  la 
Perfpettive  , qui  trompe  agréablement  l’imagina- 
tion , en  reprefentant  dans  le  Tableau  , qu’elle  fup- 
pofe  tranfparent , toutes  fortes  d’objets  aii  naturel, 
non  comme  ils  font  en  effet,  mais  comme  ils  agif- 
fent  dansi’œil,&  paroiffent  dans  le  Tableau;  Où 
bien  par  des  Rayons  reflets  , c’efi  à-dire  , par  des 
Rayons  qui  fe  reflechiflent , lorfqu’ils  font  envoyez 
contre  quelque  corps  qu’ils  ne  peuvent  pas  pénétrer* 
ce  qui  fait  la  Catoptriqae  , qui  fuppofe  que  l’Angle 
de  reflexion  eft  égal  à l'Angle  d’incidence.  Ou 
bien  encore  par  des  Rayons  brifez , ainfi  appeliez , 
parce  qu’ils  fe  rompent  en  partant  par  des  corps 
tranfparens  , ce  qui  fait  la Dioptnqne , qui  fuppofe 
que  lorfqu’un  Rayon  parte  d’un  milieu  qu’il  péné- 
tré facilement  dar*  un  autre  plus  difficile  à péné- 
trer , il  fe  rompt  en  s’approchant  de  la  perpendicu- 
laire : & qu’au  contraire  lorfqu’il  fort  d’un  milieu 
difficile  à penctrer , pour  entrer  dans  un  facile , il 
fe  brife  en  s’écartant  de  la  perpendiculaire.  L’Op- 
tique fuppofe  aufli  que  les  Objets  qui  font  vus  fous 
de  plus  petits  angles , paroiffient  plus  petits , ce  qui 

arrivé 


Problèmes  d’Opti  q^u  e.  19} 
arrive  ordinairement , lorfqu’ils  font  plus  éloignez. 
Sur  ces  fuppofitions  nous  refoudrons  plufieurs 
Problèmes  utiles  & agréables , comme  vous  allez 
voir. 

PROBLEME  L 

‘ . 

lF Aire  (JH  un  objet  étant  vu  de  loin , ou  de  pins 

de  la  meme 

POur  faire  que  la  ligne  AB  paroiflè  à l’œil  pofé 
au  point  C,  par  tout  d’une  meme  grandeur, 
on  la  placera  en  tel  lieu  qu’on  voudra  de  la  circon- 
férence d’un  Cercle  qui  palfe  par  l'œil  C , de  forte 
.que  fi  on  luy  donne  la  fituation  DE  , auquel  cas  elle 
fera  pl  us  éloignée  de  l’œil,  neanmoins  elle  pnroî- 
tra.de' la  même  grandeur  , parce  que  l’œil  arrêté  en 
C,void  ces  deux  lignes  égales  AB,  DE,  fous  lés 
.angles  égaux  ACB,  DCE. 

>: ijx;  : 

. ....  Remarque . 

Ï1  eft  évident  que  la  ligne  propofée  AB  fera  tou- 
jours vîiê  fous  un  même  angle,.  &c  que  par  confie  - 
quent  elle  paroîtra  toujours  d’une  même  grandeur 
à quelque  diftançe  que  foi t l’oeil  de  cette  ligne, 
pourvu  qu’il  ne  quitte  jamais  la  circonférence  du 
Cercle  qui  palîe  par  les  deux  extremitez  A , B : & 
qu’ai nfi  fans  changer  la  fituation  de  la  ligne  AB , on 
peut  changer  celle  de  l’œil , en  le  plaçant  en  tel 
point  qu’on  voudra  de  la  circonférence  d’un  Cercle 
quelconque  qui  pafie  par  les  deux  extrenntez  de  la 
ligne,  ou  grandeur  propofée  AB,  comme  en  F , 
ou  en  G,  les  angles  vifuels  AFB  , AGB  , ACB  * 
étant  toujours  égaux. 

Tome  I . N 


proche  , paroijje  toujeur 
grandeur. 


Plan  - 
che  1 6.' 
4 7-  Figs- 


1 24  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 

Plan-  Il  effc  anlîî  évident , que  la  même  ligne  AB  pâroitra 
che  io.  toujours  de  la  même  grandeur  en  rapprochant  de 
£Jg*  [’œj[  Q 3 

fans  la  placer  dans  la  circonférence  d’un. 
Cercle , pourvu  que  fes  deux  extremitez  demeu- 
rent toujours  dans  les  mêmes  Rayons  vifuels  AC  , 
BC,  comme  il  arrive  en  luy  donnant  la  fituation 
AD  , parce  que  dans  cette  fituation  elle  eft  vue 
fous  le  même  angle  vifuel  ACB , ce  qui  ne  doit 
point  changer  fa  grandeur  apparente , quoiqu’elle 
fioit  plus  proche  de  l’oeil  C. 

C’eft  par  cette  égalité  des  angles  vifuels,  que 
Ton  peut  écrire  contre  une  muraille  des  caraéleres , 
qui  bien  qu’inégaux  paroitrorit  égaux  , étant  vus 
d’un  certain  point:  & que  l’on  peut  placer  fur  un 
pinacle  , ou  ïur  quelque  haut  frontifpice  une  fia  tue 
d’une  telle  longueur  iéc  d’ünè  telle  grofibtfr  5 qu’étant 
vue  d’en  bas,  elle  paroille  d’uné  grandeur  propor- 
tionnée à la  hauteur  du  lieu,  fans  qu’il  foir  befoiu 
de  polir  extrêmement  cirtté  figure  , & encore 
moins  de  s’arrêter  aux  mufcles  du  corps , ni  aux 
plis  de  la  Draperie,  comme  l’on  feroit  fi  la  figure 
le  voyoit  de  plus  prés. 

P R O B L E M Ë':  I I.  ;v 

'Trouver  un  point,  duquel  devtx  parties  inégalés 
d'une  ligne  droite  p~aroijfcnt  é gâté  s. 

- - • * *•  1 •"  - - ‘ ' j .■  j 

IL  y aune  infinité  de  points  differens,  d’oùles 
deux  parties  inégales  ÂB,BC,  de  lalighe  droi- 
te AC,  étant  vues,  peuvent  panoître  égales , parce 
qu’ils  font  dans  la  circonférence  d’un  Cercle  : idais 
fins  nous  arrêter  à la  Théorie,  nous  enfeignerohs 
ici  une  Méthode  tres-courte  pour  trouver  un  de 
ses  points , comme  vous  allez  voir. 


Problèmes  d’O  p t i q^u  e i cj  ^ 
Décrivez  des  deux  extremitez  A,  B,  avec  l’ou-  Plan- 
verture  AB  deux  arcs  de  Cercle,  qui  fe  coupcntici  c^le  1 3-., 
au  point  D , duquel  il  faudra  décrire  avec  la  même 
ouverture  du  Compas  un  autre  arc  de  Cercle.  Dé- 
crivez pareillement  des  deux  extremitez  B,  C, 
avec  l’ouverture  BC , deux  arcs  de  Cercle , qui  fe 
coupent  ici  au  point  E , & décrivez  de  ce  point  E , 
avec  la  même  ouverture  du  Compas  un  autre  arc 
de  Cercle,  qui  coupe  ici  celuy  que  nous  avons  dé- 
crit du  point  D en  F > qui  lera  le  point  duquel  les 
deux  lignes  propofées  AB,  BC  , étant  vues,  pa- 
loîtront  égales,  à caufe  de  l’égalité  des  deux  an- 
gles vifuels  AFB  , BFC. 

Ji  ta 

Rem  arque.  . ■ f 

' • • " • P 1 

On  travaillera  de  la„même  façon » lorfquc  les 

deux  extremitez  des  deux  lignes  propofées  AB  , 

JBC  , ne  fe  joindront  pas.  Nous  avons  enfeigné  dans 
nôtre  Dictionnaire  Mathématique , la  maniéré  de 
trouver  un  point,  duquel  trois  parties  inégales 
d’une  ligne  droite  étant  v.ûës , paroîtront  égales. 

PROBLEME  I I L 


Btant  donné  un  feint  de  quelque  ob  et , &/e  lieu  de 
l'œil , trouver  le  point  de  réflexion  fur  la 
Surface  d’ un  Miroir  plat.  - • î 

SI  le  point  de  l’Objet  eft  B,  & que.  le  lieu  de  i 
l’œil  foit  À,  on  trouvera  fur  la  Surface  d’un 
Miroir  plat,  qui  eft  ici  reprefenté  par  la  ligne  droi- 
te CD,  le  point  E de  reflexion,  en  tirant  des  deux 
points  A , B , les  deux  lignes  AC  , BD  , perpendicu- 
laires au  Plan  CD  , & en  cherchant  à la  fomme  des 

N ij 


Plan- 
che io. 
J1-  hg. 


ï 9<$  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
deux  perpendiculaires  AC  , BD , à leur  diftance  CD, 
5c  à la  perpendiculaire  AC  , une  quatrième  propor- 
tionnelle , dont  la  longueur  étant  portée  fur  la  li- 
gne CD , depuis  C en  E , on  aura  en  E le  point  de 
Teflexion  qu’on  cherche , de  forte  que  fi  l’on  tire 
les  deux  lignes  AE  , BE,  l’angle  d’incidence  AEC 
fera  égal  à l’angle  de  réflexion  BED , comme  il  eft 
aifé  à démontrer. 


Remarque. 

Dans  nôtre  DiÜionnaire  Mathématique  on  trou- 
ve ce  Problème  appliqué  à un  Miroir  Spherique  : 
mais  il  fe  peut  aifément  appliquer  au  Jeu  de  Billard, 
comme  fi  la  ligne  CD  reprefentoit  un  bord  du  Bil- 
lard, & qu’aux  deux  points  A,  B,  du  tapis  ou  ta- 
ble du  même  Billard , il  y eut  deux  billes , dont 
l’une  , comme  A,  ne  pourroit  pas  être  envoyée  di- 
rectement contre  l’autre  B , à caufe  du  Fer  qui  feroit 
entre  deux , en  trouvant  le  point  E , comme  il  vient 
d’être  enfeigné  , on  auroit  en  E le  point  où  le 
Joiieur  pourroit  envoyer  la  bille  A,  afin  que  par 
une  bricole  elle  pût  toucher  l’autre  bille  qui  feroit 
en  B Mais  dans  la  pratique  cela  fe  peut  faire  plus 
facilement  en  cette  forte. 

Soit  donc  CD  le  bord  d’un  Billard , & fuppo- 
fons  qu’avec  une  bille  qui  eft  en  A , un  Joiieur 
veuille  fraper  par  reflexion  la  bille  de  Ion  adverfai» 
re , qui  eft  en  B.  Pour  trouver  le  point  E fur  le 
bord  du  Billard  , où  il  faut  envoyer  la  bille  A,  pour 
la  faire  réfléchir  en  B , il  faut  prolonger  par  la  pen- 
fée  la  perpendiculaire  BD  jufqu’en  F j en  forte  que 
la  ligne  DF  foit  égale  à cette  perpendiculaire  BD, 
& ayant  mis  en  F une  marque  vifible,  le  Joiieur 
pouffera  fà  bille  A , félon  la  ligne  AF , & alors  cette 


P R.  O B L EM  E S E >’0  I>  T I 0,11  E I 
bille  A rencontrant  le  bord  du  Billard  enE,  Ce  re-  Plan- 
fléchira , & rencontrera  neceflairement  la  bille  B y c^c  1 
fur  tout  fi  l’on  poulie  fortement  la  bille  A , pour  5 ’ ^ 

s’oppofer  aux  défauts  du  Billard. 

Comme  dans  ce  Jeu  il  n’eft  pas  toujours  facile, 
ni  même  permis  de  mettre  une  marque  vifible  en 
F j parce  que  l’adverfaire  a la  liberté  de  l’ôter  •,  il 
faut  que  le  Joueur  vife  du  point  F,  la  bille  A , 5c 
qu’il  remarque  pat  le  Rayon  vifuei  AF,  le  point  E 
fur  le  bord  du  Billard  , où  il  doit  envoyer  fa  bille 
pour  la  faire  réfléchir  en  B. 

Si  vous  voulez  trouver  le  point  E de  reflexion , ji,  Fig* 
pour  faire  que  la  bille  A rencontre  la  bille  B par 
deux  bricoles,  ayant  tiré  du  point  A , la  ligne  AC 
parallèle  à la  ligne  DG  , & pareillement  du  point  B , 
la  ligne  BG  parallèle  à la  ligne  CD  , cherchez  à la 
fomroe  des  deux  lignes  parallèles  AC  , DG  , à la  li- 
gne AC  , 5c  à la  femme  des  deux  lignes  parallèles 
CD,  BG,  une  quatrième  proportionnelle  , dont  U 
longueur  étant  portée  en  CE  , on  aura  le  point  E 
qu’on  cqerche. 

PROBLEME  IV. 

Tirer  par  derrière  l’e'paule  un  Pifiolet  aujfi  jufie =» 
ment  que  fi.  on  le  coucboit  en  joüe. 

ON  fe  fervira  d’un  Miroir  plan  qui  eft  ici  re-  p]aH- 
prefenté  par  l'a  ligne  droite  AB,  à laquelle  eft  che  n. 
perpendiculaire  la  ligne  CD  tirée  du  point  C,  qui  Si*  Fig; 
reprefente  le  but  où  l’on  veut  tirer , & dont  l’image 
ou  l’apparence  dans  le  Miroir  eft  D,  autant  éloi- 
gnée du  Miroir  que  le  point  C,  à l’égard  de  l’œil 
pofé  en  E , d’où  il  voit  par  reflexion  le  point  C, 
par  le  Rayon  de  Reflexion  EFD,  le  Rayon  d'inci- 


Plan- 
che 1 1. 

S 4*  Fig< 


1518  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
dence  étant  la  ligne  CF,  félon  laquelle  il  faudra 
placer  le  Piftolet  GH  , en  le  tournant  jufqu’à  ce  que 
ion  apparence  IK  convienne  avec  la  ligne  de  refle- 
xion EFD  , en  cachant  l’apparence  D du  point  C t 
car  ainfi  le  Piftolet  GH  regardant  directement  le 
but  propofé  C , on  ne  manquera  pas  de  frapper  le 
point  C , fi  on  lâche  le  coup. 

PROBLEME  V. 

JM ef tirer  une  Hauteur  par  Réflexion . 

PRemieremenr , fi  la  Hauteur  eft  acceflible  , com- 
me AB  , en  forte  qu’on  puifle  approcher  de 
fon  extrémité  B,  & connoître  de  combien  on  en 
eft  éloigné , lorfqu’on  eft  dans  un  Plan  horizontal 
&au  niveau  de  cette  bafe  B , faites  fur  ce  Plan  ho- 
rizontal à une  diftance  connue  du  point  B , un  petit 
creux,  pour  y mettre  de  l’eau  qui  le  rempliiïe 
afin  que  dans  cette  eauë  vous  puifliez  voir  par  Re- 
flexion le  fommet  A de  la  Hauteur  àmefurerAB, 
par  le  Rayon  de  Reflexion  CE  , qui  pafle  par  l’œil 
que  je  luppofe  en  E , &c  mefurez  exactement  la 
hauteur  de  l’œil  ED  , & fa  diftance  CD  du  point 
C de  Refl;xion.  Nous  fuppoferons  la  hauteur  ED 
de  4 pieds  , la  diftance  CD  de  3 , 5c  la  diftance  BC 
de  48  ; après  quoy  on  dira  par  la  Réglé  de  Trois 
directe  , fi  fa  diftance  CD  de  3 pieds  donne  4 pieds, 
pour  la  hauteur  ED  , combien  donnera  la  diftance 
BC  de  48  pieds  ? & l’on  trouvera  64  pieds  pour 
Sa  hauteur  AB  qu’on  cherche , car  en  multipliant 
enfemble  les  deux  derniers  termes  4 , 48  , & en 
divifant  leur  produit  192,  par  le  premier  ’ , il  vient 
<»4  pour  le  quatrième  proportionnel. 

Mais  fi  la  hauteur  AB  eft  inacceflible , en  forte. 


Récréations  Jllathemaliq . Planche  il  Page  ic)8  . 


R ere  v U- 


PROBl  EM  E S d’O  P T I QJ3  Ë.  Ï99 
qu’on  ne  puifle  pas  mefiirer  actuellement  la  diftance 
BC  } il  faudra  dans  la  même  Plaine  faire  en  ligne 
droite  un  autre  creux  à une  diftance  connue  du  pre- 
mier C,  comme  F,  pour  le  remplir  pareillement 
d’eau,  afin  que  la  même  perfonne  y puitlèvoir  par 
réflexion  le  même  fomniet  A , par  le  Rayon  de  re- 
flexion FH  , qui  pafle  par  l’œil  que  je  fuppofe  en  H; 
j’ay  dit  la  même  perfonne , afin  que  la  hauteur  de 
l’œil  GH  foit  la  même  que  la  première  DE,  que 
nous  avons  fuppofée  de  4 pieds  : Sc  parce  que  nous 
avons  fuppofé  la  '.diftance  CD  de  3 , fi  l’on  fuppofe 
la  diftance  CF  de  32  , & la  diftance  FG  de  ç , en 
multipliant  enfemble  les  lignes  ED , CF , c’eft-à-di- 
re,  4 Sc  32  > & en  divifant  le  produit  128  par 
l’excès  z de  la  diftance  FG  fur  la  diftance  CD  , 011 
aura  64  pieds  pourra  Hauteur  AB  qu’on  cherche» 

j Remarque. 

“"Si  vous  voulez  connoîtrc  la  diftance  BC , fans 
fçavoir  la  Hauteur  AB  , multipliez  enfemble  les 
deux  diflances  CD  , CF  , c’eft-à-dire  , 3 & 3 z , Sc 
diyifez  leur  produit  96  par  l’cxcés  z de  la  diftan- 
ce FG,  fur  la  diftance  CD,  Sc  le  quotient  donnera 
48  pieds  pour  la  diftance  BC  , Sec. 

PROBLEME  VL 

Reprefenter  en  PerfpeUive  tout  ce  que  V on  voudra, 
fans  fe  fervir  du  Point  de  vut. 

PRemieremcnt  pour  trouver  dans  le  Tableau  l’ap- 
parence de  quelque  point  du  Plan  Geometral , 
pàr  exemple  du  point  E , tirez  de  ce  point  E,  la  li- 
gne EG  perpendiculaire  à la  ligne  de  terre  CD  , &: 

N iiij 


Plan- 
che 1 1. 
S 4-  Fig* 


s s-  rig* 


%oo  Récréât.  Mat'hemat.  et  Phys. 

JjIin-  portez  la  longueur  de  cette  perpendiculaire  GE* 
1 V départ  &,  d’autre  depuis  le  point  G,  fur  la  même 
l°'  î-igne  de  terre  CD,  aux  points  F,  D.  Après  cela, 
ayant  pris  à volonté  fur  la  Ligne  horizontale  AB, 
les  deux  Points  de  diftance  A , B , tirez  de  ces 
deux  points  A , B , par  les  points  D , F , les  droites 
AD,  BF,  qui  donneront  par  leur  interfe&ion  l’ap- 
parcncc  H du  point  propofé  E. 

G’ell  de  la  même  façon  que  l’on  trouvera  l’ap- 
parence de  quelqu’autre  point  du  Plan  Geometral, 
& par  confequent  la  reprefentation  de  la  bafe  de 
quelque  corps  que  ce  foit,  lequel  par  confequent 
le  pourra  aifément  reprefenter  en  Perfpcétive  , en 
tirant  de  tous  les  points  de  fon  Alïîete  , ou  Plan, 
perfpeétif  des  lignes  perpendiculaires  à la  Ligne 
ae  terre  CD  , égales  en  apparence  à la  hauteur 
du  corps  propofé , ce  qui  fe  fera  en  cette  forte. 

Ayant  porté  la  hauteur  naturelle  du  corps  pro- 
pofé  fur  la  Ligne  de  terre  CD  , par  exemple  depuis 
C en  K , tirez  deccs  deux  points  C , K,  au  point 
L pris  à diferetion  fur  la  Ligne  horizontale  AB, les 
droites  LC  , LK  , qui  termineront  les  hauteurs  ap- 
parentes de  tous  les  points  du  corps  propofé,  en 
tirant  de  ces  points  des  lignes  parallèles  à la  Ligne 
de  terre  CD  -,  comme  pour  trouver  la  hauteur  du 
point  H , on  en  élèvera  la  perpendiculaire  HO  éga- 
le à la  partie  MN  , &c. 

% 


Proîle’mes  d’Optiqjue.  20  ï 

PROBLEME  VIL 

Reprefenter  en  PerfpeElive  un  Polyèdre  équilatéral , 
terminé  par  fix  yguarrez*  égaux  , & par  huit 
.Exagones  réguliers  & égaux  entre  eux. 

CEux  qui  entendent  la  Perfpeétive  reprefente-  Plan- 
ront  facilement  ce  corps  dans  le  Tableau  * 
dont  le  Point  de  vue  eft  V , 8c  un  des  deux  points  5 ' '•'* 
de  diftance  eftD,  marqué  fur  la  Ligne  horizontale 
DV , qui  eft  parallèle  à la  Ligne  de  terre  AB  , pour- 
vu qu’ils  en  fçachent  décrire  le  Plan  8c  le  Profil , ce 
qui  fe  fera  en  cette  forte. 

Premièrement,  fi  l’on  veut  que  ce  Corps  s’appuye 
fur  l’un  de  feshuit  Exagones,  comme  i,  2,  3 , 4,  ç, 

6,  on  décrira  de  fou  centre  C un  Cercle,  dont  1® 

Rayon  ou  Demi-diametre  C8  , ou  Ce>,  foit  tel,  que 
fon  quarré  foit  au  quarré  de  celuy  de  rExagone,com- 
me  y eft  à 3 , de  forte  que  fi  le  Rayon  ou  le  côté 
I , 2,  de  l'Exagone  eft  de  6^465  parties  égales , 
le  Rayon  C8  , ouC<?  du  grand  Cercle  en  contien- 
dra 1 00000. 

Ayant  donc  ainfi  décrit  ce  grand  Cercle , on  le 
divifera  inégalement  , comme  vous  voyez  dans  la 
figure  , en  forte  que  le  plus  petit  côté  8 , 9 , & les 
autres  cinq  , foient  égaux  chacun  au  côté  de  l’Exa- 
gone  , 8c  que  le  plus  grand  y , io5  & les  autres 
cinq  foient  doubles  chacun  du  plus  petit , auquel 
cas,  le  plus  petit  foûtiendra  un  arc  de  38.  u7-  Sc 
le  plùs  grand,  ou  fon  double  un  arc  de  81.  48L 
Mais  iàns  cela  il  fera  aifé  de  décrire  ce  Plan  par  la 
feule  infpeétion  de  la  Figure. 

Pour  le  Profil,  décrivez  autour  du  plus  petit 
.çôté  2 1 , i ç , le  Demi-cercle  2 1 , o , 1 5 } & ayant 


Plan- 
che I i. 

s e-  r«g 


Plan* 
<he  i 5. 
S 7-  fig 


S ».  îig 


îoi  Récréât.  MatnemAt.  et  Phys.” 
décrit  du  point  4 par  le  point  1 5 , l’arc  de  Cercle 
T 5 » O , joignez  la  droite  ii,o,  qui  fera  la  hau- 
teur des  points  51,  8,  14,  13,  10,17,  la  kau- 
teur  des  points  7,11,15,21,  16,10,  étant 
égale  au  double  de  la  ligne  21  , o,  & la  hauteur 
des  points  1,2, 3, 4,5, 6,  étant  égale  an  triple 
de  la  même  ligne  21,0. 

Si  l’on  m?t  en  Perfpe&ive  ce  Plan  ainfi  décrit  » 
& que  de  tous  fes  angles  on  élevé  des  perpendicu- 
laires à la  Ligne  de  terre , pour  y mettre  les  hau- 
teurs convenables  à celles  du  Profil  , il  n’y  aura 
plus  qu’à  joindre  les  cotez , comme  vous  voyez  dans 
la  Figure,  & encore  mieux  dans  la  57.  Fig-  que 
nous  avons  reprefentée  en  plus  grand  volume, 
pour  vous  mieux  faire  diftinguer  les  cotez  qu’il 
faut  joindre,  dont  ceux  qui  font  marquez  par  des 
lignes  noires , font  ceux  qui  parodient  à l’œij , $ç  les 
autres  qui  font  marquez  parties  lignes  ponctuées , 
font  ceux  qu’on  ne  voidpas. 

Secondement , fi  l’on  veut  que  le  Corps  s’appuye 
fur  l’une  de  fes  fix  Surfaces  qnar.rées  , comme  fur 
le  Quatre  a , b , I 5 , 2 1 , le  Plan , ou  l’ôifiere  de 
ce  Polyèdre  changera,  &:  elle  fera  telle  que  yous  la 
voyez  dans  la  Figure  , qu’il  ne  faut  que  regarder 
pour  la  comprendre  , pour  le  moins  quand  o.n fç.au- 
ra  , que  le  grand  côté  de  l’Qétogonc  irregulier  , 
comme  di  2 eft  égal  à la  Diagonale  41  5 , ou  b 21 
du  Quarré  intérieur  qui  fert  de  bafe  au  Polyèdre. 

Le  Profil  change  auffi , car  la  hauteur  des  points 
3,7,6,  1 o , eft  égale  à la  moitié  cd  du  grand 
côté  dix  de  l’Oclogone  irregulier  , la  .hauteur 
des  points  4 , 5 , 17,6,7»  ,d>  eft  égale  au  gâté 
entier  d 12,  la  hauteur  des  points  14 , 20  > n ,.e, 
eft  égale  au  même  côté  dix-,  & a fa  moitié  cd, 
ÔC  enfin  la  hauteur  des  points  ti  , b , I 5 , 21  > eft 


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Récréations  ACatiiemahcj  . Plancke  13  . P<zcj e 202  . 


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Récréations  MaÜiematiq ■ Planche  14.  Pac/e  2 oj  . 


Problèmes  d’Optiq^uc.  203 
double  du  même  côte  ^12,  dont  le  quarré  eft  au 
Quarté  du  Rayon  de  l’Oétogonc  irrégulier  , comme 
4 eft  à 5 ,cc  qui  fait  que  fi  ce  Rayon  eft  de  1 OOOOO 
parties  égales  , le  grand  côté  ^12  en  contient 
89442  5 & foûtient  un  aarc  de  5 3.  8'.  & que  le  pe- 
tit côté  dm  en  comprend  63245  > 8c  foûtient  un 
atc  de  36.  5 x'  Par  le  moyen  de  ce  Plan  & de  ce 
Profil , nous  avons  mis  le  Polyèdre  en  Perfpeélivc  , 
comme  vous  voyez  dans  la  5 Fig. 

PROBLEME  VIII. 

Peprefenter  en  PerfpeEbive  un  Polyèdre  équilatéral , 
terminé  par  Jtx  Quarrez,  égaux  , & par  huit 
Triangles  équilatéraux  , & égaux  entre  eux. 

SI  vous  voulez  que  le  Polyèdre  s’appuye  fur  l’un 
de  fes  fix  Quarrez  égaux  , comme  9 , 1 o > I I» 
12  > il  n’y  aura  qu’à  luy  circonfcrire  un  autre  quar- 
ré , 8c  le  Plan  fera  achevé > dont  le  Profil  eft  tel. 

La  hauteur  des  points  5 , 6 , 7 , 8 , eft  égale  à la 
moitié  3 , 5 , du  côté  6 , 5 , du  quarré  circonfcrit , 
& la  hauteur  des  points  1 , 2 , 3 , 4 , eft  égale  au 
côté  entier  6 , 5 > ou  à la  Diagonale  1 1 , 9 > ou  1 o, 
I 2 > du  quarré  infcrit  , qui  fert  de  bafe  au  Po- 
lyèdre. 

Par  le  moyen  de  ce  Plan  & de  ce  Profil , nous 
avons  mis  ce  Polyèdre  en  Perfpeétive , comme  vous 
voyez  dans  la  61.  Fig.  qui  vous  fait  voir  diftinéte- 
ment  les  cotez  qu’il  haut  joindre  , quand  on  a trou- 
vé dans  le  Tableau  l’apparence  des  points  qui  bor- 
nent leurs  extremitez. 


Plan- 
che 14, 

5 9-  fig- 


60.  Fig. 


Plan- 
che 1 y. 
6i.  Fig. 


Plan- 
che ij. 
6 t.  Fig. 


Plan- 
che I 6 . 
6 ?.  Fig. 
Plan- 
che 17. 
»4-  Fig- 

Fig. 


'204  Récréât.  Mathemat.  et  PimC 

PROBLEME  IX. 

Reprefenter  en  Perfpettive  un  Polyèdre  équilatéral , 
terminé  par  fix  fifuarrex,  égaux , & par  douz,e 
Triangles  if of cèle  s & égaux  entre  eux  , dont  la 
hauteur  e fr  égale  a la  bafe- 

» 

PRemierement , fi  vous  voulez  que  le  Polyèdre 
s’appuye  fur  l’un  de  Tes  fix  Quarrez  égaux, 
comme  3,6,9,11,  Ton  Afllete  fiera  telle  que 
vous  la  voyez  dans  la  Figure  , où  les  Demi-cercles 
qui  font  décrits  des  quatre  angles  droits  delà  bafe 
3 , 6 y 9 , 1 1 , & des  milieux  A , B , des  deux  co- 
tez oppofiez  5,1,  &:  11,9,  Font  aftèz  connoître 
la  deîcription  de  ce  Plan  , fians  qu’il  fioit  befioin  d’en 
parler  davantage. 

Pour  le  Profil , nous  dirons  que  la  hauteur  des, 
points  4,11,7,8,  I,  1 4 , eft  égale  à la  tou- 
chante 7,  1 5 , éc  que  la  hauteur  des  points  5,6, 
13,  1 2 , eft  double  de  la  precedente , c’eft-à-dire  , 
double  de  la  même  touchante  7,  I J.  Après quoy 
il  n’y  a plus  qu’à  regarder  la  6 3.  Fig.  pour  com- 
prendre la  manière  de  reprefienter  ce  Polyèdre  en 
Perfpeélive  , que  je  vous  reprefente  encore  tout 
ombré  , & vû  d’une  autre  façon  dans  la  64.  Fig , 
Secondement,  fi  vous  voulez  que  le  Polyèdre 
fioit  élevé  droit  fur  l’un  de  fies  angles  fiolides , 
comme  1 , auquel  cas  fon  Afiïete  fera  le  fimple  Exa- 
gone  régulier  2,3  ,4, 5,6,7,  dont  le  centre  fie- 
ra le  point  1 , & le  Profil  fiera  tel. 

La  hauteur  des  points  8,9,10,11,12,  13, 
eft  égale  à la  moitié  du  côté  de  l’Exagone  : la  hau- 
teur des  points  2,3,4,  5,  6,  7,  eft  égale  au 
triple  de  la  precedente  , c’eft-à-dire  à trois  moitiés 
du  côté  de  l’Exagonc  : & la  hauteur  du  point  1 


i 


Recreatumj  Æathemaiuj . Planche  ic; . Pag/;  104.  . 


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PrOBIe’mES  d’’0  P T IQJJE.  2G£ 
cft  double  du  côté  de  l’Exagone  : ou  égale  au  Dia- 
mètre 4 , 7. 

Je  n'enfeigneray  pas  ici  la  maniéré  de  reprefen- 
ter  en  Perfpective  ce  Polyèdre  félon  fon  Plan  & 
fbn  Profil,  parce  que  nous  en  avons  fuffifamment  p^an' 
parlé  dans  nôtre  Traité  de  Perfpeflrtve , c’eft  pour-  p8’ 
quoy  je  me  contenteray  de  vous  en  donner  fim-  v 
plement  ici  la  Figure. 

PROBLEME  X. 

Reprefenter  en  PerfpeCtive  un  Polyèdre  équilatéral, 
terminé  par  douz,e  Ouarrez^  égaux  , par  huit 
Exagones  réguliers  & égaux , & par  Jtx  Octo- 
gones réguliers  & égaux . 

1 • i • , ZJIJ  .s  , Il  si  i - ■ £ r / \ il  * 

SI  vous  voulez  que  la  bafc  de  ce  corps  foie  l’un  Plan-  , 
de  fes  lîx  Oétogones , comme  1 , 2 , 3 , 4, f , clie  I?- 
6,7,8,  dont  le  centre  eft  O , joignez  les  extre-  68*  ‘S* 
mitez  de  deux  cotez  oppofez  Sc  parallèles  par  des 
lignes  droites  parallèles  entre  elles,  qui  par  leurs 
mutuelles  interférions  , formeront  un  Quarré  , 
comme  ABCD.  Prolongez  les  deux  cotez  oppofez 
6c  parallèles  1 , 2 , & 5 , 6 , Sc  pareillement  les 
deux  cotez  oppofez  & parallèles  3. , 4 , & 7 , 8 , qui 
en  rencontrant  les  deux  premiers , formeront  un 
autre  Quarré  plus  grand  EFGH.  Après  quoy  il  fera 
facile  d’achever  le  Plan  , fçavoir  en  faifant  la  ligne 
E20  égale  à la  partie  E7,  Scc. 

Pour  une  defeription  plus  exacte  de  ce  Plan,  oa 
confiderera  qu’en  fuppofant  le  Rayon  Ol  , ou  O2, 
de  1 000  parties  égales  , le  Rayon  0 1 3 ,ouOié, 
du  Cercle  moyen  comprend  1514  de  ces  parcies, 
ôc  que  le  Rayon  O12,  ou  O15  , du  plus  grand 
Cercle  en  contient  1731-  Que  le  plus  petit  côté 
fbôtient  dans  le  plus  grand  Cercle  un  arc  11,12, 


Plan- 
che 19. 
6 8.  ïig 


Plan- 
che i o. 

70-  Fig, 


2.0  G Récréât.  Mathemat.  et  Phys." 
ou  1 4 , I 5 , de  2 5 , 3 2'.  dans  le  moyen  un  arc  t j 
2 , de  29.  1 6r.  &c  dans  le  plus  petit  un  arc  1,2, 
* de  45  degrez.  Et  que  le  plus  grand  côtéfoûciem 
cians  le  plus  grand  Cercle  un  arc  14,  1 1 , de  6 4. 
28'.  8c  dans  le  Cercle  moyen  un  arc  10,  13  , ou 
9 , 1 6 , de  60.  44;.  dont  la  corde  eft  double  du 
plus  petit  1 ôté  9,  10.  n • 

Pour  le  Profil,  on  donnera  toute  la  ligne  I 5 , 
1 2 , à la  hauteur  des  points  i , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 
8 , dont  l’Allicte  eft  l’Oétogone  intérieur, ou  le  plus 
petit  Oétogone  régulier  1,2,  3,4,  5,  6, 7, 
8-  On  donnera  la  partie  15,  G , à la  hauteur  des 
points  9,  10,  13,25,22,21,18,16,  dont 
ï’Affiete  eft  l’Octogone  moyeu.  On  donnerala par- 
tie 1 5 , 2 , à la  hauteur  des  points  14,  1 1 , 1 2 , 
24  , 23  , 20  , 19,  15,  dont  l’Afficte  eft  le  plus 
grand  Octogone.  On  donnera  la  partie  15,1 , a la 
hauteur  des  points26, 2?,  30,  3 1 j‘34,  3 5,38, 
39,  dont  l’Alïiete  eft  le  plus  grand  Octogone.  En- 
fin l’on  donnera  la  patrie  1 5 , H , à la  hauteur  des 
points  40 , 41  . 28 ,29,  32,35,  36 ,37,  dont 
i’Afîîete  eft  l’Oétogone  moyen. 

La  hauteur  15^,  1 2 ^ fe  trouvera  dé  2 9 3 o : par- 
ties , dont  le  Rayon  Oi  du  plus  petit  Ôétogone  en 
contient  1000,  la  hauteur  15,6,  eft  de  2389 
femblables  parties  : la  hauteur  15,2,  en  contient 
1848  : la  hauteur  1 5 , 1 , en  comprend  1 08  2 : & 
enfin  la  hauteur  15  , H,  en  contient  541. 

Quand  on  aura  mis  en  Perfpeétive  le  Plan  de  ce 
Polyèdre  terminé  par  2 6 faces , 6c  qu’on  aura  dé- 
' terminé  lapofition  de  fe  s angles  fol  > des  fuivantieurs 
hauteurs  differentes , que  le  Profil  precedent  vous 
donne  , on  joindra  ces  angles  lo'ides  par  des  lignes 
droites  qui  feront  les  cotez  égaux  du  Polyèdre,  com- 
me vous  voyez  dans  la  Figure  > qu’il  fuffit  de  regar- 
der pour  la  comprendre. 


Me rey  jfectt — 


U 


Récréations  Mathematûj  Blanche  20  Page  20 7 . 


' 


Problèmes  d’Op'îî  ûu'e.  ioÿ 

PROBLEME  XI. 

Etant  donnez,  les  points  de  l’œil  & de  c/tielqn e ob- 
jet, avec  le  point  de  reflexion  far  la  Surface 
d’an  Miroir  plan , déterminer  dans  Ce  Miroir  h 
lien  de  l’image  de  l'objet  propofé. 

SI  Poe  il  eft  A , l'Objet  B,  & que  le  point  de  re-  p;aD- 
flexion  foit  E fur  la  Sütface  CD  d’tln  Miroir  plan,  cite  1 o. 
tirez  de  l’Objet  B,  l’a  ligné  BF  perpendiculaire  à'cer-  ï u 
te  Surface,  & prolongez  lé  Rayon  de  réflexion ÀÊ 
jufqu’à  ce  qu’il  rencontre  cétte  perpendiculaire  en 
un  point , comme  F , ôiV  , ce  qui  eft  la  même  cHqfe. 
faites  DF  égale,  à DB , & le  point  F fera  le  lieu  de 
l’image  de  1 Objet  fi,  c’éft-à  dire,  le  point  ou  l’ob- 
jet B fera  vû  par  l’œil  Â dans  lè  Miroir  plan  CD, 
félon  ce  principe  d’Ôptiqüé  , qui  nous  apprend  que 
l’imâgc  d’un  Objet  fe  fait  au  concours  du  Rayon 
de  reflexion,  & d’une  ligne  droite  tirée  de  l’Ob- 
jet perpendiculairement  à la  Surface  du  Miroir, 
foit  :qué  cettfe  Surface  foit  plané,  ou  Sphérique. 

D’où  il  eft  âifé  dè  conclure  par  l’égalité  des  Angles 
de  réflexion  6e  d’incidénc'e  , que  quand  le  Mirofr 
eft  "plan  , comme  nous  fe  Supposons  ici , l’Objet 
dbit  être -Vu  aùtant'erifoncé  dans  le  Miroir  qu’ifçn 
eft  éloigné,  6c  c’eft  à caufe  de  cela  que  nous  avons 
fait  Indigné  DF  égale  aiapcrpendiculaire  DB, 

U "s'enfuit  auftTqüé  là  difténcê  AT  de  l’image  F 
de  l’Objet  B , àfcbil  A',  "eft  égaie  ait  Rayon  d’inci- 
dence BE  , & 'au  Raÿon  dé  réflexion  AÉ,  parce 
que  le  Rayon  d'iftridencé  BE  eft:  égal  a la  ligneEF , 
à caufe  de  l’égalité  dés  déni  Triangles  rectangles 
F.DB , EDF. 

Il  s'enfuit  encore  que  fi  l’œil  A s’approche  ou 


Plan- 
che i o. 

J *•  F)S- 


io8  Récréât.  MathemAt.  et  Phys," 
s’éloigne  dans  le  même  Rayon  de  réflexion  AE  dis 
point  de  réflexion  E , d'une  certaine  quantité  , l’i- 
mage F de  l’Objet  B s’approchera  ou  s’éloignera  de 
l’œil  A de  la  même  quantité,  parce  que  la  diftance 
ÉF  demeurant  toujours  la  même  , la  diftance 
croîtra  ou  décroîtra  comme  la  diftance  AE. 

Il  s’enfuit  de  plus  que  lorfque  le  Miroir  plan  eft 
parallèle  à l’Horizon  , comme  CD,  une  grandeur 
perpendiculaire  à l’Horizon  , comme  BD  > doit  pa- 
roître  renverfée  : & que  lorfque  le  Miroir  plan  eft 
perpendiculaire  à l'Horizon  , la  main  droite  d’une 
perforine  luy  doit  paroîcte  à la  gauche  de  ion  image, 
ôc  la  gauche  à li  droite. 

Enfin  il  s’enfuit  que  la  diftance  de  l'œil  à l’image 
de  quelque  Objet  vû  dans  le  dernier  Miroir  par 
plufieurs  reflexions  à l’aide  de  plufieurs  Miroirs 
plans,  eftéguleàlafomme  de  tous  les  Rayons  d’in- 
cidence Sc  de  réflexion:  5c  qu’un  Objet  fe  pont  quel- 
quefois multiplier  dans  un  Miroir  plan , lorfqu’il 
eft  de  verre. 

C’el’t  ainfique  l’on  void  quelquefois  qu’un  flam- 
beau allumé  paroît  double  dans  un  Miroir  plan  dé 
verre  un  peu  épais  , à caufe  de  la  double  réflexion 
qui  s’y.  fait , fçavoir  une  qui  fe  fait  fur  la  Surface 
extérieure  du  Miroir  , & une  autre  qui  fe  fait. dans 
le  fonds  du  meme  Miroir  j car  la  lumière  ne  peut 
pas  toute  fe  réfléchir  fur  la  Surface  extérieure  du 
Miioir  , mais  elle  pénétré  la  glace  du  Miroir, 
quand  elle  eft  de  verre  , jufqu’à  ce  qu’elle  rencon- 
tre cette  feuille  d’étain  qu’on  met  derrière  , pour 
empêcher  les  Rayons  de  palier  outre  , où  par  confe- 
quent  il  fe  fait  une  féconde  reflexion,  & l’œil  fe 
rencontrant  dans  le  concours  des  deux  Rayons  de 
reflexiorï  qui  ne  peuvent  pas  être  parallèles , il  ne 
faut  pas  s’étonner  s’il  void  l’Objet  double  , ou  en 


P R O B L e’m  E S d’O  P T I QÜ  S.  ±0$ 
deux*  endroits  diffcrens  du  Miroir.  Il  eft  évident 
que  la  diverfe  irrégularité  du  verre  , 8c  les  diverfes 
réflexions  , peuvent  faire  muJtipIier  davantage 
l’Objet,  fur  tout  lorfqu’il  fera  vû  un  peu  de  côté. 

PROBLEME  XII. 

Etant  donnez,  les  points  de  l'œil  & de  quelque  ob- 
jet , avec  le  point  de  reflexion  fur  la  Surf  ace  con- 
vexe d’ un  Miroir  Spherique  , déterminer  dedans 
ou  hors  de  ce  Miroir  /’ image  de  l' objet propofé. 

SI  l’œi'  eft  A,  l’Objet  B,  & que  le  point  de  fë-  pjan. 

flexion  foit  E fur  la  Surface  convexe  DEL  d’un  che  1 s>. 
Miroir  Spherique  , dont  le  centre  eft  C,  tirez  de  6?° 
ce  centre  C , à l’Objet  B , la  droite  BC  , qui  fera 
perpendiculaire  à la  Surface  du  Miroir  Spherique, 

8c  dans  laquelle  par  confequent  fera  l’image  de 
l’Objet  B , fçavoir  H , qu’on  trouvera  en  prolon- 
geant le  Rayon  de  reflexion  AE  , qui  rencontre  ici 
au  dedans  du  Miroir  la  cathete  d’incidence  BC  au 
point  H , car  il  la  peut  rencontrer  au  point  Dde  la 
Surface  du  Miroir  , Sc  auflî  au  dehors , fçavoir  lorf- 
que  l’angle  d’incidence  BEF  , ou  l’angle  de  reflexion 
AEG  fera  bien  petit , ce  qui  fait  que  l’Objet  B peut 
être  vû  au  dedans  du  Miroir  Spherique  , comme 
ici  à 8c  quelquefois  en  fa  Surface  , ou  bien  au  de- 
hors* 

S C 0 L I É. 

La  touchante  FG  qui  pafle  parle  point  E de  refle- 
xion, détermine,  comme  vous  voyez,  les  angles 
d’incidence  8c  de  reflexion,  & coupe  la  cathete 
d’inCidence  BGenI,  en  telle  forte  que  les  quatre 
lignes  BC , CD  , BI , DI , font  proportionnelles  , 8c 
Tome  /.  Q 


2,  i o Récréât.  M athemat.  et  Phys.' 

Plan-  que  par  confequent  la  ligne  BC  fc  trouve  coupée 
che  1 9,  aux  points  I , D , dans  la  moyenne  8c  extrême  raifon 
6ÿ‘  proportionnelle , c’eft-à-dire  , que  le  Rectangle  fous 
toute  la  ligne  BC  8c  fa  partie  du  milieu  DI , eft 
égal  au  Reétangle  fous  les  deux  autres  parties  ex- 
trêmes BI  , CD  ; comme  l’on  démontrera  aifément 
en  tirant  par  le  point  B,  la  ligne  BK parallèle  au 
Rayon  de  réflexion  AE. 

Il  eft  évident  par  la  propriété  des  Foyers  d’une 
Ellipfe,  que  les  deux  points  A,  B,  font  les  Foyers 
d’une  Ellipfe  , qui  touche  le  Miroir  Spherique  au 
point  E de  reflexion , 8c  qui  a pour  grand  Axe  la 
fournie  des  deux  Rayons  AE , BE , de  reflexion  8c 
d’incidence  : 8c  qu’ainfl  pour  trouver  le  point  de 
réflexion  E,  il  n’y  a qu’à  décrire  une  Ellipfe  qui 
touche  la  circonférence  DEL  , 8c  dont  les  Foyers 
foient  les  deux  points  A , B , ce  qui  fe  peut  aifément 
faire  par  l’interfeétion  de  la  circonférence  DEL,  & 
d’une  Hyperbole  entre  fes  Afymptotes , dont  I’op- 
pofée  paffe  par  le  centre  C de  la  même  circonfé- 
rence DEL  , comme  nous  avons  démontré  dans 
nôtre  Dithonnaire  AfathematiqHe. 

Il  eft  évident  aufli,  que  l’apparence  H de  l’Ob- 
jet B , eft  plus  proche  du  point  E de  reflexion  , que 
du  centre  C , c’eft-à-dire  , que  la  ligne  CH  eft  tou- 
jours plus  grande  que  la  ligne  EH  , parce  que  l’an- 
gle CEH  eft  toujours  plus  grand  que  l’angle  ECH  , 
comme  l’on  connoîtra  en  prolongeant  vers  L le 
Rayon  d’incidence  BE,  8c  en  luy  tirant  du  centre 
C , la  parallèle  MN. 

Il  eft  encore  évident , que  la  même  apparence  H 
de  l’Objet  B eft  auili  plus  proche  du  point  de  re- 
flexion E , ou  du  point  D de  la  Surface  du  Miroir, 
que  l’Objet  B,  c’eft-à-dire,  que  la  ligne  EH  eft 
moindre  que  le  Rayon  d’incidence  BE , 8c  que  la 


Problèmes  d’Optiqjie.  £it 
ligne  DH  eft  moindre  que  la  cathete  d’inciden-  Plan- 
ée BD.  che  i $».' 

Enfin  il  eft  évident,  que  fi  la  grandeur  OE  eft 
perpendiculaire  à la  Surface  du  Miroir  Spherique 
DEL  , en  forte  qu’étant  prolongée  elle  pafle  par  Ion 
centre  C,  le  point  P le  plus  proche  du  Miroir, 
doit  paroître  moins  enfoncé  que  le  point  O plus 
éloigné  : & que  cette  grandeur  OE  doit  paroître 
renverfée  & plus  petite. 

D’où  il  fuit  qu’une  grandeur  doit  paroître  dans 
un  Miroir  Spherique  convexe  toûjcurs  plus  grande 
à mefure  quelle  s’approche  du  Miroir  parallèlement 
àfoy-même,  parce  qu’alors  elle  paroît  moins  en- 
foncée, & par  confequent  plus  proche  de  l’œil , Sc 
quelle  fe  trouve  renfermée  dans  un  plus  grand  an- 
gle. Il  arrivera  la  même  chofe  fi  l’Objet  demeure 
immobile  , & que  l’œil  s’approche  du  Miroir  , par- 
ce que  pour  lors  il  verra  aufïï  cet  Objet  moins  en- 
foncé dans  le  Miroit  , & confequemment  plus 
grand,  puifqu’il  le  verra  de  plus  proche. 

PROBLEME  XIII. 

Détervnmet  le  lien  de  quelque  Objet , vu  par  re- 
flexion fur  la  Surface  d’un  M.iroir  Cylindrique. 

CE  Problème  eft  allez  difficile  , parce  qu’un  Mi-  Plan- 
roir  Cylindrique  étant  pris  félon  fa  longueur  , cfe  1 
peut  être  confideré  comme  un  Miroir  plan,  & étant  67  ' 
pris  exaéEment  félon  fa  rondeur  , il  peut  être  con- 
fideré comme  un  Miroir  Spherique  , & enfin  étant 
pris  en  tout  autre  fens,  il  participe  des  proprietez 
d’un  Miroir  plan  & d’un  Spherique. 

C’  ft  pourqnoy  fi  le  point  de  quelque  Objet  &C 
l’œil  font  dans  un  Plan  qui  pafte  par  l’Axe  du  Mi- 


Plan- 
che ï 8. 
67,  Fig. 


%\  a Récréât,  mathemat.  et  Phys. 
loir  Cylindrique,  ce  point  fera  vû  par  reflexion 
dans  le  Miroir  Cylindrique  comme  dans  un  Miroir 
plan  , fçavoir  autant  enfoncé  dans  le  Miroir  qu’il  en 
ïera  éloigné* 

Comme  fi  l’on  fuppofe  un  point  A de  quelque 
Objet , 8c  l’œil  B , dans  un  Pian  qui  paflè  par  l’Axe 
CD  du  Miroir  Cylindrique  EFGH , ce  point  A fera 
vû  en  H par  le  Rayon  de  reflexion  B1H , fçavoir  au 
concours  de  ce  Rayon  de  reflexion,  &c  delà  ligne 
ALH  perpendiculaire  à la  commune  Section  EH  du 
Miroir  <k  du  Plan  qui  pafle  par  l’œil  8c  parle  point 
de  l’Objet  A : 8c  dans  ce  cas,  il  eft  évident  que 
l’Objet  A paroît  autant  enfoncé  dans  le  Miroir 
qu’il  en  eft  éloigné,  c’eft-à-dire  , que  les  lignes  AL, 
LH  , font  égales  entre  elles  , à caufe  des  deux 
Triangles  reétangles  égaux  ALI , HLI. 

Mais  fi  l’œil  8c  le  point  de  l’Objet  font  dans  un 
Plan  parallèle  à la  bafe  du  Miroir  Cylindrique, 
comme  la  Seétion  de  ce  Plan  8c  du  Miroir  eft  un 
Cercle,  l’Objet  paroîtra  dans  ce  Miroir  Cylindri- 
que , comme  nous  avons  vû  qu’il  devoir  paraître 
dans  un  Miroir  Sphérique.  D’où  il  fuit  que  les 
grandeurs  parallèles  à la  bafe  d’un  Miroir  Cylin- 
drique y paroiflènt  beaucoup  racourcies  , & que 
celles  qui  font  parallèles  à l’Axe  du  même  Miroir, 
y paroiflènt  prefque  delà  même  grandeur , comme 
dans  un  Miroir  Plan.  Cela  eft  encore  vray  dans  un 
Miroir  Conique , comme  il  eft  aifé  à démontrer. 


P R O B t e’m  E S d’O  PTIQUE.  Z I 3 

PROBLEME  XIV. 

Etant  donnez^  les  peints  de  l’œil , &■  de  quelque 
objet , avec  le  point  de  réflexion  fur  la  Surface 
concave  d’un  Miroir  Spherique  , déterminer  de- 
dans eu  hors  de  ce  Miroir  limage  de  l’objet 
propofé. 

SI  l’œil  eft  A,  l’Objet  B,  8c  que  le  point  de  re-  Plan- 
flexion  foit  E fin-  la  Surface  concave  FEG  d’un  clie  z° 
Miroir  Spherique  , dont  le  centre  eft  C,  tirez  de  7 1 

ce  centre  C,à  l’Objet  B,  la  droite  BC,  qui  étant 
prolongée  rencontre  ici  le  Rayon  de  reflexion  AE, 
aufli  prolongé  au  point  H,  qui  fera  l’image  ou  la 
reprefentarion  de  l’Objet  propofé  B,  parce  que  ce 
point  H eft  le  concours  du  Rayon  de  reflexion  AE  , 

& de  la  cathete  d’incidence  CD  , tirée  du  centre 
C par  l’Objet  B. 

Remarque . 

Si  l’Objetavoit  été  plus  proche  du  Miroir  , com- 
me en  K , fon  apparence  I le  feroit  trouvée  de  l’au- 
tre côté  , fçavoir  au  concours  du  Rayon  de  reflexion 
AE  , & de  la  cathete  d’incidence  CI , tirée  du  centre 
C par  l’Objet  K : & fi  l’Objet  étoit  en  L , il  ne  fe 
verroit  point  du  tout  dans  le  Miroir , parce  que 
dans  le  cas  la  cathete  d’incidence  FG,  tirée  du  cen- 
tre C par  l’Objet  L , ne  rencontreroit  point  le 
Rayon  de  reflexion  AE  , luy  étant  parallèle  : & en- 
V fin  fi  l'Objet  étoit  en  M , fon  apparence  N fe  trou- 
veroit  en  dehors , fçavoir  au  concours  du  Rayon  de 
reflexion  AE  , & delà  cathete  d’incidence  CN  , ti- 
rée du  centre  C par  l’Objet  M. 

O iij 


Plan- 
che 10. 
71.  Fig 


214  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Par  là  on  voici  la  raflon  de  ce  que  l’expcrience 
nous  enfeigne  tous  les  jours,  fçavoir  qu’un  Objet 
' peut  être  vû  par  reflexion  dans  un  Miroir  concave, 
comme  dans  un  convexe,  hors  de  la  Surface  du 
Miroir,  comme  eft  ici  le  point  N , qui  eft  l’image 
de  l’Objet  M : & en  dedans  , comme  H , qui  eft  l’i- 
mage de  l’Objet  B,  ou  I,  qui  eft  l’image  del’Ob- 
jet  K,  ces  deux  images  H,  I,  paroiftam enfoncées 
dans  le  Miroir,  mais  jamais  tant  enfoncées , com- 
me fi  le  Miroir  étoit  plan  ; cela  venant  des  differens 
concours  des  Rayons  de  reflexion  , & des  cathetes 
d’incidence  , qui  peuvent  faire  voir  les  Objets  quel- 
quefois en  la  Surface  du  Miroir , quelquefois  en 
dedans,  & d’autrefois  én  dehors  8c  par devant , plus 
ou  moins  loin  du  Miroir:  de  forte  qu’on  les  voir 
tantôt  entre  l’Objet  & le  Miroir  : tantôt  au  lieu 
même  où  eft  l’Objet , ce  qui  fait  que  l’on  peut  ma- 
nier l’image  de  fa  main,  ou  de  fa  face  hors  du  Mi- 
roir : tantôt  plus  loin  du  Miroir  que  l’Objet  n’en 
eft  éloigné  : & tantôt  au  lieu  même  où  l’œil  eft 
placé,  ce  qui  fait  que  ceux  qui  en  ignorent  la  rai- 
îon  , ont  peur  , fe  retirent,  quand  ils  voyent  for- 
tir  hors  du  Miroir  l’image  d’une  Epée,  ou  drune  Da- 
gue, que  quelqu’un  tient  derrière  eux. 

Il  eft  évident  que  la  touchante  OP,  qui  paflè 
parle  point  E de  reflexion  , détermine  l’angle  d’in- 
cidence BEP,  & fon  égal , ou  l’angle  de  reflexion 
AEO  : & que  la  ligne  CE  qui  eft  perpendiculaire  à 
la  touchante  OP,  divife  en  deux  également  l’angle 
AEB  fait  par  les  Rayons  d’incidence  & de  reflexion. 
D où  il  fuit , que  fi  l’on  divife  en  deux  également 
cet  angle  par  une  ligne  droite , cette  ligne  droite 
paflèra  par  le  centre  C du  Miroir  Spherique  , parce 
qu’elle  fera  perpendiculaire  à la  touchante  OP. 

Il  eft  aifé  de  juger , que  l’Objet  B peut  être  vu 


PROBLEMES  d’O  PTIqUE.  2. 1 ^ 
par  reflexion  en  deux  endroits  differens , lorfque 
l’œil  eft  placé  en  un  certain  point  ; car  fi  l’on  me- 
né un  Rayon  d’incidence  quelconque  BE>  avec  l'on 
Rayon  de  reflexion  AE  , 8c  un  autre  Rayon  d’inci- 
dence BQ , avec  fou  Rayon  de  reflexion  QR  , qui 
rencontrera  le  premier  en  un  point , comme  A , où 
l’œil  étant  mis , il  verra  l’Objet  B par  les  deux 
Rayons  de  reflexion  AE , AQ^&  par  confequcnt 
en  deux  endroits  differens  , fçavoir  aux  points  H , 
R,  au  dedans  8c  au  dehors  du  Miroir. 

Il  eft  auflî  facile  de  juger  que  fi  l’Objet  cft  placé 
au  centre  C du  Miroir , fon  image  fe  réfléchit  con- 
tre luy-même  , parce  que  dans  ce  cas  l’Angle  d’in- 
cidence eft  droir.  C'ell  pourquoy  celuy  qui  aura 
l’œil  au  centre  C du  Miroir  , ne  pourra  voir  autre 
chofe  que  foy-même. 

PROBLEME  XV. 

Des  Miroirs  etrdans. 

NOus  avons  vu  au  Problème  precedent-,  que 
deux  Rayons  de  reflexion  , qui  appartiennent  à 
un  même  Objet , comme  AE  , AQ^  qui  appartien- 
nent à l’Objet  B,  s’unifient  8c  fe  rencontrent  au 
point  A , au  devant  du  Miroir  , ce  qui  n’arrive  pas 
aux  Miroirs  plans , où  les  Rayons  de  reflexion  s’é- 
cartent, 8c  encore  moins  aux  Miroirs  convexes, 
où  les  Rayons  de  reflexion  s’écartent  encore  davan- 
tage , 8c  s’unifient  au  derrière  du  Miroir.  D’où  il 
fuit  que  par  leur  moyen  on  ne  peut  pas  produire 
du  feu  , comme  l’on  fait  à l’aide  d’un  Miroir  con- 
cave , lequel  alors  on  appelle  Miroir  arâant , qui 
peut  être  Parabolique  8c  Spherique.  Il  eft  facile 
d’en  faire  de  Sphcriques,  parce  que  le  Tour  peut 

O iiij 


Plan- 
che 2.  O.’ 

7i-  Fig. 


lié  Récréât.  Mathemat.  et  Phy-s. 
aifément  fervir  à faire  un  modelle  pour  cela  , & 
qu’on  les  peut  aifément  polir:  mais  quand  ils  font 
Paraboliques,  ou  de  quelqu’autre  figure , le  Tour 
ne  peut  pas  être  fi  facilement  mis  en  ufage,pcrur 
faire  un  modelle  qui  paillé  fervir  pour  les  conftrui- 
re  , ce  qui  fait  qu’on  en  void  tres-rarement  de  fem- 
blables  , & que  mêmes  ils  ne  fe  rencontrent  pas  fi 
bons  que  les  Sphériques , quoique  félon  la  Théorie 
ils  devraient  être  meilleurs.  C’eft  pourquoy  nous 
parlerons  feulement  ici  des  Miroirs  Sphériques. 
Plan-  Soit  donc  la  Surface  concave  d’un  Miroir  Sphe- 
chen.  riquc  bien  poli  ABC,  dont  le  centre  foit  D , 8c 
T1-  un  Demi-diametre  BD.  Soit  un  Rayon  de  lumière 
EF  parallèle  au  Demi-diametre  BD,  qui  fe  reflé- 
chilTànr  par  le  Rayop  de  reflexion  FG , coupera  le 
Demi-diametre  BD  en  un  point,  comme  G,  plus 
proche  de  la  Surface  du  Miroir  Sphérique  , que  de 
ifon  centre.,  c’eft-à-djre , que  la  ligne  BG  fera  tou- 
jours plus  petite  que  h ligne  DG , comme  l’on  con- 
noiera  en  tirant  le  Demi-diametre  DF,  qui  fêta  le 
Triangle  ifofeele  FGD,  Sic. 

Il  efi  ailé  de  juger  , que  fi  de  l’autre  côté  il  y a un 
Rayon  de  lumière  parallèle  au  même  Demi-diame- 
tre  BD , 8c  autant  éloigné  de  ce  Demi-diametre  BD, 
que  le  Rayon  EF,  comme  HI , en  forte  que  les 
arcs  BF , Bî , foient  égaux  , ce  Rayon  HI  fe  réflé- 
chira par  le  Rayon  IG , qui  paflèra  par  le  même 
point  G : & que  fi  ce  Rayon  de  lumière  étoit  plus 
ou  moins  éloigné  du  Demi-diametre  BD  , fon 
Rayon  de  reflexion  ne  couperoit  pas  ceDemi-dia- 
metre  BD  au  même  point  G ; ruais  en  quelque  lieu 
qu’il  le  coupe,  ce  point  de  rencontre  fera  toujours 
plus  éloigné  du  centre  que  de  la  Surface  du  Miroir. 
Or  comme  l’on  peut  concevoir  une  infinité  de 
Rayons  différons  parallèles  entre  eux  8c  au  Demi? 


M 


S 


Récréations  -Maillent  . Planche  ni-Paae  2ij  . 


Probl  e’m  e s d’O  PTIQUï.  217 
diamètre  BD  , de  également  éloignez  du  même  De- 
mi-diametre  BD  , il  eft  évident  que  tous  ces  Rayons 
doivent  Te  réfléchit  en  un  même  point,  comme  G, 
qu’on  appelle  Foyer , où  l’on  peut  aux  Rayons  du  So- 
leil allumer  une  bougie,  ou  un  flambeau,  fondre 
en  peu  de  temps  quelque  métal  que  ce  loit , de  vi- 
trifier la  pierre  , quand  le  Miroir  eft  un  peu  grand. 

On  peut  aifément  connoître  par  laTrigonome- 
trie  la  diftance  de  ce  Foyer  Gala  Surface  du  Miroir, 
la  diftance  du  Rayon  d’incidence  , ou  de  lumière 
étant  connue  en  degrez,  de  le  Demi-diamctre  du 
Miroir  en  pieds  ou  en  pouces.  Comme  fi  le  Rayon 
d’incidence  EF  eft  éloigné  du  Demi-diametre  BD  , 
par  exemple  de  ^ degrez , en  forte  que  l’arc  BF  , ou 
l’angle  BDF  foit  de  5 degrez , de  fi  l’on  fuppofe  le 
Demi-diametre  DB , ou  DF  de  1 00000  parties  , 
on  pourra  trouver  en  ces  mêmes  parties  première- 
ment la  diftance  DG,  en  tirant  du  Foyer  G,  la  li- 
gne GK  perpendiculaire  au  Demi-diametre  DF, 
qui  fera  divifé  en  deux  également  au  point  K , ce 
qui  fait  que  fa  moitié  DK  fera  de  500CO  parties  , 
de  enfaifant  dans  le  Triangle  DKG  cette  Analogie, 

Comme  le SinasTotal  IOOOOO 

A la  Secante  de  l’angle  D 1 003  8 2, 

Ainfi  la  ligne  DK  5OOOQ 

A la  ligne  DG  5 0 1 9 ï 

laquelle  étant  ôtée  du  Demi-diametre  DB  , ou  de 
100000,  il  reliera  49809  pour  la  ligne  GB  , ou 
pour  la  diftance  du  Foyer  à la  Surface  concave  du 
Miroir. 

C’eft  par  cette  maniéré  que  nous  avons  fupputé 
la  Table  fuivanre,  où  l’on  void  que  le  Foyer  G s’ap- 
proche toujours  de  la  Sufface  concave  d’un  Miroit 


Plan- 
che xi. 

71.  Fig. 


2,1 8 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Plan-  Spherique  , à mefure  que  les  Rayons  d’incidence 

Clli  F V s’éloignent  du  centre  du  Miroir,  de  forte  que 
7 


I 

4 9991 

JL  6 

479S/ 

îi 

4 1 6 {>  8 

46 

28022 

2. 

49970 

17 

4771; 

32 

41041 

47 

26686 

3 

49952- 

18 

47427 

33 

40382 

48 

2/176 

4 

49S7S 

1 9. 

47109 

3 4 

,9689 

49 

«3787 

s 

43809 

10 

• 

46791 

3 S 

38961 

f° 

11114 

6 

4972; 

ii 

46443 

3 6 

38197 

U 

20/49 

7 

49614 

11 

46073 

37 

37393 

S 2 

18787 

8 

49/09 

23 

4/68z 

38 

36/49 

y 3 

16918 

9 

49377 

24 

4/268 

39 

3/662 

J4 

14 937 

10 

49129 

-s 

44831 

40 

34730 

SS 

1 2818 

1 1 

49064 

16 

443  70 

4i 

3 3 749 

;6 

10/86 

1 1 

48883 

I27 

43884 

42 

32798 

SI 

8196 

*3 

48  6 8 j 

18 

43371 

43 

31634 

y» 

7646 

1 4 

48468 

29 

42831 

44 

30492 

S9 

29201 

1 j 

48136 

30 

4126/ 

4 j 

29289 

60 

OOOO 

quand  ils  en  font  éloignez  de  6o  degrez , le  Foyer 
G fe  trouve  precifément  au  point  R de  la  Surface 
concave  du  Miroir. 

Oni  void  auflî  dans  cette  Table,  que  les  Rayons 
d’incidence  , depuis  i degré  jufqu’environ  à i f 
degrez  de  diftance  , s’unilfent  par  reflexion  prefaue 
en  un  même  point  , parce  que  la  diftance  du  Foyer 
G ne  décroît  pas  fenflblement.  Ce  qui  fait  qu’une 
telle  quantité  de  Rayons  envoyez  du  Soleil  fur  la 
Surface  concave  d’un  Miroir  Spherique , qui  peu- 
vent paflèr  pour  parallèles  , à caufe  de  la  grande 
diftance  du  Soleil  à la  Terre,  fe  réfléchit  prefque 
en  un  même  point , & que  par  confequent  tous  les 
Rayons  de  reflexion  , qui  fe  trouvent  compris  dans 
une  portion  concave  de  Sphere  d’environ  30  de- 
grez , peuvent  par  leur  union  produire  du  feu  , 
comme  l’experience  le  montre. 


PROBLEMES  d’OptIQUI.  2 | £> 

On  void  encore  dans  la  Table  precedente  , que 
le  Foyer  G elt  éloigné  de  la  Surface  concave  du  Mi- 
roir d’environ  la  quatrième  partie  du  Diamètre  , ou 
de  la  moitié  du  Demi-diamctre  DB  , 8c  que  par 
confequent  un  Miroir  concave  Spherique  doit  brû- 
ler d’autant  plus  loin  que  plus  fon  Diamètre  fera 
grand.  Il  ne  faut  pas  croire  pourtant  qu’il  puifle 
brûler  à une  diftance  énorme  , parce  qu’outre  la 
difficulté  qu’il  y auroit  à en  conftruire  un  bien  grand, 
ces  Rayons  de  reflexion  qui  s’unifient  infenfible- 
ment  en  un  même  point  dans  un  petit  Miroir  , de- 
puis i jufqu’à  i 5 degrez  de  diftance  , font  que  la 
diftance  du  Foyer  G ne  change  pas  fenfrblement , & 
que  ccs  Rayons  ne  s’uniront  pas  fi  parfaitement 
dans  un  grand  Miroir  , ce  qui  fera  changer  fenfible- 
raent la  diftance  du  même  Miroir,  8c  diminuera  la 
force  des  Rayons.  Ainfî  ce  que  l’on  dit  d’Archime- 
de  n’eft  pas  croyable  , fçavoir  qu’aux  Rayons  du 
Soleil  il  avoit  par  le  moyen  d’un  Miroir  concave 
brûlé  l’Armée  Navale  des  Romains  à une  diffam- 
ée de  Pas  Géométriques,  qui  reviennent  à 

î 875  pieds. 

Corollaire. 

Il  fuit  de  ce  quia  été  dit  dans  ce  Problème,  8c 
dans  le  precedent,  que  fi  l’on  met  un  corps  lumi- 
neux , comme  une  chandelle  au  Foyer  G , fes  Rayons 
fe  réfléchiront  par  des  lignes  environ  parallèles  en- 
tre elles  8c  au  Demi-diametre  DB  : & que  fi  on  la 
met  au  centre  D,  fes  Rayons  fe  réfléchiront  con- 
tre eux-mêmes  , parce  qu’alors  ils  feront  perpendi- 
culaires à la  Surface  du  Miroir. 

On  peut  par  le  moyen  d’un  femblable  Miroir, 
reprefènter  à la  faveur  des  Rayons  du  Soleil , tels 


2 .20  Récréât.  Mathemat.  et  Phys, 

caractères  qu’on  voudra  fur  une  muraille  obfcure , 
dont  le  Miroir  ne  foir  pas  beaucoup  éloigné , fça- 
voir  en  écrivant  fur  la  Surface  concave  du  Miroir 
avec  de  la  cire , ou  autrement , les  lettres  à l’en- 
vers d'un  caractère  un  peu  gros , 8c  en  oppofant  di- 
rectement le  Miroir  au  Soleil , car  alors  les  lettres 
paroîtront  par  reflexion  dans  leur  fituation  ordinal 
re  fur  la  muraille  propolée. 

On  peut  aufli  par  le  moyeu  du  même  Miroir  aug- 
menter la  lumière  dans  une  grande  Chambre  , en 
appliquant  une  chandelle  allumée  au  Foyer  de  ce 
Miroir,  car  alors  les  Rayons  de  cette  chandelle  fe 
réfléchiront  par  toute  la  chambre  , 8c  y feront  une 
telle  clarté  , qu’on  pourra  aifément  lire  contre  les 
murailles. 

Enfin  l’on  peut  fe  fervir  de  la  même  façon  de  ce 
Miroir  pour  s’éclairer  la  nuit,  & voir  de  loin  ce 
qui  fe  pafle  : & il  peut  être  utile  à ceux  qui  veulent 
conferver  leur  vue  , en  fe  fervant  de  la  lumière  d’u- 
ne lampe  mifeau  Foyer  du  Miroir,  qui  doit  être 
placé  un  peu  haut  , 8c  à côté,  afin  qu’il  puiflè  en. 
voyer  commodément  la  lumière  de  la  lampe  lur  la 
Table  où  l’on  veut  lire  , ou  écrire. 

Remarque. 

Les  Miroirs  ardans  fe  font  ordinairement  de  mé- 
tal , afin  que  la  reflexion  s’y  fafiTe  plus  facilement, 
8c  que  l’effet  en  foit  plus  prompt  8c  plus  vigoureux, 
quoy  qu’on  les  puiffe  aufll  faire  de  Verre  , où  la  re- 
flexion fe  fera  prefque  auffi-bien , pourvû  que  le 
Verre  foit  bien  net,  & un  peu  mince,  8c  quel’en- 
duit  en  foit  bon,  pour  empêcher  les  Rayons  d’in- 
cidence de  traverfèr  8c  de  fe  brifer. 

Pour  trouver  facilement  le  Foyer  d’un  Miroir 


PROBLEMES  ü’O  1>  T I Q^U  É.  12  î 
concave  , quand  il  eft  expolé  aux  Rayons  du  Soleil 
il  faut  éloigner  ou  approcher  du  Miroir  une  petite 
piece  de  bois,  ou  de  quelqu’autre  matière  folide, 
en  telle  forte  que  le  dilque  de  lumière  qui  patoîtra 
par  reflexion  contre  cette  piece  , paroifle  Je  plus  pe- 
tit qu’il  fera  polfiblc  , car  alors  la  piece  fe  trouvera 
au  Foyer.  Ou  bien  l’on  mettra  de  l’eau  chaude  au- 
près du  Miroir  du  côté  de  la  concavité  qui  regarde 
direélement  le  Soleil,  car  la  fumée  qui  fortira  de 
cette  eaué  chaude  , vous  fera  voir  avec  plaifir  le 
Cône  de  reflexion,  dont  la  pointe  fera  le  Foyer. 
Ou  .bien  encore  l’on  jettera  de  la  pouflicre  au  de- 
vant de  la  concavité  du  Miroir  qui  regarde  direéte- 
ment  le  Soleil , car  on  connoîtra  dans  cette  pouflîe- 
re  comme  dans  la  fumée,  le  Cône  de  la  lumière  re- 
fléchie, & par  confequent  fa  pointe  qui  fera  le 
Foyer  qu’on  cherche.  On  peut  mêmes  en  Hyver  re- 
marquer ce  Foyer  & tout  le  Cône  de  reflexion  làns 
poulfiere  , ni  fans  fumée , lorfque  l’air  fera  grof- 
lîer  &c  condenfé  par  le  froid. 

Quoyqu’il  femhle  que  pour  produire  du  feu  par 
le  moyen  d’un  Miroir  concave,  il  doive  être  éclai- 
rée des  Rayons  du  Soleil , afin  que  la  reflexion  s’y 
puifie  faire  , on  en  peut  neanmoins  produire  dans 
un  lieu  obfcut , fçavoir  en  renvoyant  les  Rayons 
du  Soleil  contre  la  concavité  de  ce  Miroir  par  le 
moyen  d’un  Miroir  plan  qui  doit  être  un  peu  grand, 
afin  qu’un  p'us  grand  nombre  des  Rayons  s’unifiant 
au  Foyer , puifiè  brûler  avec  plus  de  force. 


2.&1  Récréât.  Mathemat.  et  Phys» 

PROBLEME  XVI. 

De*  Sphères  de  Verre  , propres  à produire  du  f eu 
aux  Rayons  du  Soleil. 

ON  peut  suffi  produire  du  feu  aux  Rayons  du 
Soleil  avec  une  Sphere  de  Verre  ou  de  Crif- 
ml , ou  de  quelqu’autre  matière  qui  fe  puiffe  faci- 
lement pénétrer  par  la  Jumicre  , comme  avec  de 
l’eau  renfermée  dans  une  bouteille  bien  ronde  3 ou 
avec  une  Sphere  de  glace  : non  pas  par  reflexion  , 
mais  par  refraétion  qui  peut  aulfi  aflèmbler  en  un 
point  plufieurs  Rayons  de  lumière  parallèles  entre 
eux  , parce  qu’en  entrant  dans  la  Sphere  , ils  fe  bri- 
fent  en  s’approchant  de  la  perpendiculaire  , & qu’en 
fortant  de  la  Sphere  ils  fe  brifent  de  nouveau  en 
s’écartant  de  la  perpendiculaire  , ce  qui  les  fait  ap- 
procher du  Diamètre  de  la  Sphere  , auquel  les 
Rayons  d’incidence  font  parallèles , & le  rencontrer 
en  dehors  en  un  point  qui  efl  le  Foyer  , dont  l’ef- 
fet n’eft  pas  fi  prompt , ni  fi  vigoureux  que  dans 
un  Miroir  ardant. 

Plan-  Soit  une  Sphere  ou  Boule  de  Verre  BCD , dont 
chen.  le  centre  foit  F , & un  Diamètre  foitCD.  Soit  un 
7 5-  % Ray  on  de  lumière  ou  d’incidence  AB , qui  rencon- 
trant la  Surface  de  la  boule  de  Verre  en  B » la  péné- 
tré & entre  au  dedans , mais  au  lieu  de  fe  continuer 
félon  la  ligne  droite  ABH  j comme  il  feroit  s’il  ne 
renconrroit  aucune  refiftance , il  fe  brife  en  ce  point 
B,  lequel  à caufe  de  cela  efl  appelle  Point  de  ré- 
fraction, 8e  en  s’approchant  de  la  perpendiculaire 
GBF  vers  le  centre  F , fe  continue  félon  la  ligne  BI , 
qui  étant  prolongée  rencontre  le  Diamètre  CD  aulfi 
prolongé  au  point  E , qui  feroit  le  Foyer  file  Rayon 


Probiemïs  d’Optique.  11$ 
brifé  BI  ne  fe  brifoit  de  nouveau  au  point  I , par  Plan- 
la  ligne  lO,  qui  en  s’écartant  de  la  perpendiculaire  ciic 
IL,  rencontre  le  Diamètre  CD  au  point  O , qui  eft  7 5‘ 
le  Foyer. 

Auparavant  que  de  vous  enfeigner  à trouver  ce 
Foyer  O , ou  fa  diftance  DO  à la  Surface  de  la  boule 
de  Verre,  nous  expliquerons  ici  quelques  termes,  8c 
quelques  proprietez  des  Angles  bnfez  5c  des  An- 
gles de  refraétion  dans  le  Verre,  qui  ne  font  pas 
les  mêmes  dans  les  autres  corps  Diaphanes  , comme 
l’expenence  le  fait  conncître.. 

Si  donc  la  ligne  AB  eft  un  Rayon  d’incidence  , la 
droite  BI  s’appelle  Rayon  de  réfraction , 8c  l’Angle 
HBI  fe  nomme  Angle  de  réfraction.  La  droite  BG, 
qui  eft  perpendiculaire  à la  Surface  de  la  boule,  & 
qui  par  confisquent  pafle  par  fon  centre  F , s’appelle 
Axe  d’incidence  , 8c  étant  prolongée  au  dedans  de 
la  boule , fe  nomme  Axe  de  refraftion. 

Le  Plan  qu’on  imagine  par  le  Rayon  d’incidence 
AB,  & par  le  Rayon  de  refraétion  BF,  s’appelle 
j Plan  de  réfraction , qui  eft  toujours  perpendicu- 
laire à la  Surface  de  la  boule,  qu’on  nomme  Sur- 
face rompante,  parce  que  le  Rayon  d’incidence  fe 
brife  là  où  il  rencontre  cette  Surface.  Il  eft  évident 
que  le  Plan  de  refraélion  paffe  par  les  Axes  d’inci- 
dence & de  refraétion,  & qu’il  contient  l’Angle  de 
refraétion  HBI , & l’Angle  IBF,  qu’on  appelle  An- 
gle brifé , & encore  l’Angle  ABG,  qui  fe  nomme 
Angle  d’ inclinaifon  , lequel  eft  toujours  égal  au 
complément  de  V Angle  d’incidence  ÂBP. 

L’Angle  brifé  croît  ou  décroît  à mefure  que  l’An- 
gle d’inclinaifon  eft  plus  grand , ou  plus  petit,  de 
forte  que  quand  l’un  de  ces  deux  angles  eft  nul , 
l’autre  Angle  eft  auftx  nul.  Comme  fi  la  perpendicu- 
laire BG  eft  un  Rayon  d’incidence , auquel  cas 


che  x i 
7 3-  *i| 


22 4 Récréât.  MATHiMAf.  et  Phys»7 

l’angle  d’inclinailon  fera  nul , ce  Rayon  d’incidencê 
GB  en  pénétrant  le  Verte,  ne  fie  bnfera  point  > Ce 
continuant  en  droite  ligne  vers  le  centre  F , ce  qui 
fait  que  l’Angle  brilé  eft  auflînul.  Ainfi  vous  voyez 
que  lorfque  le  Rayon  d’incidence  eft  perpendicu- 
laire à la  Surface  rompante  , il  ne  fe  fait  aucune  ré- 
fraction , parce  qu’il  n’y  a aucune  raifon  par  laquelle 
cette  refrabtion  le  doive  faire  plûtôt  d’un  côté  que 
d’un  autre. 

Quoique  l’Angle  brifé  croilfe  à mefure  que  l’An- 
gle d’inclinaifon  , neanmoins  il  ne  croît  pas  de  la 
même  façon  , c’eft-à-dire , que  fi  l’Angle  d’incli- 
naifon s’augmente  par  exemple  d’un  degré,  l’An- 
gle brifé  ne  s’augmentera  pas  auffi  d’un  degré , mais 
cette  augmentation  eft  telle  , que  les  Sinus  des  An- 
gles d’inclinaifon  dans  un  même  Milieu  font  pro- 
portionnels aux  Sinus  de  leurs  Angles  brifez  dans  un 
autre  Milieu  plus  facile  ou  plus  difficile  à penetrer  * 
de  forte  que  le  Sinus  d’un  Angle  d’inclinaifon  eft 
au  Sinus  de  fon  Angle  brifé,  comme  le  Sinus  d’un 
autre  Angle  d’inclinaifon  eft  au  Sinus  de  fon  Angle 
brifé.  C’eft  pourquoy  fi  l’on  a une  fois  connu  par 
expérience  un  Angle  brifé  pour  quelque  Angle  d’in- 
clinaifpn  que  ce  foit , il  fera  facile  de  connoître  par 
fupputation  les  Angles  brifez  pour  tous  les  autres 
Angles  d’inclinaifon. 

Parce  que  les  deux  lignes  AH  , CD  , font  parallè- 
les , l’Angle  E eft  égal  à l’Angle  de  refraétion  HBE: 
&:  parce  que  dans  tout  Triangle  reétiligne  les  Sinus 
des  Angles  font  proportionnels  à leurs  cotez  oppo- 


fez  , on  connoît  que  le  Sinus  de  l’Angle  brifé 


EBF,  eft  à fon  côté  oppofé  EF,  comme  le  Sinus 
de  l’Angle BFC,  ou  de  l’Angle  d’inclinaifon  ABG , 
au  Rayon  de  refraétion  BE  -,  & comme  l’on  a re- 
connu par  expérience , que  lorfque  la  boule  BCD 

eft 


Froble’mes  d’OptIqJIÎ,  22  f 
eft  de  Verre,  le  Sinus  de  l'Angle  bi  lié  EBF  eft  au 
Sinus  de  l’Angle  d’inclinaifon  ABG , ou  BFC  , com- 
me 2 eftà  3 , il  s’enfuit  que  fi  la  ligne  EF  eft  de  200 
parties,  le  Rayon  de  réfraction  BE  en  doit  conte- 
nir 300,  6c  qu’ainfi  l’on  peut  facilement  trouver 
par  la  Trigonométrie  l’AngleE,  ou  l’Angle  de  ré- 
fraction HBE,  l’Angle  brifé  EBF  , & leDemi-dia- 
metre  BF  , lorfque  l’on  connoît  l’Angle  d’inclinai- 
fon ABG  , ou  (on  égal  BFC  , dans  le  Triangle  obli— 
quangle  BFE,  où  trois  chofes  font  connues  , le  co- 
té BE  de  3 00  parties  , & le  côté  EF  de  200  , avec 
l’Angle  BFE,  qui  eft  le  refte  à 180  degrez  de  l’An- 
gle BFC,  qui  eft  égal  à l’Angle  d’inclinaifon  ABG  , 
que  l’on  fuppole  connu. 

Suppofonsque  l’Angle  d’inclinaifon  ABGfoitde 
IO  degrez,  auquel  cas  l’Angle  BFE  fera  de  170 
degrez,  6c  qu’on  veuille  trouver  l’Angle  brifé  EBF; 
faites  cette  Analogie , 

Comme  le  côté  BE  300 

Au  S mu  s de  l’Angle  oppofé  BFE  173  6 5 
Ainfi  le  côté  EF  200 

Au  Sinus  de  l’Angle  brifé  EBF  1 1 5 77 

qui  fe  trouvera  d’environ  6.  39'.  6c  qui  étant  ôté 
de  l’Angle  BFC  , ou  de  l’Angle  d’inclinaifon  ABG, 
que  nous  avons  fuppofé  de  jo  degrez,  il  refte  3. 
2I;.  pour  l’Angle  de  refraétion  HBE  , ou  pour 
l’Angle  E , qui  fervira  pour  trouver  le  Demi-dia- 
metre  BF , par  cette  Analogie  , 


Comme  le  Sinus  de  l’Angle  BFE  17365 

A fon  côté  oppofé  BE  3 OO 

Ainf  le  Smuf  de  l’AngleE  5843 

A fon  côté  oppofé  B B 10  I 

Tome  /.  P 


Plan- 
che zi. 
7 3-  f*â- 


Plan- 
che z i. 
7 J.  Fig 


Reçue  at.  Mathemat.  et  Phys. 

Mais  fi  le  Demi-diametre  BF  eft  déjà  connu } 
comme  de  100  parties,  on  trouvera  dans  les  mê- 
mes parties  la  ligne  EF,  en  faifant  dans  le  même 
Triangle  BEF,  cette  Analogie , 


Comme  le  Demi- diamètre  BF  loi 

A la  ligne  EF  200 

Ainjî  le  même  Demi- diamètre  BF  IOO 

A la  même  ligne  EF  198 


3 laquelle  ajoûtant  le  Demi-diametre  FC,  ou  100» 
on  aura  298  pour  la  ligne  CE. 

C’eft  par  cette  maniéré  qu'on  a fupputé  la  Ta- 
ble fuivante,  où  l’on  trouve  vis-à-vis  de  l’Angle 


ABG 

EBB 

H B h 

CE 

ABG 

EB; 

HBE 

CE 

1 

0. 

40 

0. 

20 

300 

1 1 

7.18 

3.  42 

197 

{ 2 

I. 

20 

0. 

40 

}00 

1 1 

7.J8 

4-  1 

197 

1 3 

2. 

0 

I. 

O 

300 

i3 

8.38 

4.  11 

197 

4 

Z. 

40 

*• 

20 

300 

14 

9 16 

4-  44 

196 

3- 

20 

I . 

40 

300 

IJ 

9.J6 

J-  4 

195 

I 6 

4- 

C 

Z 

O 

1 99 

16 

10-31 

J-  iJ 

195 

7 

4- 

40 

2. 

20 

'-99 

17 

1 1 14 

J-  46 

19  4 

8 

j- 

1 9 

2. 

41 

298 

18 

II  J 3 

0.  7 

^93 

9 

/• 

59 

3- 

-1 

tyS 

1 9 ! 

n.32 

;•  18 

191 

1 TO 

6. 

3 9 

3- 

”1 

198  | 

lifJ 

1 3.]  ] 

’•  49 

192 

d’inclinaifon  ABG  , la  quantité  de  1 Angle  brifé 
EBF  , & de  l’Angle  de  refraétion  HBE  , avec  celle  de 
la  ligne  CE  , le  Diamètre  CD  de  la  Sphere  de  Ver- 
re étant  fuppofé  de  200  parties. 

Nous  n’avons  pas  prolongé  cette  Table  au  delà 
du  20.  degré  d’inclinailon  , parce  qu’elle  fuffît 
pour  vous  faire  voir  à quelle  proportion  la  ligne 
CE  décroît , qui  eft  qu’elle  décroît  fort  lentement , 


P R O B 1 ï’m  £ s d’Optiq^hê.  2,27 
étant  environ  égale  par  tout  à tro:s  Demi-dia-  Plan- 
ïnetres  , puifque  la  plus  grande  différence  n’cft  ct>e  1 
d’environ  qüe  de  la  25.  partie  du  Diamètre  , ce  73'  fl8p 
qui  fait  que  la  ligne  DE  eft  prefque  égale  au  De- 
nu-diametre  delà  même  Sphère,  c’eft-à-dire,  à la 
ligne  DF. 

Cette  ligne  DE  , qui  fe  trouve  de  98  parties  pour 
un  Angle  d’inclinaifon  de  20  degrez  , comme  l’on 
connoît  en  ôtant  CD  de  CE,  ou  200  de  292,  , 
nous  fervira  pour  trouver  le  Foyer  O , comme  vous 
allez  voir,  après  avoir  remarqué  que  l’Angle  brifé 
EBF  eft  environ  double  de  l’Angle  de  refraétion 
HBE , ôc  que  par  confequent  cet  Angle  de  réfrac- 
tion HBE  eft  prefque  égal  à la  troiiîérhe  partie  de 
l’Angle  d’inclinaifon  ABG , comme  l’on  voit  fans 
peine  dans  la  Table  precedente. 

Pour  donc  trouver  le  Foyer  O,  on  confiderera 
que  puifque  les  lignes  DE  , DF  , lonr  prefque  éga- 
les , les  Angles  IEF , IFE , font  à peu  prés  égaux  » 
ce  qui  fait  que  l’Angle  EIL  , qui  leur  eft  égal , eft  en- 
viron double  de  chacun  , & par  confequent  de 
l’Angle  E.  Cela  étant  fuppofé  , fi  l’on  confidere  la 
ligne  OI  comme  un  Rayon  d’incidence  j en  forte 
que  l’Angle  OIL  foit  un  Angle  d’inclinaifpn , au- 
quel cas , la  ligne  IB  fera  un  Rayon  de  refraétion$ 
l’Angle  OIE  fera  un  Angle  de  réfraction,  Sc  l’An- 
gle EIL  un  Angle  brifé,  l’on  connoxtra que  cet  An- 
gle brifé  EIL  eft  aulfi  double  de  l’Angle  de  re- 
fraétion  EIO,  comme  nous  avons  remarqué  aupa- 
ravant. D’où  il  fuit  que  les  deux  Angles  È EIO  ■> 
font  égaux  entre  eux,  & que  par  confequent  les 
lignes  DE  , OI  , font  aufli  égales  entre  elles  i ôc 
parce  que  la  ligne  OI  eft  prefque  égale  à la  ligne 
OD,  la  ligne  OE  fera  aufli  prefque  égale  à la  ligne 
OD , & ainfi,  le  Foyer  O eft  environ  au  milieu  de 

P 1 j 


Plan- 
che 1 1 . 
7 3-  F*g 


22.8  Récréât.  Mathemat.  et  Pars, 
la  ligne  DE,  & par  confequent  I a ligne  DO  eft 
égale  à la  moitié  de  la  ligne  DE  , ou  du  Demi-dia- 
metreDF.  Si  donc  on  prend  furie  Diamètre  pro- 
longé la  ligne  DO  égale  à la  moitié  du  Demi-dia- 
metre  DF  , ou  au  quart  du  Diamètre  CD  , on  aura 
en  O le  Foyer  qu’on  cherche. 

Remarque. 

L’Angle  EBF  , qui  eft  un  Angle  brifé  à l’égard 
du  Rayon  d’incidence  AB  , qui  for  tant  de  l’air  pour 
entrer  dans  le  verre  , fe  brile  par  la  ligne  BE , qui 
eft  un  Rayon  de  refraétion  , devient  un  Angle  d’in- 
clinaifon  à l’égard  du  Rayon  d’incidence  IB  , qui 
fortant  du  Verre  pour  entrer  dans  l’air,  fc  brife 
réciproquement  par  la  ligne  AB , qui  fera  un  R ;yon 
. de  Refraélion  : & comme  cet  Angle  EBF  eft  dou- 
ble de  l’Angle  de  refraétion  HBE,  l’on  void  que 
lorfqu’un  Rayon  d’incidence  fort  du  Verre  pour 
entrer  dans  l’air,  l’Angle  d’inciinaifon  eft  double 
de  l’Angle  de  refraétion , ce  qu’il  eft  bon  de  re- 
marquer, parce  que  cela  nous  fervira  pour  le  Pro- 
blème fuivant. 

PROBLEME  XVII. 

Des  Lentilles  de  Verre  , propres  a produire  du  feu 
aux  Rayons  du  Soleil. 

LEs  Lentilles  de  Verre  , qui  peuvent  fervir  à 
produire  du  feu , étant  expoiees  direétement 
aux  Rayons  du  Soleil , peuvent  être  plates  d’un  côté 
& convexes  de  l’autre,  comme  un  Segment  de  Sphè- 
re : ou  bien  convexe  des  deux  cotez  , comme  les 
Lunettes  des  Vieillards  , & les  Microfcopcs  qui 


Problèmes  d’Opti^ue.  229 
groffiflènt  extraordinairement  les  Objets , & fervent 
a découvrir  les  moindres  parties  & plus  petits  corps 
de  la  Nature  : ou  bien  encore  convexes  d’un  côté 
8c  concaves  de  l’autre , qui  ne  font  pas  fi  utiles  que 
les  autres,  parce  qu’elles  ne  peuvent  fervir  à pro- 
duire du  feu  , que  quand  leur  convexité  eft  tournée 
droit  au  Soleil,  car  lorfque  leur  concavité  regarde 
le  Soleil , les  Rayons  de  réfraction  au  lieu  de  con- 
vergent deviennent  dtvergens  , c’eft-à-dire,  qu’ils 
s’écartent  les  uns  des  autres , ce  qui  les  empêche  de 
s’unir  8c  de  pouvoir  produire  du  feu  , comme  nous 
ferons  voir  dans  la  fuite. 

Des  Lentilles  de  Verre , faites  en  forme  de  Segment 
de  Sphere, 

EXpofons  premièrement  au  Soleil  la  Surface  pian- 
plane  FC  de  la  Lentille  de  Verre  FBC , dont  la  chc  1 1, 
convexité  FBC  a fon  centre  H dans  l’Axe  d’incidence  7 
EBH,  qui  divife  l’arc  FBC  en  deux  également  au 
point  B,  & fa  corde  FC  aufii  en  deux  également 
au  point  I,  8c  dans  lequel  eit  le  Foyer  H de  tous 
les  Rayons  d’incidence,  qui  (ont  parallèles  à l’Axe 
d’incidence  EH,  8c  par  confequent  perpendiculaires 
à la  Surface  rompante  FC.  Ce  Foyer  H , ou  fa  difi- 
tance  BH  depuis  la  convexité  du  Miroir,  fe  dé- 
terminera en  cette  forte. 

Soit  un  Rayon  d’incidence  DA  , lequel  étant  pa- 
rallèle à l’Axe  d’incidence  EH  coupera  la  Surface 
rompante  FC  à Angles  droits,  8c  la  traverfera  par 
confequent  fans  fe  brifer , jufqu’à  ce  qu’étant  par- 
venu au  point  A de  la  Surface  convexe,  ilfebrifc- 
ra  en  fortant  du  Verre,  8c  au  lieu  d’aller  droit  en 
G , il  fe  détournera  par  le  Rayon  de  refraéh'on  AH» 
qui  coupera  l’Axe  d’incidence  EH  au  pointH,  où 


Plan- 
che 1 1 • 
74-  Flg 


7. j.  Fig. 


230  Récréât.  Mathemat.  ït  Pîîys. 
tous  les  autres  Rayons  d’incidence  parallèles  arç 
Rayon  DA  , s’uniront  par  refraétion  , pour  le  moins 
quand  l’Arc  BC , ou  BF  ne  fera  pas  plus  grand  que 
de  20  degrez  , parce  que  , comme  vous  avez  vu  au 
Problème  precedent , les  Rayons  de  refraétion  ne 
s’uniroient  pas  au  meme  point  H , mais  plus  pro- 
che du  point  B , fi  ces  arcs  étoient  de  beaucoup 
plus  grands  que  de  20  degrez.  Ainfi  le  point  H 
fera  le  Foyer  , parce  que  c’eft  le  lieu  où  les  Rayons 
du  Soleil  s’umflàns  par  refraétion  peuvent  produire 
du  feu. 

Cela  étant  fuppofé  , l’on  confiderera  que  l’Angle 
d’incîinaifon  DAE , ou  fon  égal  AEH  étant  double 
de  l’Angle  de  refraétion  G AH  , ou  AHE  fon  égal, 
comme  nous  avons  reconnu  au  Problème  prece- 
dent , le  Sinus  de  l’Angle  AEH  fera  prefque  double 
du  Sinus  de  l’Angle  AHE  , à caufe  de  lapetitcffe  de 
ces  Angles  : & parce  que  dans  un  Triangle  reétili- 
gne  les  cotez  font  proportionnels  aux  Sinus  de 
leurs  Angles  oppofez , le  côté  AH  fera  auflï  prefque 
double  du  côté  AE  : & comme  le  côté  AH  appro- 
che d’être  égal  à la  ligne  BH  , il  s’enfuit  que  ladif- 
tance  BH  du  Foyer  H à la  Surface  convexe  FBC  eft 
prefque  double  du  Demi-diametre  AE  , ouBE,  & 
que  par  confequent  toute  la  diftance  EH  eft  environ 
triple  de  ce  Demi-diametre. 

Mais  fi  l’on  tourne  la  partie  convexe  FBC  vers  le 
Soleil,  le  Rayon  DA,  &Z  tous  les  autres  parallèles  à 
1 Axe  d incidence  EB,  fe  briferont  deux  fois  aupara- 
vant que  de  s’unir  au  point  K , qui  fera  le  Foyer 
une  fois  en  entrant  dans  le  Verte  par  la  ligne  AH  , 
qui  s’approche  de  la  perpendiculaire  E AO  , & une 
fécondé  fois  en  fortant  du  Verre  par  la  ligne  LK, 
qui  s’écarte  de  la  perpendiculaire  LM. 

Il  eft  évident  par  ce  qui  a été  dit  au  Problème 


Proble’mes  d’Optiq^e.  231 
precedent,  que  dans  la  première  réfraction  l’Angle  Pîan- 
d’inclmaifon  DAO  , ou  AEB  , cft  triple  de  l’Angle  c'ielt* 
de  réfraction  G \H  , ou  AHE,  Sc  que  par  confc-  7*’ 
qucnt  la  ligne  AH  eft  triple  du  Demi-diam.tre  EA: 

& parce  quj  la  ligne  AH  effc  prefque  égale  à la  li- 
gne BH,  cette  ligue  BH  fera  aulii  prefque  triple  du 
même  Demi-diametre  AE,  ou  BE  , comme  aupa- 
rav  mt , ce  qui  fait  connoître  que  le  Foyer  feroic 
en  H , s’il  n’y  avoir  qu’une  refraétion  , mais  com- 
me il  y en  a deux  , 

Il  eft  évident  audi  par  la  remarque  du  Problè- 
me precedent  , que  dans  la  fécondé  réfraction 
HLM  , ou  KHL  eft  double  de  l’Augle  de  refradtion 
KlH  , Sc  que  par  confequent  la  ligne  KL  eft  dou- 
ble de  la  ligne  KH  : Sc  parce  que  la  ligne  KL  eft 
prefque  égale  à la  ligne  KB,  lorfque  l’épaifleur  BI  de 
la  Lentille  n’eft  pas  beaucoup  grande  , comme  nous 
le  Suppofons  ici , cette  ligne  KB  eft  aufli  prefque 
double  de  la  ligne  KH  , Sc  que  par  confequent 
toute  la  ligne  BH  eft  environ  triple  de  la  ligne 
KH  : Sc  comme  nous  avons  reconnu  que  la  même 
ligne  BH  eft  aufli  triple  du  Demi-diametre  BE , il 
s’enfuit  que  ce  Demi-diametre  BE  eft  égal  à la  li- 
gne KH  , Sc  que  par  confequent  la  ligne  KB  eft 
double  du  Demi-diametre  BE , ou  égale  à tout  le 
Diamètre.  Si  donc  on  porte  le  Demi-diametre  EB 
depuis  le  centre  E en  K , ce  point  K fera  le  Foyer 
qu’on  cherche. 

Des  Lentilles  de  Verre , convexes  des  deux  cotez* 

POur  trouver  le  Foyer  de  la  Lentille  de  Verre  F*S- 
ABCD  , dont  l’Axe  El  contient  le  centre  E de 
la  convexité  ADC  , Sc  le  centre  F de  la  convexité 
ABC,  tirez  un  Rayon  quelconque  d’incidence  GH 

P iiij 


2 3 Récréât.  M athemàt.  et  Phys. 

Plan-  parallèle  à l’Axe  El , & ayant  pris  fur  cet  Axe  la  If* 
C*1C  V*  gne  El  triple  du  Demi-diametre  BF,  menez  la  droi- 
7 ' te  HI , qui  donnera  le  point  K de  la  fécondé  re- 
fraftion  , par  où  vous  tirerez  du  centre  E , la  droite 
EKM  , qui  fera  perpendiculaire  à la  Surface  rom- 
pante ADC  , ce  qui  fait  que  la  ligne  1K  étant  con- 
fédérée comme  un  Rayon  d’incidence  , l’Angle  IKM 
fera  lin  Angle  d’inclinaifon , lequel  étant  double  de 
l’Angle  de  réfraction , comme  il  a été  remarqué  au 
Problème  precedent , fi  l’on  fait  en  K , l’Angle  IKL 
égal  à la  moitié  de  l’Angle  IKM , on  aura  en  L le 
Foyer  qu’on  cherche  , à l’égard  de  la  convexité 
ABC  expofée  au  Soleil. 

Remarque. 

Lorfque  les  Dcmi-diametres  ED  , BF  , feront 
égaux  entre  eux  , c’eft-à-dirc  , lorfque  les  conve- 
xitez  ABC  , ADC  , feront  des  portions  égales  de  la 
fuperficie  d’une  même  Sphere  , le  Foyer  fe  trouve- 
ra environ  au  Centre  F de  la  convexité  ABC  expo- 
fcc  au  Soleil , ou  au  centre  E de  la  convexité  ADC 
tournée  contre  le  Soleil.  Mais  foit  que  IesDemi- 
diametres  ED,  BF,  foient  égaux,  ou  inégaux,  la 
diftance  du  Foyer  L fera  toujours  la  même  , en 
tournant  vers  le  Soleil  celle  qu’on  voudra  des  deux 
convexitez  ABC , ADC. 

Des  Lentilles  de  Verre  , convexes  d’un  coté , cr 
concaves  de  l’autre . 

77.  Fig.  T R Foyer  d’une  femblablc  Lentille  fe  trouve 
comme  dans  la  precedente,  lorfque  fa  conve- 
xité regarde  le  Soleil , mais  il  y a un  abrégé  pour 
le  trouver,  quand  le  Diamètre  de  la  concavité  eft 


P R O B 1 E*M  E 5 ©’O  PTIQUË*  2 $ 3 
Triple  de  celuy  de  la  convexité , car  pour  lors  le  Plan- 
Foyer  fc  trouve  éloigné  d’un  Diamètre  8c  demi , chc 
ou  de  trois  Demi-diametres  de  la  convexité,  que  77  l“* 

nous  fuppofons  tournée  vers  le  Soleil , c’eft-à-dire, 
qu’il  eit  au  centre  de  la  concavité , en  conliderant 
l’épaiflèur  de  la  Lentille  comme  tres-petite. 

Propofons  la  Lentille  de  Verre  ABCD  , telle 
que  le  Demi-diametre  EB  de  la  convexité  ABC , 
qui  regarde  le  Soleil , foit  la  troifiéme  partie  du 
Demi-diametre  FD  de  la  concavité  ADC.  Cela 
étant , je  dis  que  tous  les  Rayons  d’incidence  pa- 
rallèles à l’Axe  BF,  comme  GH,  s’uniront  par  re- 
fraétion  au  centre  F de  la  concavité  , parce  que  ce 
Rayon  GH  en  traverfant  le  Verre  fe  brifera  par  la 
droite  HI , qui  étant  continuée  palTeroit  par  le  point 
F , éloigné  de  la  convexité  ABC  de  trois  Demi- 
diametres , comme  vous  avez  vu  auparavant,  ce 
qui  fait  que  le  Rayon  de  refraétion  HF  fe  trouvant 
perpendiculaire  à la  Surface  concave  ADC , ne  fe 
brifera  point  en  I , lorfqu’il  fortira  du  Verre  , 8c 
qu’il  fe  continuera  directement  vers  le  point  F , le- 
quel par  confequent  fera  le  Foyer  qu’on  cherche. 

Mais  fi  l’on  tourne  la  concavité  vers  le  Soleil,  le  7*-*  ^*3» 
Foyer  fe  trouvera  comme  auparavant , & il  fe  pourra 
auflî  trouver  par  abrégé,  lorfque  le  Demi-diametre 
AB  de  la  concavité  fera  la  troifiéme  partie  du  De- 
mi-diametre CD  de  la  convexité  , parce  que  dans 
ce  cas  , le  Foyer  fc  trouvera  au  centre  C de  la  con- 
vexité , lorfque  l’épaiflcur  BD  de  la  Lentille  ne  fera 
pas  confiderable  , ce  qu’il  faut  toujours  fuppolèr 
ainfi  , comme  l’on  connoîtra  par  un  raifonnement 
fembîable  au  precedent.  Mais  on  ne  peut  tirer  au- 
cune utilité  d’une  Lentille  ainfi  expofée  au  Soleil , 
puifque  fes  rayons  de  refraCtion  s’écartent,  au  lieu 
de  s’unir.  Ainfi  le  point  C n’eft  appelle  Foyer  qu’im- 


■¥ 


234  Récréât.  Mathimat.  et  Phys.' 

Plan-  propremenr , parce  que  les  Rayons  de  refra&ion  ne 
cîlse  2I;  peuvent  pas  s’aflembler  à ce  point  qui  regarde  le 
Soleil  , mais  ils  s’écartent  par  des  lignes  qui  tan- 
dem feulement  à ce  point. 

Remarque . 

Ce  Foyer  C , qui  ne  peut  pas  fervir  pour  pro- 
duire du  feu  , eft  appelle  Foyer  Firtuel  , pour  le 
diftinguer  du  Foyer  'véritable  -,  où  les  Rayons  du 
Soleil  s’uniflant  par  refraôion , peuvent  produire 
du  f u.  Ce  Foyer  véritable  fe  peut  trouver  par  cet- 
te Analogie,  qui  fuppofe  que  l’épaifteur  de  la  Len- 
tille , dont  la  convexité  regarde  le  Soleil , eft  très- 
petite,  8c  comme  infenfîble  ”, 

Comme  la  différence  des  Demi- diamètre  s de  la 
concavité  & de  la  convexité , 

Au  Demi- diamètre  de  la  convexité j 

A’nfi  le  Diamètre  de  la  concavité » 

A la  difiance  du  Foyer . 

Dans  une  Lentille  convexe  des  deux  cotez  , le 
Foyer  qui  eft  toû'ours  véritable,  fe  peut  trouver 
par  cette  Analogie,  qui  comme  la  precedente  , fup- 
pofe que  l’épaifleur  de  la  Lentille  eft  tres-petite. 

Comme  la  fomme  des  Demi- diamètres  des  deux 
convexité z, , 

Au  Demi-diametre  de  la  convexité  qui  rs* 
garde  le  Soleil  ; 

Ainjt  le  Diamètre  de  f autre  convexité  3 
A la  dtftance  du  Foyer. 

Cetie  Analogie  fervira  suffi  pour  trouver  îc 


P r o b i e’m  e s d’O  p t r qjj  e 1 3 y 
Foyer  d’une  Lentille  concave  des  deux  cotez , mais 
comme  ce  Foyer  n’eft  que  Virtuel  dans  cette  efpece 
de  Lentilles,  auflî-bien  que  dans  celles  qui  font 
plates  d’un  côté  & concaves  de  l’autre,  nous  n’en 
parlerons  pas  davantage. 

Si  l’on  fait  une  Lentille  de  Verre  ABCG  , conca- 
ve d’un  côté , & convexe  de  l’autre , en  forte  que 
la  convexité  ABC  foit  la  Surface  d’une  portion  de 
Sphéroïde  produit  par  la  circonvolution  de  l’El- 
lipfe  ABCD , autour  de  fon  grand  Axe  BD,  qui 
foit  à la  diftance  EF  des  deux  Foyers  E , F , de  l’El- 
lipfe  , comme  3 eftài,  & dont  la  concavité  AGC 
ait  pour  centre  le  Foyer  E ; en  expofant  cette  Len- 
tille aux  Rayons  du  Soleil , en  forte  que  fa  conve- 
xité ABC  regarde  directement  le  Soleil , tous  les 
Rayons  d’incidence  qui  feront  parallèles  au  grand 
Axe  BD  , s’uniront  par  refraétion  au  Foyer  E , le- 
quel par  confequent  fera  le  Foyer  véritable  de  cet- 
te Lentille  Spherico-Elliptique.  Sa  convexité  fe 
peut  nuflî  faire  hyperbolique  , mais  cela  eft  trop 
fpeculatif  pour  des  Récréations  Mathématiques. 
Voyez  laDioptrique  du  P.  Dechales. 

PROBLEME  XVIII. 

Reprefenter  dans  une  Chambre  clofe  les  Objets  de 
dehors  avec  leurs  couleurs  naturelles  , par  le 
moyen  d'une  Lentille  de  Verre  convexe  des  deux 
cojhz,. 

AYant  fermé  la  porte  & les  fenêtres  de  la  cham- 
bre , en  forte  que  toutes  les  avenues  foient 
bouchées  à la  lumière,  excepté  un  petit  trou  que 
l’on  fera  à une  fenêtre  qui  réponde  fur  quelque 
Place  fréquentée , ou  fur  quelque  beau  Jardin , ü 


Plan- 
che 2.  x ; 

79.  fig. 


z}6  Récréât.  Mâthimat.  et  Phys» 
cela  fe  peut  ) appliquez  à ce  trou  une  Lentille  dis 
Verre  convexe  des  deux  cotez  , qui  ne  Toit  pas 
beaucoup  épaifiè , afin  que  fon  Foyer  foit  plus  é- 
loigné,  comme  un  Verre  des  Lunettes  , dont  Ce 
fervent  les  Vieillards  : & alors  les  images  des  Ob- 
jets de  dehors  , qui  paieront  au  travers  de  ce  Ver- 
re , étant  reçues  fur  un  linge  tendu  à plomb , ou 
fur  un  Carton  bien  blanc  placé  environ  au  Foyer 
du  même  Verre,  y paroîtront  avec  leurs  couleurs 
naturelles , & mêmes  plus  vives  que  le  naturel , 
fur  tout  îorfque  le  Soleil  les  éclairera  , fans  nean- 
moins  éclairer  le  Verre,  parce  que  la  trop  grande 
lumière  en  frappant  contre  le  Verre  empêcheroit  de 
pouvoir  difeerner  avec  plaifir  les  images  des  Ob- 
jets extérieurs , qui  fans  cela  s’y  diftingueront  d'une 
telle  maniéré  avec  leurs  mouvemens , que  Ton 
pourra  fans  peine  difeerner  les  hommes  d'avec  les 
animaux  qui  pafieront , de  mêmes  un  homme  d’a- 
vec une  femme,  remarquer  les  Oifeaux  qui  vole- 
ront en  Pair , de  connaître  quand  il  fera  un  peu  de 
vent , par  le  tremblement  des  herbes  , ou  des  feuil- 
les des  arbres  , qui  fe  rendra  fenfible  fur  le  linge3 
ou  fur  le  carton , pourvu  que  le  Vent  les  agite. 

Remarque. 

On  peut  bien  fans  Verre  diftinguer  aufiîfur  une 
muraille  de  la  chambre  , ou  fur  le  plancher , les 
?mages  des  Objets  extérieurs , de  principalement 
de  ceux  qui  font  en  mouvement  ; mais  ces  images 
ne  parodient  pas  avec  tant  d'agréemene  de  de  dif- 
îinâion  , parce  que  leurs,  couleurs  ne  font  que 
iombres  & mortes.  Or  de  quelque  maniéré  qu’on 
les  voyc , elles  paroîtront  toujours  renver-fées , mais 
on  les  peut  redrefTer  en  plufieurs  maniérés  » ce  qui 


P R O B I e’m  e S ü’O  P T I Qjn  E.  237 
Be  fert  de  rien,  parce  que  cela  n’augmente  pas  le 
plaiflr  qu’il  y a de  les  voir  avec  un  Verre  dans  leurs 
couleurs  naturelles,  te  ne  diminue  en  rien  l’ufage 
qu’on  en  tire  , qni  eft  que  l’on  peut  reprefenter  en 
racourci  fur  le  carton  les  païfages , te  tout  ce  qui 
pourra  envoyer  fon  image  fur  ce  carton  : fçavoir  eu 
partant  un  crayon  fur  tous  les  traits  de  cette  repre- 
fentation  qui  paroîtra  comme  en  Perfpcdtive , donc 
les  parties  feront  d’autant  mieux  proportionnées 
que  moins  la  Lentille  de  Verre  fera  épaiflè  par  le 
milieu,  te  que  le  trou  par  où  les  efpeccs  partent 
pour  entrer  dans  le  Verre,  fera  bien  petit.  Ce  trou 
ne  doit  pas  avoir  une  épaifTeur  confiderable , c’eft 
pourquoy  il  doit  être  fait  fur  une  platine  de  mé- 
tal bien  mince,  qu’on  appliquera  contre  le  trou 
de  la  fenêtre  , qu’il  eft  bon  de  faire  un  peu  grand  , 
artn  de  donner  un  palfage  libre  aux  efpeces  ou  ima- 
ges des  Objets  de  dehors  , qui  feront  de  côté. 

Onpeutaulïi  voir  dans  une  chambre,  dont  les 
fenêtres  feront  fermées  , pourvu  que  la  porte  foie 
ouverte  , ce  qui  fe  parte  au  dehors  par  le  moyen  de 
plufieurs  Miroirs  plans , qui  pourront  fc  commu- 
niquer par  reflexion  les  efpeces  l’un  à l’autre  , &c. 

J’ay  oublié  de  dire  , que  par  cette  maniéré  de 
reprefenter  fur  une  Surface  les  images  des  Objets 
avec  une  Lentille  de  Verre  , les  Phyficiens  expli- 
quent comment  fe  fait  la  vûë,  en  prenant  le  creux 
de  l’œil  pour  la  chambre  clofe,  le  fond  de  l’œil, 
ou  laRetine  pour  la  Surface  qui  reçoit  les  efpeces , 
l’humeur  criftallin  pour  la  Lentille  de  Verre,  & le 
trou  de  la  Prunelle  pour  le  trou  de  la  fenêtre,  par 
où  partent  les  efpeces,  ou  images  des  Objets. 


i$8  Récréât.  Matêîemat.  et Pîm„r 

PROBLEME  XIX. 

"Décrire  fur  un  Plan  une  figure  difforme  cjui  paroi  fis 
au  naturel , étant  regardée  d'un  point  déterminé. 

ON  peut  déguifer , c’eft-à-dire  , rendre  diffor- 
me une  figure,  par  exemple,  une  Tête,  ers 
forte  qu’elle  n’aura  aucune  proportion  étant  regar- 
dée de  front  fur  le  Plan  où  on  l’aura  tracée , mais 
étant  vue  d’un  certain  point , elle  paroîtra  belle , 
c’eft-à-dire , dans  fes  juftes  proportions.  Cela  fe 
pratiquera  de  la  forte. 

Plan-  Ayant  fait  fur  du  papier  la  figure  que  vous  vou- 
che  u.  lez  déguifer  avec  fes  juftes  mefures  , décrivez  un 
8o*  Qimré  autour  de  cette  figure  , comme  ABCD  , 8c 
le  reduifez  en  pluficurs  autres  petits  quarrez , en 
divifant  les  cotez  en  plufieurs  parties  égales  , par 
exemple , en  fept , 8c  en  tirant  des  lignes  droites 
en  long  8c  entravers  par  les  points  oppofez  des  di- 
vifions , comme  font  les  Peintres,  quand  ils  veu- 
lent contretirer  Un  Tableau,  & le  réduire  au  petit 
pied,  c’eft-à-dire,  de  grand  en  petit. 

Cette  préparation  étarwt  faite,  décrivez  à difere- 
tion  fur  le  Plan  propofé  le  Quarré-long  EBFG  , 8c 
divifez  l’un  des  deux  plus  petits  cotez  EG  , BF , 
comme  EG  , en  autant  de  parties  égales  que  les 
cotez  du  Quarré  ABCD  , comme  ici  en  fept , 8c 
l’autre  côté  BF  en  deux  également  au  point  H , du- 
quel vous  tirerez  par  les  points  de  divifioti  du 
côté  oppofé  EG  , autant  de  lignes  droites , dont  les 
deux  dernieies  feront  EH  , GH. 

Après  cela  ayant  pris  à diferetion  fur  le  côté  BF 
îe  point  I , au  deftùs  du  point  H , pour  la  hau- 
teur de  l’œil  au  deftùs  du  Plan  du  Tableau,  tirez 


Récréations  -M athem  . Planche  22  .Page  2g g . 


i 


. 

. 


•l 


% 


V 


' 


, : • 


Problèmes  dOptiq^ue.  2.39 
de  ce  point  I , au  point  E , la  ligne  droite  El , qui 
coupe  ici  celles  qœ  partent  du  point  H,  aux  points  i , 
Z,  3, 4,  5,  6,7,  pat  où  vous  tirerez  autant  de  lignes 
droites  parallèles  entte  elles  & à la  bafe  EG  du  T rian- 
gle  EHG,qui  fe  trouvera  ainfi  divifé  en  autant  de 
Trapèzes  que  le  Quarté  ABCD  cft  divilé  en  de 
Quarrez.  C’eft  pourquoy  fi  l’on  rapporte  dans  ce 
Triangle  EGH  , la  figure  qui  cft  dans  le  Quarté 
ABCD,  en  fatfant  paftèr  chaque  trait  par  les  me- 
mesTrapczes  ou  Quarrez  perfpeétifs  qui  font  re- 
prefentez  par  les  quarrez  naturels  du  grand  ABCD, 
la  figure  difforme  fe  trouvera  décrite,  qu’on  verra 
conforme  à fon  prototype  , c’eft-à-dire  , comme 
dans  le  Quarté  ABCD  , en  la  regardant  par  un  trou 
qui  foit  petit  du  côté  de  l’œil,  & bien  évafé  du 
côté  de  la  figure,  comme  K,  que  je  fuppofe  per- 
pendiculairement élevé  fur  le  point  H,  en  lorte 
que  fa  hauteur  LK  foit  égale  à la  hauteur  HI , qui 
ne  doit  pas  être  bien  grande  , afin  que  la  figu- 
re foit  plus  difforme  dans  le  Tableau.  Voyez  le 
Probl.  zi. 

PROBLEME  XX. 

Décrire  fur  un  Plan  une  figure  difforme  qui  paroijfe 
dans  fa  perfection  , étant  vû'é  par  réflexion 
dans  un  Miroir  plan. 

AYant  comme  auparavant,  compris  la  figure 
qu’on  vent  déguifer  dans  un  Quarré  , comme 
ABCD  , divifé  en  plufieurs  autres  petits  Quarrez  , 
qui  font  ici  au  nombre  de  feize , & fuppolantque 
le  Miroir  eft  une  glace  parfaitement  quarrée  , tou- 
te nue  & fans  quadre,  comme  EFGH,  tirez  fur  le 
Plan  du  Tableau  la  ligne  droite  IK  égale  au  côté 


Plan- 
che il. 
S o.  Fig 


8 1.  Fig 


Plan- 
che a t. 
Fig. 


2,40  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

EF  du  Miroir } afin  que  la  figure  occupe  entîere^ 
ment  le  Miroir  EFGH  , & ayant  divifé  en  deux 
également  au  point  P cette  ligne  IK , tirez-luy  par 
Ton  point  de  milieu  P , la  perpendiculaire  indéfi- 
nie LM,  en  forte  que  les  deux  parties  PL,  PM* 
foient  égales  entre  elles  , &c  d’une  longueur  vo- 

f , O O 

lontaire. 

Après  cela  élevez  du  point  L , la  ligne  LQ^per- 
pendiculaire  à la  ligne  LM,  & égale  au  doublé  de 
la  ligne  IK. , ou  du  côté  du  Miroir  EF , & du  point 
M,  la  ligne  NO  perpendiculaire  à la  même  ligne 
LM,  Sc  aulli  double  de  la  ligne  IK  , en  forte  que 
chacune  des  deux  parties  MN  , MO  , foit  égale  à la 
ligne  IK  , Sc  joignez  les  droites  LN , LO  , qui  paf- 
feront  par  les  points  1 , K,  & feront  le  Triangle 
LNO,  que  l’on  divifera  comme  au  Problème  pre- 
cedent , en  autant  de  quarrez  perfpeétifs  que  le 
Quatre  ABCD  en  contient  de  naturels  , pour  y 
tranfporter  de  la  même  façon  la  figure  du  Quarré 
ABCD  , qui  fc  trouvera  difforme  fur  le  Plan  du 
Tableau , & qui  paroîtra  belle  & femblable  à fon 
prototype,  étant  vue  du  point  Q^élevé perpendi- 
culairement fur  le  point  L , comme  nous  avons  dit 
au  Problème  precedent  , ou  bien  on  la  verra  en 
fon  naturel  par  reflexion  dans  le  Miroir  EFGH  pla- 
cé fur  la  ligne  IK  , en  regardant  le  Miroir  par  un 
petit  trou  élevé  perpendiculairement  fur  le  point  M , 
à la  hauteur  de  L(>^  comme  vous  voyez  dans  la 
1.  Fit.  82.  Ffçr.  ou  IRSK  reprefente  le  Miroir,  & Q le 
point  de  l’œil , &c. 


PROBLEME 


Ttecre ahcnis  Matliem  . Planche  2j.Pa(jc  24.1  . 


kV  . 

■j. .. 


ProBIe’mES  D!OPtIQ.UE,  2'4'ï 

PROBLEME  XXL 

D écrire  fur  un  Plan  Horizontal  une  figure  diffor- 
me ejui  parotffe  au  naturel  fur  un  Plan  Verti- 
cal tranfparant , pofié  entre  l'œil  & la  figure  dif- 
forme. 

IL  eft  évident  que  fi  l’on  met  en  Perfpective  pian- 
quelque  figure  que  ce  foit  fur  du  papier  confi-  cheij. 
dcré  comme  un  Plan  horizontal,  & que  fur  la  Li-  8 
gne  de  terre  on  éleve  à angles  droits  un  Plan  tranf- 
parant , qui  foit  par  exemple  de  verre  ; l’œil  étant 
placé  vis-à  vis  du  point  de  vue  , à une  hauteur 
égale  à la  diftance  de  la  Ligne  de  terre  à la  Ligne 
horizontale  , & éloigné  du  Plan  tranfparant  qui 
reprefente  le  Tableau  d’une  diftance  égale  à celle 
qu’on  a fuppofée  dans  la  Perfpective , verra  dans 
Je  Verre  la  figure  difforme  dans  fon  naturel.  Ceux 
qui  entendent  la  Perfpeétive  comprennent  facile- 
ment ce  que  je  viens  de  dire , & ceux  qui  ne  l’en- 
tendent pas  pourront  refoudre  ce  Problème  mé- 
caniquement en  cette  forte. 

Ayant  décrit  fur  une  piece  de  carton  ABCDS 
la  figure  que  vous  voulez  déguifer , avecfes  jufteS 
proportions , par  exemple  , l’œil  EF , picquez  cet- 
te figure  EF  , comme  fi  vous  vouliez  faire  tin 
Poneis  : & ayant  élevé  à angles  droits  ce  Carton 
ainfi  picqué  fur  le  Plan  MNOP  , où  vous  voulez 
décrire  la  figure  difforme,  mettez  derrière  le  Car- 
ton ABCD,  une  bougie  allumée  à telle  hauteur  & 
à telle  diftance  qu’il  vous  plaira  , comme  en  G 4 & 
alors  la  lumière  en  paftant  par  les  trous  du  Carton 
ABCD,  portera  la  figure  fur  le  Plan  MNOP,  Sc 
l’y  reprefentera  toute  défigurée,  comme  HIKL3, 

Tome  L Û_ 


Plan- 
che 14.”* 
84.  fig. 


24 1 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
que  l’on  marquera  avec  un  crayon , ou  autrement, 
&quiparoîtra  en  Ton  naturel  fur  un  Verre  mis  à 
la  place  du  Carton  ABCD  , étant  regardée  par  l’œil 
placé  au  point  G.  Elle  paroîtra  auffi  femblable  à 
l'on  prototype  EF  , étant  vue  fimplement  par  un 
petit  trou  mis  au  point  G,  comme  au  Prob'l.  15;. 

PROBLEME  XXII. 

Décrire  fur  la  Surface  convexe  d'une  Sphere  une 
figure  difforme , cjut  parotffe  au  naturel  3 étant 
regardée  d'un  point  déterminé . 

AYant  fait  fur  du  papier  la  figure  que  vous  vou- 
lez déguifer  avec  les  juftes  proportions , en- 
fermez-la  dans  un  Cercle  ABCD  , dont  le  Diamè- 
tre AC,  ou  BD,  foit  égalau  Diamètre  de  la  Sphè- 
re propofée  , & divifez  fa  circonférence  en  un 
nombre  de  parties  égales  , tel  qu’il  vous  plaira, 
par  exemple  , en  feize  parties  égales  , pour  tirer  du 
centre  de  ce  Cercle  par  les  points  de  divifion  au- 
tant de  lignes  droites.  Divifez  auffi  le  Diarnetre 
AC,  ou  BD  de  ce  Cercle  en  un  certain  nombre  de 
parties  égales , comme  en  huit  parties  égales  , & 
décrivez  du  même  Centre  par  les  points  de  divifion 
des  circonférences  de  Cercle  , lcfquelles  avec  les 
lignes  droites  tirées  du  centre,  divilèront  le  Cer- 

O t _ 

cleABCD,en  64  petits  efpaces. 

Décrivez  encore  un  autre  Cercle  EFGH  égalai! 
precedent  ABCD  , & tirez  de  fon  centré  I la  ligne 
droite  IK  égale  à la  diftanee  de  l’œil  au  centre  de 
la  Sphere  propolée  , en  forte  que  la  partie  GK  foie 
égale  à la  hauteur  de  l’œil  fur  la  Surface  de  la  même 
Sphere  : & ayant  tiré  par  le  même  centre  I , le 
Diarnetre  FH  perpendiculaire  à la  ligne  IK  , divi- 
fez ce  Diamètre  FH  en  autant  de  parties  égales  que 


i - 


. 


/ 


.. 


Recrea  twns  Aîaihem  ■ Pla.ncJ'ie  2,  f ■ Pcty  e Z 4- 3 ■ 


\ 


Problèmes  d’Optiq^e.  243 
le  Diamètre  du  premier  Cercle  ABCD  , fçavoir  en 
huit  parties  égales,  pour  tirer  du  point  K , parles 
points  de  divifion  autant  de  lignes  droites  , qui 
donneront  fur  le  Demi-cercle  FGH,  les  points  1 , 
2 , 3 , 4 , & fur  l’autre  Demi-cercle  FEH  , les 
points  5,657. 

Cette  préparation  étant  faite  , décrivez  du  point 
L,  comme  Pôle,  fur  la  Surface  convexe  du  Globe 
propofé  des  Cercles  parallèles  entre  eux  avec  les  ou- 
vertures G 1 , G2 , G3 , G4  , & GF  , dont  le  plus 
grand  fera  MNO  , duquel  on  ne  void  ici  que  la  moi- 
tié qu’il  faut  divifer  en  autant  de  parties  égales  que 
la  moitié  du  Cercle  ABCD,  comme  ici  en  huit  par- 
ties égales  , pour  décrire  par  les  points  de  divifion 
& par  le  Pôle  L , autant  de  grands  Cercles,  qui 
avec  les  precedens  divileront  l’Hemifphere  LMNO 
en  autant  de  petits  efpaces  que  le  Cercle  ABCD, 
dans  lefquels  on  tranfportera  l’image  du  Cercle 
ABCD , & cette  image  ou  figure  fe  trouvera  défi- 
gurée dans  l’Hemifphere  LMNO , & paroîtra  nean- 
moins femblable  à fon  prototype,  qui  fe  trouve  dans 
le  Cercle  ABCD,  étant  regardée  d’un  point  élevé 
perpendiculairement  fur  le  point  L,  & éloigné  de 
ce  point  L d’une  diftance  égale  à la  ligne  GK. 

Remarque . 

Ce  que  nous  avons  fait  fur  la  Surface  convexe 
d’une  Sphere,  fe  peut  faire  de  la  même  Eicon  fur  la 
Surface  concave  de  la  même  Sphere  , excepté  que 
les  Cercles  parallèles  qui  ont  été  décrits  du  Pôle  L , 
avec  les  ouvertures  Gi  , Gz  , G3  , &c.  doivent 
être  décrits  avec  les  ouvertures  E5  , F :6  , E 7,  & 
EF,  c’eft- à-dire , qu’au  lieu  de  fe  lervit  du  Demi- 
cercle  FGH  , que  l’œil  placé  au  point  K void  par  fa 

QJj 


Plan- 
che 24; 
84.  Fig, 


Plan- 
che 2.  4. 
3j.  Fig 


2.44  Récriât.  MathemAt.  et  Phys. 
convexité , on  doit  fe  fervir  de  l'autre  Demi-cer- 
cle  FEH  , que  l’œil  placé  au  même  point  K voici 
par  fa  concavité. 

PROBLEME  XXIII. 

Décrire  fur  la  Surface  convexe  d’un  Cylindre  une 
figure  difforme  , qui  paroijfe  belle  quand  elle 
fiera  vue  d'un  point  déterminé. 

AYant  comme  à l’ordinaire  , renfermé  la  figure 
qu’on  veut  déguifer  en  un  Quarré  KLMN 
divifé  en  plufieurs  autres  petits  quarrez , & ayant 
déterminé  le  point  de  l’œil  en  O , à unediftance 
raifonnable  du  Cylindre  propofé  ABCD,  dont  la 
bafe  eft  le  Cercle  AFBG,  tirez  du  centre  Ede  cet- 
te bafe  par  le  point  déterminé  O , la  ligne  droite 
EO,  pour  luy  tirer  par  le  même  centre  E , le  Dia- 
mètre perpendiculaire  AB,  que  vous  diviferez  en 
autant  de  parties  égales  que  le  côté  KL  du  Quarré 
KLMN  , pour  tirer  du  point  O , par  les  points  de 
divifion  autant  de  lignes  droites , qui  donneront 
fur  la  circonférence  du  Demi-cercle  AFB , que  l’œil 
void  , les  points  1,2,,  3 , 4 , & fur  la  circonfé- 
rence de  l’autre  Demi-cercle  AGB , que  l’œil  ne  void 
pas  , les  points  5 , 6 , 7. 

Ap  rés  cela  tirez  par  les  points  I , 2 9 3,4,  fur 
la  Surface  du  Cylindre  des  lignes  parallèles  entre 
elles  , 8c  à l’axe  du  même  Cylindre , ou  au  côté  AD, 
ouBC  : 8c  ayant  divifé  une  de  ces  parallèles  en  au- 
tant de  parties  égales  que  le  Diamètre  AB,  décri- 
vez fur  la  Surface  du  même  Cylindre  parles  points 
de  divifion  des  circonférences  de  Cercle  parallèles  à 
la  circonférence  AFBG  , Icfquelles  avec  les  lignes 
droites  parallèles  precedentes  formeront  de  petits 


Problèmes  d’Optique  24  ç 
cfpaces , dans  lefquels  on  tranfportera  la  figure  du  Plan- 
Quarré  KLMN  , laquelle  ainfi  fe  trouvera  défigu-  c*ie  l4- 
rée  fur  la  Surface  du  Cylindre  ABCD  , & qui  8*' 
neanmoins  paroîtra  conforme  à fon  prototype, 
étant  regardée  par  un  petit  trou  placé  au  point  O , 
où  l’œil  a été  fuppolé  dans  la  conftruétion. 

Remarque. 

Ce  que  nous  venons  de  faire  fur  la  Surface 
convexe  du  Cylindre  ABCD , fe  peut  faire  de  la 
même  façon  dans  fa  Surface  concave  , en  fefervant 
du  Demi-cercle  AGB  , comme  nous  avons  fait  du 
Demi-cercle  AFB  , c’eft-à-dire  , en  élevant  des  per- 
pendiculaires des  points  ç , 6 , 7 , dans  la  Surface 
concave , comme  nous  avons  fait  des  points  1 , 

3 , 4,  dans  la  Surface  convexe,  &c. 

PROBLEME  XXIV, 

Décrire  far  la  Surface  convexe  d’un  Cône  une 
figure  difforme  , qui  paroijfe  en  fon  naturel , 
étant  regardée  d’un  point  déterminé \ 

D Ecrivez  autour  de  la  figure  que  vous  voulez  Plan- 
déguifer  , un  Cercle  à volonté,  comme  ABCD,  c^c  1S- 
&c  divifez  fa  circonférence  en  autant  de  parties  86‘ 
égales  qu’il  vous  plaira  , comme  en  huit  parties 
égales,  pour  tirer  par  les  points  de  divifion  A,£, 

B , F , &c.  au  centre  O , autant  de  Demi-diametres, 
dont  l’un  , comme  AO,  étant  divifé  par  exemple, 
en  trois  parties  égales  aux  points  7,8,  vous  dé- 
crirez du  centre  O , par  ces  points  de  divifion  7,8, 
autant  de  circonférences  de  Cercle , lefquelles  avec 
les  Derni-diametres  precedens  divi feront  l’efpace 


Plan- 
che! ; . 
S 6»  Fig 


246  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
terminé  par  la  première  6c  plus  grande  circonféren- 
ce ABCD  en  2,4  petits  efpaces  , qui  ferviront  à 
contretircr  l’image  qui  y fera  comprife  , 6c  à la 
défigurer  fur  la  Surface  convexe  du  Cône  , quand 
cette  Surface  aura  été  divilée  en  autant  de  fembla- 
bles  petits  efpaces , en  cette  forte. 

Ayant  tiré  à part  la  ligne  IK  égale  au  Diamètre 
de  la  baie  du  Cône  propofé , 6c  l’ayant  divifé  en 
deux  également  au  point  L,  tirez- luy  par  ce  point 
L,  la  perpendiculaire  LM  égale  à la  hauteur  du 
Cône  , 6c  joignez  les  droites  MI  , MK  qui  repre- 
fenteront  les  cotez  de  ce  Cône  , que  je  fuppofe 
droit,  comme  fi  ce  Cône  avoit  été  coupé  par  un 
Plan  tiré  par  fon  Axe,  de  forte  que  le  Triangle 
ifofcéle  IKM  reprefentera  le  Triangle  de  l’axe. 

Cela  étant  fait  , prolongez  la  perpendiculaire 
LM  en  N , au  defïus  du  point  M , qui  reprefente 
la  pointe  du  Cône , autant  que  vous  voudrez  que 
l’œil  foit  élevé  au  deffus  de  cette  pointe , en  forte 
que  la  ligne  MN  foit  égale  à la  diftance  de  l’oeil  au 
fommet  du  Cône  : 6c  ayant  divifé  la  moitié  IL  de  la 
bafe  IK  en  autant  de  parties  égales  que  le  Demi- 
diametre  AO  du  prototype  , tirez  du  point  N , par 
les  points  de  divifion  1 , 2 , les  droites  Ni  , Ni, 
qui  donneront  fur  le  côté  IM  les  points  4, 5.  En- 
fin décrivez  de  la  pointe  du  Cône  avec  les  ouvertu- 
res M^  , M4  , des  circonférences  de  Cercle  fur  la 
convexité  du  Cône  , qui  reprefenteront  les  circon- 
férences du  prototype  ABCD  : 6c  ayant  divifé  la 
circonférence  de  la  bafe  du  Cône  en  autant  de  par- 
ties égales  que  la  circonférence  ABCD  , tirez  de 
la  pointe  du  Cône  par  les  points  de  divifion  autant 
de  lignes  droites , qui  avec  les  circonférences  pre- 
cedentes diviferont  la  Surface  convexe  du  Cône  en 
24  elpaces  difformes  qui  reprefenterotît  ceux  du 


Récréations  ALatkein  . Flanche  if  . Pacje  2jü  . 


Probi  e’m  e s d’O  P T I QJ1  E.  247 
prototype  ABCD , & dans  lefquels  par  confequent  Plan 
on  tranfportera  la  figure  de  ce  prototype  , qui  fie  c'ie 
trouvera  difforme  fur  la  Surface  du  Cône  , & qui 
étant  regardée  de  l’œil  mis  direétement  au  defïiis 
de  la  pointe  du  Cône  à IadiftanceMN  , paroîcra 
comme  fur  une  Surface  plane , Sc  conforme  à fon 
prototype. 

Remarque. 

Ce  que  nous  venons  de  faire  fur  la  Surface  con-  87. 
vexe  d’un  Cône  polé  fur  fia  bafe , fe  peut  pratiquer 
de  la  même  façon  dans  la  Surface  concave  d’un  Cô- 
ne creux  pofé  fur  fa  pointe,  excepté  qu’il  faut  pro- 
longer la  perpendiculaire  LM  au  delà  du  point  L 
en  N , en  forte  que  la  ligne  MN  foit  égale  à la  dif- 
tance  de  l’œil  à la  pointe  du  Cône , qui  dans  ce  cas 
luy  doit  fervir  de  bafe  , afin  que  l’œil  placé  en  N » 
le  puifle  voir  par  le  dedans  , Sec. 

PROBLEME  XXV. 

Décrire  fur  un  Plan  horizontal  une  figure  difforme 
qui  paroijfe  belle  fur  la  Surface  convexe  d'un 
Aiiroir  Cylindrique  droit  , étant  vite  par  refie - 
xion  d'un  point  donné. 

IL  faut  premièrement  enfermer  dans  un  Quarré , 8 8. 

comme  ABCD  , la  figure  qu’on  veut  déguifer  , 

Sc  divifer  ce  Quarré  ABCD  en  feize  autres  petits 
quarrez  , qui  ferviront  pour  tranfporter  la  figure 
du  prototype  fur  les  quarrez  femblables  difformes 
qu’on  aura  décrits  fur  la  Surface  convexe  du  Miroir 
Cylindrique,  dont  la  bafeeftlc  Cercle  FGHI,  qui 
a le  point  E pour  centre.  Ce  qui  fie  fera  en  cette 
forte. 


Plan- 
che i j . 

8 8.  Fig. 


248  Récréât.  MathêmAt.  et  Phys." 

Si  K eft  l’aflîctc  de  l’œil , c’eft-u-dire,  le  point  qui 
répond  fur  le  Plan  horizontal  perpendiculairement  à 
l’œil,  qui  peut  être  éloigné  du  Cylindre  d’un  ou 
de  deux  pieds , & un  peu  plus  haut  que  le  Cylin- 
dre, afin  qu’il  y puifle  voir  par  reflexion  plus  de 
parties  du  Plan  horizontal  ; tirez  par  ce  point  K & 
par  le  centre  E , la  droite  KE,  & de  Ton  point  de 
milieu  L,  décrivez  par  le  même  centre  E,  l’arc  de 
Cercle  FEH  , qui  donnera  fur  la  circonférence 
FGHI,  les  deux  points  F,  H,  par  où  vous  tirerez 
du  point  K,  les  droites  KFS,  KHT  , qui  touche- 
ront cette  circonférence  aux  mêmes  points  F,  H. 

Après  cela  divifez  chacun  des  deux  arcs  égaux 
EF,  EH,  en  deux  également  aux  points  M,  N,  &: 
tirez  du  point  K par  les  points  M,  N , les  droites 
KM , KN  , qui  donneront  (tir  ia  circonférence  FIH, 
les  deux  points  O , P , par  où  vous  tirerez  les  deux 
lignes  OQ^PR,  en  forte  que  F Angle  de  reflexion 
FOQ  foit  égala  l’Angle  d’incidence  POK,  en  pre- 
nant la  ligne  KO  pour  un  Rayon  d’incidence,  & 
que  pareillement  l’Angle  de  reflexion  HPR  foit 
égal  à l’Angle  d’incidence  OPK , en  prenant  la  ligne 
KP  pour  un  Rayon  d’incidence6,  & alors  les  cinq 
lignes  1K  , OQ  , PR,  FS,  HT,  reptefenterom les 
lignes  du  prototype , qui  font  parallèles  aux  deux 
cotez  AD  , BC  , que  les  deux  touchantes  FS  , HT  , 
reprefentent.  Il  ne  relie  plus  qu’à  divifer  ces  lignes 
çn  quatre  parties  égales  en  reprefentation , ce  que 
je  feriy  ainfi  pour  avoir  plutôt  fait , fans  que  l’er- 
reur puifïè  être  confiderable. 

Ayant  tiré  par  le  point  I,  où  la  ligne  KE  coupe 
la  circonférence  FIH , la  ligne  1,2,  perpendicu- 
laire à la  meme  ligne  KE  , qui  fera  terminée  aux 
points  1 , par  les  deux  touchantes  KF  , KH  , ti- 
rez du  centre  E par  le  point  H la  droite  Ho  égale 


P R O B L e’m  B S d’O  P T I QJJ  E.  249 
d la  ligne  i , 2 , Se  la  divifez  en  quatre  parties  éga- 
les aux  points  7 , 8,9.  Tirez  enfuite  par  le  point 
K , la  droite  KX  égale  à la  hauteur  de  l’œil  , & 
parallèle  à la  ligne  Ho  , ou  perpendiculaire  à la 
touchante  KH , & ayant  appliqué  une  réglé  bien 
droite  au  point  X Sc  aux  points  de  divifion  7,8, 
9,0,  marquez  des  points  fur  la  ligne  HT  , là  où 
elle  Ce  trouvera  coupée  fuccelfivement  par  la  règle  : 
& la  ligne  HT  Te  trouvera  divifée  aux  points  7 , 8» 
9 , T , en  parties  égales  en  apparence  à celles  delà 
ligne  1,2,  qui  eft  divifée  par  les  lignes  tirées  du 
point  K , en  quatre  parties  qui  font  prefque  égales 
entre  elles  : Enfin  portez  les  divifions  de  la  tou- 
chante HT  fur  l’autre  touchante  FS. 

Pour  divifer  la  ligne  PR  en  quatre  parties  égales 
en  reprefentation  à celles  de  la  ligne  1 , 2 > tirez 
parle  point  P la  ligne  P6  perpendiculaire  à la  li- 
gne KP , &c  égale  à la  ligne  1 , 2,  & divifez  cette  per- 
pendiculaire P 6 en  quatre  parties  égales  aux  points 
3,4,5.  Tirez  pareillement  par  le  point  K,  la  li- 
gne KV  égale  à la  hauteur  de  l’œil,  & parallèle  a 
îa  ligne  P 6 , ou  perpendiculaire  à KP  , & ayant 
comme  auparavant  appliqué  une  réglé  au  point  V » 
& aux  points  de  divifion  3 , 4 , 5 , 6 , marquez  fur 
la  ligne  KP  prolongée  les  points  3 , 4 , 5 , 6 , là  où 
elle  fera  coupée  par  la  réglé.  Enfin  portez  les  divi- 
fions de  la  ligne  PN  fur  chacune  des  deux  lignes  PR, 
OQ^&  faites  palier  par  les  points  également  éloi- 
gnez de  la  circonférence  FGHI , qui  ont  été  mar- 
quez fur  les  quatre  lignes  FS  , OQsPR  , HT , qua- 
tre circonférences  de  Cercle,  qui  avec  les  lignes 
droites  FS , OQ^IK  , PR  , HT  , formeront  feize 
quarrez  difformes,  dans  îefqueîs  on  tranfportera 
îa  figure  du  prototype  ABCD,  qui  fe  trouvera  dé- 
figurée fur  le  Plan  horizontal  3 de  qui  paroîtra  dans 


Plan- 
che % f . 

3 8.  Fig. 


Plan- 
che a 6 
85.  Fi 


2^0  Reçreat.  M athemat.  et  Phys. 

fa  perfection  fur  la  Surface  convexe  du  Miroir  Cy- 
lindrique pofé  droit  fur  la  bafe  FGHI , quand  elle 
fera  vûë  par  reflexion  de  l’œil  élevé  perpendicu- 
lairement fur  le  point  K â une  hauteur  égale  à la 
ligne  KV , ou  KX. 

PROBLEME  XXVI. 

D écrire  fur  un  Plan  horizontal  une  figure  difforme 
qui  paroijfe  belle  fur  la  Surface  convexe  déun 
JWiroir  Conique  élevé  a angles  droits  fur  ce 
Plan , étant  vûé  par  reflexion  d’un  point  donné 
dans  l Axe  prolongé  de  ce  Cône  fpeculaire. 

D Ecrivez  premièrement  autour  delà  figure  que 
vous  voulez  déguifer , le  Cercle  ABCD  d’une 
^ grandeur  volontaire,  & divifez  fa  circonférence  en 
tel  nombre  de  parties  égales  qu’il  vous  plaira , pour 
tirer  du  centre  E par  les  points  de  divifion  autant 
de  Demi-diametres  , dont  l’un  , comme  AE,  ou 
DE,  doit  aufli  être  divifé  en  un  certain  nombre  de 
parties  égales , pour  décrire  du  centre  E , par  les 
points  de  divifion  autant  de  circonférences  de  Cer- 
cle, qui  avec  les  Demi-diametres  precedens  divi- 
feront  l’efpace  terminé  par  la  première  & plus  gran- 
de circonférence  ABCD  , en  plufieurs  petits  efpa- 
ces,  qui  ferviront  pour  contretirer  la  figure  qui  y 
fera  comprife,  & à la  défigurer  fur  le  Plan  hori- 
zontal autour  de  la  Bafe  FGHI  du  Miroir  Conique 
en  cette  forte. 

Ayant  donc  pris  le  Cercle  FGHI,  dont  le  cen- 
tre eft  O , pour  la  bafe  du  Cône , décrivez  à part 
îeTriangle  reétangle  KLM,  dont  la  bafe  KL  foit 
égale  au  Demi-diametre  OG  de  la  baie  du  Cône , 
& ia  hauteur  KM  égaie  à la  hauteur  du  même  Co- 


Rc  créations  Mai  hem  . Planche  iü  .Paye  2J1  . 


....  ^ ' « -•  • - - / • 


• > 


. 


che 
S 9- 


P R O B L e’m  E S d’O  P T I QJJ  E.  2 f I 
ne.  Prolongez  cette  hauteur  KM  en  N,  en  forte  Plan- 
que la  parue  MN  foitégale  à la  diftancc  de  l'œil  à 
la  pointe  du  Cône,  ou  toute  la  ligne  KN  égale  à 
la  hauteur  de  l’œil  au  delfus  de  la  bafe  du  Cône  : & 
ayant  divifé  la  bafe  KL  en  autant  de  parties  égales 
que  le  Dcmi-diametre  AE,ouDE,  du  prototype, 
tirez  du  point  N , par  les  points  de  divifion  P , Q, 

R,  autant  de  lignes  droites,  qui  donneront  tur 
1 hypotenufe  LM , qui  reprefente  le  côté  du  Cône  , 
les  points  S , T , V.  Faites  an  point  Y l’angle  LV  i 
égal  à l’angle  L.VR  , au  point  T l’angle  LT2  égal  à 
l’angle  LTQ  , au  point  S l’angle  LS  3 égal  à l’angle 
LSP  ,8c  au  point  M , qui  reprefente  le  lominet  du 
Cône,  l’angle  LM4  égal  à l’angle  LMK  , pour  avo'ir 
fur  la  bafe  KL  prolongée  les  points  1,2,3  5 4* 

E;  fin  décrivez  du  centre  O de  la  bafeFGHI  du 
Miroir  Conique  , avec  les  ouvertures  K 1 , K2  , K3, 
K4,dcs  circonférences  de  Cercle,qui  reprefenteront 
celles  du  prototype  ABCD  , & dont  la  plus  grande 
doit  être  divifée  de  la  même  façon  en  autant  de 
parties  égales  que  la  circonférence  ABCD , pour 
tirer  du  centre  O , par  les  points  de  divifion  des 
Demi-diametres , qui  donneront  fur  le  Plan  hori- 
zontal autant  de  petits  efpaces  difformes  que  dans 
le  prototype  ABCD,  dans  lefquels  par  confcquent 
on  pourra  tranfporter  la  figure  du  prototype , qui 
fe  trouvera  ainfi  extrêmement  défigurée  fur  le  Plan 
horizontal  , 8c  qui  neanmoins  paroîtra  par  reflexion 
dans  fesjuftes  proportions  fur  la  Surface  du  Miroir 
Conique  pofée  fur  le  Cercle  FGHI  , quand  l’œil 
fera  mis  perpendiculairement  au  deflus  du  centre 
O,  8c  éloigné  de  ce  centre  O d’une  diftance égale 
à la  ligne  KN. 

Pour  ne  pas  vous  tromper  en  tranfportant  ce  qui 
cft  dans  le  prototype  ABCD , fur  le  Plan  horizontal. 


2.  <>  • 
Fig. 


% 5 2.  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
ou  prendra  garde  que  ce  qui  eft  le  plus  éloigné  diî 
centre  E , doit  être  le  plus  proche  de  la  bafe  FGHÏ 
du  Miroir  Conique,  comme  vous  voyez  parles  mê- 
mes lettres  a , b , c,  d,  e b , du  Plan  horizon- 

tal 8c  du  prototype.  On  obfervera  la  mêmechofeà 
pian_  l’égard  d’un  Miroir  Cylindrique  , comme  vous 
cheij.  voyez  auflî  par  les  quatre  lettres  femblables  a , c? 
8 2.  Fig.  d,  du  Plan  horizontal  8c  du  prototype. 

PROBLEME  XXVÏI. 

Décrire  une  Lanterne  artificielle , par  le  moyen  de 
laquelle  on  pnijfie  lire  la  nuit  de  fort  loin* 

F Aires  une  Lanterne  qui  ait  la  forme  diin  Cy- 
lindre , ou  d'un  petit  tonneau  fitué  félon  fa 
longueur,  comme  un  tonneau  de  Vin  pofé  dans 
une  Cave  , en  forte  que  la  fumée  paffe  par  le  bon- 
don  : 8c  mettez  à l’un  de  fes  deux  fonds  un  Miroir 
concave  Parabolique,  pour  appliquer  à fon  Foyer 
îa  flamme  d’une  bougie,  dont  la  lumière  fe  réflé- 
chira fort  loin  en  paflànt  par  l’autre  fond  qui  doit 
être  ouvert , 8c  elle  paroîtra  fl  éclatante  , que  de 
nuit  on  pourra  lire  de  fort  loin  des  lettres  très-pe- 
tites , lorfqu’on  les  regardera  avec  des  Lunettes  à 
Longue-vûë  5 & ceux  qui  verront  de  loin  la  lu- 
mière de  cette  bougie  , croiront  voir  un  grand 
feu  qui  paroîtra  encore  plus  éclatant,  fi  îa  Lanterne 
eft  étamée  par  le  dedans , 8c  qu’on  luy  donne  la  fi- 
gure d’une  Ellipfe. 

Remarque* 

On  fe  fert  suffi  d’un  fembiable  Miroir  pour  îa 
Lanterne  magique  3 ainfi  appellée , parce  que  pas 


PROBLEMES  o’O  P T I C^U  E 2 f 5 
fort  moyen  Ton  fait  voir  fur  une  muraille  blanche 
de  quelque  chambre  obfcuretout  ce  que  l'on  veut} 
de  forte  que  l’on  y peut  faire  paroître  des  monftres 
& des  fpectres  fi  affreux  , que  celuy  qui  les  void 
fans  en  connoître  le  fecret , croit  que  cela  fe  fait 
par  Magie.  La  lumière  qui  fe  refléchit  par  le  moyen 
de  ce  Miroir,  paffe  par  un  trou  de  la  Lanterne, 
où  il  y a un  verre  de  Lunette  , 8c  entre  deux  on  y 
fait  pafièr  une  piece  de  bois  plate  8c  déliée,  con- 
tenant plufieurs  petits  verres  peints  de  diverfes  fi- 
gures extraordinaires  8c  affreufes  , que  l’on  fait  cou- 
ler fucceflivement  par  une  fente  qui  eft  dans  le  corps 
de  la  Lanterne , 8c  qui  fe  reprefentent  fur  la  mu^ 
raille  oppofée  avec  leurs  mêmes  couleurs  8c  propor- 
tions en  plus  grand  volume,  ce  qui  donne  de  la 
terreur  , 8c  caufe  de  l’admiration  aux  fpeétateurs 
qui  n’en  connoiffent  pas  l’artifice. 

PROBLEME  XXVII L 

Par  le  moyen  de  deux  Miroirs  plans  faire  paroître 
un  vifage  fous  des  formes  differentes. 

AYant  placé  horizontalement  l’un  des  deux 
Miroirs  plans,  élevez  l’autre  environ  à an- 
gles droits  au  deflùs  du  premier , & les  deux  Mi- 
roirs demeurant  en  cette  fituation  , fi  vous  vous 
approchez  du  Miroir  perpendiculaire,  vous  y ver- 
rez vôtre  vifage  tout-à-fait  difforme  8c  imparfait, 
car  il  paroîtra  fans  front,  fans  yeux,  fans  nez,& 
fans  oreilles,  ne  Voyant  que  la  bouche  8c  le  men- 
ton fort  élevezi  Si  vous  inclinez  tant  foit  peu  le 
Miroir  perpendiculaire , vôtre  vifage  y paroîtra 
avec  toutes  fes  parties  , excepté  les  yeux  8c  le  front 
qui  ne  paroîtront' point.  Que  fi  vous  l’inclinez  un 


, <A  RECREAT.  MATHEMAT.  ET  PhVS. 
peu  davantage,  vous  y verrez  deux  nez  & quatre 
veux,  Se  en  l’inclinant  encore  un  peu  davantage 
vous  y verrez  trois  nez  Se  hx  yeux.  Si  vous  conti- 
nuez à l’incliner  un  peu  davantage  , vous  ne  verrez 
plus  que  deux  nez  , deux  bouches  , de  deux  men- 
tons , & en  l’inclinant  encore  un  peu  plus,  vous 
verrez  feulement  un  nez , Se  une  bouche  : Se  voue 
vifaoe  ccffera  de  paroître  entièrement  dans  ce  Mi- 
roii°,  fi  vous  l’inclinez  encore  un  peu  plus , ce  qui 
arrivera  lorfque  l’angle  d’inclinaifon  fera  d environ 

Si  vous  inclinez  les  deux  Miroirs  1 un  a 1 autre , 
vous  y pourrez  voir  vôtre  vifage  tout  entier , & 
par  les  differentes  inclinaifons , vous  verrez  dans  e 
même  Miroir  l’image  de  vôtre  vifage  alternative- 
ment droite  Se  renverfée  , Se c. 

PROBLEME  XXIX. 

Par  le  moyen  de  V eau  faire  voir  un  Jetton  qui ferait 
cache'  a l'œil  dans  le  fond  d'un  vafe  vuide . 

/ J 

SI  dans  un  Vafe  vuide  il  y a un  Jetton  , que  1 œil 
ne  puiffe  appercevoir  à caufe  de  la  hauteur  e 
fon  bord,  on  luy  pourra  faire  voir  ce  Jetton  fans 
que  l’œil,  ni  le  Jetton  changent  de  place  loti- 
qu’il  s’en  manquera  peu  qu’il  ne  voye  le  Jetton, 
Ravoir  en  verfant  de  l’eau  dans  ce  vafe  : car  com- 
me la  vûë  qui  fe  fait  par  une  ligne  droite  , qui  par- 
tant de  l’œil  rencontre  un  milieu  plus  dénié,  irait 
dans  ce  milieu  une  Refradion  vers  la  perpendicu- 
laire, l’eau  qui  fera  jettée  dans  le  Vafe  , ferabnfer 
au  dedans  de  ce  Vafe  les  rayons  qui  partent  de 
l’œil.  Se  les  fera  approcher  de  la  perpendiculaire 
c* eft-à-dire  , de  la  ligne  qui  eft  perpendiculaire 


Proble’mes  d’Optiq^ue.  25 ç 
la  Surface  de  l’eau  qui  eft  plus  épaiflé  que  l’air  , ce 
qui  fera  que  l’oeil  verra  au  fond  du  Vale  ainlï  rem- 
pli d’eau  claire  , le  Jctton  qu’il  ne  pouvoic  pas 
voir  auparavant. 

PROBLEME  XXX. 

Reprefcnter  en  perfeblion  une  Iris  fur  le  plancher 
d'une  Chambre  obfcure. 

IL  faut  fe  fervir  d’un  Prifme  triangulaire , que 
les  Artifans  appellent  Amplement  Triangle  > qui 
comme  prefque  tout  le  monde  fçait , fait  voir  du 
verfes  couleurs,  étant  appliqué  fur  le  nez,  & fait 
paroître  les  Objets  renverfez  avec  des  couleurs  fcm- 
blables  à celles  de  l’Iris , ou  Arc-en-Ciel.  Si  donc 
on  met  un  femblable  Prifme  à une  fenêtre  de  la 
Chambre  où  le  Soleil  donne  , les  Rayons  du  Soleil 
en  paftànt  au  travers  de  ce  Verre  triangulaire  , for- 
meront fur  le  plancher  de  la  Chambre  une  Iris , qui 
fera  trcs-agreable  avoir,  principalement  fi  le  plan- 
cher eft  fait  en  voûte,  parce  que  cela  donnera  à 
l’Iris  une  figure  ronde  & femblable  à celle  de  l’Iris 
naturelle , que  nous  voyons  dans  les  nuées. 


i 1 6 Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 


PROBLEMES 

DE  GNOMONIQUE 

LA  Gnomonique  eft  la  partie  la  plus  agréable 
des  Mathématiques  , & comme  j’en  ay  allez  am- 
plement traité  dans  mon  Cours  de  Mathématique, 
èc  qu’elle  dépend  d’une  Théorie  profonde  , quand 
on  la  veut  pofifeder  à fonds  , ce  qui  ne  convient: 
pas  à des  Récréations  Mathématiques,  je  me  fuis 
propofé  de  mettre  feulement  ici  les  Problèmes  qui 
me  fembleront  les  plus  divertiflans  & les  plus  faci- 
les à pratiquer  8c  à comprendre. 

PROBLEME  L 

.Décrire  dans  un  Parterre  un  Cadran  Horizontal 
avec  des  herbes. 

ON  peut  décrire  par  les  méthodes  ordinaires 
un  Cadran  Horizontal  dans  un  Parterre  , en 
y marquant  les  lignes  des  heures  avec  du  buis,  ou 
autrement , & en  faifanr  fervir  de  ftile  quelque  Ar- 
bre planté  bien  droit  fur  la  Ligne  Méridienne,  qui 
par  lextremité  de fon  ombre  marquera  les  heures 
au  Soleil,  comme  dans  les  Cadrans  ordinaires  qui 
fe  font  fur  les  Murailles.  Mais  au  lieu  d’un  Arbre, 
une  perfonne  pourra  fe  fervir  de  fa  propre  hauteur 
pour  ftile  , en  fe  plaçant  bien  droit  au  pied  du  hile* 
qui  doit  avoir  été  marqué  fur  la  Méridienne  con- 
venablement 


1 


- 


/ 


/ 


Y 


y 


) 


...  ... 


'*  - 


;> 


Récréations  ALatheniatuj  . Planche  27  -Pasje  277  . 


Proble’mes  de  Gnomonique,  2 
Venablement  à cette  hauteur,  ce  qui  lèra  facile  à 
celuy  qui  entendra  la  Gnomonique. 

On  peut  aulïi  tracer  un  femblable  Cadran  parle 
moyen  d’une  Table  des  hauteurs  du  Soleil  , ou 
bien  par  le  moyen  d’une  Table  des  Verticaux  du 
Soleil  i comme  nous  avons  enfeigné  dans  nôtre 
Gnomonique  : ou  bien  encore  en  cette  forte. 

Ayant  tiré  par  le  point  A pris  à diferetion  furie  Plan- 
Plan  horizontal , la  Ligne  Méridienne  BC  , Sc  ayant  clie  17* 
décrit  à volonté  du  même  point  A , le  Cercle  6B6C,  90'  ’a 
divifez  fa  circonférence  en  24  parties  égales , ou 
de  1 5 degrez  en  1 ^ degrez  , pour  les  24  heures 
du  jour  naturel,  en  commençant  depuis  la  Méri- 
dienne BC  , 8c  joignez  les  deux  points  oppofez  Sc 
également  éloignez  de  la  Méridienne  BC  , par  des 
lignes  droites  qui  feront  parallèles  entre  elles  8c  à 
la  Méridienne  BC  , ou  perpendiculaires  au  Diamè- 
tre 6,  6 , qui  détermine  fur  le  Cercle  les  points 
de  6 heures  du  matin  , 8c  de  6 heures  du  foir. 

On  marquera  fur  chacune  de  ces  lignes  paral- 
lèles les  points  des  heures  , qui  fe  trouveront  fur  la 
circonférence  d’une  Ellipfe  en  cette  forte.  Ayant 
fait  au  centre  A,  avec  la  ligne  A 6 , l’angle  6 AD  de 
l’Elévation  du  Pôle  , comme  de  49  degrez  pour 
Paris,  portez  la  diftance  perpendiculaire  du  point 
6 à la  ligne  AD,  fur  la  Méridienne  BC  , de  part  8c 
d’autre  depuis  le  centre  A , aux  points  1 2 > U : & 
aulfi  la  diftance  perpendiculaire  du  point  I , à la 
même  ligne  AD,  fur  chacune  des  deux  parallèles 
8c  plus  proches  de  la  ligne  BC , depuis  E,  & K, 
de  part  & d’autre  aux  points  j , 1 ï : & pareille- 
ment la  diftance  perpendiculaire  du  point  H , à la 
même  ligne  AD  , fur  chacune  des  deux  parallèles 
fiiivantes  8c  également  éloignées  8c  plus  proches 
des  deux  precedent :s , depuis  F,  & L , de  part  8c 
Tome  /.  R 


i ç 8 Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 

Plan-  d’autre  aux  points  2,  & io  , & ainfi  des  autres 
ehe  17.  jj  faut  enfujte  marquer  le  commencement  de 
ÿ °*  ' Ji,‘  chaque  Signe  du  Zodiaque  , qui  répond  environ  au 
2,0.  jour  de  chaque  mois  » deçà  8c  delà  depuis  le 
centre  A,  qui  reprefente  le  commencement  de  T , 
8c  de  , fur  la  Ligne  Méridienne  EC , en  cette 
forte. 

Ayant  fait  au  centre  A,  avec  la  Méridienne  AB  » 
l’angle  BAM  de  l’Elévation  du  Pôle,  par  la  ligne 
AM  perpendiculaire  à la  ligne  AD  > & ayant  pris 
l’arc  DN  égal  à la  Déclinaifon  du  Signe  que  vous 
voulez  marquer  , comme  de  23  degrez  & demy 
pour  Çp  , 8c  , de  20  degrez  8c  un  quart  pour 
jx  , Q , & pour  s»  , -H & de  1 1 degrez  8c  de- 
mi pour  b'jnpî  8:  pour  )(,ny}  tirez  par  le  point 
N , la  ligne  NP  , parallèle  à la  ligne  AD , 8c  la  li- 
gne NQ^parallele  à la  ligne  A.6 , déportez  lapar*» 
tic  A r 2 , depuis  P fur  la  ligne  ND  en  R , en  forte 
que  la  ligne  PR  foit  égale  à la  partie  Ai  2 , ou  à 
la  diftance  perpendiculaire  du  poinr  6,  à la  ligne 
AD,  & la  partie  OP  terminée  par  les  deux  lignes 
A6 , AM  , fera  la  diftance  du  Signe  propofé  depuis 
Je  centre  A,  qui  reprefente  les  deux  points  Equi- 
noxiaux. 

Ce  Cadran  étant  ainfi  décrit  avec  Tes  ornemens, 
on  y pourra  connoître  les  heures  aux  rayons  du 
Soleil,  comme  dans  les  precedens , pourvu  qu’on 
fe  place  environ  au  degré  du  Signe  courant  du 
Soleil , avec  cette  différence  , qu’au  lieu  que  dans 
î Horizontal  le  [ftile  ne  peut  être  que  d’une  cer- 
taine grandeur,  ici  il  peut  être  de  telle  grandeur 
que  l’on  voudra  : 8c  mêmes  il  eft  bon  de  le  fai- 
re un  peu  long , parce  que  s’il  étoit  bien  petit , 
fon  ombre  pourroit  en  Eté  devenir  auffi  fi  petite, 
qu’elle  ne  parviendroit  pas  aux  points  horaires  mar- 


Proble’mes  de  Gnomonïqui.  2.  5 P 

quez  fur  les  parallèles  , ne  pourroit  pas  amft 
faire  connoîcre  les  heures*  Ainfi  quand  on  voudra 
fe  fervir  de  fa  propre  hauteur  pour  connoître  les 
heures  dans  un  femblable  Cadran  , il  ne  faudra 
pas  décrire  du  centre  A un  Cercle  d’une  grandeur 
énorme  , de  peur  que  les  points  des  heures  ne  s’é- 
loignent trop  de  ce  centre. 

PROBLEME  II. 

Décrire  un  Cadran  Horizontal , dont  on  ale  Centre 
Cr  la  Ligne  Equinoxiale . 

SI  le  Centre  donné  eft  A , & la  Ligne  Equinoxia- 
le BC  , tirez  à cette  ligne  BC  , par  le  Centre  A 
la  perpendiculaire  AD  , qui  fera  la  Ligne  Méridien- 
ne. Ayant  décrit  autour  de  la  ligne  AE  le  demi- 
cercle  AEF,  pour  y prendre  l’arc  EF  , égal  au  dou- 
ble de  l’Elévation  du  Pôle  , comme  de  98  degrez  à 
Paris  , 011  le  Pôle  eft  élevé  fur  l’Horizon  à peu  prés 
de  49  degrez,  décrivez  du  point  E par  le  point  F» 
une  circonférence  de  Cercle,  qui  donnera  fur  l’E- 
quinoxiale  BC , les  points  G,  H,  de  5 & de  9 
heures,  & fur  la  Méridienne  AD , les  deux  points 
I , D , dont  chacun  peut  être  pris  pour  le  Centre 
divifeur  de  l’EquinoXiale  BC , fur  laquelle  on  mar- 
quera les  points  des  autres  heures  en  cette  forte. 

Portez  la  même  ouverture  du  Compas  EF  fur  la 
circonférence  du  Cercle  décrit  du  centre  E , depuis 
G,  & H , aux  points  K , L , & depuis  I , de  part  & 
d’autre  aux  points  M , N,  Sc  tirez  du  point  D , par 
les  points  K , L , M , N , des  lignes  droites  qui 
donneront  fur  l’Equinoxiale  BC  , les  points  O , P , 
de  I , 1 1 , 1 , & 10  heures.  Si  vous  por- 
tez la  même  ouverture  du  Compas  EF  , depuis  M „ 

R ij 


Plan- 
che 17. 

9 I • Fig» 


Plan- 
che 2 8 . 
5>2.  Fig 


z6 o Récréât.  Maïkemaî.  et  Phys. 
ôc  N , fur  l’Equinoxiale  BC  , aux  points  S , T , vous 
aurez  en  S le  point  de  4 heures  , & en  T le  point 
de  8 heures.  Enfin,  fi  vous  portez  la  même  ouver- 
ture du  Compas  EF  , deux  fois  à droit  & à gauche  , 
depuis  les  points  S , T,  fur  la  même  Ligne  Equi- 
noxiale BC,  vous  aurez  les  points  de  5 8c  de  y 
heures  , qui  fe  rencontrent  ici  au  dehors  du  Plan 
du  Cadran , &c. 

PROBLEME  III. 

Décrire  un  Cadran  Horizontal  par  le  mojen  d'un 
£)u/art  de  Cercle. 

JE  fuppofe  que  le  Quart  de  Cercle  eft  divifé  en 
les  90  degrez,  comme  ABC,  au  dedans  duquel 
’ il  faudra  tirer  la  ligne  DE  perpendiculaire  au  De- 
mi-diametre  AB , ou  parallèle  â l’autre  Demi-dia- 
metreAC,  plus  ou  moins  éloignée  du  centre  A du 
Quart  de  Cercle  , félon  que  l’on  voudra  faire  un 
Cadran  plus  grand  , ou  plus  petit.  Cette  ligne  DE 
fera  diviféc  inégalement  par  les  lignes  droites  tirées 
du  centre  A de  1 5 en  1 5 degrez  , en  des  points  qui 
reprefenteront  les  points  horaires  de  la  Ligne  Equi- 
noxiale du  Cadran  Horizontal , que  l’on  décrira  en 
cette  forte. 

Ayant  tiré  fur  le  Plan  horizontal  la  Ligne  Méri- 
dienne FG,  Sc  y ayant  pris  à volonté  le  point  F pour 
je  centre  du  Cadran  , prenez  depuis  ce  centre  fur  la 
. Méridienne  FG  , la  partie  FH  égale  à la  partie  AI 
terminée  par  la  ligne  DE  fur  la  ligne  de  l’Elévation 
du  Pôle  , que  nous  avons  ici  fuppolée  de  30  degrez, 
en  la  comptant  depuis  C,  & tirez  par  le  point  H 
la  ligne  KL  perpendiculaire  à la  Méridienne  FG  , & 
cette  ligne  KL  fera  prife  pour  la  Ligne  Equinoxiale, 


Probee’mes  de  Gnomo-nique.  26"! 
fur  laquelle  on  tranfportera  depuis  H de  part  &c 
d’autre  les  divifions  de  la  ligne  DE  , en  les  prenant 
depuis  D , pour  avoir  les  points  des  heures  , par  les- 
quels on  tirera  du  centre  F les  Lignes  horaires , &c. 

Si  vous  voulez  trouver  le  pied  &c  la  longueur 
du  ftile,  tirez  dans  le  Quart  de  Cercle  du  point 
D,  qui  reprefente  le  bout  du  ftile , la  ligne  DO 
perpendiculaire  à la  ligne  AI  de  l’élévation  du  Pô- 
le , qui  reprefente  la  Ligne  Méridienne  du  Cadran 
Horizontal  , «Se  faites  HM  égale  à AO  , ou  FM 
égale  à IO  , pour  avoir  en  M le  pied  du  ftile,  donc 
la  longueur  eft  égale  à la  perpendiculaire  DO  , par- 
ce que  le  point  I reprefente  le  Centre  du  Cadran  , 
comme  il  eft  évident  à ceux  qui  entendent  la  Gno- 
monique. 

PROBLEME  IV. 

Décrire  un  Cadran  Horizontal  , Qr  un  Cadran 
Vertical  Mend.ional  , par  le  moyen  d'un 
Cadran  Polaire. 

SI  le  Cadran  Polaire  eft  fuppofé  dans  un  Plan  pa- 
rallèle au  Cercle  de  fix  heures,  en  forte  que  la 
Ligne  Equinoxiale  AB  foit  perpendiculaire  à la  Li- 
gne Méridienne  CD  , & à toutes  les  autres  Lignes 
horaires  qui  font  parallèles  entre  elles  ,&  à la  Méri- 
dienne ; faites  au  point  E de  9 heures  fur  l’Equino- 
xiale,  avec  la  même  Equinoxiale  AE  , l’Angle  AEF 
du  complément  de  l’Elévation  du  Pôle  , & par  le 
point  F , où  la  ligne  EF  coupe  la  Méridienne  CD  , 
tirez  à cette  Méridienne  CD , la  perpendiculaire 
GH,  qui  fe  trouvera  coupée  parles  Lignes  horaires 
du  Cadran  Polaire  en  des  points , par  où  vous  tire- 
rez au  centre  C les  Lignes  horaires  du  Cadran  Ho- 

R iij 


Plan- 
che 18. 
9 z.Fie. 


Plan- 
che 19. 
9h  Fig* 


Plan- 
che 19. 
9 h Fig- 


2.61  Récréât.  Mathemat.  et Phys. 
rizontal  : mais  on  trouvera  ce  centre  C fur  la  Mé- 
ridienne CD  , en  prenant  la  ligne  FC  égale  à la  li- 
gne EF. 

Si  par  le  même  point  E vous  tirez  la  ligne  El  s 
perpendiculaire  à la  ligne  EF,  ou  ce  qui  eft  la  mê- 
me chofe  , fi  au  point  E l’on  fait  l’angle  AEI  de  la 
hauteur  du  Pôle  fur  l’Horizon  , &c  que  par  le  point 
I , où  la  ligne  El  coupe  la  Méridienne  CD  , l’on 
tire  la  ligne  KL  perpendiculaire  à la  Méridienne , 
ou  parallèle  à l'Equinoxiale , cette  ligne  KL , qui 
ïeprefente  le  Premier  Vertical,  fera  coupée  parles 
lignes  horaires  du  Cadran  Polaire  en  des  points  s 
par  où  l’on  tirera  au  centre  D les  Lignes  horaires 
du  Cadran  Vertical  Méridional , ce  centre  D fe 
trouvant  pareillement  fur  la  Meridienue  CD , en 
faifant  la  ligne  ID  égale  à la  ligne  IE. 

Vous  remarquerez  que  l’Axe  CM  du  Cadran 
Horizontal  cfb  parallèle  à la  ligne  EF,  & que  pa- 
reillement l'Axe  DN  du  Cadran  Vertical  eft  paral- 
lèle à la  ligne  EL 

D 


P R O B L E M E V. 

Décrire  un  Cad/an  Horizontal  , & ttn  Cadran 
Vertical  Méridional , par  le  mojen  d'un 
Cadran  Equinoxial . 

^4»  Fig.  fD  I le  Cadran  Equinoxial  eft  fuppofé  décrit  fur  un 
i3  Plan  parallèle  d l’Equateur  * en  forte  que  la  Ligne 
de  fix  heures  AB  foie  perpendiculaire  à la  Ligne 
Méridienne  CD  , faites  au  point  E pris  à difererion 
fur  la  Ligne  de  fix  heures  AB , l’Angle  AEF  de  TElc- 
vation  du  Pôle  , & par  le  point  F , où  la  ligne  EF 
coupe  la  Méridienne  CD  , tirez  à cette  Méridien- 
lie  CD  3 la  perpendiculaire  GH  , qui  fe  trouvera 


' 


■ 


1 

. *•  ■ 


■ 


. -'w.j  - v-  * iïi  ^ « «* 


Pecreatioris  Æatbem. . Planche  2 \j?  ■ Pac/  e 2 ^2  . 


Proble’mes  de  Gnomonique.  16 3 

coupée  par  les  Lignes  horaires  du  Cadran  Equino- 
xial, en  des  points  , par  où  vous  tirerez  les  Li- 
gnes horaires  du  Cadran  Horizontal  de  Ton  centre 
C,  que  vous  trouverez  en  portant  la  ligne  EF  fur  la 
Méridienne  CD  , depuis  F en  C. 

Pour  le  Cadran  Vertical  il  faut  tirer  par  le  même 
point  E,  la  ligne  El  perpendiculaire  à la  ligne  EF, 
ou  bien , ce  qui  eft  la  même  chofe , il  faut  faire  au 
point  E l’Angle  AEI  du  complément  de  la  hauteur 
du  Pôle  fur  l'Horizon  , & par  le  point  I , où  la  li- 
gne El  coupe  la  Méridienne  CD , tirer  à la  ligne 
de  fix  heures  AB,  la  parallèle  KL  , qui  fe  trouvera 
coupée  par  les  Lignes  horaires  du  Cadran  Equino- 
xial, qui  partent  de  fon  centre  O,  en  des  points, 
par  où  Fon  tirera  les  Lignes  horaires  du  Cadran 
Vertical  de  fon  centre  D , qu’on  trouvera  en  por- 
tant fur  la  Méridienne  CD,  la  longueur  de  la  li- 
gne El , depuis  I en  D. 

Vous  remarquerez  que  l’Axe  CM  du  Cadran  Ho- 
rizontal eft  parallèle  à la  ligne  El  , Sc  que  l’Axe 
DN  du  Cadran  Vertical  eft  parallèle  à la  ligne  EF- 


PROBLEME  VI. 


Décrire  un  Cadran  Vertical  fur  un  quarreau  de 
Vitre  i ou  l’on  puijfe  connoître  les  heures  aux 
Rayons  du  Soleil , fans  aucun  file. 

J’ay  autrefois  fait  à un  de  mes  amis  un  Cadran 
Vertical  déclinant  fur  un  quarreau  de  Vitre  d’une 
des  fenêtres  de  fa  Chambre  , où  il  pouvoit  fans 
aucun  ftile  connoître  facilement  les  heures  au  So- 
leil , en  cette  forte. 

Je  fis  premièrement  arracher  un  quarreau  de  Vi- 
tre qui  étoit  colé  en  dehors  contre  lechaffisde  la 

R iiij 


Plan- 
che 1#, 
9 4 Fig. 


z6 4 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

fenêtre,  pour  y faire  un  Cadran  Vertical  félon  Î3 
déclinaifon  de  la  fenêtre  , & la  hauteur  du  Pôle 
fur  l'Horizon  , ayant  pris  pour  longueur  du  ftile 
l épaideur  du  chafiis  de  la  même  fenêtre.  Je  fis  en- 
fuite  recoler  ce  quarreau  de  Vitre  en  dedans  corn 
tre  le  chafiis  , ayant  donné  à la  Ligne  Méridienne 
une  fituation  perpendiculaire  à l’Horizon  , telle 
qu’elle  doit  être  dans  les  Cadrans  Verticaux  , &cn 
dehors  je  fis  çoler  contre  le  même  chafiis , vis-à- 
vis  du  Cadran,  un  papier  fort,  qui  n’étoit  point 
huilé  , afin  que  les  rayons  du  Soleil  le  pufient 
moins  penetrer , & tenir  en  cette  façon  la  Surface 
du  Cadran  plus  obfcure  ; & pour  y pouvoir  con- 
noître  les  heures  au  Soleil  fans  l’ombre  d’un  Stile, 
je  fis  un  petit  trou  avec  une  épingle  dans  le  papier, 
vis-à-vis  le  pied  du  ftile,  que  j’avais  marqué  dans 
le  Cadran  : car  ainfi  le  trou  reprefenrant  le  bout 
du  ftile,  Se  les  rayons  du  Soleil  paflânt  au  travers, 
faifoient  fur  la  Vitre  une  petite  lumière  qui  y 
montroit  agréablement  les  heures  dans  l’obfcurité 
du  Cadran. 

PROBLEME  VIL 

Décrire  trois  Cadrans  far  trois  Plans  différent 3 
oh  l'on  pourra  connoître  les  heures  au  Soleil 
par  l’ombre  d'un  feul  Axe, 

Plan-  TT)  Reparez  deux  Plans  rectangulaires  ABCD, 
che  io.  JL  BEFC,  d’une  largeur  égale  BC  , & les  joi- 
Fig.  gnez  enfemble  félon  cette  ligne  BC , qui  en  repré- 
sentera la  commune  fection , en  forte  qu’ils  fafiènE 
un  angle  droit,  ce  qui  fera  que  l’un,  comme 
ABCD,  étant  pris  pour  un  Plan  Horizontal , l’au- 
tçe  BEFC  fe  pourra  prendre  pour  un  Plan  Vertical, 


Froble’mes  de  Gnomonique.  265 

Çette  préparation  étant  faite  , ou  plutôt  aupara- 
vant que  de  joindre  enfemble  ces  deux  Plans , di- 
yilcz  leur  commune  largeur  BC  en  deux  également 
au  point  1,  8c  tirez  par  ce  point  I,  dans  le  Plan 
ABCD  , la  ligne  GI  perpendiculaire  à la  ligne  BC  , 
5c  dans  le  Plan  BEFC,  la  ligne  HI  perpendiculaire 
à la  même  ligne  BC,  8c  chacune  des  deux  lignes 
HI  , GI , fera  prife  pour  la  Méridienne  de  fon  Plan. 

Si  donc  on  prend  le  Plan  ABCD  pour  horizontal, 
on  y fera  un  Cadran  Horizontal , dont  le  centre  G 
fera  pris  à volonté  fur  la  Méridienne  GI  : 8c  fur 
l’autre  Plan  BEFC,  l’on  fera  un  Cadran  Vertical 
Méridional  , dont  le  centre  H fc  trouvera  fur  la 
Méridienne  HI , par  le  moyen  du  Triangle  rectan- 
gle GIH,  dont  l’Angle  IGH  doit  être  égal  à l’E- 
levation  du  Pôle.  Ce  Triangle  GIH  reétangle  en  I, 
doit  être  d’une  matière  forte  , pour  pouvoir  être 
appliquée  contre  ces  deux  Plans , 8c  les  maintenir 
dans  l’Angle  droit  , comme  vous  voyez  dans  la  Fi- 
gure , 8c  alors  l’hypotenufe  GH  pourra  fervir  d’Axe 
pour  le  Cadran  Horizontal  du  Plan  ABCD  , 8c  pour 
le  Vertical  du  Plan  BEFC. 

Ces  deux  Plans  ABCD,  BEFC,  étant  ainfi  at- 
tachez 8c  arrêtez  par  le  troiliéme  Plan  triangulaire 
GIH , tirez  dans  ce  troifieme  Plan  GIH , de  fon 
Angle  droit  I,  la  ligne  IO  perpendiculaire  à l’Axe 
GH,  8c  vous  fervant  de  cette  ligne  IO  comme  de 
Rayon  , faites  un  quatrième  Plan  coupé  en  rond 
KLMN  , dont  le  Demi-diametre  foit  égal  à la  li- 
gne IO,  8c  dont  la  circonférence  KLMN  doit  être 
divifée  en  24  parties  égales , pour  y faire  un  Ca- 
dran Equinoxial , tant  le  fuperieur  que  l’inferieur , 
en  forte  que  les  Lignes  horaires  de  l’un  répondent 
aux  Lignes  horaires  de  l’autre. 

Ce  Plan  KLMN  doit  être  coupé  en  dedans  corn- 


Pian-» 
clie  jo, 

9 5,  Fig. 


2 ,66  Récréât,  Mathemat.  et  Phys. 

Plan-  rne  un  Cercle  de  Sphere  , 8c  il  doit  être  fendu  îe 
c^e  5°'  long  de  Méridienne,  afin  qu’il  fe  puiffe  ajufler 
9Δ  par  cette  fente  au  Plan  triangulaire  GIH , félon  la 
ligne  IO  , en  forte  que  le  point  K de  Midy  touche 
îe  point  I , auquel  cas  l’Axe  GH  palTera  par  le  cen- 
tre P du  Cadran  Equinoxial,  8c  fera  perpendiculaire 
Jà  fon  Plan  , ce  qui  fait  qu’il  fera  aufli  l’Axe  de  ce  Ca- 
dran , dont  le  Plan  étant  tourné  droit  au  Midy,  en 
forte  que  le  centre  G regarde  directement  le  Midy , 
fera  parallèle  à l’Equateur,  8c  alors  l’ombre  de  cet 
Axe  commun  GH  montrera  les  heures  aux  Rayons 
du  Soleil  fur  chacun  de  ces  trois  Cadrans,  excepté 
au  temps  des  Equinoxes  , auquel  il  ne  montrera  les 
heures  que  dans  le  Cadran  Horizontal , 8c  dans  le 
Vertical. 

Pour  tourner  le  centre  G du  Cadran  Horizon- 
tal directement  au  Midy , en  forte  que  la  Ligne 
Méridienne  de  chacun  de  ces  trois  Cadrans  l'oit 
dans  le  Plan  du  Méridien  , 8c  que  l’Axe  GH  con- 
vienne avec  l’Axe  du  Monde , on  pourra  fe  fervir 
d’une  BoulTole  , où  la  Déclinaifon  de  l’Aimant  y foie 
marquée,  laquelle  eft  prefentement  à Paris  d’en- 
viron 6 degrez  Nord-Ouëft.  Ou  bien  l’on  marquera 
les  points  du  commencement  de  chaque  Signe  du 
Zodiaque,  qui  répond  environ  au  zo.  de  chaque 
mois , fur  l’Axe  GH  de  part  8c  d’autre  depuis  le 
point  O , qui  reprefente  les  Points  Equinoxiaux, 
ou  les  commencemens  de  T 8c  de  ^ , félon  la 
Déclinaifon  des  Signes  , en  faifant  au  point  I , avec 
la  ligne  IO  , de  côté  & d’autre  des  Angles  égaux  à 
cette  Déclinaifon  •,  car  ainfi  en  donnant  au  Plan 
ABCD  une  fituation  horizontale,  & en  le  tournant 
jufqu’à  ce  que  l’ombre  de  la  circonférence  KLMN 
v tombe  fur  le  degré  du  Signe  courant  du  Soleil,  le 
centre  G fe  trouvera  tourné  directement  an  Midy  s 


Proble’mes  de  Gnomonique.  i 6y 
& chaque  Ligne  Méridienne  fe  trouvera  dans  le 
Plan  du  Cercle  Méridien.  Je  ne  dis  pas  que  les 
Signes  Septentrionaux  fe  doivent  marquer  depuis  O 
vers  G,  parce  que  ceux  qui  entendent  la  Sphere  , 
fçavent  bien  que  dans  cette  Zone  que  nous  habi- 
tons j le  point  G reprelènte  le  Pôle  Septentrional. 

PROBLEME  VIII. 

Tracer  un  Cadran  fur  un  Plan  Horizontal  par  le 
moyen  de  deux  points  d’ombre  marquez  fur  ce 
Plan  au  temps  des  Equinoxes. 

SI  les  deux  points  d’ombre  font  B,  C,  on  les  p]an. 

joindra  par  la  ligne  droite  BC,  qui  reprefen-  che  3®. 
tera  la  Ligne  Equinoxiale  : & afin  que  l’erreur  foit 
moins  fenfible  , il  ne  faudra  pas  que  les  deux  points 
d’ombre  B , C,  foient  beaucoup  éloignez  entre  eux, 
parce  qu’autour  des  Equinoxes  la  Déclinâifon  du 
Soleil  change  fenfiblement  5 mais  ils  ne  doivent 
pas  aufii  être  trop  proches  , parce  qu’il  eft  difficile 
de  tirer  exactement  une  ligne  droite  par  deux  points 
extrêmement  proches. 

Ayant  donc  ainfi  tiré  la  Ligne  Equinoxiale  BC  , 
tirez-luy  par  le  pied  du  ftile  A , la  perpendiculaire 
GD , qui  fera  la  Ligne  Méridienne,  fur  laquelle 
on  marquera  le  centre  D de  l’Equateur,  & le  cen- 
tre G du  Cadran,  en  cette  forte.  Ayant  tiré  par  le 
même  pied  du  ftile  A , la  ligne  AF  perpendicu- 
laire à la  Ligne  Méridienne,  ou  parallèle  à la  Li- 
gne Equinoxiale  , & égale  au  ftile  , joignez  le  Rayon 
de  l'Equateur  EF,  8c  en  portez  la  longueur  depuis 
E fur  la  Méridienne  au  point  D , qui  fera  le  centre 
de  l’Equateur.  Si  vous  tirez  au  même  Rayon  de 
l’Equateur  EF,  parle  point  F,  la  perpendiculaire 


Plan- 
che 5 o. 
96.  ïig. 


2.6  8 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

FG  , vous  aurez  en  G fur  la  Méridienne  le  centre 
du  Cadran. 

Il  ne  relie  plus  qu’à  marquer  les  Points  horai- 
res fur  l’Equinoxiale  BC,  ce  qui  fe  pourra  faire  par 
ProbL  2 . ou  bien  en  cette  forte.  Ayant  décrit  du 
centre  de  l’Equateur  D,  avec  une  ouverture  vo- 
lontaire du  Compas , le  Demi-cercle  H El , & ayant 
divifé  fa  circonférence  ça  1 2 parties  égales  , ou  de 
I ç degrez  en  1 5 degrez  , tirez  du  même  centre  D, 
par  les  points  de  divdîon , autant  de  lignes  droi- 
tes qui  étant  prolongées  donneront  fur  la  Ligne 
Equinoxiale  BC  , les  points  des  heures  qu’on 
cherche. 

Ou  bien  plus  facilement  portez  la  longueur  du 
Rayon  de  l’Equateur  EF,  depuis  E , de  part  Sc 
d’autre  fur  la  Ligne  Equinoxiale  BC,  auxpointsde 
3 & de  9 heures , <3e  la  dülance  de  çes  deux  points 
depuis  D , de  côté  & d’autre  aux  points  de  4 & de 
8 heures , & depuis  ces  points  deçà  &c  délà  aux 
points  de  ^ , de  1 1 , de  1 , & de  y heures  : car 
ainfi  vous  aurez  tous  les  Points  horaires  fur  l’E- 
quinoxiale,  excepté  ceux  de  2 & de  10  heures, 
que  vous  trouverez  en  divifant  en  trois  parties 
égales  la  diilance  des  points  de  4 & de  8 heures, 
ou  bien  encore  ainiî. 

Remarque., 

Vous  remarquerez  que  la  diftance  du  point  E 
de  Midy  au  point  de  4 ou  de  .8  heures  fur  la  Ligne 
Equinoxiale,  eft  la  moitié  de  la  diftance  des  points 
de  ï à ç heures , ou  des  points  1 1 à y heures  : & 
que  la  diftance  des  points  de  2 à 9 heures,  ou  de 
50  à trois  heures,  cft  égale  à la  moitié  de  la  dif- 
tancc  du  point  de  2 à 5 heures , ou  du  point  1 o à 


Proble’mes  de  Gnomonique.  269 
7 heures , 6c  que  par  confequent  la  diftance  des  Pian-- 
points  de  z 8c  de  9 heures  , ou  de  1 o & de  3 heu-  cae  * 
rcs  eft  égale  au  tiers  de  la  diftance  des  points  de  9 
5 & de  9 heures  , ou  de  3 8c  de  7 heures.  D’où  il 
luit  qu’on  peut  trouver  autrement  qu’auparavant , 
les  points  de  z & de  10  heures  , fçavoir  en  divifant 
en  trois  parties  égales  la  diftance  des  points  de  ç 8c 
de  9 heures,  6c  la  diftance  des  points  de  3 8c  de  7 
heures. 

Si  outre  les  Points  horaires  de  la  Ligne  Equi- 
noxiale CC,  vous  voulez  avoir  les  points  des  de- 
mies, il  faut  divifer  le  Demi-cercle  HEI  en  deux 
fois  plus  de  parties  égales  , c’eft- à-dire  , en  24  par- 
ties égales,  8c  en  48  parties  égales  fi  vous  voulez 
avoir  les  quarts  d’heure,  8c  ainlï  enfuite.  Ou  bien 
pour  avoir  les  points  des  demie-heures  , on  mettra 
une  des  pointes  du  Compas  fur  les  Points  horai- 
res de  la  Ligne  Equinoxiale  BC , qui  font  en  nom- 
bre impair  , fçavoir  fur  les  points  de  1 , 11,3, 

9 , 5 & 7 heures  , 8c  on  étendra  l’autre  pointe  juf- 
qu’au  centre  de  l’Equateur  D , pour  avoir  des  ou- 
vertures qui  étant  portées  depuis  les  mêmes  Points 
horaires  départ  6c  d’autre  fur  l’Equinoxiale  , don- 
neront les  points  des  demies-heures  , par  le  moyen 
defquels  on  trouvera  de  la  même  façon  les  points 
des  quarts-d’heures  , 6c  ainfi  enfuite. 

PROBLEME  IX. 

Tracer  un  Cadran  fur  un  Plan  horizontal , oh  les 
points  de  cinq  & de  fept  heures  font  donnez 
fur  la  Ligne  Equinoxiale. 

COmme  il  arrive  fouvent  que  les  points  de  r 
5 6c  de  7 heures  de  la  Ligne  Equinoxiale  fe  57.  fig 


%yo  Récréât.  Matbemat.  et  Phys. 

Plan-  trouvent  hors  du  Plan,  pour  avoir  pris  un  ftife 
che  31.  tr0p  long  par  rapport  à la  largeur  du  Plan,  ce  qui 
57‘  empêche  de  pouvoir  marquer  ces  deux  points  de  j 
& de  j heures  fur  la  Ligne  Equinoxiale  , & de  pou- 
voir achever  le  Cadran  -,  il  fera  bon  de  déterminer 
ces  deux  points  fur  l’Equinoxiale , comme  A,  B, 
dont  le  milieu  O fera  le  point  de  Midy,  pour  a- 
chcver  le  Cadran  en  cette  forte. 

Ayant  tiré  par  le  point  de  Midy  O , la  Ligne  Mé- 
ridienne DE  perpendiculaire  à l’Equinoxiale  BC , 
on  trouvera  en  premier  lieu  fur  cette  Méridienne 
DE  , le  centre  de  l’Equateur  D,  6c  par  fon  moyen 
Je  centre  du  Cadran  I , pour  en  tirer  les  Lignes  ho- 
raires par  les  points  des  heures , qu’on  marquera 
fur  la  Ligne  Equinoxiale  AB , comme  il  a été  enfei- 
gné  au  Problème  precedent , par  le  moyen  du  cen- 
tre de  l’Equateur  D , que  nous  trouverons  ici  en 
trois  maniérés  differentes , comme  vous  allez  voir. 

Première  Méthode . 

Ayant  décrit  du  point  de  Midy  O , parles  points 
A,  B,  de  ç tk  de  y heures,  le  Demi-cercle  AFB  , 
& ayant  décrit  du  point  A,  parle  même  point  O, 
l'arc  de  Cercle  OF,  divifez  en  deux  également  l’arc 
AF  au  point  G , & menez  la  droite  BG  , qui  don- 
nera fur  la  Ligne  Méridienne  DE,  le  centre  de  l’E- 
quateur D. 

Seconde  Méthode « 

Ayant  décrit  comme  auparavant,  le  Demi-cercle 
AFB,  & l’arc  de  Cercle  OF,  décrivez  du  point  B , 
par  le  point  F , l’arc  de  Cercle  FH  , faites  la  ligne 
OD  égale  à la  partie  AH , pour  avoir  en  D le  cen-^ 
tre  de  l’Equateur  qu’on  cherche. 


^Récréations  JVTathem  Planche  31. Page  xji . 


\ 


Proble’mes  de  Gnomonique.  XJl 

Plaa> 

Troifiéme  Méthode.  c**c  î *• 

7 9-  *»g- 

Décrivez  des  deux  points  A,  B,  de  f & de  y heu- 
res avec  une  ouverture  du  Compas  égale  à le  diftan- 
ce  AB , deux  arcs  de  Cercle  , qui  fc  coupent  ici 
fur  la  Méridienne  au  point  E,  5c  décrivez  de  ce 
point  E , avec  la  même  ouverture  du  Compas  l’arc 
de  Cercle  ADB  , qui  donnera  fur  la  Méridienne 
DE  le  centre  de  l’Equateur  D. 

Pour  trouver  le  centre  du  Cadran  , faites  au 
centre  de  l’Equateur  l’Angle  ODC  du  complément 
de  la  Hauteur  du  Pôle  fur  l’Horizon  , 5c  portez 
la  lonaueur  de  la  liçne  CD  fur  la  Méridienne  DE, 
depuis  O en  I,  & le  point  I fera  le  centre  du  Ca- 
dran  , où  toutes  les  Lignes  horaires  doivent  a- 
boutir. 

Si  vous  voulez  trouver  le  pied  & la  longueur 
du  ftile  , ayant  décrit  autour  de  la  ligne  OI  le  De- 
mi-cercle OKI,  portez  fur  fa  circonférence  la  lon- 
gueur de  la  ligne  OD , depuis  O en  K , & tirez 
du  point  K , la  ligne  KL  perpendiculaire  au  Dia- 
mètre OI , pour  avoir  en  L le  pied  duftile  , dont 
la  longueur  fera  la  perpendiculaire  LK. 

Il  eft  évident  que  la  ligne  OK  eft  le  Rayon  de 
l’Equateur  , 5c  que  la  Ligne  1K  reprefente  l’Axe  du 
Cadran  , de  forte  que  l’Angle  LIK  cû  égal  à l’E- 
levarion  du  Pôle. 


%y 2,  Récréât.  Mathémat.  et  Phys* 

( 

PROBLEME  X. 


Etant  donne  un  Cadran  , fait  Horizontal  , ou  Ver~ 
tical  , trouver  pour  quelle  Latitude  il  a été 
fait , lorfque  l’on  connoît  la  longueur  & le  pied 
du  (Itle . 


F îan- 
clie  5 o. 

9 6.  fig. 


Plan- 
che 3 1. 
9 8-  fig. 


PRernicremcnt , fi  le  Cadran  eft  Horizontal  , on 
tirera  par  le  pied  du  ftile  A,  la  ligne  AF  égale  au 
ftile , & perpendiculaire  à la  Méridienne  , & l’on  ti- 
rera du  centre  G du  Cadran  par  le  point  F , la  droi- 
te FG , qui  reprefenterâ  l’Axe  du  Cadran,  & qui 
fera  avec  la  Méridienne  l’Angle  FGA  égal  à la  Lati- 
tude qu’on  cherche* 

On  travaillera  de  la  même  façon  pour  un  Cadran 
Vertical  Méridional , ou  Septentrional , qui  ne  dé- 
clinera point,  comme  l’on  connoîtra  lorfque  la  Li- 
gne Méridienne  paffera  par  le  pied  du  ftile  , & alors 
l’Angle  que  fera  l’Axe  du  Cadran  avec  la  Méridien- 
ne fera  le  complément , ou  le  refte  à 90  degrez 
de  l'Elévation  du  Pôle  , pour  laquelle  le  Cadran 
aura  été  .fait. 

Si  le  Cadran  Vertical  regarde  direébement  l’O- 
rient > ou  l’Occident , en  forte  qu’il  foit  Méridien., 
comme  l’on  connoîtra,  lorfque  les  Lignes  horaires 
feront  parallèles  entre  elles , on  mefurera  l’Angle 
que  fait  l’une  de  ces  Lignes  horaires  avec  la  Ligne 
Horizontale , ou  avec  quelqu’autre  ligne  parallèle 
à l’Horizontale,  & cet  Angle  fera  l’Elévation  du 
Pôle  qu’on  cherche. 

Si  le  Cacîran  Vertical  eft  déclinant,  comme  Fort 
connoîtra,  lorfque  la  Ligne  Méridienne  ne  paftera 
pas  par  le  pied  du  ftile,  comme  AH,  qui  ne  pafte 
pas  par  le  pied  du  ftile  C ; tirez  par  ce  point  C,  la 

Ligne 


iJLecreaturnj  Æathem  Planche  y2  ■ Page  zyj  . 


Proble’mes  de  Gnomonique.  275 
Ligne  Horizontale  FD  perpendiculaire  à la  Méri- 
dienne AH  , qui  fe  tire  à plomb  dans  tous  les  Ca- 
drans Verticaux  , 6c  la  ligne  CE  parallèle  à la  Mé- 
ridienne AH  , ou  perpendiculaire  à l’Horizontale 
FD,  6c  égale  au  ftiie.  Enfin,  portez  la  longueur  de 
l’hypotenufe  EB  , qu’on  peut  appeller  Linné  de 
De'clmaifon  , parce  que  l’Angle  CEB  eft  la  Décli- 
naifon  du  Plan  , fur  l’Horizontale  depuis  B au  point 
D , par  lequel  6c  par  le  centre  du  Cadran  A , vous 
tirerez  la  droite  DA,  qui  fera  au  point  D,  avec 
l’Horizontale  FD  , l’Angle  BDA  , donc  la  quantité 
fera  connoître  la  Latitude  qu’on  cherche,  c’eft-à- 
dire,  l’Elévation  du  Pôle  fur  l’Horizon,  pour  la- 
quelle le  Cadran  a été  fait. 

Remarque. 

Si  vous  voulez  fçavoir  l’Elévation  du  Pôle  fur 
le  Plan  du  Cadran  , c’eft-à-dire , de  combien  de 
degrez  eft  élevé  le  Pôle  fur  l’Horizon , auquel  le 
Plan  du  Cadran  eft  parallèle  ; tirez  la  Soultilaire 
AC  , 6c  décrivez  du  pied  du  ftiie  C , un  arc  de 
Cercle  avec  l’ouverture  CE , 6c  un  autre  arc  du  cen- 
tre du  Cadran  A , avec  l’ouverture  AD  , pour  avoir 
le  point  G dans  la  commune  fedion  de  ces  deux 
arcs,  par  lequel  on  tirera  au  centre  A l’Axe  du  Ca- 
dran AG  , qui  fera  avec  la  Souftilaire  AC  , l’Angle 
CAG  de  la  Hauteur  du  Pôle  fur  le  Plan. 

Si  vous  voulez  aufii  fçavoir  la  différence  des  Me- 
i ridiens  de  l’Horizon  du  Lieu  6c  de  l’Horizon  du 
Plan  , c’eft-à-dire  , la  différence  des  Longitudes  en- 
tre celle  de  l’Horizon,  pour  lequel  le  Cadran  a été 
fait , 6c  celle  de  l’Horizon  parallèle  au  Plan  du  Ca- 
dran i ayant  prolongé  la  L.igne  Souftilaire  AC  vers 
L , tirez-luy  du  point  F , feétion  de  la  Ligne  de  fi* 
Tome  /.  S 


Plan- 
che 3 1. 
P 8.  Fig. 


Plan- 
che j i 
^8.  Fi; 


2,74  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
heures  & de  l’Horizontale  , la  perpendiculaire  FKj 
qui  fera  la  Ligne  Equinoxiale,  & portez  la  lon- 
»•  gueur  du  Rayon  de  l’Equateur  IG  , fur  la  Soufti- 
lairc,  depuis  I en  L,  où  lera  le  centre  de  l’Equa- 
teur, par  lequel  & par  le  point  M , fedtion.de  la 
Méridienne  & de  l’Equinoxiale  , vous  tirerez  la 
droite  LM  , qui  fera  avec  la  Souftilaire  AL  , l’An- 
gle CLM,  dont  la  quantité  fera  connoître  la  dif- 
férence des  Longitudes  qu’on  cherche. 

Parce  que  le  centre  du  Cadran  A fe  trouve  ici 
au  defl'us  de  la  Ligne  Horizontale  , on  connoît  que 
îe  Plan  du  Cadran  décline  du  Midy  , & qu’il  dé- 
cline à l’Orient , parce  que  le  pied  du  ftile  C fe 
trouve  entre  la  Ligne  Méridienne  & les  Lignes  des 
heures  du  matin  , ou  avant  Midy.  On  connoît  auffi 
qu’au  temps  des  Equinoxes  le  Cadran  ne  fera  pas 
éclairé  du  Soleil  à trois  heures  après  Midy  , parce 
que  la  Ligne  de  trois  heures  étant  prolongée  ne 
coupe  point  la  Ligne  Equinoxiale  du  côté  des  heu- 
res après  Midy.  Enfin  l’on  connoît  en  tout  temps, 
que  le  Plan  du  Cadran  n’eft  point  éclairé  des  Rayons 
du  Soleil , aux  heures  dont  les  Lignes  dans  le  Ca- 
dran ne  coupent  point  du  côté  des  mêmes  heures 
la  Ligne  Horizontale. 

PROBLEME  XL 

"Trouver  le  Pied  & la  longueur  du  Jlile  dans  un 
Cadran  Vertical  déclinant. 

S’il  arrive  qu’un  Cadran  Vertical  déclinant  fe 
trouve  décrit  fur  une  muraille  fans  aucun  ftile, 
ni  fans  aucune  marque  du  lieu  où  il  avoir  été  plan- 
té, ou  du  point  où  Ton  a fuppoféfon  pied,  quand 
©n  a tracé  le  Cadran,  on  pourra  trouver  ce  pied. 


Proble’mes  de  Gmomonique. 

Sc  déterminer  la  longueur  du  ftile  , en  cetre  forte. 

Si  l'on  prolonge  la  Ligne  Méridienne  BH  , & 
quelqu’autre  Ligne  horaire,  on  aura  fur  cette  Meri? 
dienne  le  centre  du  Cadran , comme  A , où  l’on  fera 
avec  la  Méridienne  AH,  l’Angle  BAD  du  complé- 
ment de  l’Elévation  du  Pôle,  par  la  ligne  AD  , qui 
fe  trouvera  terminée  en  D,  par  la  Ligne  Horizon- 
tale FD,  qu’on  tirera  par  le  point  B pris  à dilcre- 
tion  fur  la  Méridienne  AH,  perpendiculairement 
à la  même  Méridienne, 

Cela  étant  fait , tirez  par  le  point  D,à  la  ligne 
AD  la  perpendiculaire  DM  , qui  donnera  fur  U 
Méridienne  AH , le  point  M , par  lequel  & par  le 
point  F de  fix  heures  fur  l’Horizontale  , vous  tire- 
rez la  Ligne  Equinoxiale  FK , à laquelle  on  tirera 
du  centre  A , la  perpendiculaire  AL  , qui  reprefen- 
tera  la  Ligne  Souftiîaire  , & donnera  par  confe^ 
quent  fur  l’Horizontale  FD  , le  pied  du  ftile  au 
point  C. 

Pour  trouver  la  longueur  du  ftile  , tirez  de  fort 
pied  trouvé  C , la  ligne  indéfinie  CE  perpendicu- 
laire à l’Horizontale  FD , & décrives  du  point  B 
par  le  point  D , un  arc  de  Cercle  , qui  déterminera 
fur  la  perpendiculaire  CE  la  longueur  du  ftile  qu’on 
cherche  , par  le  moyen  de  laquelle  on  pourra  con- 
noître  la  déclinaifon  du  Plan,  qui  eft  reprefèntée 
par  l’Angle  CEB  •,  l’Elévation  du  Pôle  fur  le  Plan, 
que  l’Angle  CAG  reprefente;  & la  différence  des 
Longitudes,  qui  eft  reprefentée  par  l’Angle  ILM  , 
comme  il  a été  enfeigné  au  Problème  precedent, 

Remarque, 

Lorfqu’on  n’aura  pas  le  point  F de  fix  heures  fur 
l’Horizontale  , pour  être  trop  éloigné,  ce  qui 

S V 


Plan- 
che ja.J 

9 ?.. 


2 y 6 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Plan-  rivera  quand  la  Déclinaifon  du  Plan  fera  fort  pe- 
c^ie  5 1*  rite , ce  qui  empêchera  de  pouvoir  tirer  la  Ligne 
58,  ig  £qUjnoXiiaje  FK,  on  tirera  cette  ligne  par  le  point 
M,  en  luy  faifànt  faire  avec  la  Méridienne  AH, 
l’Angle  BMF  , qu’on  trouvera  par  le  moyen  de  la 
Déclinaifon  du  Plan , &:  de  l’Elévation  du  Pôle  , en 
faifant  cette  Analogie , 

Comme  le  Sinus  Total , 

Au  Sinus  de  la  Déclinaifon  du  Plan  j 

Ainfi  la  Tangente  du  complément  de  l’Eleva - 
tien  du  Pôle  , 

A la  Tangente  du  complément  de  l’Angle 
qu’on  cherche . 

Je  parle  à ceux  qui  entendent  la  Trigonométrie, 
ôc  qui  par  le  moyen  de  la  même  Déclinaifon  du 
Plan  &c  de  l’Elévation  du  Pôle,  pourront  trouver 
l’angle  de  la  Ligne  de  fix  heures  avec  la  Méridien- 
ne , la  différence  des  Longitudes  , & l’Elévation 
du  Pôle  fur  le  Plan,  par  ces  trois  Analogies  j 

Comme  le  Sinus  Total  , 

Au  Sinus  de  la  Déclinaifon  du  Plan  ; 

la  Tangente  de  l’ Elévation  du  Foie  fur 
l’Horiz.  on , 

A la  Tangente  du  complément  de  l' Angle  de 
la  Ligne  de  fx  heures  avec  la  JHeri- 
dicnne. 


Comme  le  Sinus  Totale 

Au  Sinus  delà  hauteur  du  Pôle  fur  l' Horizon  j 
Ainfi  la  Tangente  du  complément  de  la  Déch - 
naifon  du  Plan , 

A la  Tangente  dis  complément  de  la  diffé- 


rence des  Longitudes* 


Proble’mes  de  Gnomonique.  277 

Comme  le  Sinus  'Total , 

Au  Sikhs  du  comblement  de  la  Déclinaifon 
du  Plan  ; 

Ainfi  le  S i nu  i du  comblement  de  P Elévation  du 
Pôle  fur  l'Horizon  , 

Au  Sinus  de  la  hauteur  du  Pôle  fur  le  Plan . 


Plan- 
che } 2,. 

^3.  Fig. 


Si  l’on  ne  peut  pas  avoir  le  centre  du  Cadran  , 
ce  qui  peut  arriver , lorfquc  l’Elévation  du  Pôle  eft 
fort  grande  , ou  quand  le  Plan  décline  beaucoup, 
ce  qui  empêchera  de  pouvoir  connoître  la  Décli- 
naifon  du  Plan , & déterminer  le  pied  & la  lon- 
gueur duftilepar  la  Méthode  precedente;  on  me- 
furera  l’Angle  de  la  Ligne  de  fix  heures  avec  l’Ho- 
rizontale , & par  le  moyen  de  cet  Angle  , & de  l’E- 
levation  du  Pôle  , on  pourra  connoître  la  Décli- 
naifon  du  Plan,  en  faifant  cette  Analogie , 

Comme  le  Sinus  Total , 

A la  Tangente  du  comblement  de  l'Elévation 

du  Pôle  ; 

Ainfi  la  Tangente  de  P Angle  de  la  Ligne  de 
ftx  heures  avec  P Horizontale  , 

Au  Sinus  de  la  Déclinaifon  du  Plan. 

i 

La  Déclinaifon  du  Plan  ayant  été  ainfi  connue, 
on  décrira  autour  de  la  partie  FB  terminée  par  la 
Ligne  de  fix  heures  & la  Méridienne  , le  Demi-cer- 
cle FEB  , pour  y prendre  depuis  F , l’Arc  EF  égal  au 
double  du  complément  de  la  Déclinaifon  du  Plan, 
& l’on  tirera  du  point  E , à l’Horizontale  FD  , la 
perpendiculaire  EC,  qui  donnera  la  longueur  du 
Hile,  Sc  déterminera  ion  pied  au  point  C. 

Si  vous  voulez  tirer  par  le  pied  du  ftile  trouvé 

S iij 


IMân- 
'che  j i. 

ÿ8.  Fig 


, Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
la  Ligne  üouftilaire , cirez  auparavant  la  Ligné 
Equinoxiale  FK  , par  le  point  de  lîx  heures  F , en 
luy  faifânt  faire  à ce  point  F > avec  l’Horizontale 
FD  j un  Angle  qu’on  trouvera  par  cette  Analogie  , 


Cimme  le  Sinus  Total, 

Au  Sinus  de  la  Déclmatfon  du  Plan  ; 

Amji  la  Tangente  du 
dn  Pôle , 

A la  Tangente  de  l'Angle  qu'on  cherche. 

Si  à la  Ligne  Equinoxiale  FK  , on  tire  par  le 
pied  du  ftile  C , la  perpendiculaire  CL  , elle  repre>- 
jfentera  la  Ligne  Souflilaire  , qu’on  pourra  auffi  ti- 
rer en  luy  faifanr  faire  au  point  C,  avec  l’Hori- 
zontale FD  j un  Angle  „ qu’on  trouvera  par  cette 
Aualogie  , 


complément  de  l’ Elévation 


Comme  le  Sinus  Totale 
An  Sinus  de  la  De'clinaifoti  du  Plan  ; 

Amji  la  Tangente  du  complément  de  1‘ Elévation 
du  Pôle , 

A la  Tangente  du  complément  de  l’ Angle 
qu’on  cherche. 

Ou  bien  portez  la  diftance  BE  fur  l’Horizontale 
FD,  depuis  B enD,  & faites  au  point  D , l’Angle 
BDM  du  complément  de  la  Hauteur  du  Pôle  fur 
l’Horizon  , pour  avoir  le  point  M , fur  la  Méri- 
dienne , par  lequel  & parle  point  F de  iïx  heures, 
on  tirera  la  Ligne  Equinoxiale  FM,  à laquelle  on 
tirera  parle  point  C la  ligne  perpendiculaire  CL  , 
<|ui  fera  la  Ligne  Souhilaire  qu’on  cherche. 


PrOBLe’mES  dé  GNOMONlCQe. 

PROBLEME  XII. 

î)  écrire  un  Cadran  portatif  dans  un  J9_^are 
de  Cercle. 

POiu-  décrire  un  Gadran  portatif  dans  le  Quart  p]an- 
de  Cercle  ABC  , dont  le  centre  cft  A , & dont  che  3 t. 
la  circonférence  BC  eft  divifée  en  fcs  <?o  degrezj  "•  r'&* 


Heu. 

XII 

XI 

X 

IX 

VIII 

1 Vlr 

VI 

duM 

Sign. 

D.M. 

U. M 

D.M. 

D.M 

D.M 

D M 

1 

D.M. 

| D M. 

Sign. 

{64.31 

61.76 

44-19 

46.36 

37-  1 

) 17 1 1 

j 7. 31 

1 8.21 

<£? 

10 

6+.  9 

61.33 

44-  ■> 

40.1  8 

36.44 

16.36 

7.11 

8.  4 

20 

20 

63.  i 

60.3 1 

44-  4 

44.18 

34-39 

16.  8 

16  12 

7.11 

IO 

U 

61.13 

48.49 

4i-4  4 

44-  7 

34-40 

14.41 

24-  7 

4.40 

xn 

10 

*8-48 

46.30 

40.19 

41.14 

3 2-44 

23-  7 

13.21 

3-47 

20 

20 

44-42- 

43  41 

47-47 

39-44 

30.41 

10.78 

II. 12 

1 .40 

IO 

np 

fi-31 

4-5° 

44-  1 

37-14 

18.10 

1 8.19 

8.4O 

V 

IO 

48.  41 

46.48 

41.44 

3413 

14.19 

14-4  3 

4-44 

20 

20 

44-c8 

43-ii 

38.14 

31.  0 

11.4.8 

1 1.48 

2-  49I 

IO 

tdc. 

41.  0 

3.9.10 

34-37 

17.18 

19.  9 

9-47 

r 

10 

37 ■ 1 

34.16 

30.48 

24.I  2 

14.48 

6.41 

20 

20 

33-  9 

31.40 

17.14 

lO.j-f 

I2-44 

3-44 

IO 

«l" 

1919 

18.  4 

13.48 

17  42 

9- IG 

0.74 

X 

10 

16.  8 

14.46 

20.71 

14.44 

7-  4 

20 

20 

13.11 

2 I . J 2 

18.  / 

12.12 

4.41 

10  J 

•H 

10.47 

19-30 

1 7.48 

10.  3 

2.42 

- 

IO 

1 8.  j 8 

17.41 

14.  6 

8.17 

I.I  2 

20 

20 

1 7- J 1 

16.30 

1 3-  3 

7-2-7 

0.1  8 

1 0 

17  19 

16. 1 9 

11.44 

7-  8 

O.  2 

Heu. 

XII 

I 

ii 

III 

IV 

V 

VI 

VII 

Au  s.  | 

décrivez  autour  du  Demi-diametre  AC,  une  de- 
mi'Circonference  de  Cercle,  qui  fera  prifepourla 

S iiij 


Plan- 
che $; 
99-  Fi; 


28©  Récréât»  Mathemat.  et  Phys.' 

Ligne  Méridienne  , par  le  moyen  de  laquelle  fk. 
de  la  Table  precedente,  qui  montre  la  hauteur  du 
Soleil  à chaque  heure  du  jour,  de  10  degrez  en 
I o degrez  des  Signes  du  Zodiaque  , pour  la  La- 
titude de  49  degrez,  telle  qu’eft  à peu  préscelle 
de  Paris , vous  décrirez  premièrement  les  Parallè- 
les des  Signes  , & par  leur  moyen  les  autres  Lignes 
horaires  par  des  Cercles,  en  cette  forte. 

Pour  décrire  par  exemple  le  Tropique  de  55  , 
connoilïànt  par  la  Table  precedente,  que  le  Soleil 
étant  en  55  eft  à Midy  élevé  fur  l’Horizon  de  64 
degrez  de  demi , vous  appliquerez  une  Réglé  fur 
îe  centre  A,  de  fur  le  64.  degré  & demi  du  Quart 
de  Cercle  BC  , en  comptant  depuis  B , vers  C , & 
par  le  point  où  la  Réglé  coupera  la  Ligne  Méri- 
dienne, vous  décrirez  du  centre  A un  Quart  de 
Cercle , qui  reprefentera  le  Tropique  de  5p.  Ainlî 
des  autres. 

Pour  décrire  les  autres  Lignes  horaires , on  en 
trouvera  trois  points,  en  marquant  un  point  de 
chacune  fur  trois  Parallèles  de  lignes  difFerens  tels 
que  l’on  voudra  , pour  faire  palier  par  ces  trois 
points  une  circonférence  de  Cercle , qui  reprefen- 
tera la  Ligne  horaire  qu’on  cherche.  Ces  points 
horaires  fe  trouveront  dans  l’interleétion  du  Paral- 
lèle du  Signe  propofé  de  d’une  ligne  droite  tirée  du 
centre  A par  le  degré  de  la  hauteur  que  le  Soleil 
doit  avoir  fur  l’Horizon  à l’heure  propofée,  lorf- 
qu'il  eft  dans  ce  Signe,  telle  qu’on  la  trouve  dans 
laTable  precedente. 

Pour  connoître  l’heure  aux  Rayons  du  Soleil  par 
le  moyen  de  ce  Cadran  , ajoûtez  au  centre  A un 
petit  fiile  bien  droit,  avec  un  filet  pendant  libre- 
ment par  la  pefanteur  d’un  plomb  qu’il  doit  avoir  à 
fen  extrémité,  & tournez  ce  centre  A vers  le  So* 


Probie’mes  DE  GnOMONIQIIE.  281 
îcil,  en  forte  que  la  ligne  AC  regarde  directement 
le  Soleil , ce  que  vous  connoîtrez  lorfque  l’ombre 
du  ftile  élevé  au  point  A couvrira  cette  ligne  AC, 
car  alors  le  filet  en  pendant  librement  du  centre  A, 
marquera  fur  le  Parallèle  du  Signe  courant  du  So- 
leil l’heure  qu’on  cherche  , & de  plus  fur  le  Quart 
de  Cercle  BC , les  degrez  de  la  hauteur  du  Soleil. 

Remarque. 

Cette  maniéré  de  reprefenter  les  Lignes  horaires 
par  des  circonférences  de  Cercle , n’eft  pas  bonne 
dans  la  rigueur  géométrique,  mais  comme  l’erreur 
eft  petite,  on  s’en  peut  fervir  tres-utilement.  Mais 
au  lieu  de  Cercles,  on  peut  avoir  des  lignes  droi- 
tes, fans  que  l’erreur  foit  auffi  beaucoup  confidc- 
rable  , fçavoir  en  décrivant  premièrement  du  centre 
A , avec  une  ouverture  volontaire  du  Compas , les 
deux  Quarts  de  Cercle  ©fc  , dont  le  pre- 

mier fera  pris  pour  l’un  des  Tropiques , & l’autre 
pour  l’Equateur  , après  quoy  l’on  trouvera  fur  cha- 
cun de  ces  deux  Quarts  de  Cercle  un  point  de  cha- 
que heure  , pour  joindre  deux  points  d’une  même 
heure  par  une  ligne  droite  , en  cette  forte. 

Pour  trouver  par  exemple  le  point  de  Midy  fur 
l’Equateur  , où  le  Soleil  étant , il  a Midy  éle- 
vé fur  l’Horizon  de  41  degrez,  appliquez  aucen- 
tre  A & au  4 1 . degré  du  Quart  de  Cercle  BC  , une 
Réglé  bien  droite  , qui  donnera  fur  l’Equateur 
le  point  1 2 de  Midy.  De  même  parce  que  le  Soleil 
étant  dans  © cft  à Midy  élevé  fur  l’Horizon  de  6 4 
degrez  & demi , vous  appliquerez  fur  le  centre  A & 
fur  le  64.  degré  & demi  du  Quart  de  Cercle  BC, 
la  même  Réglé  qui  donnera  fur  le  Quart  de  Cercle 
©î b , confideré  comme  le  Tropique  de  © , uufe- 


Plan- 
che  3 
99-  Fig. 


Plan- 
che 3 3 . 
100. Fig. 


2,8  z Récréât.  MathemAt.  etPüÿs. 

Plan-  cond  point  de:  Midy  , lequel  étant  joint  avec  le  pre^ 
mier,  on  aura  la  Ligne  Méridienne  , qui  fervira 
pour  les  Ex  Signes  Septentrionaux  , fçavoir  depuis 
l’Equinoxe  du  Printemps  jufqu’à  l’Equinoxe  d’Au- 
tomne. 

Si  l’on  confidere  le  même  Quart  de  Cercle  £5%  , 
comme  le  Tropique  du  ?o  , on  y trouvera  de  la 
même  façon  le  point  de  Midy , par  lequel  & par 
le  premier  point  de  Midy,  quia  été  trouvé  fur  l’E- 
quateur , tirant  une  ligne  droite  , on  aura 
une  fécondé  Ligne  Méridienne,  qui  fervira  pour 
les  Ex  Signes  Méridionaux  , fçavoir  depuis  l’Equi- 
noxe d’Automre  jufqua  l’Equinoxe  du  Printemps. 

C’eft  de  la  même  maniéré  qu’on  marquera  les  au- 
tres Lignes  horaires , tant  pour  les  Ex  Signes  Septen- 
trionaux , que  pour  les  Ex  Méridionaux  , & il  ne 
faut  que  regarder  la  figure  pour  le  comprendre. 
Pour  les  Parallèles  des  autres  Signes , ils  fe  décri- 
ront par  le  moyen  de  la  Ligne  Méridienne , comme 
lia  été  enfeigné  auparavant,  fans  qu’il  foitbefoin 
de  le  repeter  ici.  On  connoît  aulE  les  heures  fur 
ce  Cadran  , comme  fur  le  precedent,  c’eft  pour- 
quoy  nous  n’en  parlerons  pas  davantage. 

Nous  dirons  feulement  que  la  maniéré  la  plus 
exaéle  défaire  ce  Cadran,  eft  la  fuivante.  Décrivez 
ici. Fig.  à volonté  du  centre  A fept  Quarts  de  Cercle,  qui 
foient  fi  vous  voulez  également  éloignez  entre  eux, 
que  vous  prendrez  pour  les  commencemens  des 
douze  Signes  du  Zodiaque , le  premier  &c  le  der- 
nier étant  pris  pour  les  deux  Tropiques,  6c  celuy 
du  milieu  par  confequent  pour  l’Equateur.  Vous 
marquerez  fur  chacun  de  ces  Parallèles  des  Signes 
les  points  des  heures  félon  la  hauteur  que  le  Soleil 
doit  avoir  à ces  heures  au  commencement  de  cha- 
que Signe  , ce  que  vous  connoîtrez  par  la  Tabls' 


Récréations  Mat  hem  . Planche  33  . Pacje  7.  Se. 


Berev  pecii— 


Proble’mes  de  Gnomonique.  2 § ^ 
precedente , comme  il  a été  enfeigné  auparavant  ; 
après  quoy  il  n’y  aura  plus  qu’à  joindre  par  des  li- 
gnes courbes  tous  les  points  d une  même  heure, 
pour  avoir  ainfi  le  Cadran  achevé  , où  l’on  connoî- 
tra  les  heures,  comme  il  a été  dit  auparavant,  où 
nous  avons  dit,  qu’il  falloir  le  fervir  d’un  petit  Hi- 
le élevé  droit  au  centre  A : mais  au  lieu  de  11  île  , on 
pourra  fe  fervir  de  deux  pinnules  , dont  les  trous 
répondent  perpendiculairement  & à une  hauteur 
égale  fur  la  ligne  AC , fur  une  autre  qui  luy  foie 
parallèle,  carainlîau  lieu  de  l’ombre  duftile,qui 
doit  couvrir  la  ligne  AC  , on  fera  palfer  les  Rayons 
du  Soleil  par  les  trous  de  chaque  pinnule  : & pour 
i connoître  l’heure  plus  facilement,  on  pourra  ajouter 
au  filet  qui  pend  du  centre  A , une  petite  perle  enfi- 
lée, qu’on  avancera  fur  le  Signe  & degré  du  Soleil 
marqué  fur  la  ligne  AC , lorfqu’on  voudra  con- 
noître l’heure  ; car  alors  cette  perle  montrera  l’heu- 
re qu’on  cherche  , lorfque  les  Rayons  du  Soleil 
palferont  par  les  trous  des  deux  pinnules  , & que 
le  filet  avec  fon  plomb  pendra  librement  du  centre 
A,  fans  qu’il  foit  beloin  de  remarquer  où  le  filet 
coupe  le  degré  du  Signe  courant  du  Soleil. 

On  void  aifément  que  par  le  moyen  d’un  fembla- 
ble  Cadran  , l’on  peut  connoître  l’heure  fins  So- 
leil , pourvu  que  l’on  fçache  le  lieu  du  Soleil  dans 
le  Zodiaque,  & fa  hauteur  au  déifias  de  l’Hori- 
zon. Comme  fi  le  Soleil  étant  au  commencement 
de  T ou  de=ü,  eft  élevé  fur  l’Horizon  de  27  dc- 
grez  & demi,  en  appliquant  une  Réglé  bien  droi- 
te fur  le  centre  A , & fur  le  27.  degré  $c  demi 
du  Quart  de  Cercle  BC , elle  coupera  le  Parallèle 
de  V & de  ^ , au  point  de  heures  du  matin, 
i ou  de  3 heures  dufoir,  ce  qui  fera  connoître  qu’il 
ell  9 heures  du  matin,  fi  la  hauteur  du  Soleil  a 


Plan- 
che 3 3. 
iox.figi 


Plan- 
che 3 3 . 
ïo  i .Fig. 


Plan- 
che 34; 
sot  Fig. 


ïo  3. Fig. 


284  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

étc  obfervée  avant  Midy  , ou  3 heures  du  foir  3 ü 

la  hauteur  du  Soleil  a été  prife  après  Midy. 

On  peut  connaître  l'heure  faas  Cadran  par  le 
moyen  de  la  hauteur  du  Soleil , & de  la  Table  pre~ 
cedente3  en  cherchant  dans  cette  Table  la  hauteur 
trouvée  du  Soleil , ou  fa  plus  proche  dans  la  co- 
lonne du  S;gne  courant  du  Soleil , ou  du  10.  de- 
gré le  plus  proche , car  ainfi  on  trouvera  vis-à-vis 
de  cette  hauteur  l’heure  en  haut  fi  l’obfervation  a 
été  faite  le  matin,  ou  en  bas  fi  la  hauteur  du  Soleil 
a été  obfervée  après  Midy. 

On  peut  aullî  connoître  l’heure  fans  Cadran  par 
la  Geometrie,  & par  la  Trigonométrie,  comme 
nous  enfeignerons  après  avoir  dit  que  la  hauteur 
du  Soleil  fe  peut  prendre  par  le  moyen  d’un  fim- 
pie  Quart  de  Cercle  , comme  vous  avez  vu.  : ou 
bien  par  le  moyen  de  l’ombre  d’un  ftile  élevé  à an- 
gles droits  fur  un  Plan  Horizontal , ou  Vertical , en 
cette  forte. 

Premièrement , fi  l’ombre  du  ftile  AB  élevé  à 
plomb  fur  un  Plan  Horizontal  eft  AC , tirez  à cette 
ombre  AC , par  le  pied  du  ftile  A , la  perpendi- 
culaire AD  égale  au  ftile  AB  , Sc  tirez  du  point  D , 
par  l’extremité  C de  l'ombre  AC  , la  droite  CD  , & 
FAngle  ACD  fera  l’Elévation  du  Soleil  qu’on 
cherche. 

Mais  fi  vous  travaillez  fur  un  Plan  Vertical , tirez 
par  l’extremité  C , de  l’ombre  AC  , la  ligne  à plomb 
CD  , & par  le  pied  du  ftile  A , la  ligne  horizontale 
EF  perpendiculaire  à cette  ligne  CD.  Tirez  encore 
par  le  pied  du  ftile  A , la  ligne  à plomb  AG  égale 
au  ftile  AB,  & ayant  porté  la  longueur  de  la  ligne 
DG  fur  l’Horizontale  EF,  depuis  D en  F,  joignez 
la  ligne  CF  , & l’Angle  DEC  donnera  la  hauteur  du 
Soleil  fur  l’Horizon. 


J 


Problèmes  de  Gnômoniqhe.  185 
La  Hauteur  du  Soleil  étant  ainfi  connue  , ou  au- 
trement , on  connaîtra  l’heure  du  jour  première- 
ment par  la  Geontetrie , en  cette  forte.  Décrivez  à 
difcretion  le  Demi-cercle  ABCD  , dont  le  centre  eft  ^an" 
E,  & le  Diamètre  eft  AD,  6c  y prenez  d’un  côté 
l’arc  DC  de  l’Elévation  du  Pôle , 6c  de  l’aurre  côté  a 
l’arc  AB  du  complément  de  la  même  Elévation  du 
Pôle  , pour  joindre  les  droites  EB  , EC  , qui  feront 
perpendiculaires  entre  elles,  6c  dont  la  première 
EB  reprelentera  l’Equateur  , 6c  la  fécondé  EC  l’Axe 
du  Monde  , parce  que  le  point  E reprefente  le  cen- 
tre du  Monde , le  point  C le  Pôle  élevé  fur  l’Ho- 
rizon, que  le  Diamètre  AD  reprefente,  6c  le  Cer- 
cle ABCD  reprefente  le  Méridien  toutenfemble  6c 
le  Colure  des  Solftices , en  fuppofant  que  ce  Colure 
convient  avec  le  Méridien. 

Dans  cette  fuppofition  , l’on  prendra  l’arc  BL  de 
la  plus  grande  Déclinaifon  du  Soleil,  ou  de  2,3 
degrez  6c  demi , depuis  B vers  C , fi  le  Soleil  eft 
dans  les  Signes  Septentrionaux  , ou  de  l’autre  côté 
vers  A,  fi  le  Soleil  eft  dans  les  Signes  Meridio- 
naux,  6c  l’on  tirera  du  centre  Epar  le  point  L,  la 
droite  EL,  qui  reprefentera  l’Ecliptique  , félonies 
loix  de  la  Projeétion  Ortographique  de  la  Sphere. 

Après  cela  faites  l’arc  LM  égal  à la  diftance  du  So- 
leil au  Solftice  le  plus  proche , 6c  tirez  du  point 
M la  ligne  MI  perpendiculaire  à l’Ecliptique  EL , 
qui  fe  trouve  ici  coupée  par  cette  perpendiculaire 
MI  au  point  I , par  ou  vous  tirerez  à l’Equateur 
EB  la  parallèle  FG  : qui  reprefentera  le  Parallèle  du 
Soleil , & qui  coupe  ici  l’Axe  EC  au  point  G,  du- 
quel comme  centre,  on  décrira  par  le  point  F, 
l’arc  de  Cercle  FOK. 

Enfin  ayant  pris  l’arc  AH  égal  à la  Hauteur  du 
Soleil,  tirez  par  le  point  H,  à l’Horizon  AD  , la 


Plan- 
che J4- 
t o 4.  Fig, 


2.86  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
parallèle  HN  , qui  reprefenrera  l’Almicantarat  du 
Soleil,  &:  donnera  furie  Parallèle  FG,  fon  lieu  en 
N,  d’où  l’on  tirera  la  ligne  NO  perpendiculaire  à 
la  ligne  FG  , 8c  l’arc  FO  étant  converti  en  temps  , 
en  prenant  1 5 degrez  pour  une  heure , donnera 
l’heure  qu’on  cherche,  avant  ou  apres  Midy. 

L’Arc  BF  fait  connoître  la  Déclinailon  du  Soleil, 
que  l’on  peut  avoir  plus  exactement  par  le  moyen 
de  fa  plus  grande  Déclinaifon  qui  eft  de  2,3  de- 
grez 8c  demi,  8c  de  fa  diftance  au  plus  proche 
Equinoxe,  en  faifant  cette  Analogie  ; 


Comme  le  Sinus  Total , 

Au  Sinus  de  la  plus  grande  Déclinaifon  du 
Soleil  -, 

Ainft  le  Sinus  d,e  fa  diftance  au  plus  proche 
Equinoxe , , 

A la  Déclinaifon  quon  cherche . 


Il  eft  évident  que  quand  le  Soleil  n’aura  point 
de  Déclinaifon  , ce  qui  arrivera  au  temps  des  Equi^ 
noxes  , au  lieu  de  tirer  la  perpendiculaire  NO  du 
point  N , il  la  faudra  tirer  du  point  P , où  l’E- 
quateur EB  fe  trouve  coupé  par  l’Almicantarat  HI, 
pour  avoir  en  ce  jour  des  Equinoxes  l’heure  qu’on 
cherche  : mais  on  la  pourra  trouver  dans  ce  cas 
plus  exactement  par  cette  Analogie  j 

Comme  le  Sinus  du  complément  de  l' Elévation 
du  Pôle , 

Au  Sinus  de  la  Hauteur  du  Soleil) 

Ainfi  le  Sinus  Total , 

Au  Sinus  de  la  diftance  du  Soleil  à ftx  heures. 


Lorfque  le  Soleil  aura  une  Déclinaifon,  on  l’o- 


Froble’mes  de  Gnomonique.  287 
tera  de  90  degrez  , fi  elle  eft  Septentrionale  ,011  on 
l’ajoutera  à 90  degrez,  fi  elle  eft  Méridionale, 
pour  avoir  la  diftance  du  Soleil  au  Pôle , par  le 
moyen  de  laquelle  , Sc  de  l’Elévation  du  Pôle, 
avec  la  Hauteur  du  Soleil , on  pourra  trouver  par 
la  Trigonométrie  l'heure  du  Jour  , en  cette  forte. 

Ajoutez  enfemble  ces  trois  chofes , le  complé- 
ment de  la  Hauteur  du  Soleil,  le  complément  de 
l'Elévation  du  Pôle  , & la  diftance  du  Soleil  au  Pô- 
le , & ôtez  feparément  de  la  moitié  de  leur  fom- 
me  le  complément  de  l’Elévation  du  Pôle , & la 
diftance  du  Soleil  au  Pôle,  pour  avoir  deux  diffé- 
rences qui  nous  ferviront  avec  le  complément  de 
l’Elévation  du  Pôle,  & la  diftance  du  Soleil  au  Pô- 
le , pour  faire  ces  deux  Analogies  ; 

Comme  le  Sinus  de  la,  diflance  du  Soleil  au 
Pôle , 

Au  Sinus  de  l’une  des  deux  différences  ; 

Amjî  le  Sinus  de  l’autre  différence , 

A un  quatnéme  Sinus. 

Comme  le  Sinus  du  complément  de  l'Elévation 
du  Pôle  y 

Au  quatrième  Sinus  trouvé  ; 

Ainfi  le  Sinus  Total , 

A un  feptiéme  Smus. 

lequel  étant  multiplié  parle  Sinus  Total  , la  Racine 
quarrée  du  produit  fera  le  Sinus  de  la  moitié  de 
la  diftance  du  Soleil  au  Méridien. 


2.8  8 Récréât.  Mathemat.  ït  Phys» 

PROBLEME  XIII. 


Décrire  un  Cadran  portatif  fur  une  Carte . 


Plan- 
che j 4. 
loj.Fig 


LE  Cadran  que  nous  allons  décrire , efl  ordi- 
nairement appellé  le  Capucin , parce  qu’il  ref- 
femble  à la  tête  d’un  Capucin  , qui  a Ton  Capuchon 
renverfé.  Il  Te  peut  décrire  fur  une  petite  pièce  de 
Carton,  ou  bien  fur  une  Carte , en  cette  forte. 

Ayant  décrit  à volonté  une  circonférence  de  Cer- 
cle , dont  le  centre  efl  A , & le  Diamètre  efl  B 1 2 s 
divifez  cette  circonférence  en  24  parties  égales, 
ou  de  1 5 degrez  en  q degrez , en  commençant 
depuis  le  Diamètre  B 1 2 > & joignez  les  deux  points 
de  divifion  également  éloignez  du  Diamètre  B 1 2 , 
par  des  lignes  droites  parallèles  entre  elles  ,6e  per- 
pendiculaires à ce  Diamètre  B12  , qui  feront  les 
Lignes  horaires , dont  celle  qui  paffe  par  le  centre 
A , fera  la  Ligne  de  fîx  heures. 

Après  cela  faites  au  point  1 2 , avec  le  Diamètre 
B 1 2 5 l’Angle  B12T  de  l’Elévation  du  Pôle  , 6c 
ayant  tiré  par  le  point  T,  où  la  ligne  1 2T  coupe 
la  Ligne  de  fix  heures,  la  ligne  indéfinie  3^0  , 
perpendiculaire  àla  Ligne  12T,  vous  terminerez 
cette  ligne  3'fc  aux  points  3 , /o  , par  les  lignes 
125  , 1 2 7o  , qui  doivent  faire  avec  la  ligne  1 2 T, 
chacune  un  Angle  de  2 3 degrez  6c  demi  , telle 
qu’eft  la  pins  grande  Déclinaifon  du  Soleil. 

On  trouvera  fur  cette  perpendiculaire  3^0  , les 
points  des  autres  Signes  , en  décrivant  du  point 
'Y',  comme  centre,  par  les  points  3 , ‘h  , une  cir- 
conférence de  Cercle,  6e  en  la  divifant  en  douze 
parties  égales,  ou  de  30  degrez  en  30  degrez, 
pour  les  commencemens  de  douze  Signes  du  Zo- 
diaque , 


Pîiobie’mes  de  Gnomoniqoe.  2,  S 9 

dîaque , pour  joindre  deux  points  de  divifion  oppo- 
sez & également  éloignez  des  points  £3  , fa  , par 
des  lignes  droites  parallèles  entre  elles  & perpen- 
diculaires au  Diamètre  £3  fa  , qui  donneront  fur 
ce  Diamètre  les  commenccmens  des  Signes,  d’où 
comme  centres , on  décrira  par  le  point  1 z des 
arcs  de  Cercle , qui  reprefenteront  les  Parallèles 
des  Signes , aufquels  par  confequent  on  ajoutera 
les  mêmes  caractères , comme  vous  Voyez  dans  la 
Figure» 

Ces  Arcs  des  Signes  ferviront  pour  connoître 
les  heures  aux  Rayons  du  Soleil,  en  cette  forte., 
Ayant  tiré  à volonté  la  ligne  Cfa  , parallèle  au  Dia- 
mètre Biz  > élevez  à fon  extrémité  C,  un  petit 
Itile  bien  droit,  & tournez  le  Plan  du  Cadran , en 
forte  que  le  point  C regardant  obliquement  le  So- 
leil , l’ombre  du  ftile  couvre  la  ligne  Cfa  , & alors 
un  filer  pendant  librement  avec  fon  plomb  du  point 
du  degré  du  Signe  courant  du  Soleil , marqué  fur 
la  ligne  £3fa,  montrera  en  bas  fur  l’Arc  du  même 
Signe  l’heure  qu’on  cherche. 

Remarque. 

Afin  que  le  filet  fe  puifiè  mettre  facilement  fur 
le  degré  du  Signe  courant  du  Soleil  , il  faut  que 
le  Plan  du  Cadran  foit  fendu  le  long  de  la  ligne 
£3  fa  , car  ainfi  on  pourra  facilement  avancer  le  filet 
à tel  point  que  l’on  voudra  de  cette  ligne , & l’ar- 
rêter à ce  point  : ôc  fi  l’on  enfile  à ce  filet  une  pe- 
tite perle , on  pourra  fe  pafièr  des  Arcs  des  Signes 
pour  connoître  l’heure  du  jour,  en  avançant  la  perle 
au  point  12,  lorfque  le  filet  aura  été  arrêté  au  de- 
gré du  Signe  courant  du  Soleil , car  alors  cette  perle 
montrera  l’heure  qu’on  cherche  » lorfque  le  point  C 
Tome  L T 


Plan* 
die  34  •' 
ioj.Fig» 


Plan- 
che 34. 
•10;.  Fig. 


Plan- 
che 3 y . 
206. Fig. 


2.9a  Récréât.  Mathemat.  et  Phÿs." 
aura  été  tourné  droit  vers  le  Soleil,  en  forte  que* 
comme  nous  avons  dit,  l’ombre  du  ftile  couvre  la 
ligne  Ch. 

On  auroir  pû  marquer  les  Signes  plus  exacte- 
ment fur  la  ligne  3 h , en  faifant  au  point  1 2 
avec  la  ligne  uï  de  part  & d’autre  des  angles 
égaux  à la  Déclinaifon  de  ces  Signes  : mais  comme 
l’erreur  n’eft  pas  conhderable  , lorfque  le  Cadran 
eft  petit , comme  il  arrive  ordinairement',  on  aura 
plutôt  fait  de  fuivre  la  Méthode  precedente. 

Ce  Cadran  tire  fon  origine  d’un  certain  Cadran 
reétiligne  univerfel,  qui  a été  autrefois  publié  par 
le  P.  de  Saint  Rigaud  Jefuite , fous  ce  titre  jlna- 
lemma  novam.  Voici  la  maniéré  qu’il  nous  a en- 
icignée  pour  fa  conftruCtion  de  pour  fonufage. 

Ayant  décrit , comme  auparavant , les  Lignes  ho- 
raires par  le  moyen  d’un  Cercle  divifé  en  24  par- 
ties égales , qui  a le  point  A pour  fon  centre  , de  la 
ligne  Y£fc  pour  Diamètre  , à laquelle  toutes  les 
Lignes  horaires  font  perpendiculaires , dont  celle 
qui  paflè  par  l’extremité  Y , reprefente  la  Ligne  de 
Midy  , de  celle  qui  palTe  pat  i’autre  extrémité  & , 
reprefente  la  Ligne  de  Minuit  3 prenez  le  Diamètre 
Y — pour  l’Equateur,  & décrivez  les  Parallèles  des 
autres  Signes  par  des  lignes  droites,  en  cette  forte. 

Prenant  donc  le  Diamètre  Y pour  l’Equa- 
teur, faites  avec  cette  ligne  au  centre  A , un  An- 
gle égal  à la  plus  grande  Déclinaifon  du  Soleil , ou 
de  23  degrez  de  demi,  parla  ligne  droite  <%>h , 
qui  fera  prife  pour  l’Ecliptique  , de  qui  fe  trouvera 
coupée  par  les  Lignes  horaires  de  1 5 degrez  en  1 5 
degrez  , en  des  points,  par  lefqùels  on  tirera  des 
lignes  droites  parallèles  entre  elles  & à l’Equateur 
Yû,  qui  reprefenteront  les  co.nmencemens  des 
Signes  & de  leurs  moitiez. 


R ecreations  Math e ni  Puuic/te  jj'.  Page  zgi . 


yy 


I 


Proble’mes  ce  Gnomoniquè.  ±$i 

Enfin  tirez  du  centre  A , par  les  degrez  du  De-  Plan 
mi-cercle  d’en  bas  des  lignes  droites  de  cinq  en  chc 
cinq,  ou  de  dix  en  dix  degrez  j,  & les  prolongez  lo6i 
jufqu’à  ce  qu’elles  rencontrent  chacune  des  deux 
Lignes  Méridiennes  Cp20  , où  vous  ajou- 

terez des  chifres , en  forte  que  les  chifres  d’une 
Ligne  Méridienne  faffent  avec  les  chifres  corref- 
pondans  de  l’autre  90  degrez  , pour  avoir  ainfî 
les  degrez  de  Latitude  marquez  fur  chaque  Ligne 
Méridienne , qui  nous  fervhont  pour  connoître 
l’heure  en  cette  forte. 

Tirez  du  centre  A au  degré  de  la  Latitude  du 
Lieu  où  vous  êtes,  qui  eft  marqué  fur  la  Ligne  de 
Minuit  Ç?io,  comme  au  degré  50,  fi  le  Pôle  eft 
élevé  fur  vôtre  Horizon  de  degrez  , la  droite 
AçOj  qui  reprefentant  cet  Horizon  , fera  connoî- 
tre l’heure  du  Lever  & du  Coucher  du  Soleil  au 
point  , où  elle  coupera  le  Parallèle  du  degré  du 
Signe  , où  le  Soleil  fera  pour  lors  : & attachez  à 
ce  point  un  filet  pendant  avec  fon  plomb , ayant 
une  petite  perle  enfilée,  afin  que  le  filet  étant  éten-* 
du  depuis  le  même  point  fur  le  degré  de  la  mê- 
me Latitude,  marqué  fur  la  Ligne  de  Midy  C970  » 
cette  perle  fe  puifiè  avancer  fur  ce  degré  de  Lati- 
tude i après  quoy  la  perle  demeurant  immobile  à 
l’endroit  du  filet  où  elle  fe  trouvera,  on  laiffera 
pendre  ce  filet  librement  avec  fon  plomb  Sc  fa  perle 
immobile  , pour  pouvoir  connoître  l’heure  du 
jour  aux  Rayons  du  Soleil,  par  une  Méthode  fem- 
blable  à la  precedente,  comme  vous  allez  voir. 

Elevez  un  petit  ftile  bien  droit  à l’extrCmité  d2s 
de  la  ligne  T =û=  , ou  de  quelqu’autre  qui  luy  foie 
parallèle  , & le  point  dh  étant  tourné  obliquement 
Vers  le  Soleil,  en  forte  que  le  filet  pende  librement 
avec  fon  plomb,  &:  que  l’ombre  du  ftile  couvre  fa. 

T ij 


Récréât.  Mathemat  et  Phys. 

Plan-  ligne,  la  perle  fera  eonnoiire  l’heure  qu’on  cherche, 
che  3 j-.  Voilà  ce  que  nous  ayons  appris  du  P.  de  S.  Ri- 
lo6,  ‘S-  gaud,&  voici  ce  que  nous  ayons ajoûcé à fon  Ana- 
lemme,  qu’on  peut  faire  fervir  de  Cadran  Hori- 
zontal Univcrfel,  en  prenant  la  Ligne  de  fix  heu- 
res pour  la  Méridienne  , &le  cenrre  A pour  le  cen- 
tre du  Cadran  , auquel  cas  la  ligne  Yû  fera  la  Li- 
gne de  fix  heures ,,  & en  portant  fur  les  Lignes  Ho- 
raires depuis  la  Ligne  de  fix  heures  V^;,  les  par- 
ties des  Horizons  terminées  par  les  Lignes  horai- 
res , en  les  prenant  depuis  le  centre  A.  Car  ainfi  on 
aura  des  points  fur  les  Lignes  horaires , qui  étant 
joints  par  des  lignes  courbes , on  aura  des  Ellipfes, 
qui  reprefenteront  les  Cercles  de  Latitude  , fur 
lefqueiles  on  connoîtra  les  heures  aux  Rayons  du 
Soleil  par  l’ombre  de  l’Axe  qui  doit  faire  avec  la 
Méridienne  au  centre  A , un  Angle  égal  à l’Eléva- 
tion du  Pôle. 

Mais  on  peut  décrire  autrement  & tres-facile- 
ment  un  Cadran  Horizontal  Elliptique  Univcrfel , 
comme  nous  enfeignerons  après  vous  avoir  enfei- 
gné  dans  le  Problème  fuivant  deux  maniérés  dif- 
ferentes, pour  décrire  un  Cadran  Horizontal  Rec- 
tiligne Uniyerfel. 

PROBLEME  XIV. 

Décrire  un  Cadran  Horizontal  ReEliligxe 
Ziniverfel. 

Plan-  Â Yant  tiré  par  le  centre  du  Cadran  A,  pris  à vo- 
che  ? 6.  f\  lonté  fur  un  Plan  Horizontal , les  deux  lignes 
is8.fjg.  perpendiculaires  AB , CD  , & ayant  pris  la  premiè- 
re AB  pour  la  Méridienne,  8c  la  deuxième  CD 
pour  la  Ligne  de  fix  heures,  décrivez  à diferetion 


BereM'fecii — 


*; 


'« ‘ jji . _ 


L 


Frobie’mes  de  Gnomoniquë  29$ 
du  centre  A, le  Quart  de  Cercle  EFj&  après  avoir  tiré  Plan- 
parle  point  E , la  ligne  GH  perpendiculaire  à la  Me-  ciie  >6m 
ridienne , qui  reprefentera  le  90.  degré  de  Latitude,  ro8»fiS* 
& par  Je  point  F,  la  ligne  FK  parallèle  à la  même  Mé- 
ridienne , qui  reprefentera  la  Ligne  de  9 heures,  & 
auflï  le  30.  Cercle  de  Latitude  à l’égard  des  Lignes 
horaires  qui  luy  font  perpendiculaires  , divifez  le 
Quart  de  Cercle  EF,  en  fix  parties  égales , ou  de 
I ç degrez  en  1 ç degrez,  afin  que  tirant  du  centre 
A par  les  points  de  divifion  des  lignes  droites  ,vou$ 
ayez  fur  la  ligne  GH  , les  points  des  autres  heures, 
par  où  l’on  tirera  les  autres  Lignes  horaires  pa- 
rallèles à la  Méridienne  , omettant  expreifément 
les  Lignes  de  ^ & de  y heures,  pour  ne  pas  don- 
ner une  trop  grande  largeur  au  Cadran  : & pour  le 
faire  encore  moins  large,  on  pourroit aufïi omet- 
tre les  Lignes  de  4 ëc  de  8 heures  , qui  reprefentent 
le  6 o.  degré  de  Latitude  , à l’égard  des  Lignes  ho- 
raires qui  leurs  font  perpendiculaires,  & qui  fup- 
pléeront  au  défaut  des  Lignes  horaires  qui  auront 
été  négligées , je  parle  de  celles  qui  font  parallèles 
à la  Méridienne  AB. 

Ces  mêmes  lignes  droites  qui  partent  du  centr® 

A,  étant  prolongées  , donneront  fur  la  ligne  FK  de 
9 heures  des  points,  par  où  l’on  décrira  du  centre 
A , des  arcs  de  Cercle  , qui  donneront  fur  la  Mé- 
ridienne AB  , les  points  15,  30  5 45  , 60 , 7^  , 
par  où  l’on  tirera  autant  de  lignes  droites  parallèles 
entre  elles  & à la  ligne  GH  , ou  perpendiculaires  à 
la  Méridienne  AB,  qui  reprefenteront  les  Cercles 
de  Latitude  de  1 ç degrez  en  1 $ degrez  , à l’égard 
des  Lignes  horaires  parallèles  à la  Méridienne  AB. 

Pour  avoir  d’autres  Cercles  de  Latitude , & d’au- 
tres Lignes  horaires , pour  les  faire  fervir  au  défaut 
de  celles  qui  ont  été  négligées , décrivez  du  point 

T üj 


Plan- 
che j 
jo  8,  Fig. 


Plan- 
che 37. 
sop.Tig 


2,94  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

E par  le  centre  A , le  Demi-cercle  A1B  , & divifcz  fà 
circonférence  en  fix  parties  égales,  ou  de  30  dc- 
grez  en  30  degrez,  pour  décrire  du  centre  A par 
les  points  de  divilîon  des  arcs  de  Cercle  , qui  don- 
neront fur  la  Ligne  de  fîx  heures  des  points , par- 
où  l’on  tirera  des  lignes  parallèles  à la  Méridienne 
AB , qui  reprefenteront  des  Cercles  de  Latitude  de 
I 5 degrez  en  1 5 degrez. 

Pour  décrire  les  Lignes  horaires  qui  convien- 
nent à ces  Cercles  de  Latitude,  & qui  doivent  être 
parallèles  à la  Ligne  de  lîx  heures, telle  qit’eft  laLigne 
de  3 & de  9 heures  , qui  pâlie  par  le  point  B,  & qui 
reprefente  le  30.  Cercle  de  Latitude  à l’égard  des 
premières  Lignes  horaires,  tirez  du  point  B,  par 
les  points  de  divilîon  du  Demi-cercle  AIB  , des  li- 
gnes droites  , qui  étant  prolongées  , donneront  fur 
la  Ligne  de  fix  heures  les  points  L , M,  C,  dont 
les  diftances  AL  , AM  , AC  , étant  portées  de 
part  & d’autre  depuis  le  centre  A , fur  la  Ligne  Mé- 
ridienne AB  , on  aura  des  points , par  où  l’on  tirera 
des  lignes  parallèles  à la  ligne  de  lîx  heures. 

On  connoîtra  les  heures  dans  ce  Cadran  Uni* 
verfei , comme  dans  le  precedent  , fçavoir  en  tour- 
nant le  centre  A droit  du  Midy  , comme  aux  Ca* 
drans  Horizontaux  ordinaires,  & en  mettant  au 
même  centre  A , un  Axe  élevé  fur  la  Méridienne  à 
un  Angle  de  la  Latitude  du  Lieu  où  î’oneft,  car 
ainlî  l’ombre  de  cet  Axe  donnera  fur  la  hgnç  delà 
même  Latitude  , l’heure  qu’on  cherche. 

On  peut  autrement  & plus  facilement  décrire  un 
Cadran  Reéliîigne  Univerfel  fur  un  Plan  Horizon* 
ral , en  cette  forte.  Ayant  tiré,  comme  auparavant  , 
par  îc  centre  du  Cadran  A , les  deux  perpendicu- 
laires AB,  CD,  & ayant  tiré  par  le  point  90  pris 
■1  difcrçtipn  fur  la  Méridienne  AB.S  la  ligne  EF  pet-* 


♦ 

/ 


Plan- 
che j I. 
97*  % 


Plan- 
che j j . 

307- Fig. 


±>yê  RseRBAT.  Mathëmat.  it  Phys.' 
deux  Latitudes , & alors  l’Axe  de  l’ombre  IK  mon- 
trera les  heures  aux  Rayons  du  Soleil  , lorfque  lé 
centre  I fera  tourne  droit  au  Midy. 

La  fécondé  maniéré  fê  pratique  en  mettant  au 
point  O , fection  de  la  Méridienne  DI , & de  l’E- 
quinoxiale  AB , un  petit  Plan  perpendiculaire  fem- 
blable  au  Triangle  rectangle  OKI,  qui  foit  mo- 
bile autour  de  ce  point  O , en  telle  forte  que  le 
coté  OK  fafTe  avec  la  Méridienne  OL,  qui  doit 
être  fendue  en  cet  endroit , Un  Angle  égal  au  com- 
plément de  l’Elévation  du  Pôle  fur  l’Horizon  du 
Lieu  où  l’on  eft,  6c  alors  l’ombre  de  l’Axe  Kl  mon- 
trera fur  l’Equinôxiale  AB,  l’heure  qu’on  cherche, 
lorfque  le  centre  I fera  tourné  directement  vers 
ïe  Midy. 

P R O BLEME  XV. 

D écrire  h»  Cadran  Hori^ontat  Elliptique  VniverfeL 

AYant  tiré  comme  dans  le  Problème  precedent 
par  le  centre  du  Cadran  A pris  à diferetion 
■ fur  un  Plan  Horizontal  les  deux  perpendiculaires 
AB  , CD,  & ayant  décrit  du  même  centre  A le  De- 
mi-cercle CBD  d’une  grandeur  volontaire , divi- 
fez  fa  circonférence  en  douze  parties  égales  , ou  de 
ï ç degrez  en  i ç degrez , & joignez  deux  points 
de  diviiîon  oppofez  & également  éloignez  de  la 
Ligne  de  fix  heures  CD  , par  de£  lignes  droites  per- 
pendiculaires à la  Méridienne  AB  , ou  parallèles  à 
îa  Ligne  de  hx  heures  CD  , qui  reprefenteront  les 
autres  Lignés  horaires , fur  îdfquelles  on  marquera, 
les  points  de  Latitude , en  cette  forte. 

Pour  marquer  fur  chaque  Ligne  horaire  le  point 
par  exemple  du  6 o.  degré  de  Latitude,  faites  au 


Probie’mes  de  Gnomonic^ui.  297 
centre  A , avec  ia  Méridienne  AB  , un  Angte  de  60 
degrez  par  la  ligne  AE  , & portez  les  distances  per- 
pendiculaires des  points  où  la  Méridienne  fe  trou- 
ve coupée  par  les  Lignes  horaires  à la  ligne  AE  , fur 
les  Lignes  horaires  oppofées,  depuis  la  Méridienne 
AB  de  part  & d’autre  en  des  points  , que  vous  join- 
drez par  une  ligne  courbe  qui  fera  la  circonférence 
d’une  Demi-Ellipfe  ,&  qui  reprefentera  le  60.  Cer- 
cle de  Latitude.  C’eft  ainfi  que  nous  avons  repre- 
fentezles  autres  Cercles  de  Latitude  de  1 $ degrez 
en  1 ç degrez , par  le  moyen  defquels  on  connoî- 
tra  les  heures  aux  Rayons  du  Soleil  , comme  il  a 
été  enfeigné  au  Problème  precedent. 

PROBLEME  XVI. 

Décrire  un  Cadran  Horizontal  Hyperbolique 
Vmverfel. 

AYant  tiré  comme  auparavant,  par  le  centre  du 
Cadran  A,  les  deux  lignes  perpendiculaires 
AB , CD , 8c  ayant  auffi  décrit  comme  auparavant, 
du  même  centre  A , le  Demi-cercle  EFtS  divifé  en 
douze  parties  égales , ou  de  1 $ degrez  en  1 { de- 
grez, tirez  de  ce  centre  A,  par  les  points  de  divi- 
fion  des  lignes  indéfinies , au  dedans  defquelles , 
comme  entre  des  Afymptotes , vous  décrirez  par 
le  point  F pris  à diferetion  fur  la  Méridienne  AB, 
des  Hyperboles  qui  reprefenteront  les  Lignes  ho- 
raires. 

Apres  cela,  tirez  par  le  même  point  F , à la  Mé- 
ridienne AB,  la  perpendiculaire  HI , qui  reprefen- 
tera le  90.  Cerc  le  de  Latitude  ,&  qui  fc  trouvera 
coupée  par  les  Afymptotes  tirées  du  centre  A , en 
des  points , par  où  vous  décrirez  du  même  centre 


Plan- 
che $ y. 
107. Fig. 


Plan- 
che 3 7. 

1 1 o.  Fig. 


Plan- 
che 37. 
î 1 o.  Fig. 


Plan- 
che 38. 
sr  1.  Fig. 


298  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

A , des  Arcs  de  Cercle  , qui  donneront  fur  la  Méri- 
dienne AB  , les  points  75 ,6 0,45,30,  15  , par 
où  l’on  tirera  à la  même  Méridienne  AB,  autant  de 
perpendiculaires , qui  reprcfenteront  les  Cercles  de 
Latitude  de  1 ç degr  :z  en  1 j degrez , par  le  moyen 
delquels  on  connoîcra  les  heures  au  Soleil  comme 
dans  le  Cadran  precedent. 

Remarque. 

Ceux  qui  entendent  les  Sections  Coniques , fça~ 
vent  que  pour  décrire  une  Hyperbole  par  le  point 
F,  entre  les  Afymptotes  AK,  AL  , par  exemple,  il 
n’y  a qu’à  tirer  à difcrction  par  le  point  F,  la  li- 
gne MN,  terminée  en  M 8c  en  N , par  les  deu* 
Afymptotes  AK , AL  , &r  porter  la  longueur  de  la 
partie  FN  fur  la  ligne  MN , depuis  M en  O , qui 
fera  un  point  de  l’Hyperbole  qu’on  veut  décrire, &c. 

Ceux  qui  n’entendent  pas  les  Serions  Coniques» 
pourront  marquer  les  points  des  Lignes  horaires 
fur  chaque  Cercle  de  Latitude  , comme  nous  enfei- 
gnerons  dans  le  Problème  fuivant,  pour  joindre  les 
points  qui  appartiendront  à une  même  heure,  par 
des  lignes  courbes , qui  feront  necelfairement  des 
Hyperboles. 

PROBLEME  XVII. 

Décrire  un  Cadran  Horizontal  Parabolique 
*Vniverfel. 

AYant  tiré  comme  auparavant , par  le  centre  du 
Cadran  A,  les  deux  perpendiculaires  AB  , CD,, 
tirez  par  le  point  B pris  à diferetion  fur  la  Méridien- 
ne AB  , la  ligne  EF  , perpendiculaire  à la  même  Mé- 
ridienne AB , qui  reprefentera  le  5?  eu  degré  de 


XII 


•JZe créations  3Latliein  . Planche  jg  ■ Pacte  2^7  . 


Vj 


;• 


■= . . ... 


Proble’mes  de  Gnomonique.  3,99 
Latitude,  & décrivez  comme  dans  le  Problème  pie-  Plan- 
cedent , du  centre  A , par  le  même  point  B , le  De-  C'1C 
mi-cercle  CBD  , qui  doit  être  divifé  en  douze  par- 
ti es  égales,  pour  joindre  les  points  de  divifion  op- 
pofez  6c  également  éloignez  de  la  Ligne  de  fix  heu- 
res CD  , des  lignes  droites  qui  reprefenteront 
les  Cercles  de  Latitude  de  1 $ degrez  en  1 5 de- 
grez. 

On  marquera  fur  chacun  de  ces  Cercles  de  La- 
titude, par  exemple,  fur  la  ligne  GH  , qui  repré- 
sente le  6 o*  Cercle  de  Latitude,  les  Points  horai- 
res, en  cette  forte.  Décrivez  du  point  60  , Section 
de  la  Méridienne  AB , 6c  de  la  ligne  GH,  un  Arc 
de  Cercle  , qui  touche  la  ligne  AI , qui  fait  au  Cen- 
tre A , avec  la  Méridienne  AB,  un  Angle  de  60  de- 
grez , & portez  l’ouverture  du  Compas  fur  la  Mé- 
ridienne AB  , depuis  le  centre  A , au  point  K , par 
oij  vous  tirerez  la  ligne  KL  perpendiculaire  à la 
M eridienne  AB,  Cette  perpendiculaire  KL  fe  trou- 
vera coupée  par  les  lignes  droites  qui  font  tirées 
du  centre  A par  les  douze  divilîons  du  Demi-cercle 
CBD  en  des  points  , dont  les  diftances  étant  prifes 
depuis  K,  & étant  portées  fur  la  ligne  GH,  départ 
& d’autre  depuis  le  point  6 O , on  aura  fur  cetre 
ligne  GH,  qui  dans  ce  cas  eft  confiderée  comme 
une  Ligne  Equinoxiale,  à l’égard  de  l’Axe  AI , les 
Points  horaires  qu’on  cherche. 

Ç’eft  de  la  même  façon  que  l’on  marquera  fur 
les  autres  Lignes  de  Latitude  , confiderées  comme 
antant  de  Lignes  Equinoxiales,  les  Points  Horai- 
res, dont  ceux  qui  appartiendront  à la  même  heu- 
re , feront  joints  par  des  lignes  courbes  , qui  re- 
prefenteront les  Lignes  horaires,  ôc  qui  feront  des 
Paraboles  , ayant  le  centre  A pour  fommet  com- 
mun , ôc  la  Ligne  de  fix  heures  CD  pour  Axe  com- 


jog  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 
mun.  On  connoîtra  les  heures  dans  ce  Cadrais 
comme  dans  le  precedent. 

PROBLEME  XVIII. 

Décrire  un  Cadran  fur  un  Plan  Horizontal  , oà 
l’onpuijfe  connaître  les  heures  au  Soleil  fans 
l’ombre  dé  aucun  file. 

CE  Cadran  fe  fait  ordinairement  en  deux  ma- 
niérés, par  la  Table  des  Verticaux  du  Soleil, 
telle  qu’eft  la  fuivante  qui  montre  le  Vertical  du 
Soleil  depuis  le  Méridien  à chaque  heure  du  Jour 
au  commencement  de  chaque  Signe  du  Zodiaque  , 
pour  la  Latitude  de  49  degrez , ou  bien  fans  au- 
cune Table,  fçavoir  par  la  Proje&ion  Stercogra» 
phique  de  la  Sphere  5 comme  vous  allez  voir. 


Table  des  Verticaux  du  Soleil  depuis  le  Méridien , 
a chaque  heure  du  Jour,  pour  la  Latitude 
de  49  degrez . 


H 

XI 

X 

IX 

VIII 

VII 

VI 

V 

IV 

s. 

D.M. 

DM 

D.M. 

D.M. 

D.M. 

D.M. 

D.M. 

D.M. 

30-17 

33-4o’ 

.70.30 

83  37 

93.20 

107.36 

1 16.28 

1 27.26 

17. j8 

30.33 

67-34 

Si.  6 

92.43 

103.33 

114.36 

npV 

2-3  30 

43-32. 

60.29 

74-17 

86.11 

97-36 

^ Y* 

19-33 

37-2-3 

32-38 

66.37 

7834 

r 

m X 

1 6.42. 

32-2 -3 

46.30 

39.18 

7I-I2 

I^SSS 

I4-J6 

29.1  I 

41.23 

34.26 

1 

14.19 

18.  2 

40.48 

1 H. 

'ÎÉS— • J. 

I 

II 

III 

IV 

V 

VI 

VII 

VIII 

Pour  décrire  premièrement  ce  Cadran  par  le 
moyen  de  la  Table  precedente , qui  l’a  fait  appel- 


i ~R.  ecreatio'jts  ÆcUrhem  ■ Planche  30  ■ Pàçje  301  . 


/ 


ProSI^e’mes  pe  Gnomoniqite  301 
1er  Cadran  Az>imutal->  décrivez  fur  le  Plan  Hori- 
zontal, que  je  fuppofe  mobile.  Je  Parallogramme 
re&angle  ABCD,  8c  divifez  chacun  des  deux  cotez 
oppofez  AB  , CD , en  deux  également  aux  points  E > 
F , qui  doivent  être  joints  par  la  droite  EF , que 
vous  prendrez  pour  la  Méridienne  , fur  laquelle 
vous  prendrez  à diferetion  le  point  G pour  le 
pied  du  ftile  , 8c  les  deux  points  F,  H,  pour  les 
Points  Solftitiaux  de  <£j>  8c  de  , par  lefquels  vous 
décrirez  du  point  G,  comme  centre  , deux  circon- 
férences de  Cercle  , qui  reprefenteront  les  Tropi- 
ques ou  les  commencemens  du  55  & du  £>. 

Pour  repreknter  les  Parallèles  du  commence- 
ment des  autres  Signes  , divifez  l’efpace  FH  en  jfix 
parties  égales,  8c  décrivez  du  même  point  G , par 
les  points  de  divifion , d’autres  Arcs  de  Cercle , 
qui  reprefenteront  les  commencemens  des  Signes  , 
fur  lefquels  on  marquera  les  points  des  heures , en 
prenant  fur  ces  Arcs  les  degrez  du  Vertical  du  So- 
leil, tels  qu’on  les  trouve  dans  la  Table  prece- 
dente à chaque  heure  du  Jour,  pour  le  commence- 
ment de  chaque  Signe  , de  part  & d’autre  depuis 
la  Ligne  Méridienne  EF,  & en  joignant  les  points 
qui  appartiendront  à une  même  heure , par  des  li- 
gnes courbes , qui  feront  les  Lignes  horaires  , & le 
Cadran  fera  achevé , où  l’on  pourra  connoître  l’heu- 
re fans  ftile , en  cette  forte. 

Pour  connoître  l’heure  dans  ce  Cadran  aux  Rayons 
du  Soleil,  appliquez  au  centre  G des  Arcs  des  Signes 
une  Aiguille  aimantée  élevée  fur  un  petit  pivot,  au- 
tour duquel  elle  puifle  tourner  librement,  comme 
dans  les  Boulfoles  ordinaires,  & tournez  le  point  E 
direétement  vers  le  Soleil , en  forte  que  chacun  des 
deux  cotez  AD  , BC  , qui  font  parallèles  à la  Ligne 
Méridienne  EF,cefle  d’être  éclairé  du-Soleil  fans  faire 


Plan- 
che 3 9 
1 1 t.Fi 


3 o 2-  Reckeat.  Math em at.  èt  Phys.' 

Plan-  aucune  ombre  : & alors  l’Aiguille  aimantée  morf- 
che  59.  treia  fur  le  Signe  courant  du  Soleil  l’heure  qu’oii 
cherche. 

Pour  décrire  ce  Cadran  par  le  moyen  de  la  Pro- 
jection Stereographique  de  la  Sphere , lequel  dans 
ïi  3.  Fig.  ce  cas,  prend  le  nom  d ' Aflrolabe  Horizontal , ti- 
rez par  le  centre  I du  Quarré  ABCD  , les  deux  li- 
gnes perpendiculaires  EF,  GH  , dont  l’une,  com- 
me EF,  qui  eft  parallèle  au  côté  AD,  étant  prife 
pour  la  Méridienne  , l’autre  GH  , qui  eft  parallèle 
au  côté  AB  , reprefentera  le  premier  Vertical , par- 
ce que  le  point  I reprefente  le  Zenit , duquel  com- 
me centre  , l’on  décrira  à difcretion  le  Cercle 
EYF=ü  « qui  reprefentera  l’Horizon. 

Prenez  fur  la  circonférence  de  ce  Cercle . d’un 
côté  l’arc  EO  de  l’Elévation  du  Pôle  fur  l’Hori- 
zon, & de  l’autre  côté  l’arc  FL  du  complément  de 
la  même  Elévation  du  Pôle , de  tirez  du  point  , 
par  les  points  O , L , la  droite  s£eO  , qui  donnera 
fur  la  Méridienne  le  Pôle  en  P , par  lequel  & par 
les  deux  points  T^=,  on  fera  paftèr  une  circonfé- 
rence de  Cercle , qui  reprefentera  le  Cercle  de  fix 
heures  : & le  point  M,  par  lequel  &c  par  les  deux 
mêmes  points  Y,  — , on  décrira  une  autre  circon- 
férence de  Cerc-lc  TMs£e,  qui  fera  l’Equateur. 

On  pourroit  divifer  ce  Cercle  , ou  Equateut 
YMsO=,  en  heures  , ou  de  1 5 degrez  en  1 5 degrez, 
par  les  réglés  de  la  Projedtion  Stereographique, 
pour  décrire  par  chaque  deux  points  diamétrale- 
ment oppoléz  , & par  le  Pôle  P , des  circonféren- 
ces de  Cercle,  qui  feroient  les  Lignes  horaires: 
mais  on  aura  plutôt  fait  de  prendre  fur  l’Horizon 
E YF^ , de  part  8c  d’autre , depuis  les  deux  points 
E , F , les  Arcs  de  l’Horizon , compris  entre  le  Cer- 
cle Méridien  de  les  Cercles  Horaires,  qui  font  égaux 


Proble’mes  de  GnomoniclueI’  joj 
aux  Angles  que  font  les  Lignes  horaires  avec  la  Plan- 
Méridienne  au  centre  d’un  Cadran  Horizontal,  8c  ctie  35’ 
qui  dans  la  Latitude  de  49  degrez,  doivent  être  IIJ'  l£>a 
de  11.  26'.  pour  1.  & 11  heures,  de  23.  33'. 
pour  2.  & 10.  heures,  de  37.  3'.  pour  3.  & 9. 
heures,  de  ^2.  3 pour  4.  8c  8 heures,  & de 
70.  27'.  pour  3.  8c  7.  heures  , pour  décrire  les 
Lignes  ou  Cercles  horaires  , comme  auparavant, 
qu’il  fuffira  de  tirer  entre  les  deux  Tropiques  , que 
l’on  décrira  avec  les  Parallèles  des  autres  Signes  du 
Zodiaque , en  cette  forte. 

Pour  décrire  les  Parallèles  des  Signes , on  fe  fer— 
vira  de  leur  Déclinaifon  , qui  eft  de  23.  30'.  pour 
tfp  , > , de  20*  12/.  pour  xr , s»,  -H,  &de  1 1. 

3 o'.  pour  V , np , )(  , ni , parle  moyen  de  laquelle 
on  trouvera  trois  points  de  chaque  Signe,  un  fur 
la  Méridienne  EF,  8c  deux  fur  l’Horizon  ETF^ , 
pour  décrire  par  ces  trois  points  une  circonférence 
de  Cercle  , qui  fera  le  Parallèle  du  Signe  qu’on 
cherche. 

Mais  pour  trouver  ces  trois  points  , par  exemple 
pour  le  Tropique  du  u/o , prenez  depuis  L , qui 
répond  au  point  Equinoxial  M , vers  F,  parce  que 
ce  Signe  eft  Méridional,  car  s’il  étoir  Septentrio- 
nal , il  faudroir  prendre  depuis  L,  vers  Y,  l’arc 
LQ^de  23  3 c/.  telle  qu’eft  la  Déclinaifon  du  ‘}o  , 

8c  tirez  du  point  sü , par  le  point  Q^la  droite  — Q»^ 
qui  donnera  fur  la  Méridienne  EF,  le  point  1 2 du 
% Si  par  le  point  Q,  l’on  tire  à la  ligne  LI , la  pa- 
rallèle QN,  & par  le  point  N,  où  cette  liane  QN 
coupe  la  Méridienne  , la  ligne  ToN  lo  perpendicu- 
laire à la  même  Méridienne , on  aura  fur  l’Horizon 
ETFiû:.  les  deux  points  ‘fc,  'fa,  par  lefquels  8c 
par  le  point  1 2 , on  décrira  l’arc  de  Cercle  >1  2 ‘fc, 
qui  reprefentera  le  Tropique  du 


Plan- 
che $9. 
j ij. Fig. 


£04  Récréât.  Mathemat.  ®t  Pim. 

C’eft  de  la  même  façon  que  l’on  reprefentera  les 
Parallèles  des  autres  Signes , & le  Cadran  fera  ache- 
vé, où  l’on  connoîtra  les  heures  comme  dans  le 
precedent,  ou  bien  en  élevant  au  point  I un  ftile 
bien  droit  d’une  longueur  volontaire  , & en  tour- 
nant le  point  E dire  été  ment  vers  le  Soleil , & alors 
l’ombre  de  ce  llile  montrera  fur  le  Signe  courant 
du  Soleil  l’heure  qu’on  cherche,  ou  bien  encore 
en  cette  forte. 

Décrivez  fur  la  même  Méridienne  EF , un  Ca- 
dran Horizontal  ordinaire  , dont  le  centre  foit  par 
exemple  R , où  vous  ajouterez  un  Axe  qui  s’appuye 
fur  le  ftile  droit  élevé  en  I , & tournez  le  Plan  du 
Cadran  , en  forte  que  l’ombre  de  l’Axe  montre 
dans  fon  Cadran  la  même  heure  que  l’ombre  du 
Stile  dans  le  fien , & alors  cette  heure  fera  celle 
qu’on  cherche. 


PROBLEME  XIX. 
Décrire  un  Cadran  a la  Lune . 


QUoiquc  nous  ayons  déjà  parlé  de  ce  Cadran, 
& du  fuivant , & encore  des  precedens  dans 
nôtre  Traité  de  Gnomonique,  qui  fait  la  fécondé 
partie  du  cinquième  & dernier  Volume  de  nôtre 
Cours  de  Mathématique  j neanmoins  comme  ces 
Cadrans  m’ont  femblé  curieux  & agréables , j’ay 
crû  que  je  devois  les  ajouter  ici , pour  ceux  qui  fe 
contenteront  d’avoir  ce  Traité  de  Ri  créations  Ma- 
thématiques & Phyfiques. 

Plan-  Pour  décrire  un  Cadran  à la  Lune  fur  quelque 

che  40.  p]an  que  ce  foit,  par  exemple  fur  un  Plan  Hori- 
i 1 4.  Fig.  2onta| 

, tracez  fur  ce  Plan  un  Cadian  Horizontal  au 
Soleil  pour  la  Latitude  du  Lieu  où  vous  ferez, 

comme 


Proble’mes  de  Gnomonique*  305 
comme  nous  avons  enfeigné  au  ProbL.  1.  &C  tirez  d Plan- 
volonté  les  deux  lignes  57,  39,  parallèles  entre  c^e  4°< 
elles,  tk  perpendiculaires  d la  Méridienne  Aiz, 
dont  la  première  57  étant  prife  pour  le  jour  de  la 
Pleine-Lune,  la  deuxième  39  reprefentcra  le  jour 
de  la  Nouvelle-lune  , où  les  heures  Lunaires  con- 
viennent avec  les  Solaires  , ce  qui  fait  que  les  points 
horaires  marquez  fur  ces  deux  parallèles  par  les  Li- 
gnes horaires  qui  partent  du  centre  du  Cadran  A , 
font  communs  au  Soleil , & d la  Lune. 

Cette  préparation  étant  faite  , divifez  l’eipace 
terminé  par  les  deux  lignes  parallèles  39,  57,  en 
douze  parties  égales  , & tirez  d ces  deux  mêmes  li- 
gnes par  les  points  de  divifion  autant  de  lignes  pa- 
rallèles , qui  reprefenteront  les  jours  de  la  Lune  , 
aufquels  elle  s’éloigne  fucceffivement  par  fon  mou- 
vement propre  vers  Orient  d’une  heure  , auf- 
quels par  confequent  elle  fe  leve  plus  tard  d’une  heu- 
re chaque  jour , de  forte  que  la  première  parallèle 
4 j IO,  fera  le  jour  auquel  la  Lune  fe  leve  d’une 
heure  plus  tard  que  le  Soleil , auquel  cas  le  point  B 
par  exemple  de  1 1 heures  à la  Lune  fera  le  point 
de  Midy  au  Soleil  : Se  la  fuivante  5,11,  reprefen- 
tera le  jour  auquel  la  Lune  fe  leve  deux  heures  plus 
tard  que  le  Soleil , auquel  cas  le  point  C par  exem- 
ple de  1 o heures  à la  Luue , fera  le  point  de  Midy  au 
Soleil,  Se  ainfi  des  autres. 

Il  eft  évident  que  h l’on  joint  les  points  1 z , B, 

C,  Se  tous  les  autres  qui  appartiendront  à Midy  , 

Se  que  l’on  peut  trouver  par  un  raifonnement  fem- 
blable  au  precedent,  par  une  Ligne  courbe,  cette 
Ligne  courbe  fera  la  Ligne  Méridienne  Lunaire. 

C’eft  de  la  même  façon  que  l’on  tracera  les  autres 
Lignes  horaires  à la  Lune  ,5c  il  ne  faut  que  regar® 
der  la  Figure  pour  le  comprendre. 

Terne  h 


V 


\o6  Récréât. 


Matïîemat.  ET  PkY3. 


Plan-  Parce  que  la  Lune  employé  environ  quihz© 
c'he  40.  jours  depuis  fa  conjonction  avec  le  Soleil  jufqua 
214. Fig-  pon  0pp0fiti0n  j c’cft-à-dire  depuis  quelle  eft  nou- 
velle jutqu’à  ce  qu’elle  Toit  pleine  , ou  diamétrale- 
ment oppofée  au  Soleil , en  forte  qu’elle  fe  leve 
"quand  le  Soleil  fe  couche  , on  effacera  toutes  les 
parallèles  precedentes,  excepté  les  deux  premières 
57 > 39  } & au  lieu  de  divifer  leur  intervalle  en 
douze  parties  égales  , on  le  divifera  en  quinze  , pour 
tirer  par  les  points  de  divifion  d’autres  parallèles 
qui  reprefentevont  les  Jours  de  la  Lune , aufqnels 
par  confequent  on  ajoutera  les  chifrcs  convenables, 
comme  nous  avons  ici  fait  le  long  de  la  Ligne  Mé- 
ridienne , par  le  moyen  defquels  on  connoîtra  de 
nuit  l’heure  du  Soleil  aux  Rayons  de  la  Lune , en 
cette  forte. 

Appliquez  au  centre  du  Cadran  A , un  Axe,  c’eft- 
à-dire , une  Verge  qui  faffe  à ce  centre  A , avec  la 
Souftilaire  Ai  2 , un  Angle  égal  à l’Elévation  du 
Pôle  fur  le  Plan  du  Cadran , cjtii  eft  la  même  que 
la  Hauteur  du  Pôle  fur  l’Horikon  dans  un  Cadran 


Horizontal , & alors  cet  Axe  taontrérà  par  fon 
ombre  fur  le  jour  courant  de  là  Lime 'l’heure  qu’on 
cherche. 


Remarque. 


Parce  que  la  Lune  par  fon  mouvement  propre  s’é- 
loigne du  Soleil  à chaque  jorïr  d’environ'crois  quarts 
d’heure  vers  l’Orient, ce  qui  fait  qu’à  chaque  jour  el- 
le fe  leve  de  trois  quarts  d’heure  plus  rardque  le  jour 
•precedent , fl  eft  évident  qu’en  içhchant  l’âge  de  la 
Lune  on  peut  par  le  moyen  d’un  Ample  Cadran  att 
Soleil,  corinoître  l’heure  de  nuit  aux  Rayons  delà 
Lune , fçavdir  en  ajoutant  à l’heure  que  la  Lune  mar- 
quera fur  ce  Cadran , datant  de  fois  trois  quarts» 


Pïioble’mes  de  Gnomonîq^e.'  30^ 
dlieure  que  la  Lune  aura  de  jouis.  L ‘âge  de  la 
Lune  Ce  trouvera  , comme  nous  enfeignerons  dans 
la  Cofmographie. 

PROBLEME  XX. 

Décrire  un  Cadran  par  Réflexion, 

ON  peut  décrire  fur  une  Muraille  obfcure  , ou 
bien  fur  une  voûte  ün  Cadran,  où  l’onpiiifle 
connoître  les  heures  par  reflexion , en  cette  forte„ 
Décrivez  un  Cadran  fur  un  Plan  Horizontal  qui 
puiflè  être  éclairé  des  Rayons  du  Soleil , par  exem- 
ple fur  une  fenêtre  , en  forte  que  le  centre  du  Ca- 
dran regarde  dire&ement  le  Septentrion,  & que  les 
Lignes  horaires  ayent  une  fituation  contraire  à celle 
qu’on  leur  donne  dans  les  Cadrans  Horizontaux 
ordinaires:  Si  ce  Cadran  étant  ainfi  conftruit , avec 
fon  petit  ftile  droit,  appliquez  un  filet  fur  quel, 
que  point  que  ce  foitde  chaque  Ligne  horaire,  & 
l’étendez  fermement  jüïqu’à  ce  que  p allant  par  le 
bout  du  ftile,  il  rencontre  la  Muraille  ou  la  Voûte 
en  un  point  qui  appartiendra  à l’heure  fur  laquelle 
le  filet  aura  été  appliqué.  C’eft  ainfi  qu’on  trou- 
vera autant  d’autres  points  qu’on  voudra  de  chaque 
Ligne  horaire,  qu’on  joindra  par  une  ligne  droite 
ou  courbe  , & le  Cadran  fera  achevé,  oùl’oncon- 
noîtra  les  heures  par  Réflexion  , en  appliquant  ait 
bout  du  Stile  du  Gadran  Horizontal  une  petite  piè- 
ce de  Miroir  plat,  qui  doit  être  pofée  bien  hori- 
zontalement , ce  qui  Ce  fera  d’autant  plus  facile- 
ment , fi  au  lieu  d’un  Miroir  plat,  on  met  de  l’eau 
qui  fe  met  naturellement  dans  une  fituation  hori- 
zontale, outre  que  cette  eauë  par  fon  mouvement 
fera  mieux  diftingucr  la  reflexion  fur  la  Muraille 

V Ü 


jo8  Récréât.  MàthemAt.  et  Phys.* 

ou  fur  le  plancher  où  l’on  a tracé  le  Cadran , lorft 

que  la  lumière  du  Soleil  eft  foible. 


PROBLEME  XXL 


Décrire  un  Cadran  par  Rcfrattion. 


i 


Plan- 
che 40. 
aïj.Fig. 


ON  peur  décrire  tres-facilement  un  Cadran 
Horizontal  par  Refraétion  dans  le  fond  d’un 
Vafe  rempli  d’eau,  par  le  moyen  de  la  Table  des 
Verticaux  du  Soleil , que  vous  avez  dans  la  page 
300.  de  la  Table  des  Hauteurs  du  Soleil,  qu’on 
trouve  dans  la  page  zyy  8c  de  la  Table  fuivante , 
dont  la  première  colonne  vers  la  gauche  contient 
les  Angles  d’inclinaifon  des  Rayons  du  Soleil , c’eft 
a dire  les  degrez  du  complément  delà  hauteur  du 
Soleil  fur  l’Horizon  , ou  de  la  diftance  du  Soleil 
auZenit,  aulquels  il  répond  dans  la  fécondé  co- 
lonne vers  la  droite  les  degrez  8c  les  minutes  des 
Angles  brifez  qui  fe  font  dans  l’eau,  c’eft  à-dire, 
la  diminution  des  Angles  d’inclinailon,  qui  fe  fait 
dans  l’eau , lorfque  le  Soleil  eft  éloigné  du  Zenit 
d’autant  de  degrez,  ce  qui  fait racourcir  l’ombre 
du  ftile  qui  doit  être  couvert  d’eau  , quand  on  veut 
connoître  les  heures  aux  Rayons  du  Soleil  par  le 
moyen  de  ce  Cadran  , dont  la  conftruétion  fera 
telle. 

Ayant  tiré  parle  pied  du  ftile  A,  la  Ligne  Méri- 
dienne AB,  vous  marquetez  fur  cette  Méridienne 
AB,  les  points  des  Signes , par  exemple,  Je  point 
du  commencement  de  'h  , par  le  moyen  de  la  Ta- 
ble precedente  des  Angles  brifez  , &c  de  la  Table 
des  Hauteurs  du  Soleil  fur  l’Horizon  , en  tirant  à la 
Méridienne  AB  , par  le  pied  du  Stile  A , la. perpen- 
diculaire AD  , égale  au  Stile  AC,  8c  en  faifant  au 


Proble’mes  de  Gnomoniquï.  309 

point  D , l’Angle  ADB  de  la  diftance  brifée  au 

Ÿ'ablc  des  Angles  brifez,  dans  l’eau , four  tous  les 
degrez*  des  Angles  d’inclin  ai fon. 


lA 

D M. 

1 A 

DM  | 

1 ■ 

0.46 

3i 

13.38I 

2 

i-3  3 

32. 

14.11  j 

3 

1.10 

33 

ij.  4I 

4 

3-  7 

34 

2-J-47 

J 

3-J4 

3 J 

16.30 

6 

4.40 

3 6 

17.13 

7 

J-2-7 

37 

2-7  JJ  . 

8 

6.13 

38 

18.37 

9 

7.  0 

3? 

19.19 

10 

7.46 

4C 

30.  0 

I I 

8.30 

41 

30.41 

I 2 

5>.  1 8 

42- 

3I.llr 

13 

10.  4 

43 

31.  1 

14 

10. JO 

44 

31.41 

IJ 

n.36 

4J 

33.11 

I 6 

1 2.21 

46 

34-  2 

17 

13-  ? 

47 

34-41 

18 

1 3-JJ 

48 

3J-I5 

19 

14.40 

4 9 

3J-J7 

20 

ij. 2.; 

JO 

363  J 

11 

16. 1 1 

Ji 

37.11 

11 

16. J7 

J2 

37-47 

2-3 

17.41 

J3 

38.14 

14 

18.17 

J4 

5 9-  0 

2*  J 

19.11 

JJ 

39-3J 

16 

19. J6 

J6 

40.  9 

2-7 

O 

"d" 

6 

H 

J7 

40.43 

z8 

jil.ij 

J8 

41.17 

1? 

1 22.10 

J9 

41-49 1 

30 

I11.J4 

J 60 

41.11 

A 

D.M 

61 

4z.ji 

62 

43-23 

63 

4 3 -J  3 

64 

44-21 

<5j 

44-Jo 

66 

4J-I7 

67 

4J-44 

^6  8 

46.10 

69 

46.34 

70 

46. ;8 

71 

47-21'  ' 

71 

47-43 

73 

48.  3 

74 

48.23 

7J 

48.43 

76 

49.  1 

77 

49- 17 

78 

49-3  3 

19 

49-47  1 

80 

JO.  0 

8: 

JO. Il 

81 

JO. 23 

83 

JO. 31 

84 

JO.41 

8 J 

JO. 48 

8 6 

J0-J4 

87 

J°-j8 

88 

Ji-  1 

89 

Ji-  5 

90 

I O.  O 



Zenit , qui  au  commencement  du  b fe  trouve  à 


Plan- 
che 40. 
lî/.Fig, 


3 ï o Récréât,  Mathimat.  et  Phys. 

Midy  d’environ  48  degrez,  par  la  ligne  DB,  qui 
donnera  fur  la  Méridienne  AB , le  point  B de  fa. 
Ainlî  des  autres. 

Pour  trouver  la  diftançe  brifée  du  Soleil  au  Ze- 
îiit,  on  regardera  premièrement  la  Table  des  Hau-, 
teurs  du  Soleil , ou  l’on  connoît  que  le  Soleil  étant 
au  commencement  de  fa  , eft  à Midy  élevé  fur  l’Ho- 
rizon de  \y.  29*.  & que  par  confcquent  il  eftéloi-, 
gné  du  Zenit  de  yz.  3 i*.  qui  font  le  relie  de  la 
Hauteur  Méridienne  à 5)0  degrez  : 8c  confiderant 
cette  dillance  comme  un  Angle  d’inclinaifon  , l’on 
connoîtra  par  la  Table  des  Angles  brifez  que  cet 
Angle  d’inclinaifon  fe  change  en  un  Angle  d’envi- 
ron 48  degrez  pour  la  dillance  brifée  du  Soleil  au 
Zenir, 

C’ell  de  la  même  façon  que  l’on  trouvera  par  le 
moyen  de  ces  deux  Tables  la  dillance  brifée  du 
Soleil  au  Zenit  au  commencement  de  quelqu’autre 
Signe,  non  feulement  à Midy,  mais  encore  aux 
autres  heures  du  Jour , ce  qui  fervira  pour  en  trou- 
ver les  points  , 8c  en  même  temps  les  points  des  Si- 
gnes par  le  moyen  de  la  Table  des  Verticaux  du 
Soleil , en  cette  forte. 

Pour  trouver  par  exemple  le  point  du  commen- 
cement de  fa  , 8c  de  1 heure , auquel  temps  le  So- 
leil eft  dans  un  Vertical  éloigné  du  Méridien  de 
14.  15 /.  faites  au  pied  du  ftile  A,  avec  la  Méri- 
dienne AB,  l’Angle  B AF  de  14.  15/.  par  la  ligne 
AF , qui  reprefentera  le  Vertical  du  Soleil  : 8c  ayant 
tiré  à cette  ligne  AF,  par  le  même  pied  du  ftile 
A , la  perpendiculaire  AE , égale  au  ftile  AC  , fai- 
tes au  point  E l’Angle  AEF  égal  à la  diftançe  bri- 
fée du  Soleil  au  Zenir , qui  fe  trouvera  de  48.  1 8^. 
pour  avoir  en  F fur  le  Vertical  AF  9 le  point  de  ï» 
fleure  8c  du  fa. 


PROBLE’MES  DE  GnOMONIQUI.1  JI| 
On  trouvera  de  la  même  façon  les  autres  points 
4cs  Signes,  & des  autres  heures  , ôc  fi  Ion  joint 
ceux  qui  appartiendront  à une  même  heure  par 
une  ligne  courbe,  & pareillement  ceux  qui  appar- 
tiendront à un  même  Signe  par  une  ligne  courbe  # 
le  Cadran  fera  achevé , ou  Ton  connoîtra  les  heu- 
res par  Refraétion  , lorfque  tout  le  ftile  AC  fera 
couvert  d’eau,  & que  le  pied  de  ce  ftile  A fera 
tourné  directement  vers  le  Midy  , en  forte  que  le 
point  B regarde  le  Septentrion  : & le  bout  de 
l’ombre  du  ftile  AC  montrera  en  même  temps  le 
Signe  du  Soleil. 


3 î l Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 


^î£r-l£rl£r«5r>ljïrlàr  ; 

<rvc*  <nu  c\*  «vu  rvu  «vu  «"v^  «vu  «vu  «vu  «vu 

rXs>  *^_5  'V?  ”Vn>  ***»>  *V\>  ns>  . 

«j§i  -jj»  sp.  jÿi  •'  >^t  jgt  jjti  jjït  -^t  jjJi  /jn  ojft  • 

, i 

PROBLEMES 

DE  COSMOGRAPHIE- 

A Cofmographie  , félon  fon  étymologie  , c effc 
la  dcfcription  du  Monde  , e’eft-à-dire  , du  Ciel 
8c  de  la  Terre.  Elle  fedivifeen  Generale , qui  con- 
fidere  généralement  tout  l’Univers , 8c  qui  reçher- 
che  8c  fournit  plufieurs  manières  de  le  décrire  8c 
reprefenter  félon  les  divers  fentimens  des  Philofo- 
phes  8c  des  Mathématiciens  : 8c  en  Particulière , 
qui  eft  proprement  ce  qu’on  appelle  Géographie , 
parce  qu’elle  reprefente  en  détail  chaque  partie  du 
Monde,  8c  particulièrement  la  Terre , tant  parles 
Globes  que  par  les  Planifpheres  8c  Mappemon- 
des. Je  ne  prétens  pas  traiter  ici  en  particulier  de 
ces  deux  Parties  , mais  feulement  de  vous  don- 
ner quelques  Problèmes  utiles  8c  agréables  qui 
en  dépendent. 

PROBLEME  I. 

Trouver  en  tout  temps  & en  tout  lieu  les  c/uatre 
Parties  Cardinales  du  Adonde , fans  voir  le  So- 
leil, ni  les  Etoiles , ni  fans  fe  fervir  de  la  Bouf- 
foie. 

IEs  quatre  Parties  Cardinales  du  Monde,  qui 
é font  l’Orient  , l’Occident  , le  Midy  , & le 
Septentrion,  fe  peuvent  aifément  cormoître  par  le 


«"Vu  «^*  «vu 

, rr\J> 


Proble’mes  de  Cosmographie.  315 
tnoyen  de  la  Boufiole  , dont  l'aiguille  qui  elt  ai- 
mantée , tourne  toûjours  une  de  Tes  deux  pointes 
vers  leMidy,  ôc  l’autre  vers  le  Septentrion,  ce  qui 
jfuffit,  pour  pouvoir  connoîtte  l'Orient  & 1 Occi- 
dent , parce  que  l’Orient  eft  à la  droite  , & l’Occi- 
dent à la  gauche  de  ccluy  qui  regarde  le  Septen- 
trion. . 

On  peut  aufïî  tres-facilement  connoître  le  Se- 
ptentrion la  nuit  aux  Etoiles  en  regardant  l’Etoile 
Polaire  qui  n’eft  éloignée  du  Pôle  Aréfcique  que; 
d’environ  deux  degrez  : & les  Aftronomes  marquent 
de  jour  la  Ligne  Méridienne  fur  un  Plan  Horizon- 
tal , par  le  moyen  de  deux  points  d’ombre , mar- 
quez devant  îk.  après  Midy  fur  la  circonférence 
d’un  Cercle  décrit  de  la  pointe  du  ftile,  dont  l’om- 
bre a fervi  par  fon  extrémité  à marquer  fur  cette 
circonférence  deux  points  également  éloignez  du 
Midy. 

Mais  fans  toutes  ces  chofes  on  peut  en  tout 
temps  & en  tout  lieu  marquer  la  Ligne  Méridien- 
ne, en  cette  forte. 

Ayant  mis  de  l’eau  dans  un  Vafe , comme  dans 
un  plat , ou  dans  un  badin , mettez  tout  doucement 
dans  cette  eauë,  lorfqu’elle  fera  bien  tranquille, 
une  aiguille  de  fer , ou  d’acier,  femblable  à celle 
dont  les  Tailleurs  & les  Femmes  fe  fervent  ordi- 
nairement pour  coudre;  fi  cette  aiguille  eftfeche, 
& qu’on  la  mette  tout  de  fon  long  fur  la  Surface  de 
l’eau,  elle  ne  s’enfoncera  point,  & après  avoir  fait 
pluficurs  tours,  à la  fin  elle  s’arrêtera,  & elle  de- 
meurera dans  le  Plan  du  Cercle  Méridien , de  forte 
qu’elle  reprefentera  la  Ligne  Méridienne , dont  une 
extrémité  reprefentera  par  confequent  le  Midy  , & 
l’autre  le  Septentrion  : mais  fans  voir  le  Soleil , ou 
les  Etoiles,  on  ne  peut  pas  aifément  connoître  la- 


! ï 4 Récréât.  Mathe#  at.  et  Phys.’ 

quelle  de  ces  deux  extremitez  regarde  le  Midy , ou 
le  Septentrion. 

Le  Pere  Kircher  donne  un  moyen  facile  pour 
connoître  le  Midy  & le  Septentrion.  Il  veut  que 
Pan  caupe  horizontalement  le  tronc  d’un  arbre  bien 
droit,  qui  foit  au  milieu  d’une  Plaine  fans  le  voifi- 
nage  d’aucune  hauteur  , ni  d’aucune  muraille,  qui 
lait  pu  tenir  de  ce  côté  à l’abri  du  yent , ou  des 
Rayons  du  Soleil  ; & alors  on  verra  dans  la  Seétion 
de  ce  tronc  plufieurs  lignes  courbes  autour  de  la 
lève,  qui  feront  plus  ferrées  d’un  côté  que  de  l’au- 
tre : & il  dit  que  le  Septentrion  fera  du  côré  où 
ces  lignes  courbes  feront  plu?  ferrée?  , peut-être 
parce  que  le  froid  qui  vient  du  Septentrion  reiferre, 
& que  le  çhaud  qui  vient  du  Midy  élargit  & raré- 
fié les  humeurs  & la  matière,  dont  fe  forment  ces 
lignes  courbes,  qui , à ce  que  dit  le  même  Auteur, 
font  comme  des  circonférences  de  Cercles  concen- 
triques dans  l’Ebene  & dans  le  bois  de  Bref!. 


PROBLEME  II. 


Trouver  la  Longitude  d’un  Lieu  propofe  de 
la  Terre . 


N appelle  Longitude  d’un  Lieu  dq  la  Terre, 
la  diftance  de  {bn  Méridien  au  Premier  Mer 


ridien  qui  paffe  par  l’Ifle  de  Fgp  la  plus  Occiden- 
tale des  Canaries.  Cette  diftance  fe  compte  fur  l’E- 
quateur de  l’Occident  à l’Orient , à l’imitation  d$ 
Mouvement  en  Longitude  des  Planètes  qui  fe  fait 
suffi  de  l’Occident  à l’Orient,  de  qui  fe  compte  fur 
le  Défèrent  de  chaque  Planète , qu’on  appelle  Ex- 
contribue , parce  qu’on  le  fuppofe  excentrique  à îa 
Terre  , pour  expliquer  \’jlpegée3  qui  eft  le  lieu  où 
la  Planète  fe  trouve  la  plus  éloignée  de  la  Terre  a 


Prôble’mes  bi  Cosmographie.' 

& 1 cPerige'e,  oùlaPlanete  fe  trouvant,  clic  cftfa 
plus  proche  de  la  Terre  qu’elle  puiffe  être. 

On  void  dans  les  Mappemondes , ou  Cartes  ge- 
nerales, les  degrez  de  Longitude  marquez  fur  l’E- 
quateur de  io  degrez  en  dix  degrez , depuis  le 
Premier  Méridien  vers  l’Orient  tout  le  long  de 
la  Terre  jufqu’à  360  degrez  ; de  forte  que  le 
Premier  Méridien  eft  le  360.  Méridien  , ayant 
ainfî  plû  aux  Géographes  de  compter  les  Longi- 
tudes terreftres , comme  il  a plu  de  la  même  fa- 
çon aux  Aftronomes  de  compter  les  Longitudes  ce- 
leftes  dans  l’Ecliptique,  depuis  la ScElion  Fernnle , 
c’cft-à-dirc , depuis  le  commencement  de  la  Con- 
ftellation  du  Belier , où  l’Equateur  & l'Ecliptique 
s’entrecoupent,  à l’égard  des  Etoiles  fixes. 

Il  eft  évident  que  ceux  qui  font  fituez  fous  un 
même  Méridien  , ont  une 'même  Longitude  : de  que 
tous  ceux  qui  font  fous  le  Premier  Méridien  , n’ont 
aucune  Longitude  j & qu’enfin  ceux  qui  font  plus 
Orientaux  ont  des  Longitudes  differentes,  ç’eft-à- 
dire , qu’ils  font  fous  des  Méridiens  différais,  & 
alors  la  di  flan  ce  d’un  Méridien  à l’autre  s’appelle 
Différence  des  Longitudes , qui  fait  connoître  de 
combien  de  temps  il  eft  plutôt  Midy  en  un  Lieu 
qu’à  l'autre  qui  eft  plus  Occidental  ; étant  certain 
qu’il  fera  d’une  heure  plutôt  Midy  au  plus  Oriental 
qu’à  l’autre , lorfque  la  différence  des  Longitudes 
fera  de  1 ç degrez  , c’eft-à-dire  , quand  ce  Lieu 
fera  plus  Oriental  que  l’autre  de  1 j degrez,  parce 
que  1 ç degrez  de  l’Equateur  font  une  heure  , puif- 
que  360  degrez  font  24  heures,  qui  eft  une  cir- 
convolution entière  du  Premier  Mobile. 

Ainfî  l’on  void  que  pour  connoître  la  Longitude 
d’un  Lieu  de  la  Terre,  il  ne  faut  que  fçavoir  i’heu- 
rc  que  l’on  compte  en  ce  Lieu  lorsqu’on  en  compte 


5 1 6 Recréât.  MathemAt.  et  PhysÎ 
•une  certaine  en  un  autre  Lieu  fitué  fous  le  Premier 
Méridien:  car  fi  l’on  convertit  cette  différence  des 
heures  en  degrez , en  prenant  i $ degrez  pour  une 
heure , 1 degré  pour  4 Minutes  de  temps , & I 
Minute  de  degrez  pour  4 fécondés  de  temps,  on 
aura  la  Longitude  du  Lieu  propofé.  Pour  connoî- 
tre  cette  différence  des  heures , on  fe  fervira  de 
quelque  Signe  vifible  dans  le  Ciel , qui  fe  puifle 
remarquer  en  même  temps  par  deux  Mathémati- 
ciens, dont  l’un  foitfous  le  Premier  Méridien  ,& 
l’autre  au  Lieu  dont  on  cherche  la  Longitude.  Les 
Anciens  fe  font  fervi  des  Eclipfes  de  Lune  , 8c  l’on 
fe  fert  à prefent  des  Eclipfes  du  premier  Satellite 
de  Jupiter,  qui  arrivent  plus  fouvent,  & dont  les 
Immerfions,  ou  Emerfions  fe  peuvent  connoître 
plus  facilement  par  le  moyen  des  Lunettes  à lon- 
gue-vûë. 

Quand  on  a une  fois  connu  la  Longitude  d’un 
Lieu  de  la  Terre,  on  n’a  plus  que  faire  du  Premier 
Méridien  pour  connoître  la  Longitude  de  quel- 
qu 'autre  lieu  que  cefoit,  parce  qu’il  fuffit  de  con- 
noître  de  combien  ce  Lieu  efl  plus  Oriental , ou 
plus  Occidental  que  le  premier,  ce  qui  fe  peut 
connoître  , comme  nous  avons  dit  : mais  il  ne  fera 
pas  neceflàire  de  deux  Mathématiciens  , un  feul 
pouvant  connoître  la  Longitude  du  Lieu  où  il  fe- 
ra, en  obfervant  en  ce  Lieu  l’heure  de  l’immer- 
fîon  ou  de  l’émerfion  du  Satellite , & en  comparant 
cette  heure  avec  celle  du  Lieu,  dont  on  connoît 
la  Longitude , parce  que  par  les  Tables  de  Mon- 
iteur Cafïïni , qu’il  a fupputées  pour  le  Méridien 
de  Paris,  dont  je  fuppofe  que  la  Longitude  eft 
connue,  l’on  peut  fçavoirà  quelle  heure  doit  ar- 
river. à Paris  cette  immerfion,  ou  émerfion  , qui 
efl  l’entrée  du  Satellite  dans  l’ombre  de  Jupiter  en 


Proble’mes  de  Cosmographie.  3 17 
ceflànt  de  paroître  , ou  la  fortie  du  Satellite  hors 
de  l’ombre  de  Jupiter  , en  commençant  à repa- 
roître. 

Remarque . 

On  void  par  ce  qui  a été  dit,  la  vérité  de  ce  Pa- 
radoxe , fç avoir  que  G)nalibct  horâ  eft  omnis  hora, 
c’eft-à-dire,  qu’en  tout  temps  il  eft  toute  heure  , 
ce  qui  fe  doit  entendre  des  Lieux  de  la  Terre  , qui 
l'ont  fous  des  Méridiens  differens , étant  certain 
que  quand  il  eft  Midy  par  exemple  à Paris , il  eft 
une  heure  après  Midy  à Vienne  en  Auftriche , 8c 
dans  tous  les  autres  Lieux  qui  fonr  plus  Orientaux 
que  Paris  de  1 ç degrez  : &c  qu’il  eft  deux  heures 
après  Midy  à Conftantinople  , 8c  dans  tous  les  au- 
tres Lieux  qui  font  plus  Orientaux  que  Paris  de  30 
degrez.  Ainfi  des  autres. 

D où  il  fuit  que  de  deux  Voyageurs,  dont  l’un 
va  vers  l'Occident  en  fuivant  le  cours  du  Soleil;,' 
8c  l’autre  vers  l’Orient  en  allant  contre  le  cours  du 
Soleil,  le  premier  doit  avoir  les  Jours  plus  longs 
que  le  fécond,  de  forte  qu’au  bout  d’un  certain 
temps  , le  fécond  qui  va  vers  l’Orient  comptera 
plus  de  jours  que  le  premier  qui  va  vers  l’Occi- 
dent. Ce  qui  fait  dire  que  de  deux  Jumeaux  qui  en 
voyageant  l’un  vers  l’Orient  8c  l’autre  vers  l’Occi- 
dent, meurent  en  même  temps,  le  premier  a vé- 
cu plus  de  jours  que  l’autre. 

Comme  l’on  divife  la  Latitude  en  Septentrio- 
nale 8c  en  Méridionale , en  l’étendant  jufqu’à  5) o 
degrez  vers  les  deux  Pôles  deçà  & delà  depuis  l’E- 
quateur ; on  auroit  aufli  pu  divifer  la  Longitude 
en  Orientale  8c  en  Occidentale,  en  ne  l’étendant 
que  jufqu’à  1 80  degrez  de  part  8c  d’autre  depuis  le 
Premier  Méridien;  ce  qui  feroit  tres-commode 


1 1 8 Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
pour  nous  faire  connoître  que  quand  il  eft  par 
exemple  Midy  fous  le  Premier  Méridien  , il  n’eft 
que  8 heures  du  Matin  en  fille  de  Cuba  , dont  la 
Longitude  Occidentale  eft  de  60  degrezt 

PROBLEME  II  L 

Trouver  la  Latitude  d'un  Lieu  propofe'  dé 
la  Terre . 

ON  appelle  Latitude  à l’égard  d’un  Lieu  de  la 
Terre , la  diftance  de  ce  Lieu  à l’Equateur  , 
qui  eft  mefurée  par  l’arc  du  Méridien  de  ce  Lieu 
entre  fon  Zenit  & l’Equateur.  Cet  arc  eft  toujours 
égal  à l’Elévation  du  Pôle,  qui  eft  l’arc  du  même 
Méridien  entre  le  Pôle  & l’Horizon,  ce  qui  fait 
que  l’on  confond  ordinairement  la  Latitude  avec 
l’Elévation  du  Pôle  t de  forte  que  ceux  qui  n’ont 
point  de  Latitude,  c’eft-à-dire  , qui  font  fous  l’E- 
quateur, n’ont  âüfti  aucune  Elévation  du  Pôle, 
ayant  les  deux  Pôles  du  Monde  à l’Horizon. 

La  Latitude  d’un  Lieu  de  la  Terre  fe  peut  con- 
noître de  Jour  à Midy  par  le  moyen  de  la  hauteur 
Méridienne  du  Soleil  6c  de  fa  Déclination , 6c  de 
nuit  en  tout  temps  par  le  moyen  de  la  hauteur  Mé- 
ridienne de  quelque  Etoile  fixe  & de  fa  Déclinai- 
fon , & auffi  fans  fa  Déclinaifon,  lorfque  l’Etoile 
ne  fe  couche  point , 6c  que  la  nuit  eft  plus  lon- 
gue que  de  douze  heures,  comme  Vous  allez  voir4 
Pour  trouver  premièrement  la  Latitude  de  quel- 
que Lieu  de  la  Terre  que  ce  foit,  par  le  moyen  de 
la  hauteur  Méridienne  du  Soleil , on  ajoutera  à cet- 
te hauteur  Méridienne  la  Déclinaifon  du  Soleil , fi 
cette  Déclinaifon  eft  Méridionale , ce  qui  arrivera 
depuis  l’Equinoxe  d’Automne  jufqu’à  l’Equinoxe 


Récréations  Matliem  Planche  4.1  Page 31g  . 


Proble’m'és  de  CosmogiOapie.  315 
*3u  Printemps  : ou  bien  on  ôtera  de  la  hauteur 
Méridienne  laDéclinaifon,  fi  cette  Déclinaifbn  eft 
Septentrionale  , ce  qui  arrivera  depuis  l’Equinoxe 
du 'Printemps  jufqu’à  l’Equinoxe  d’ Automne  j car 
ainfi  on  aura  la  hauteur  de  l Equateur  , laquelle  étant 
ôtée  de^odegrez,  le  refte  fera  la ‘Latitude  qu’on 
cherche. 

On  travaillera  de  la  même  façon  la  nuit  aui 
Etoiles  qui  feront  vers  le  Midy , 8:  à relies  qui  fe- 
ront vers  le  Septentrion  fans  fe  coucher , comme 
il  arrive  à celles  qui  font  proche  du  Pôle  élevé  fur 
l’Horizon  , on  prendra  d’abord  que  la  nuit  fêta 
venue  la  hauteur  Méridienne  dhfne  femblable  E- 
toile , & le  matin  douze  heures  aptes  la  hattteut 
Méridienne  de  la  même  Etoile  $ car  àinfi  en  àjbù- 
tant  enfemble  ces  deux  hauteurs  trouvées,  la thbi- 
tié  de  la  fomme  donnera  la  'hastfeut  du  Pôle  fût 
l’Horizon. 

PROBLEME  IV. 

Connaître  la  quantité  du  plus  grand  four  d’Eté 
en  un  Lieu  propofé  de  -la  T'être  , dont  tin 
cormoît  la  Latitude. 

POur  connaître  par  exemple  à Paris  , où  le  Pô- 
le eft  élevé  fur  l’Horizon  d’environ  49  de- 
vrez, le  plus  grand  Jour  d’Eté  qui  eft  de  même 
longueur  que  la  plus  grande  Nuit  d’Hyver  •>  décri- 
vez a volonté  du  centre  t) , le’Demi-cercle  ABC , & 
y prenez  d’tin  côté  Tare  CE  de  TElevation  duPolc 
■fur  l’Horizon  , qui  aéré  ici  füppofée  de49degrez, 
& de  l’autre  côté  AF  du  compleiiient  de  l’Elévation 
duPolc,  qui  dans  cette fuppofition  eft  de 41  de- 
vrez» & tirez  du  centre  D , parles  points  E,  F,  les 


Plan- 
che 41. 
116.  Fig. 


3io  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Plan-  lignes  DE  , DF  , dont  la  première  DE  reprefentefa 
chc4i-  le  Cercle  de  fix  heures , 8c  la  fécondé  DF  l’Equa- 
1 1 6 teur , en  prenant  le  Cercle  ABC  pour  le  Méridien 
du  Lieu  propofé,  8c  le  Diamètre  AC  pour  l’Ho- 
rizon, félon  les  réglés  de  la  Projection  Ortogra- 
phique  de  la  Sphere. 

Après  cela  , prenez  l’arc  FB  de  la  plus  grande  Dé- 
clinaifon  du  Soleil,  qui  cft  d’environ  13  degrez 
8c  demi , 8c  ayant  tiré  par  le  point  B , à la  ligne 
DF,  la  ligne  BH  , qui  coupe  ici  le  Cercle  de  fix 
heures  au  point  G,  8c  l’Horizon  au  point  H,  dé- 
crivez du  point  G , comme  centre  , par  le  point  B , 
l’arc  de  Cercle  BI , qui  fe  trouve  terminé  en  I , par 
la  ligne  HI  parallèle  à la  ligne  DE  , ou  perpendi- 
culaire à la  ligne  BH.  Cet  arc  BI  fe  trouve  ici  de 
I 20  dcgrez  , ou  de  8 heures , en  prenant  1 heure 
pour  1 ç degrez  , dont  le  double  fait  connoître 
qu’à  Paris , & en  tout  autre  Lieu  , où  le  Pôle  efb 
élevé  fur  l’Horizon  de  49  degrez  , le  plus  grand 
Jour  d’Eté  , ou  la  plus  grande  Nuit  d’Hyver  eft 
de  1 6 heures. 

L’arc  BI  étant  de  1 20  degrez,  ou  de  8 heures, 
fait  connoître  que  le  Soleil  fe  couche  au  plus  grand 
Jour  d’Eté,  ou  fe  leveauplus  court  Jour  d’Hyver 
à 8 heures  , 8c  que  par  confequent  il  fe  leve  au 
plus  grand  jour  d’Eté,  ou  fe  couche  au  plus  court 
jour  d’Hyver  à 4 heures , ce  qui  arrive  lorfque  le 
Soleil  eftdans  le  Tropique  d’Eté,  ou  dans  le  Tro- 
pique d’Hyver  : 8c  l’on  pourra  de  la  même  façon 
trouver  l’heure  du  Lever  8c  du  Coucher  du  Soleil , 
lorfqu’il  eft  dans  quelqu’autre  Signe  du  Zodiaque , 
par  exemple , au  commencement  de  ’d  8c  de  rrp , 
pourvu  que  l’on  fçache  décrire  le  Parallèle  de  ce 
Signe,  ce  qui  fe  fera  en  cette  forte. 

Ayant  tiré  du  centre  D , qui  reprefente  le  point 

de 


P'ROBLE’MÏS  Ï>E  CbSMÔGRAiPHIË.  iit 
de  l’Orient  & de  l’Occident  Equinoxial,  par  le  Plan- 
point  B,  qui  reprefente  le  Point  Solftitial  de  £5  , c*ie  4 
ou  de  '£>  , la  ligne  DB,  qui  reprefentera  par  con-  11  6'^' 
fequent  un  quart  de  lEcliptique  : & ayant  pris  fur 
le  Méridien,  ou  lut  le  Colure  des  Solftices  ABC, 
l’arc  BK  de  6c  degrez  , telle  qü’eft  la  alliance 
du  Signe  propofé  au  commencement  de  55,  que  le 
point  B reprefente  , parce  que  l’on  luppolc  que  le 
Colure  des  Solftices  convient  avec  le  Méridien  ; 
tirez  du  point  K , la  ligne  KL  perpendiculaire  à la 
ligne  DB  , & par  lë  point  L , à la  ligne  DF  , la  pa- 
rallèle MN,  qui  reprefentera  le  Parallèle  de  , Sc 
coupera  l’Horizon  AC  au  point  N,  &c  l’Axe  du 
Monde  DE  au  point  O , duquel  comme  centre , 
vous  décrirez  par  le  point  M , l’arc  MP,  qui  fe 
trouvera  terminé  en  P,  par  la  ligne  NP  parallelé 
à la  ligne  DE,  ou  perpendiculaire  à la  ligne  MN, 
ôc  cet  arc  NP  étant  réduit  en  heures,  lorfqu’on  eu 
aura  connu  les  degrez  & les  minutes  , donnera 
l’heure  qu’on  cherche. 

Remarque. 

L’arc  FM  eft  la  Déchnaifon  du  Signe  propofé, 
dont  la  diftance  au  plus  proche  Equinoxe  eft  fup- 
pofée  de  50  degrez:  l’arc  DN  eft  l’Amplitude  O- 
jrientale,  ou  Occidentale  du  même  Signe,  à l’é- 
gard de  l’Horizon  AC,  que  nous  avons  fuppolé 
oblique  de  49  degrez  : & l’arc  ON  eft  la  différen- 
ce Alcenfionnelle  , qui  montre  de  combien  le  Soleil 
étant  au  Signe  propolé  le  leve  ou  fe  couche  devant 
ou  après  fix  heures  fur  le  même  HorizomCes  Arcs  fë 
peuvent  connoître  Géométriquement  dans  la  Figu- 
re , mais  on  les  peut  connoître  beaucoup  plus  exac- 
tement par  la  Trigonométrie , en  cette  lorte. 

Tome  L X 


32  1 Récréât.  Matmemat.  et  Phys. 

Plan-  Pour  connoître  premièrement  Tare  FM,  en  fup~ 
ïi6  V”  P°^ant  l>arc  FB  , ou  l’AngleFDB,  c’eft-à-dire , l’O- 
®‘  bliqnité  de  l’Ecliptique  de  23.  3 of  On  fera  cette 
Analogie,  où  nous  nous  fommes  fervi  des  Loga- 
rithmes qui  font  tics-commodes  dans  la  Trigono- 
métrie Sphérique  , 

Comme  le  Sinus  Total 3 1 OOOOOOOO 

Au  Sinus  de  la  diftance  du  Signe  propofé  au 
plus  proche  Equinoxe  96989700 

Ainjî  le  Sinus  de  l'obliquité  d.e  l’Ecliptique 

96006997 

Au  Sinus  de  la  Déclinaifon  qu  on  cherche. 

91996697 

qui  fe  trouvera  de  n degrez  , 8c  d’environ  3 q 
minutes. 

Pour  V Amplitude  DN  , on  fe  fervi ra  de  la  Dé- 
clinaifon trouvée  , pour  faire  l’Analogie  fuivante. 

Comme  le  Sinus  du  complément  de  la  Hauteur 
du  Pôle,  98169429 

Au  Sinus  de  la  Déclinaf.  trouvée  91996697 
Ainfî le  Sinus  Total  I OOOOOOOO 

Au  Sinus  de  /’ Amplitude  qu’on  cherche 

94827268 

qui  fe  trouvera  de  17  degrez  , 8c  d’environ  41 
minutes. 

Pour  trouver  la  Differente  Afcenjlcnnelle  NO  , 
on  fe  fervira  pareillement  de  la  Déclinaifon  trou- 
vée , pour  faire  cette  Analogie , 


Proble’mes  de  Cosmographie.  323 

‘‘'Comme  le  Sinus  Total  IOOOOOOOO 

A la  Tangente  de  la  Déclmaifon  trouvée 

93084626 

Amji  la  Tangente  de  l Elévation  du  Pôle  , 

1006083  69 

Au  Sinus  de  la  différence  Afcenfionnelle 

93692995 

'qui  fe  trouvera  de  ï 3 degrez&r  32  minutes , qui 
étant  réduits  en  temps  , en  difanr,fi  1 5 degrez  don- 
nent 1 heure  , ou  60  minutes , combien  donneront 
13.3  2'.  ou  8 I 2'.  on  connoîtra  que  le  Soleil  étant 
au  commencement  de  , ou  de  up  , fe  couche  à 6 
heures  & 54  minutes  , & que  par  confequent  il  lë 
îeve  à 5 heures  & 6 minutes , &c. 

PROBLEME  V. 

Trouver  le  Climat  d'un  "Lieu  propofé  de  là  Terre , 
dont  la  Latitude  eft  connue • 

ON  appelle  Climat  un  elpace  de  laTerre,quî 
eft  fait  en  Zone  , ou  comme  une  ceinture  » 
parce  qu'il  eft  terminé  par  deux  Cercles  parallèles 
entre  eüx  & à l’Equateur,  dans  lequel  efpaee  de- 
puis le  Parallèle  qui  eft  plus  proche  de  l’Equateur  » 
jufqu’à  l’autre  qui  eft  plus  proche  du  Pôle,  le  plus 
grand  Jour  d’Eté  varie  , c’eft-à-dire , croît  ou  dé- 
croît d une  demie-heure. 

Comme  les  Climats  fe  comptent  vers  l’un  des 
deux  Pôles  du  Monde -,  en  commençant  depuis  l’E- 
quateur , fous  lequel  en  tout  temps  le  Jour  eft  de 
douze  heures,  Sc  la  Nuit  d’autant  : «S C que  ceui 
qui  font  éloignez  de  l’Equateur , ont  le  plus  grand 

X ij 


j 24  Récréât.  MathemAt.  et  Phys. 
jour  d’Eté  plus  long  que  de  douze  heures  , & 
d’autant  plus  long  que  plus  ils  en  font  éloignez  ; il 
s’enfuit  que  la  fin  du  premier  Climat  eft  là  où  le 
plus  grand  Jour  d’Eté  eft  de  douze  heures  & de- 
mie , la  fin  du  fécond  là  où  le  plus  grand  Jour 
d’Eté  eft  de  treize  heures  , & ainfi  enfuite  , jufqu’à 
la  fin  du  24.  Climat , où  le  plus  grand  Jour  d’E- 
ré  eft  de  24  heures,  ce  qui  arrive  fous  le  Cerclé 
Polaire  Ardtique  , ou  Antarétique , où  l’Elévation 
du  Pôle  eft  de  66>  3 c/.  au  delà  duquel  on  ne  fç  au- 
rait plus  compter  de  Climats  , parce  que  pour 
peu  qu’on  s’en  éloigne  en  s’avançant  vers  le  Pôle 
le  plus  proche  , le  plus  grand  Jour  d’Eté  croîtra 
cle  plus  que  d'une  demie-heure:  ce  qui  a fait  a jo  Ci- 
ter aux  Modernes  fix  autres  Climats  depuis  le  Cer- 
cle Polaire  jufqu’au  Pôle,  en  faifant  croître  le  plus 
grand  Jour  d’Eté  d’un  Mois  entier. 

Ainfi  pour  fçavoir  en  quel  Climat  eft  fitué  un 
Lieu  propofé  de  la  Terre,  dont  on  connoîtîa  La- 
titude, il  n’y  a qu’à  chercher  parle  Problème  pre- 
cedent , la  quantité  du  plus  grand  Jour  d’Eté , & 
en  ôter  toûjours  douze  heures  : car  le  double  du 
fefte  fera  connoître  le  nombre  du  Climat  qu’on 
cherche.  Ainfi  ayant  connu  qu’à  Paris  , où  le  Pôle 
eft  élevé  fur  l’Horizon  d’environ  45)  degrez,  le 
plus  grand  Jour  d Eté  eft  de  1 6 heures  , fi  l’on  en  ôté 
I 2 , il  reliera  4 , dont  le  double  8 fait  connoître 
que  Paris  eft  dans  le  huitième  Climat.  Ainfi  des 
autres. 


Comme  les  Longitudes  font  connoître  les  Païs 
les  plus  Orientaux,  ou  les  plus  Occidentaux,  &c 
les  Latitudes  les  Païs  les  plus  Méridionaux  , ouïes 
plus  Septentrionaux  : de  même  les  Climats  font 


/ 


Problèmes  oe  Cosmographie."  325 
connoître  les  Pais  où  les  Jours  font  plus  longs  ou 
plus  courts.  Or  par  la  connoiftànce  du  Climat,  on 
peut  aifément  trouver  le  plus  long  Jour  d’Eté,  par 
une  operation  contraire  à la  precedente,  fçavoir 
en  ajoûtant  1 2 à la  moitié  du  nombre  du  Climat  : 
car  la  fomme  donnera  la  quantité  du  plus  long 
Jourd’Eté.  Ainfi  en  fçachant  que  Paris  eft  dans  le 
huitième  Climat , en  ajoûtant  4 moitié  de  8 , à 1 2, 
la  fomme  1 6 fait  connoître  qu’à  Paris  le  plus  grand 
Jour  d’Eté  eft  de  16  heures. 

PROBLEME  VI. 

' 

Trouver  la  valeur  d’un  Degré  a un  grand  Cercle 
de  la  Terre. 

EN  fuppofant  que  la  Terre  eft  ronde,  Sc  que 
fon  centre  eft  le  même  que  celuy  du  Monde, 
un  degré  de  l’un  de  fes  Cercles  répondra  à un  de- 
gré d’un  femblable  Cercle  correfpondant  dans  le 
Ciel  : de  forte  que  ft  par  exemple  une  perfonne 
parcourt  un  degré  de  la  Terre  fur  un  même  Méri- 
dien Terreftre , en  allant  direélcment  vers  le  Midy, 
ou  vers  le  Septentrion  , fon  Zenit  s’éloignera  aulli 
d’un  degré  dans  le  Ciel  fous  le  Méridien  Ceîefte 
correfpondant,  & l’Elévation  du  Pôle  fur  l’Horh- 
zon  changera  par  confequent  d’un  degré;  pareille- 
ment fi  une  perfonne  parcourt  un  degré  delaTcrrç 
fur  l’Equateur  terreftre , en  allant  direélement  vers 
l’Orient,  ou  vers  l'Occident , fon  Zenit  s'éloignera 
aullî  d’un  degré  dans  le  Ciel  fous  l’Equateur  ce- 
lefte  , & fa  Longitude  changera  par  confequent 
d’un  degré. 

Ce  changement  ayant  été  remarqué  par  quantité 
d’cxperiences  faites  par  plufieurs  Aftronomes  en  des 

X iij 


3 1 6 Récréât.  Mathem at.  et  Phys. 

Lieux  différé  ns  de  la  Terre,  nous  pouvons  concîiïà 
re  de  là  que  la  Terre  eft  ronde  du  Midy  au  Septen- 
trion , & aufli  de  l’Orient  à l'Occident  , & qu’elle 
çlt  au  centre  du  Monde,  ou  pour  le  moins  au  mi- 
lieu des  circonvolutions  Çelcftes.  On  en  tire  aufli 
la  maniéré  de  trouver  en  lieues  , ou  en  quelqtt’au- 
tre  mefure  que  ce  foit  la  quantité  d'un  degré  d’un 
de  fes  grands  Cercles  qui  font  tous  égaux  : fçavoir 
en  choifilfant  fur  la  Terre  deux  Lieux  fituez  fous 
un  même  grand  Cercle , par  exemple , fous  un  mê- 
me Méridien,  & dont  la  diftance  foit  exactement 
connue  , & aufli  les  Latitudes  ; car  ainfi  en  ôtant  la 
plus  petite  de  ces  deux  Latitudes  de  la  plus  grande, 
on  aura  l’arc  de  leur  Méridien  commun,  compris 
entre  ces  deux  Lieux  de  la  Terre.  Ainfi  l’onfçaura 
qu’à  un  certain  nombre  de  degrez  3c  de  minutes 
d’un  grand  Cçrcle  de  la  Terre,  il  répond  un  cer- 
tain nombre  de  lieuës,  ce  qui  fuffit  pour  pouvoir 
connoître  la  valeur  d’un  degré  du  même  grand 
Cercle,  & mêmes  de  toute  la  circonférence  de  la 
Terre,  fi  on  la  veut  connoître,  en  diiant  par  la  Ré- 
glé de  Trois  direéte  , Il  à tant  de  degrez  & de  mi- 
nutes, s’il  y en  a , il  répond  tant  de  lieuës  , com- 
bien de  1 ieuës  répondront  à un  degré  , fi  l’on  ne 
veut  connoître  qu’un  degré,  ou  à 360  degrez  s 
' fi  l’on  veut  connoître  le  contour  de  la  Terre. 

Sappofons  que  les  deux  Lieux  de  la  Terre foient 
Paris  & Dunquerque,  qui  font  fituez  fous  un  mê- 
me Méridien  , & éloignez  l’un  de  l’autre  d’environ 
61  lieuës  Parifiennes  de  2000  toifes  chacune.  La 
Latitude  de  Paris  eft  de  48.  51'.  laquelle  étant 
ôtée  de  celle  de  Dunquerque  , qui  eft  de  ^ 1.  il 
relie  2.  10L  ou  130  minutes  pour  l’arc  du  Méri- 
dien compris  entre  Paris  & Dunquerque.  Sçachant 
donc  qu’un  arc  d’un  grand  Cercle  de  la  Terre  de 

4 © 


PrOBLe’mES  DE  CoSMOGRAPHife.  327 
ï 30  minutes  eft  de  62  lieues , on  fçaura  de  com- 
bien de  lieues  doit  être  un  degré  ou  60  minutes 
du  même  Cercle,  en  multipliant  ces  60  minutes 
par  62  , qui  eft  la  diftance  de  Paris  à Dunquerque, 
&:  en  divifant  le  produit  3720  par  130,  qui  eft  le 
nombre  des  minutes  de  l’arc  du  Méridien  commun 
à ces  deux  Villes,  8c  le  Quotient  donnera  environ 
28  lieues  Parifiennes  pour  la  valeur  d’un  degré 
d’un  grand  Cercle  de  la  Terre. 

J’ay  dit  environ  , parce  que  Meilleurs  de  l’Acade- 
mie Royale  des  Sciences  ont  trouvé  qu’un  degré  de 
la  Terre  vaut  5706 G toifes  des  mefures  du  Châte- 
let de  Paris,  lefquelles  57060  toifes  font  un  peu 
plus  que  28  lieues  Parifiennes  de  2000  toifes  cha- 
cune, comme  l’on  connoiften  divifant  57060  par 
2000  , car  le  quotient  eft  28  , 8c  il  refte  encore 
1060  à divifer  par  2000 , ce  qui  fait  environ  une 
dcmie-lieuë. 

La  Toife  du  Châtelet  de  Paris  fe  divife  en  6 
Pieds,  8c  fi  l’on  divife  ce  Pied  en  1440  parties,  le 
Pied  Rheinlandique  , ou  de  Leyde  en  comprendra 
I 3 90 5 le  Pied  de  Londres  1 3 50  , le  Pied  de  Bou- 
logne 1686,  & la  Braftè  de  Florence  2580. 

PROBLEME  VIL 

Connaître  la  Circonférence,  le  Diamètre  , la  Surface , 
& la  Solidité  de  la  Terre . 

Quoiqu’on  ne  puiftè  pas  mefurer  actuellement 
la  circonférence  de  la  Terre , â caufe  des  hau- 
tes Montagnes , 8c  des  vaftes  Mers,  qu’on  ne  fçau- 
roit  parcourir  en  ligne  droite  ; on  peut  neanmoins 
âifément  le  déterminer  par  les  réglés  de  l’Aftrono- 
mic,  8c  énfuite  fon  Diamètre  , fa  Surface,  8c  £à 

X iiij 


3 18  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.’ 
Soüditépar  les  principes  de  laGeometrie,  comme 
vous  allez  voir. 

Premièrement  , pour  ccmnoître  la  Circonférence 
de  la  Terre,  ayant  trouvé  par  le  Problème  prece- 
dent, qu’un  degré  de  cette  circonférence  eftde  28 
lieues  Panfienncs,  fi  l’on  multiplie  ces  28  lieues 
par  360  , c’eft-à-dire  , par  le  nombre  des  degrez 
du  contour  de  la  Terre  , le  produit  donnera  10080 
lieues  Parifiennes  pour  la  circonférence  de  la  Terre, 

Secondement  , pour  trouver  le  Diamètre  de  la 
Terre  , ou  la  diflance  qu’il  y a d’icy  à nos  Antipo- 
des , on  confiderera  que  le  Diamètre  d’un  Cercle 
étant  à fa  circonférence , comme  î 00  3314,  ou 
comme  50  à 1 57  , & que  la  circonférence  de  la 
Terre  ayant  été  trouvée  de  10080  lieues  Parifien- 
ïies,  il  n’yaqu’à  multiplier  ces  10080  lieues  par 
50  , de  divifer  le  produit  304000  par  157?  & 
le  quotient  donnera  3210  lieues  pour  le  Diamètre 
de  la  Terre» 

Troisièmement , pour  trouver  en  lieues  quarrées 
la  Surface  de  la  Terre  , il  n’y  a qu’à  multiplier  fa 
circonférence  , qui  a été  trouvée  de  10080  lieues, 
par  fon  Diamètre , que  nous  avons  trouvé  de  3 2 1 Q 
lieues,  de  le  produit  donnera  32336800  lieues 
quarrées  pour  la  Surface  de  la  Terre. 

Enfin  , pour  trouver  en  lieues  cubiques  la  Soli- 
dité de  la  Terre  , il  n’y  a qu’à  multiplier  fa  Surface 
qui  a été  trouvée  de  323  36800  lieues  quarrées 
pir  la  fixiéme  partie  3 3 3 de  fon  Diamètre,  qui 
a été  trouvé  de  32Iolicuës,  de  le  produit  don- 
nera 173  10888000  lieues  cubiques  pour  laSoii- 
diré  de  la  Terre. 

Parce  que  dans  le  Diamètre  de  la  Terre  nous  a- 
vons  neoliwé  les  fractions  , cela  nous  a donné  fa 
.Surface  un  peu  imparfaite , de  fa  Solidité  encore. 


P-roble’mes  de  Cosmographie.  329 
plus  imparfaite.  Si  vous  voulez  trouver  plus  exacte- 
ment cette  Surface  & cette  Solidité,  fans  fe  fervir  du 
Diamètre  de  la  Terre  , mais  feulement  de  fa  circon- 
férence qui  a été  trouvée  precifément  de  10080 
lieues  Panfiennes  , faites  ainfi. 

Pour  trouver  en  premier  lieu  la  Surface  de  la  Ter- 
re , dont  le  contour  a été  trouvé  de  1 0080  lieues, 
multipliez  ce  contour  1 0080  par  luy-même  , pour 
avoir  fon  quarré  1016064005  qu’il  faudra  mul- 
tiplier toujours  par  50  , & divifer  le  produit 
5080320000  toujours  par  157;  & le  quotient 
donnera  3 23  5 68  1 4 lieu.ps  quarrées  pour  laSur- 
face  de  la  Terre. 

Pour  trouver  maintenant  la  Solidité  de  la  Ter- 
re , dont  le  contour  a été  trouvé  de  1 0080  lieues, 
multipliez  ce  contour  ioo8opar  luy-même  , pour 
avoir  fon  quarré  10 1606400  5 qu’il  faudra  mul- 
tiplier encore  par  le  même  contour  ioo8o>  pour 
avoir  fon  cube  1024192512000,  lequel  é- 
tant  multiplié  toujours  par  1250  , Sc  le  produit 
1280240640000000  étant  divifé  toujours  par 
73  947  , le  quotient  donnera  17312949004 
lieues  cubiques  pour  la  Solidité  de  la  Terre. 

Corollaire  ï. 

De  ce  que  la  circonférence  de  la  Terre  eft  de 
10080  lieuçs  Parifiennes  , on  conclud  aifément , 
que  fi  la  Terre  fe  meut  autour  de  fon  Axe  d’Occi- 
dent  en  Orient , en  forte  que  dans  l’efpace  de  24 
heures  elle  achevé  une  circonvolution  , un  Lieu  de 
la  Terre  fitué  fous  l’Equateur  qui  eft  un  grand 
Cercle,  doit  parcourir  en  une  heure  420  lieues 
par  le  mouvement  de  la  Terre,  parce  que  divifant 
fon  contour  10080  par  24  , le  quqtient  eft  420  * 


^ 3 O Récréât.  Mathee*  at.  et  Phys. 

& qu’en  une  minute  de  temps  il  doit  faire  feps 
lieues,  comme  l’on  connoît  en  divifant  420  par 
6 o,  &c„ 

Corollaire  IL 

De  ce  que  le  Diamètre  de  la  Terre  eft  de  3 2 io 
lieues , on  conclud  que  fon  Demi-diametre  , ou  la 
diftance  qu’il  y a de  fa  Surface  à fon  Centre , eft  de 
160Ç  lieues,  comme  l’on  connoît  en  prenant  la 
moitié  de  3210.  D’où  il  eft  aifé  de  tirer  cette  con- 
fequence  , que  ft  l’on  pouvoir  faire  un  puits  pro- 
fond jufqu’âu  centre  de  la  Terre  , la  profondeur  de 
de  ce  Puits  devroit  être  de  1605  lieues,  ou  de 
3210000  toifes , comme  l’on  connoît  en  multi- 
pliant 1605  , qui  eft  le  Demidiametre  de  la  Terre;, 
par  2000  , qui  eft  le  nombre  des  toifes  d’une 
îicuë  Pariftenne,  comme  vous  avez  vû  au  Probl.  6. 

Corollaire  III. 

Parce  qu’un  Puits , dont  le  fond  feroit  au  centre 
de  la  Terre,  devroit  avoir  3210000  toifes  dé 
profondeur , on  peut  trouver  par  là  le  temps  que 
devroit  employer  une  pierre  , ou  quelqu’autre 
corps  qui  feroit  jetté  de  la  Surface  de  la  Terre 
dans  ce  Puits , que  je  fuppofe  vuide  , pour  aller 
jjufqu’au  fond  , fi  l’on  fçait  une  fois  par  quelque 
expérience  bien  faite,  le  temps  que  ce  corps  pe- 
fant  a employé  à parcourir  un  efpace  connu  en  tom- 
bant librement  dans  l’air. 

Suppofons  qu’en  une  minute  de  temps  un  corps 
pefant  foitdécendu  de  1 00  toifes  ; pour  trouver  le 
temps  qu’il  doit  employer  à décendre  dans  le  mê- 
me milieu  de  3 2 1 0000  toifes , multipliez  ce  nom- 
bre 3210000  par  le  quarré  1 du  temps,  c’eft-à- 


Problèmes  ds  Cosmographie.  35s 
dire  de  1 minute,  & divifez  le  produit  3210000 
par  100  , qui  ut  l’efpace  parcouru  pendant  une 
minute,  le  quotient  fera  3 2100,  dont  la  Racine 
quarréc  donnera  179  minutes,  qui  font  preique 
3 heures , pour  le  temps  que  le  même  corps  pe- 
lant doit  employer  à décendre  jufqu’au  centre  de 
la  Terre. 

Remarque. 

Nous  remarquerons  ici  en  palTant , que  fi  ce 
Puits  étoit  continué  jufqu’aux  Antipodes , en  forte 
que  la  Terre  fût  percée  à jour , le  corps  pefant  qui 
feroit  jetté  depuis  la  Surface  de  la  Terre  dans  ce 
Puits,  ne  s’arrêteroit  pas  tout  court  au  centre  de 
la  Terre,  quoique  ce  foit  le  lieu  le  plus  bas  : car 
étant  parvenu  au  centre  de  la  Terre  par  un  mou- 
vement fort  accéléré , cela  le  feroit  éloigner  du. 
centre  de  la  Terre,  & remonter  vers  les  Antipo- 
des par  un  mouvement  qui  fe  diminueroit  peu  1 
peu  , & fe  détruiroit  entièrement  proche  la  Sur- 
face de  la  Terre  vers  les  Antipodes  , ce  qui  le  fe- 
roit retomber  & revenir  au  delà  du  centre  de  la 
Terre  vers  nous;  de  forte  que  pendant  quelque 
temps  , en  faifant  abftraétion  de  la  refiftance  de 
l'air,  ce  corps  pefant  continueroit  à aller  & à reve- 
nir par  plufieurs  Vibrations  qui  feroient  à peu  prés 
d’une  égale  durée,  quoique  plus  petites  toujours 
de  plus  en  plus , jufqu’à  ce  qu’enfin  le  Mobile  s’ar- 
rêteroit  au  centre  de  la  Terre. 

Tout  ce  que  nous  avons  dit  touchant  les  mefu- 
res  de  la  Terre,  fuppofe  qu’elle  eft  parfaitement 
ronde,  quoiqu’elle  ne  le  foit  pas  en  parlant  à la  ri- 
gueur, à caufe  de  la  hauteur  des  Montagnes  , qui 
n’eft  confiderable  qu’à  l’égard  de  nous  , car  à l’égard 
de  la  Terre  c’eil  peu  dcchofe,  comme  vous  voyez 


3 3 2,  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Sans  la  Table  Suivante  que  nous  avons  tirée  du  B. 
Kircher  , 5c  qui  montre  en  Pas  géométriques  la 
hauteur  des  plus  confiderables  Montagnes  du  Mon- 
de , autant  qu’on  en  a pu  juger  par  la  longueur  de 
leurs  orribres. 


Pelion  Montagne  de  la  Thelîàlie  12,59 

Le  Mont  Olympe  en  Thelîàlie  1 2 69 

Catalyrium  1680 

Cyllenon  1875 

Le  Mont- Aetna  a ou  Mont-Gibel  en  Sicile  4009 

Les  Montagnes  de  Norvège  6000 

LePic  des  Canaries  10000 

Hemus  Montagne  de  laThrace  IOOOO 

Le  Mont  Caucafe  dans  les  Indes  15000 

Le  Mont  Atlas  dans  la  Mauritanie  ' 1 5 000 
Les  Montagnes  de  la  Lune  I 5000 


Le  Mont  Athos  entre  la  Macedoine  & laThra- 


ce ' 20009 

Stoîp  le  plus  haut  des  Monts  Riphées  en  la 
Scythie  25009 

Caffius  28009 


PROBLEME  VIII. 

Connaître  la  quantité  d’fin  Degré  d’un  -petit  Cercle 
propofé  de  la  Terre . 

AYant  connu  par  Vrobl.  6.  la  valeur  d’un  der 
gré  d’un  grand  Cercle  de  la  Terre  , il  fera  fa- 
cile de  connaître  la  quantité  d’un  degré  d’un  petic 
Cercle,  par  exemple  , d’un  Cercle  parallèle  à l’E- 
quateur , qu’on  appelle  Simplement  Parallèle , pour- 
vu que  fa  diftance  à l’Equateur  foit  connue  , ce  qui 
Sert  aux  Géographes  pour  la  defeription  des  Cartes 


PROBLEMES  DE  CoSMOGR Al'HIE.  ^33 
Chorégraphiques , & pour  trouver  la  diftance  de 
deux  Lieux  de  la  Terre,  fuuez  fous  un  même  Pa- 
rallèle , c’eft-à-dire  , également  éloignez  de  l’E- 
quateur. 

Comme  fi  l’on  veut  fçavoir  la  valeur  d’un  degré 
du  Parallèle  de  Paris,  qui  eft  éloigné  de  l’Equa- 
teur d’environ  49  degrez  , en  fuppofant  que  la 
quantité  d’un  degré  de  l’Equateur  eft  de  2,8  lieues,  p]an- 
tirez  à part  la  ligne  AB  d’une  longueur  volontaire  , che  4 ï. 
que  vous  prendrez  pour  un  degré  de  l’Equateur , & 1 18. Fig.’ 
la  divifez  en  z 8 parties  égales,  dont  chacune  re- 
prefentera  une  lieue.  Décrivez  de  l’extremité A, 
par  l’autre  extrémité  B , l’arc  de  Cercle  BC  de  49 
degrez,  & tirez  du  point  C,  la  ligne  CD  perpen- 
diculaire à la  Imne  AB  : 8c  comme  cette  licme  CD 

O O 

retranche  de  la  ligne  AB , la  partie  AD  d’environ 
I 8 parties , on  conclura  qu’un  degré  d’un  Paral- 
lèle éloigne  de  l’Equateur  de  49  degrez,  eft  de  18 
lieues  Pirifiennes. 

Cette  valeur  Ce  peut  connoître  plus  exactement 
de  plus  facilement  par  la  Trigonométrie , en  rai- 
fonnant  de  la  forte. 

Soit  l’Axe  du  Monde  AB,  en  forte  que  A &B,  x 1 7 ♦ 
fiaient  les  deux  Pôles  , & ACBD  l’un  des  deux  Co- 
lures.  Soit  l’Equateur  CFD,  & le  Parallèle  de  Pa- 
ris GHI,  dont  le  Diamètre  GI  eft  perpendiculaire  à 
l’Axe  AB  , 8c  dont  la  diftance  CG,  ou  DI , à l’E- 
quateur eft  fuppofée  de  49  degrez,  auquel  cas  le 
complément  AG,  ou  AI  fera  de  41  degrez. 

Il  eft  évident  qu’à  l’égard  du  Sinus  Total  CE  , le 
Demi-diametre  GK  eft  le  Sinus  de  l’arc  AG  , ou 
du  complément  de  la  diftance  du  Parallèle.  Il  eft 
évident  aufli  que  le  Demi-diametre  CE  de  l’Equa- 
teur, eu  le  Sinus  Total,  eft  à fa  circonférence, 
comme  le  Demi-diametre  GK  du  Parallèle , ou  le 


*54  Récréât.  Mathf.mat.  et  Phys. 

Sinus  du  complément  de  la  diftance  de  ce  Parafiez 
le , eft  à fa  circonférence  : &c  que  par  confequent  le 
SinusTotal  eft  à un  degré  de  l’Equateur,  comme 
le  Sinus  du  complément  de  la  diftance  du  Parallèle: 
eft  à un  degré  de  ce  Parallèle  -,  & parce  qu’un  de- 
gré de  l Equateur  eft  connu  , ayant  été  trouvé  de  28 
lieues  Parificnnes  , on  pourra  connoître  de  com- 
bien de  femblables  lieues  eft  un  degré  du  Parallèle 
propofé  par  cette  Analogie , 

Comme  le  Sinus  Total  1 00000 

A un  degré  de  l Equateur  28 

Ainjî  le  Sinus  du  comblement  de  la  difiance  du 
Parallèle  a l'Equateur  65606 

A un  degré  de  ce  Parallèle  1 8 

qui  fetrouvera  d’environ  18  lieues  Parificnnes. 

Ayant  ainfi  connu  la  quantité  d’un  degré  du 
Parallèle  de  Paris , on  pourra  connoître  fi  l’on  veut, 
la  circonférence  entière  de  ce  Parallèle  , en  multi- 
pliant par  560  fa  quantité  trouvée  18  , ou  plus 
exactement  par  cette  Analogie  * 

Comme  le  Sinus  Total,  IOOOOÔ 

A la  circonférence  de  la  Terre  1 0080 

Ainfi  le  Sinus  du  complément  de  la  difiance  du 
Parallèle  a l’Equateur  65606 

A la  circonférence  du  Parallèle  66  13 

qui  fé  trouvera  d’environ  66 13  lieues  Parificnnes: 
ce  qui  fait  connoître,  que  fi  la  Terre  fe  meut,  la 
Ville  de  Paris  , ou  quelqu’autre  point  que  ce  foit 
de  fon  Parallèle,  fait  en  24  heures  66 13  lieues 
d’Occident  en  Orient  , ôc  par  confequent  275 
îicuës  en  une  heure  , & environ  4 lieues  & demie 
en  une  minute  de  temps. 


Proble’mes  de  Cosmograhie.  33  j 

PROBLEME  IX. 

Y rouver  la  di flan  ce  de  deux  Lieux  propofez,  de  la 
Terre  , dont  on  connoit  les  Longitudes  £r 
les  Latitudes , 

IL  peut  arriver  trois  cas  differens , parce  que  les 
deux  Lieux  propofez  peuvent  être  fous  un  mê- 
me Parallèle , ayant  une  même  Latitude  , & la  Lon- 
gitude differente  : ou  bien  fous  un  même  Méri- 
dien , ayant  une  même  Longitude , & une  Latitude 
differente  : ou  bien  encore  ils  peuvent  être  fous 
des  divers  Paralleles,&  fous  des  Méridiens  differens, 
ayant  par  confequent  des  Longitudes  & des  Latitu- 
des differentes.  Nous  allons  refoudre  ces  trois  cas 
les  uns  apres  les  autres , en  cette  forte. 

Premièrement  j fi  les  deux  Lieux  propofez  font 
fous  un  même  Parallèle  , comme  Cologne  &c  Maëf- 
trick,  qui  font  fous  un  Parallèle  éloigné  de  l’E- 
quateur vers  le  Septentrion  de  jo-  50L  Parce  que 
Cologne  eft  plus  Oriental  que  Macftrick  de  6 mi- 
nutes de  temps,  qui  valent  1.  30'.  de  l’Equateur, 
ou  du  Parallèle , fous  lequel  ces  deux  Villes  font  fî- 
ruées,  comme  l’on  connoît  en  difant,  fî  1 heure, 
ou  6 O minutes  valent  15  degrez , combien  vau- 
dront 6 minutes  ? de  forte  que  l’arc  de  ce  Paral- 
lèle compris  entre  Cologne  & Maëftrick  eft  de  1 . 
3 c/.  qui  dans  l’Equateur  valent  42  lieues  Parifîen- 
nés , à raifon  de  28  lieues  pour  un  degré  , comme 
l’on  connoît  en  difant , fî  1 degré , ou  60  minu- 
tes valent  28  lieues,  combien  vaudront  1.  3c/.  ou 
90  minutes  ? & pour  fçavoir  de  combien  de  fem- 
blables  lieues  doit  être  cet  arc  dans  un  Parallèle 
éloigné  de  l’Equateur  de  50.  50'.  ou  la  diftance 


Plan- 
che 4 z 
ii  51.Fi' 


336  Récréât.  Mathemàt.  et  Phys. 

des  deux  Lieux  propoiez  , on  Le  fcrvira  de  cette 

Analogie , 

Comme  le  Sinus  Total,  IOOOOO 

A la  'valeur  de  t.  30 f . de  l' Equateur  42 
Ainfi  le  Sinus  du  complément  de  la  difiance  du 
Parallèle  a l'Equateur  63158 

.A  la  difiance  qu’on  cherche . 26-^* 

qui  fetrouvera  d’environ  26  lieues  Parifiennes  & 
demie. 

Secondement , fi  les  deux  Lieux  propofez  font 
fous  un  même  Méridien  , comme  Paris , dont  la 
Latitude  eft  de  48.  51'.  & Amiens,  dont  la  Lati- 
tude eft  de  49.  54'.  Otez  de  cette  Latitude  49. 
54A  la  Latitude  de  Paris  48.  51'.  qui  eft  plus  pe- 
tite , pour  avoir  aü  refte  1.  fi.  l’arc  du  Méridien, 
compris  entre  Paris  & Amiens,  que  l’on  convertira 
en  lieues  par  la  Réglé  de  Trois,  en  difant,  fi  un 
degré,  ou  60  minutes  d’un  grand  Cercle  de  la 
Terre  vaut  28  lieues  Parifiennes  , combien  vaudra 
I-  fi.  ou  63  minutes?  Multipliant  donc  63  par 
28  , &c  divifant  par  60  le  produit  1764,  le  quo- 
tient donnera  environ  29  lieues  Parifiennes  pour  la 
diftance  de  Paris  à Amiens. 

Enfin , fi  les  deux  Lieux  propofez  font  differens 
en  Longitude  & en  Latitude  , comme  Paris  & Con- 
ftantinople  qui  eft  plus  Oriental  que  Paris  de  29. 
3c/.  & plus  Méridional  ^de  7.  45'.  on  imaginera 
un  grand  Cercle  qui  pafle  par  ces  deux  Villes , 8c 
l’on  trouvera  l’arc  de  ce  grand  Cercle  , compris 
entre  ces  deux  mêmes  Vdles  , en  cette  forte. 

Soitle  Premier  Méridien  ABCD,&  l’Equateur  CD 
également  éloigné  des  deux  Pôles  A,C.  Soit  leMeri- 

dien 


..." 


PLecreaüons  Æatltern  . Planche  4-2  .Page  33  y . 


Probie’mes  de  Cosmographie»  337 
dien  de  Palis  AEC,  de  Ton  Parallèle  GHI,  en  for-  PÉn* 
îc  que  Paris  foie  en  H.  Soir  encore  Je  Méridien  de  c^e  4 ’1’ 
Conftantinople  AFC,  de  fon  Parallèle  KLM,  en11^1^ 
forte  que  Conftantinople  foit  enL.  Soit  enfin  l’arc 
HL  du  grand  Cercle  NHLO  , qui  paflê  par  les  deux 
Lieux  propofez  H , L.  t . 

Cet  arc  HL  fe  pourra  connoître  par  la  Trigo- 
nométrie dans  le  Triangle  Sphérique  pbliquangle 
HCL,  dans  lequel  on  connoît  le  côté  HCdeq.i. 

5/.  complément  de  la  Latitude  EH  de  Paris , qui 
eft  de48.  5 iL  le  côtéCL  de48.  54'.  complément 
de  la  Latitude  FL  de  Conftantinople  , qui  eft  de 
41.  6f.  Se  l’angle  compris  HCL,  ou  la  différence 
des  Longitudes  BCE  , BCF  , des  deux  Lieux  pro- 
pofez H , L , qui  eft  de  2 9.  3 ofi 

Pour  donc  trouver  le  côté  ou  la  diftance  HL 
premièrement  en  degrez  Se  en  minutes,  tirez  de 
l’Angle  H , l’arc  de  grand  Cercle  HP  perpendicu- 
laire au  côté  eppoféCL,  Se  faites  ces  deux  Ana- 
logies i 

Comme  le  Sinus  Total  IOOOOQOOO 

Au  Sinus  du  complément  de  l’angle  HCL 

99396968 

Ainji  la  Tangente  du  côté HC  5)941458  5 

A la  Tangente  du  Segment  CP  98811553 

qui  fe  trouvera  de  37.  25'.  Se  qui  étant  ici  ôté  de 
la  bafe  CL  > ou  de  48.  54'.  il  reftera  11.  29'» 
pour  l’autre  Segment  LP. 


Tome  L 


Y 


Plàn- 
clie  41. 
3 15.  Fig. 


ii$,Fïg. 


338  Riche At. M athem at. è t Phys,1 


Comme  le  Sinus  du  complément  du  Segment 
CP  9$999îo6 

Au  Sinus  du  complément  du  Segment  LP 

99  912,184 

Ainji  le  Sinus  du  complément  du  côté  HC 

5)875789 

Au  Sinus  du  complément  du  côté  HL 

996 805^7 

qui  fe  trouvera  de  21.  42/.  qui  étant  réduits  en 
îieuës  Parifiennes  par  la  Réglé  de  Trois,  en  di- 
fant , fi  un  degrc , ou  60  minutes  d’un  grand  Cer- 
cle de  la  Terre  vaut  28  lieues  Parifiennes,  combien 
vaudront  21.41*.  oui  302  minutes?  on  trouvera. 
6 07  lieues  Parifiennes  pour  la  diftance  de  Paris  à 
Conftantinople. 

Remarque* 

Lorfque  les  deux  Lieux  propofez  font  éloignez 
«ntre  eux  d’une  diftance  confiderable,  comme  dans 
cet  exemple , on  pourra  fans  aucun  calcul  trouver 
jprefque  auffi  exaéfce ment  cette  diftance  en  degrez& 
en  minutes  d’un  grand  Cercle  de  la  Terre  , par  la 
Projection  Qrtographique  de  la  Sphere  j comme 
Vous  allez  voir. 

Décrivez  du  centre  À,  avec  une  ouverture  vo- 
lontaire du  Compas  le  Demi-cercle  BCDE  , que 
vous  prendrez  pour  le  Méridien  de  Paris.  Prenez 
fur  ce  Demi-cercle  l’arc  BF  de  48.  5 i' . telle  qu’eft 
la  Latitude  de  Paris , pour  avoir  le  lieu  de  Paris 
en  F,  par  où  vous  tirerez  du  centre  A , le  Rayon 
AF. 

Prenez  fur  le  même  Demi-cercle  les  arcs  BC , 


Problèmes  de  Cosmographie.  339 
Ï.D»  chacun  de  41.  6 f.  relie  qü’ert  la  Latitude  de  Plan- 
Conftantinople,  & tirez  la  ligne  CD,  qui  repre-  c^c  41» 
fentera  le  Parallèle  de  Conftantinople  , fur  lequel  110<i 
vous  déterminerez  le  lieU  de  Conftantinople  , ei* 
cette  forte. 

Ayant  décrit  autour  du  Diamètre  CD  leDcmi- 
tercle  CGD  , prenez  fur  fa  circonférence  l’arc  CG 
de  2,9.  30L  telle  qu’eft  la  différence  des  Longiru- 
des  de  Paris  & de  Conftantinople  , & tirez  dti 
point  G la  ligne  GH  perpendiculaire  au  Diamètre 
CD , pour  avoir  en  H le  lieu  de  Conftantifiople  , 
d’où  l’on  tirera  la  ligne  HI  perpendiculaire  à la  lit 
gncAF,  & l’arc  FI  étant  mefuré,  donnera  en  de- 
grez & en  minutes  la  diftance  qii’ôn  cherche , qui 
fe  trouvera  d’environ  22  degrez  , comme  aupa- 
ravant. 

Nous  avons  pris  laLatitüde  BC  de  Conftantinople 
dans  le  même  Hemifphere  que  la  Latitude  BF  de  Pa- 
ris à l’égard  de  la  ligne  BE,qui  reprefente  l’Equateur, 
c’eft-à-dire  , depuis  l’Equateur  BE  vers  le  lieu  de  Pa- 
ns F , parce  que  les  Latitudes  de  ces  deux  Villes  font 
Septentrionales  : car  fîl’üne  avoit  été  Méridionale, 
comme  celle  de  Pernambouc  .dans  le  Brefil  Région  Plan- 
conftderable  de  l’Amerique  Méridionale,  laquelle  C'1C4Î- 
Latitude  eft  de  7.  4c/.  il  auroit  fallu  prendre  l’arc  1 1 1 
BC  de  7.  4o7.  vers  l’aütre  côté,  & achever  le  refte 
comme  nous  avons  dit , en  forte  que  l’arc  CG  foit 
de  44.  1 5'.  telle  qu’eft  la  Différence  des  Latitu- 
des de  Paris  & de  Pernambouc:  & parce  que  l’arc 
FI  fe  trouve  d’environ  70  degrez  , fi  l’on  réduit 
ces  70  degrez  en  lieues , en  les  multipliant  par  28* 
bn  aura  i960  lieues  Pariftennes  pour  la  diftance 
de  Paris  à Pernambouc. 

Lorfquela  diftance  des  deux  Lieux  propofez  né 
fera  pas  beaucoup  conftderable  , comme  celle  de 

Yij 


Plan- 
che 44. 
ttj.Fig. 


342,  Récréât.  Mathimat.  et  Phys? 
mie . Il  eft  évident  que  fi  le  Vaiflèau  a toujours  lé 
Cap  au  même  Rumb,  c’eft-à-dire,  qu’étant  en  H; 
fous  le  Méridien  AD,  il  continue  fon  chemin  par 
le  Rumb  ou  Vertical  HI  incliné  au  Méridien  AD  dia 
même  angle  de  60  degrez,  en  forte  que  l’angle 
CHI  foit  aufii  de  60  degrez  ; les  trois  points  A , 
H,  I,  ne  font  pas  en  ligne  droite.  Pareillement  fi, 
le  même  Navire  continue  fa  route  depuis  I , où  il  a 
la  ligne  AE  pour  Méridien , en  K , par  le  RumblK, 
qui  fait  avec  le  Méridien  CE , l’Angle  CIK  aulîi  de 
éo  degrez,  les  trois  points  H , I , K , ne  feront  pas 
une  ligne  droite,  Sc  ainfi  enfuite  jufqu’en  L fur 
ïe  dernier  Méridien  CB. 

D’où  il  eft  aifé  de  conclure  , que  la  ligne  AHIKL, 
que  le  Vaiftèau  a décrit  en  fuivant  le  même  Vent  „ 
&C  qu’on  appelle  Ligne  Loxodromique , ou  fimple- 
ment  Loxodromie  , eft  une  ligne  courbe  qui  s’é- 
carte continuellement  du  lieu  G , où  l’on  s’étoit 
propofé  d’aller,  & qui  imite  la  figure  d’une  ligne 
Spirale , qui , comme  vous  voyez , fe  va  toujours 
approchant  du  Pôle  C. 


Remarque. 

Si  l’on  divîfe  la  Ligne  Loxodromique  ARL  en 
pîufieurs  parties  égales  fi  petites  qu’elles  puilïènt 
palier  pour  des  lignes  droites  , comme  AH  , HI , IR* 
&c.  & que  par  les  points  de  divifion  H , I , K , &c» 
Ton  falfe  palfer  autant  de  Parallèles  , ou  Cercles  de 
Latitude;  tous  ces  Cercles  feront  également  éloi- 
gnez entre  eux , de  forte  que  les  arcs  des  Méridiens 
DH  , MI , NK , feront  égaux  entre  eux  , auftî- 
bien  que  les  arcs  correfpondans  AD,  HM  , IN, 
&c.  non  pas  en  degrez  , mais  en  lieues  , à caufe 
<de  l’égalité  des  Triangles  rectilignes  rectangles 
ADH , HMï , INK , &c. 


eJlcc-rcaticns  Mathem  . Planche  4 4.. Page  342 


I 


/ 


• \.  • 


' . . 

' 

Proble’mes  de  Cosmographie.  3.43 
Quand  on  fçait  le  temps  qu’on  a employé  pen- 
dant un  Vent  favorable  à parcourir  une  Loxodro- 
mie tres-petite , comme  AH,  en  fuivant  un  même 
Rumb , & qu’ainfi  l’on  fçait  l’arc  AD,  qu’il  eft  fa- 
cile de  réduire  en  lieues , en  donnant  2,0  lieues  à 
un  degré  : & qu’étant  en  H , on  a Pris  Hauteur , 
c’eft-à-dire , qu’étant  en  ce  Lieu  on  a obfervé  la 
Hauteur  du  Pôle  , ou  la  Latitude  DH , qu’il  eft  auflï 
aifé  de  réduire  en  lieues  > on  pourra  aifément  con- 
noître  le  chemin  qu’on  aura  fait  depuis  A en  H,, 
en  ajoutant  enfemble  les  quarrez  des  lignes  AD  , 
DH , & en  prenant  la  Racine  quarrée  de  la  fomme. 
Il  eft  vifihle  que  la  Loxodromie  eft  une  ligne 
droite  Iorfque  fon  Angle  d’inclinaifon  eft  nul , 
c’eft-à-dire,lorfque  le  Vaifteau  navigue  Nord  & Sud, 
ou  fuit  le  Rumb  Nord  & Sud  marqué  par  laBouf- 
fole , quand  l’aiguille  ne  décline  point  : parce  que 
dans  ce  cas  le  Vaifteau  avançant  félon  la  Ligne  Mé- 
ridienne , doit  neceftiircmcnt  décrire  cette  ligne 
qui  eft  droite , puifqu’elle  eft  la  commune  Seétion 
du  Méridien  Sc  de  l’Horizon. 

Il  arrivera  la  même  chofe  , Iorfque  le  Navire 
étant  fous  l’Equateur  celefte , ou  fous  quelqu’un  de 
fes  Parallèles , met  le  Cap  à l’Eft  ou  à l’Ouëft  , c’eft- 
à-dirc,  navigue  dire&ement  à l’Eft  ou  àl’Oucfta 
en  forte  que  l’Inclinaifon  de  la  Loxodromie  foit  de 
5)0  degrez  , parce  que  dans  ce  cas  ,1e  Vaifteau  dé- 
crit ou  l’Equateur  Terreftre,  ou  l’un  de  fes  Paral- 
lèles qui  font  avec  tous  les  Méridiens  des  Angles 
droits, ou  de  90  degrez. 

Enfin , il  eft  vifible , que  comme  nous  avons  déjà 
dit,  un  Vaifteau  qui  navigue  par  un  même  Rumb 
oblique,  en  forte  que  l’Inclinaifon  de  la  Loxodro- 
mie foit  un  angle  oblique  , c’eft-à-dire , aigu  , ou 
obtus , 4écrit  fur  la  Surface  de  la  Mer  une  ligne 

Y iiij 


Plan- 
che 44. 
nj.Fig^ 


Plan- 
che 44. 
U3-ïig 


U.4*ïig 


344  Récréât.  Mathimat.  et  Phys,' 
courbe , comme  AKL  , pour  aller  de  A en  G , pat 
le  Rumb  oblique  AH  , parce  que  les  Méridiens 
Terreltres  CA  , CD  , CE , CF , Scc.  ne  font  pas  pa- 
rallèles entre  eux  , étant  certain  que  s'ils  étoient 
parallèles,  au  Heu  de  décrire  la  ligne  courbe  AKL, 
qui  fait  avec  ces  Méridiens  des  angles  égaux , il  dé- 
criroit  la  ligne  droite  AG,  qui feroit  avec  ces  mê- 
mes Méridiens  des  angles  égaux. 

Cette  ligne  courbe  AKL  reflemble  à celle  que 
décriroit  un  corps  pefant , comme  une  pierre,  qui 
tomberoit  de  la  Surface  de  la  T'erre  jufqu’à  fon 
centre,  s’il  eft  vray  que  la  Terre  fe  meuve  autour 
de  fon  Axe  d’Occident  en  Orient  : comme  vous  al- 
lez voir  par  la  defcription  de  cette  ligne  courbe  5 
qui  ell  telle. 

PROBLEME  XL 

la  ligne  courbe  que  décriroit  -par  le  tnoti^ 
1 vement  d.e  la  Terre  un  corps  pefant  en  tom= 
bant  librement  de  haut  en  bas  jufquax  centre 
de  la  Terre . 

SOit  le  centre  de  la  Terre  A,  8c  une  partie  de  fa 
circonférence,  reprefentée  par  l’arc  BC  , que  le 
point  B ait  parcouru  par  le  mouvement  de  la  Terre 
en  un  certain  temps , en  parcourant  en  des  temps 
égaux  les  arcs  égaux  BD , DF , FH  , HK , KC. 

Cela  étant  liippofé  , le  Dcmi-diametre  de  la 
Terre  AB  prendra  au  premier  temps  la  fituation 
AD,  8c  la  pierre  qui  étoit  en  B,  fera  décenduê 
en  E , lorfque  le  point  B fera  parvenu  en  D : & 
lorfqu’au  fécond  temps  il  fera  parvenu  en  F , le 
Demi-diametre  AB  aura  pris  la  fituation  AF , & la 
pierre  fera  décenduc  en  G ; de  forte  que  la  partie 
KGfera4,  lorfque  la  partie  DE  fera  1 , par  lana.- 


Reprefenter 


Proble’mes  de  Gosmographie.'  34$ 
çure  des  corps  pefans , qui  en  tombant  librement  de 
haut  en  bas  acquièrent  en  temps  égaux  des  degrez 
égaux  de  vîtefl'e  , en  parcourant  des  elpaces  qui 
croiftcnt  comme  les  quarrez  i,  4,  9,  16,25» 
&c.  des  nombres  naturels  1,1,3  5 4 5 5 ’ &c.  ces 
efpaces  croiflànt  les  uns  par  défais  les  autres , fé- 
lon les  nombres  impairs  1,3^57, 9 , &e.  c’eft 
- pourquoy  lorfqu’au  troifiéme  temps  , le  point  D 
fera  parvenu  en  H,  le  Demi-diametre  AB  aura  pris 
la  fituation  AH  , & la  pierre  fera  décenduë  en  I , 
de  forte  que  la  partie  HI  fera  9 : & lorfqu’au  qua- 
trième temps  le  point  B fera  parvenu  en  K , le 
Demi-diametre  AB  prendra  la  fituation  AK  , 6c  la 
pierre  fera  décenduë  en  L , de  forte  que  la  partie 
KL  fera  16  : Sc  enfin  le  point  B étant  parvenu  au 
cinquième  temps  en  C,  auquel  cas  le  Demi-dia- 
metreAB  aura  pris  la  fituation  AC,  la  pierre  fera 
décenduë  en  A,  & toute  la  ligne  CA  fera  25» 
Ainfi  la  pierre  en  décendant  continuellement , fera 
la  ligne  courbe  BEGILA,  laquelle  par  confequent 
vous  pourrez  reprefenter  en  cette  forte. 

Parce  que  Iafomme  des  cinq  premiers  nombres 
impairs  1,3  ,5,7,9,  eft  le  nombre  quarré  2 5 , 
dont  la  Racine  quarrée  eft  5 , parcourez  fur  la  li- 
gne droite  AB  25  parties  égales  d’une  grandeur  vo- 
lontaire , depuis  B jufqu’en  A , d’où  comme  centre, 
vous  décrirez  par  le  même  point  B,  l’arc  de  Cercle 
BCauffi  d’une  grandeur  volontaire,  Divifez  cet  arc 
BC  en  cinq  parties  égales  aux  points  D , F , H , 
K , par  où  vous  tirerez  au  centre  A les  rayons 
ou  Demi-diametres  AD,  AF,  AH,  AK,  fur  I ef- 
quels  vous  trouverez  les  points  E,  G,  I,  L,  de 
la  ligne  courbe  que  vous  voulez  décrire , en  pre- 
nant la  partie  DE  d’une  partie  égale  de  la  ligne 
AB  , FG  de  quatre  parties,  HI  de  neuf  parties, 
& KL  de  feize  parties , &c. 


Plan- 
che 4 4; 
114. P)g. 


34^  Récriât»  Mathemat.  et  Piîys? 


PROBLEME  XII. 

Connaître  quand  une  Année  propofée  efi  Bijfextile » 

QUoique  l’Année  Solaire , ou  le  temps  que  le 
Soleil  employé  à parcourir  par  fon  mouve- 
ment propre  tout  le  Zodiaque  , Toit  d’environ 
36Ç  jours,  5 heures,  & 49  minutes:  neanmoins 
on  ne  la  fait  que  de  3 6 $ jours  , pour  le  moins 
quand  elle  n’eft  pas  Bifl'extilc , en  omettant  les  ç 
heures  8c  les  49  minutes , qui  font  prefque  6 heu- 
res, n’y  ayant  que  11  minutes  à redire,  afin  de 
pouvoir  commencer  l’Année  toujours  à une  même 
heure  -,  ce  qui  fait  que  chaque  Année  commune  fe 
trouve  trop  courte  d’environ  6 heures  , qui  en  qua- 
tre Années  font  prefque  un  Jour  , qu’on  ajoûte 
entre  le  23,  & le  24.  de  Février  de  chaque  qua- 
trième Année  , laquelle  à çaufe  de  cela  a été  ap- 
pellée  Bijfextile ; parce  qu’à  cette  Année- là,  qui 
eftdc  366  jours  , on  dit  deux  jours  de  fuite  le  fi- 
xiéme  des  Calendes  de  Mars , afin  que  les  Nones 
Sc  les  Ides  fe  trouvent  dans  leurs  places  ordinaires. 

C’eft  pourquoy  pour  fçavoir  fi  une  Année  propo- 
fée eft  Biflèxtile , il  en  faut  divifer  le  nombre  par 
4, 8c  s’il  ne  refte  rien  de  îadivifion  , cette  Année 
fera  Bifièxtile,  ou  de  3 66  jours,  & elle  ne  le  fera 
pas , c’eft-à-dire  , qu’elle  fera  feulement  de  3 6 £ 
jours , s’il  refte  quelque  chofe  après  la  divifion. 
Ainfi  l’on  connoît  que  cette  Année  1693.  n’eft  pas 
Biflèxtile  , parce  que  divifant  1693  par  4 , il  refte 
3 , ce  refte  3 faifant  connoître  que  la  troifiéme  An- 
née après  1693.  fçavoir  1696.  fera  Biftèxtile. 

Neanmoins  quoiqu’en  divifant  par  4 , les  Années 
1700,1 800  j 15)00,  il  ne  refte  rien , il  ne  faut 


Pb.OBLB'MIS  DE  COSMOGRAPHIE. 
pas  croire  pour  cela  que  ces  Années  foient  Bilïèx- 
tiles,  ce  qui  vient  de  la  Reformation  du  Calen- 
drier, qui  a été  faite  par  le  Pape  Grégoire  XIII.  en 
l’Année  1582..  à caufedes  fix  heures  qu’on  ajoure 
à chaque  quatrième  Année,  qui  font  un  peu  plus 
qu’il  ne  faut,  l’excès  étant  de  onze  minutes  , qui 
dans  l’efpace  de  quatre  Siècles  font  environ  trois 
jours  de  trop,  que  Ton  recompenfe  en  nefaifant 
point  Bilfextiles  les  trois  Années  1700 , 1800  , 
i <?OQ  , parce  que  l’Année  1 600  a été  Bidèxtile. 

Remarque. 

Cette  Reformation  du  Calendrier  au  Sieclepalïe 
par  le  Pape  Grégoire  XIII.  qui  en  l’Année  1582. 
ht  retrancher  dix  jours  de  l’Année , qui  s’étoienc 
augmentez  depuis  Jules  Celàr  qui  a inftitué  l’Année 
Biffèxtile  ; a donné  le  nom  de  Calendrier  Grégorien 9 
& de  Calendrier  nouveau  , au  Calendrier  , donc 
ï’Eglife  Romaine  fe  fert  à prefent , & dans  lequel 
on  void  les  Calendes , qui  font  les  premiers  jours 
de  chaque  mois,  d’où  il  femble avoir  tiré  fon nom, 
& enfuite  les  Nones , & les  Ides,  qui  ctoicnt  au- 
trefois en  ufage  parmi  les  Romains. 

On  a au  Siccle  palïe  retranché  dix  jours  de  l’An- 
née , par  lefquels  l’Equinoxe  du  Printemps  antici- 
poit  le  2 1 • de  Mars,  car  il  arrivoit  le  1 1.  de  ce 
mois , afin  que  cet  Equinoxe  qui  réglé  le  temps 
auquel  les  Fideles  doivent  celebrer  la  Fête  de  Pâ- 
ques, arrive  toujours  le  21.  de  Mars,  comme  il 
arrivoit  au  temps  du  Concile  de  Nycée  : ce  qui 
rend  à l’Année  Solaire  un  Siégé  déterminé , c’eft-à- 
dire , que  par  cette  Reformation  laite  au  Siecle 
palfé  les  Equinoxes  , & les  Solftices  font  retenus 
êc  dans  les  mêmes  jours  & dans  les  mêmes  mois. 


3 48  Récréât.  M athemât.  et  Phys.' 

C’eft  pourquoy  les  Nations  qui  par  une  opiniâtreté 
ridicule  , n’ont  pas  voulu  recevoir  çerte  Re forma- 
tion , comptent  les  Equinoxes , 8c  tous  les  autres 
temps  de  l’Année  dix  jours  plus  tard  que  nous  j 8c  fî. 
ejîes  continuent  dans  cette  obftination  il  arrivera 
dans  la  fuite,  qu’ils  célébreront  la  Nativité  de  Nô- 
tre Seigneur  Jefus-Chrift  au  Solftice  d’Eté,  8c  l\ 
Fête  de  la  Saint  Jean  Baptifteau  Solftice  d’Hyver, 

PROBLEME  XII L 

Trouver  le  Nombre  d'or  en  une  Année propofée .. 


NOus  avons  dit;  au  Problème  precedent , que- 
l’Année  Solaire  eft  de  3 65  jours,  8c  5 heu- 
res, & 49  minutes  , & nous  dirons  ici  que  V An- 
née Lunaire,  ou  la  fomme  de  douze  révolutions  de 
la  Lune  par  fon  propre  mouvement  dans  le  Zodia- 
que , eft  de  3 ^4  jours , 8 heures,  8c  49  minutes  $ 
qui  eft,  comme  vous  voyez  , plus  courte  que  l’An- 
née Solaire  d’environ  1 1 jours  , ce  qui  fait  que 
l’Année  Lunaire  finit  1 1 jours  plutôt  que  l’Année 
Solaire , 8c  que  par  confequent  les  Nouvelles-Lu- 
nes arrivent  1 1 jours  plutôt  en  une  Année  qu’en 
la  precedente. 

Ainfi  vous  voyez  que  îe  Soleil  8c  la  Lune  ne  fi-r 
nifl'ent  pas  toujours  leurs  Périodes  en  même  temps? 
SC  ils  ne  repaflent  pas  les  mêmes  difpofidons  , ou 
ils  fe  font  rencontrez  auparavant , c’eft-à-dire  que 
les  Nouvelles-Lunes  n’arrivent  pas  les  mêmes  mois, 
ni  les  mêmes  jours  d’une  Année  qu’elles  étoient 
arrivées  en  une  autre  Année  , fi  ce  n’eft  dans  l’efpa- 
ce  d’environ  1 9 Années  *,  j’ay  dit  environ , parce 
qu’il  s’en  manque  1 heure , 2,7  minutes  , 8c  3 z fe-i 
coudes , ce  qui  eft  peu  de  chofe , les  Nouvelles-Lu^ 


Proble’mes  de  Cosmographie.  349 
'ftes  n’anticipant  que  d’un  jour  dans  l’efpace  d’en- 
viron 3 1 z Années , ce  qui  a été  l’une  des  caufes 
de  la  Reformation  du  Calendrier  j 2>c  qu’au  lieu  du 
Nombre  d’or , qui  eft  une  période  de  1 5»  Années  ÿ 
on  y a mis  les  Epaétes. 

Ce  nombre  donc  de  19  Années  Solaires,  au 
bout  defquelles  le  Soleil  & la  Lune  retournent  en- 
femble  dans  les  mêmes  points  où  ils  étoient  aupara- 
vant , eft  ce  qu’on  appelle  Nombre  à’ or  , qui  a été 
fiinfi  appelle  par  les  Athéniens  qui  l’ont  reçu  avec 
tant  d’applaudilTement  * qu’ils  le  firent  décrire  en 
gros  caraéteres  d’or  au  milieu  de  la  Place  publi- 
que. Il  a été  aufli  appellé  Cycle  Lunaire , parce  que 
c’eft  une  période  où  révolution  de  19  Années  So- 
laires qui  font  autant  que  1 9 Années  Lunaires  , en- 
tre lefquelles  il  y en  a douze  Communes , ou  de  dou- 
ze Mois  Synodiques  chacune , & fept  Embolifmi * 
cjues  , c’eft-à-dite , de  treize  Lunes  chacune , ce 
qui  fait  en  tout  23  5 Lunaifons  , au  bout  defquel- 
les les  Nouvelles- Lunes  arrivent  les  mêmes  jours 
des  mêmes  mois  qu’auparavant. 

Pour  trouver  lé  Nombre  d’or  poür  une  Année 
propoféc  , par  exemple  , pour  cette  Année  1693  , 
ajourez  1 au  nombre  1693  , & divifez  la  fom- 
me  1694  par  19,  & en  négligeant  le  quotient 
vous  aurez  feulement  égard  au  refte  qui  donne- 
ra 3 pour  le  Nombre  d’or  de  l’Année  1693.  On 
ajoute  1 au  Nombre  des  Années  , parce  qu’à  la  pre- 
mière Année  de  Jefus-Chrift  on  avoit  2 de  Nom- 
bre d’or. 

Remarque. 


Il  eft  évident  que  quand  on  a une  fois  trouvé  le 
Nombre  d’or  pour  une  Année,  l’on  peut  avoir  par 
la  feule  addition  le  Nombre  d’or  pour  l’Année  fui- 


j jo  Récréât.  Mathemàt.  et  Pïivs. 
vante  , fçavoir  en  ajoutant  i à ce  Nombre  tPdt 
trouvé  : 8c  parla  feule  fouftraétion  le  Nombre  d’or 
pour  l’Année  precedente , fçavoir  en  ôtant  i du 
même  Nombre  d’or  trouvé.  Ainfi  ayant  trouvé  3 
pour  le  Nombre  d’or  de  l’Année  1 6 9 3 . en  ajoûtanc 
1 à ce  Nombre  trouvé  3 , on  a 4 pour  le  Nombre 
<d’or  de  l’Année  1 694  , 8c  en  ôtant  1 du  même 
Nombre  trouvé  3 , on  a 2 pour  le  Nombre  d’or  de 
l’Année  1692. 

Il  eft  auiïi  évident  qu’à  toutes  les  Années  qui  ont 
un  même  Nombre  d’or,  les  Nouvelles-Lunes  arri- 
vent les  mêmes  jours  & les  mêmes  mois.  Ainfi  par- 
te qu’en  cette  Année  1693.  qui  a 3 pour  Nom- 
bre d’or,  la  Lune  ell  Nouvelle  les  Calendes  du 
mois  d’Aouft,  c’eft-à-dire,  le  premier  jour  de  ce 
mois , elle  fera  aulfi  Nouvelle  le  premier  jout  dii 
même  mois  aux  années  171  2.  1731»  1750* 
qui  ontaulfi  3 pour  Nombre  d’or. 

PROBLEME  XIV. 

Trouver  l’Epaéle  pour  une  Année  proposée* 

NOus  avons  dit  au  Problème  precedent,  que 
l’Année  Solaire  furpaiTe  l’Année  Lunaire  d’en- 
viron 1 1 jours  , ce  qui  arrivera  precifément  fi  l’ori 
compare  l’Année  Solaire  commune,  qu’on  appelle 
Année  Egyptienne  , parce  quelle  n’eft  que  de  3 <9  ç 
jouis , avec  l’Année  Lunaire  commune  , qui  eft 
de  3J4  jours  feulement , 8c  par  confequent  moin- 
dre que  l’Année  Solaire  commune  juftement  de  1 1 
jours , laquelle  différence  de  n jours  eft  ce  qu’on 
appelle  Epatte  , laquelle  étant  ajoutée  à l’Année  Lu- 
naire commune,  qui  eft  le  temps  de  douze Lunai- 
fons , ou  Lunes , ou  Mois  Syndiques , dont  chacun 


Proble’mes  de  Cosmographie.  3 ç i 
eft  de  29  jours  5c  demi  , on  a l’Année  Solaire 
commune. 

On  appelle  Mois  Synodique , le  temps  depuis 
une  Nouvelle-Lune  jufqua  l’autre  Nouvelle-Lune  , 
qui  cft } comme  nous  avons  dit , de  29  jours  ôc 
demi  j ou  plus  rigoureufement  de  29  jours,  iz 
heures , 5c  44  minutes  , 5c  qui  par  confequent  fur- 
paflè  de  % jours  5c  7 heures  le  Mois  Périodique  * 
c’eft-à-dire  , la  révolution  ou  période  de  la  Lune 
par  fon  mouvement  propre  depuis  un  point  du  Zo- 
diaque jufqu’au  même  point  , laquelle  Période  eft 
de  2 7 jours,  5 heures,  5c  44  minutes , qui  doit 
être  neceflàirement  moindre  que  le  Mois  Synodi- 
que  , à câufe  du  mouvement  propre  du  Soleil , par 
lequel  il  fait  pendant  le  Mois  Périodique  environ 
27  degrez,  que  la  Lune  doit  parcourir  après  être 
retournée  au  point  où  elle  étoit  conjointe  avec  le 
Soleil,  pour  le  pouvoir  atteindre  , ce  qu’elle  ne 
fait  que  dans  I’efpace  d’environ  2 jours  ôc  7 heures 
après  avoir  achevé  fa  période  ou  révolution  dans 
le  Zodiaque. 

Avant  que  de  vous  enfeigner  la  maniéré  de  con- 
noître  l’Epaéfce  , qui  dans  chaque  Année  ne  com- 
mence qu’au  mois  de  Mars,  nous  dirons  ici  que  les 
Mois  Synodiques  étant  chacun  d’environ  29  jours 
5c  demi , on  les  trouve  dans  le  Calendrier  alterna- 
tivement de  29  5c  de  30  jours , fçavoir  le  premier 
mois  de  30  jours,  5c  le  fécond  de  29  : 5c pareille- 
ment le  troifiéme  mois  de  30  jours  , 5c  le  qua- 
trième de  29  , 5c  ainfi  enluite.  Le  mois  de  29 
jours  fe  nomme  Mois  Cave,  5c  le  mois  de  30 
jours  s’appelle  Mois  Plein.  Lorfque  l’Année  eft  Bif- 
fextile , auquel  cas  le  mois  de  Février  eft  de  29 
jours , on  fait  en  ce  Mois  le  Mois  Périodique  de 
3 o jours. 


V 


1 5 z Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Le  premier  Mois  commence  parmi  le  commdh 
dans  la  Nouvelle-Lune  de  Janvier  , qui  autrefois 
étoit  en  Septembre  parmi  les  Juifs  : & l’Eglife  le 
commence  dans  la  Nouvelle-Lune  de  Pâques,  qui 
eft  celle  où  la  Lune  fe  trouve  Pleine  après  l’Equi- 
noxe du  Printemps  , ou  le  jour  même  de  l’Equinoxei 
que  l’Eglife  a fixé  au  2 1 . de  Mars  , parce  que  , com- 
me nous  avons  déjà  dit  ailleurs  , au  temps  du  Con- 
cile de  Nicée  l’Equinoxe  du  Printemps  arrivoit  à 
peu  prés  ce  jour-là. 

D’où  il  fuit  que  lorfque  la  Lune  fe  trouve  Plei- 
ne avant  le  21.  de  Mars.  Cette  Lunaifon  n’eftpas 
le  premier  mois  de  l’Année  , mais  le  dernier  de 
l’Année  precedente  : & que  pour  être  le  premier  j 
il  faut  que  la  Pleine-Lutte  , qui  eft  le  quatorzième 
jour  de  la  Lune , arrive  ou  le  21.  de  Mars  , ou  im- 
médiatement après  le  21.  Mars  : & alors  les  Ca- 
tholiques Romains  cclebrent  Pâques  le  Dimanche 
qui  fuit  immédiatement  après  cette  Pleine-Lune , 
en  mémoire  de  la  glorieufe  Refurreéfcion  de  Notre 
Seigneur  Jcfus-Chrift. 

D’où  il  fuit  encore  que  toutes  les  Lunes  qui 
commencent  depuis  le  8.  de  Mars  jufqu’au  d’A- 
vril  inclufivement,  peuvent  être  Pafcales  * & que 
par  confequent  la  Pâque  ne  fe  peut  point  celebrer 
avant  le  22.  de  Mars , ni  après  le  25.  d’ Avril , 2>c 
qu’ainfi  Pâque  peut  arriver  plus  tard  en  une  Année 
qu’en  une  autre  de  3 ç joursi  Elle  fe  célébrera  le  21 
de  Mars , lorfque  la  Lune  fe  trouvera  Pleine  le 
2 1.  de  ce  mois,  & que  ce  jour  eft  un  Samedi, 
comme  il  eft  arrivé  cette  Année  1 69  3.  & elle  fe  cé- 
lébrera le  2Ç.  d’Avril,  lorfque  la  Lune  fe  trouvera 
Pleine  le  18.  de  ce  mois,  & que  ce  jour  eft  un 
Dimanche,  comme  il  eft  arrivé  en  l’Année  1666 . 

Pour  trouver  l’Epaéte  d’une  Année  propofée  , 

laquelle 


PRoBle’mES  DE  CoSMOCRAfHlE.  3 ^ ^ 
laquelle  Epaéte  ne  commence  , comme  nous  avons 
déjà  dit  j qu’au  mois  de  Mars,  Trouvez  par  le  Pro- 
blème precedent  le  Nombre  d’or  qui  convient  à 
cette  Année  , & ayant  multiplié  ce  nombre  tou- 
jours par  x 1 , qui  eft  la  différence  de  l’Année  Solai- 
re & de  l’Année  Lunaire,  divifez  le  produit  tou- 
jours par  30  5 qui  eft  le  nombre  des  jours  d’un 
Mois  Synodique  , & en  négligeant  le  quotient  de 
la  divifion , ayez  égard  au  refte  qui  fera  l’Epaéte 
qu’on  cherche  , fi  l’Année  propofée  eft  avant  la  Re- 
formation du  Calendrier  ; mais  fi  elle  eft  après  la 
Reformation  du  Calendrier  jufqu’à  l’Année  1700* 
il  en  faut  bter  toujours  10  , à caufe  des  10  jours 
qu’on  a retranchez  de  l’Année  dans  la  Reformation 
du  Calendrier  ; ou  bien  il  en  faut  ôter  1 1 , fi  l’An- 
née propoféeeft  dans  le  Siecle  fuivant , fçavoirde- 
puis  l’Année  1700.  jufqu’à  1 Année  1800.  parce 
que  l’Année  1700.  qui  félon  le  Calendrier  Julien 
devroit  être  BifTextiie , ne  le  fera  pas  félon  le  Ca- 
lendrier Grégorien  , que  nous  fuivons  à prefent  de- 
puis la  Reformation  du  Calendrier  fous  Grégoire 
XIII.  Que  fi  la  Souftraction  ne  fe  peut  pas  faire, 
pour  avoir  un  refte  moindre  que  io>  ou  que  1 1 , 
il  le  faudra  augmenter  de  30  , afin  de  pouvoir 
ôter  10  de  la  fomme  pour  ce  Siecle , ou  1 1 pour  le 
Siecle  fuivant,  & le  refte  fera  l’Epaéte  de  l’Année 
propofée. 

Comme  pour  trouver  l’Epa&e  de  cette  Année 
1693.  dont  le  Nombre  d’or  a été  trouvé  3 au  Pro- 
blème precedent,  en  multipliant  ce  nombre  3 par 
I I , 8c  en  divifant  le  produit  33  par  30  > Ü refte 
3,  d’où  il  faudroit  ôter  10,  & comme  cela  ne  fe 
peut  pas , on  ajoutera  30  à ce  refte  3 , & l’on  ôtera 
10  de  la  fomme  33  , pour  avoir  au  refte  23  l’E- 
pade  de  cette  Année  1 69  3 . 

Tome  /. 


Z 


j Ç4  RECREAT.  MatHEM AT.  ET  PhVS. 

Pareillement  pour  trouver  l’Epaéte  de  l’À'nnéè 
1724.  dont  le  Nombre  d’or  eft  1 ç , comme  l’on 
connoît  par  le  Problème  precedent , en  multipliant 
ce  nombre  1 5 par  n , & en  divifant  le  produit 
165  par  30»  il  refte  1 ^ , d’où  ôtant  1 1 , au  lieu 
de  10,  il  refte  4 pour  l’Epaéte  de  l'Année  propo- 
sée 1724. 

Remarque* 

La  première  Epaéte  qu  on  trouve  fans  en  ôter  1 o 
pour  ce  Siecle  , ou  n pour  le  Siecle  1700.  & 
aulli  pour  le  Siecle  1800,  à caufe  de  l’Equation 
de  la  Lune , s’appelle  Epatle  'vieille , parce  qu’elle 
convient  aux  Années  avant  la  Reformation  du  Ca- 
lendrier, c’eft-à-dire,  avant  l’Année  1582* 

Cette  Epacte  vieille  fe  peut  trouver  fansladivi- 
fion , en  cette  forte.  Faites  valoir  10  l’extremité 
d’en  haut  du  pouce  de  la  main  gauche  , 2,0  la  join- 
ture du  milieu  , & 30  , ou  plutôt  o , ou  rien 
l’autre  extrémité , ou  la  racine  : tk  comptez  le  Nom- 
bre d’or  de  l’Année  propofée  fur  le  meme  pouce  , 
en  commençant  à compter  1 à l’extremité , 2 à la 
jointure  , 3 à la  racine  , & enfuite  4 à Pextremité , j 
a la  jointure,  6 à la  racine,  & de  même  7’àl’ex- 
tremité,  8 à la  jointure  , 9 à la  racine  , & ainfi 
enfuite , jufqu’à  ce  que  vous  foyez  parvenu  au  Nom- 
bre d’or  courant  , auquel  on  n’ajoûtera  rien  s’il 
tombe  à la  Racine,  parce  que  nous  luy  avons  attri- 
bué o , mais  on  luy  ajoutera  10  s'il  tombe  àl’ex- 
tremité,  & 20  s’il  tombe  à la  jointure,  parce  que 
nous  les  avons  fait  valoir  autant  ;&  la  Somme  fera 
l’Epaéte  qu’on  cherche  , pourvu  qu’on  en  ôte  30 
quand  elle  fera  plus  grande. 

Par  le  même  artifice  l’on  pourra  trouver  l’Epaéte 
pour  quelque  Année  que  ce  foit  de  ce  Siecle,  pourvu 


Prôbï.e’mEs  de  Cosmographie.  S5S 
f<qüe  l’on  fafle  valoir  20  l'extremité  du  ponce  , io 
la  jointure,  &c  o , ou  rien  la  Racine,  & que  l'on 
commence  à compter  i fut  la  racine  , 2 à la  join- 
ture , &c. 

Il  eft  évident  par  ce  qui  a été  dit , qtte  pour  trou- 
ver l’Epaéte  d’une  Année  prcpofée  , lorfqu’on  a cel- 
le de  l’Année  precedente  , il  n’y  a qu’à  ajouter  1 1 
à l’Epaéte  de  cette  année  precedente  : & que  fi  à 
cette  Epaéte  trouvée  on  ajoûte  pareillement  n, 
on  aura  l’Epaéte  de  l’Année îuivante  , & ainii  c n fui- 
te , où  l’on  aura  foin  doter  toujours  jodelafom- 
rae,  lôrïqu’elle  fera  plus  grande,  &c  d’ajouter  1 2 
au  lieu  de  i 1 , lorfqu’on  aura  1 9 , ou  plutôt  o 
pour  Nombre  d’or. 

Aiftfi  ayant  trouvé  2 3 pour  l’Epaéte  de  cette  An- 
née 165)3.  en  ajoutant  1 1 à cette  Epaéte  23  , la 
fomme  eft  34,  de  laquelle  ôtant  30  , le  relie  4 
eft  l’Epaéte  de  l’Année  1694,3  laquelle  Epaéte  4 
fi  l’on  ajoûte  pareillement  1 1 , on  aura  1 5 pour 
i’Epaéte  de  l’Année  1695.  & ainfi  enfuite. 

On  peut  encore  trouver  tres-facilement  lXpaéte 
pour  une  Année  propofée  depuis  la  Reformation 
du  Calendrier  jufqu  a la  fin  de  ce  Siecle  , c’eft-à- 
dire  , depuis  l’Année  1 572.  jufqu’à  l’Année  1699. 
inclufivement , par  le  moyen  de  laTable  fuivante  , 
qui  eft  compofée  de  deux  colonnes,  dont  la  pre- 
mière vers  la  gauche  contient  tous  les  Nombres 
d’or  depuis  l’unité  jufqu’à  t 9 , & la  fécondé  vers 
la  droite  comprend  autant  de  Nombres  en  conti- 
nuelle proportion  arithmétique  , dont  l’excès  eft 
2 , en  commençant  depuis  o , qui  répond  au  pre- 
mier Nombre  d’or  1 , jufqu’à  36  > qui  répond  au 
dernier  Nombre  d’or  i 9. 

Ayant  trouvé  par  le  Problème  precedent  > te 
Nombre  d’or  pour  l’Année  propofée , par  exemple 

2 ij 


5 5 6 Récréât.  MathemAt.  st  Phy£ 

5 pouf  cette  Année  1693.  multipliez  toûjonrs  psf 
.5  le  nombre  4,  qui  répond  à la  droite  dans  la  fé- 
conde colonne  au  Nombre  d’or  3 > 
qui  eft  dans  la  première  , & ajoutez 
au  produit  20  le  même  Nombre  d’or 
3 , pour  avoir  en  la  fomme  23  l’E- 
padepour  l’Année propo fée  1693. 

Il  peut  arriver  que  cette  fomme 
fera  plus  grande  que  30,  dans  ce 
cas  , il  en  faut  ôter  30  autant  de 
fois  qu’il  fera  poifible  , Si  le  refte 
fera  l’Epade  qu’on  cherche.  Comme 
pour  trouver  l’Epade  de  l’Année 
1699,  qui  a 9 pour  Nombre  d’or, 
comme  l’on  connoît  par  le  Problème 
precedent , en  multipliant  par  5 le 
nombre  1 6 , qui  fe  trouve  dans  la 
Table  precedente  vis-à-vis  de  ce 
Nombre  d’or  9 , Si  ajoutant  le  mê- 
me Nombre  d’or  9 au  produit  80, 
on  a 89,  d’où  ôtant  deux  fois  30, 
c’eft-à-dire,  60,  le  refte  29  eft  l’E- 
pade  qui  convient  à l’Année  1699. 


I 

0 

2 

2 

3 

4 

4 

6 

5 

8 

6 

10 

7 

12 

8 

14 

9 

1 6 

10 

18 

1 1 

20 

1 2 

22 

13 

24 

14 

2 6 

15 

28 

1 6 

30 

n 

32. 

18 

34 

*2 

36 

PROBLEME  XV. 


Trouver  l'âge  de  la  Lune  en  un  jour  donné  d’une 
jinnée  propo  fée. 

POur  trouver  1 âge  de  la  Lune  , par  exemple 
aujourd’huÿ  18.  Avril  de  l’Année  1 693.  quia 
23  pour  Epade  , comme  l’on  connoît  par  le  Pro- 
blème precedent  ; ajoutez  à cette  Epade  2 3 le  nom- 
bre 2 des  mois  incluftvement  depuis  le  mois  de 
Mars  jufqu’au  mois  d’Avrilj  Si  ôtez  la  fomme  25 


Froble’mes  de  Cosmographie.  3^7 
de  30  ? ou  bien  de  60  fi  elle  furpalfe  30,&lô 
pefte  ç fera  connoîtrc  que  la  Lune  eft  Nouvelle  le 
3.  d’Avril , ce  qui  fuffic  pour  fçavoirTâge  de  U 
Lune  , car  fi  du  jour  propofé  1 8 on  ôte  4,  le  reftc 
î 3 eft  l’âge  de  la  Lune. 

Ou  bien  fans  fçavoir  le  jour  de  la  Nouvelle-Lu- 
né,  fi  vous  ne  voulez,  ajoûtez  enfemble  ces  trois 
chofes  , l’Epaéte  courante  13  , le  nombre  % des 
mois  de  Mars  & Avril , & le  nombre  1 8 du  jour 
propofé  , & la  fomme  43  feroit  l'âge  de  la  Lune 
pour  ce  jour-là,  fi  elle  n’étoit  pas  plus  grande  que 
30  , dans  ce  cas , il  en  faut  ôter  30  , &c  il  reliera 
I 3 pour  l’âge  de  la  Lune  qu’on  cherche. 

Remarque. 

Comme  l’Epaéle  d’une  Année  ne  commence  qu’au 
mois  de  Mars , fi  l’on  veut  fçavoir  l’âge  de  la  Lu- 
ne au  jour  d’un  mois  qui  ptecede  le  mois  de  Mars, 
par  exemple,  le  1 j.  de  Janvier  de  la  même  Année 
1693.  au  lieu  de  fe  fejvir  de  l’Epaéle  23  , on  fe 
fervira  de  l’Epaéle  12  de  l’Année  precedente  1692* 
Ajoutant  donc  à cette  Epaéle  12  le  nombre  n des 
mois  inclüfivement  depuis  le  mois  de  Mars  jufqu’ait 
mois  propofé  de  Janvier,  &:  de  plus  le  nombre  1 y 
du  jour  donné  , & ôtant  30  de  la  fomme  38  , le 
relie  8 eft  l’âge  de  la  Lune  qu’on  demande , qui 
étant  ôté  du  nombre  donné  1 5 du  jour  du  mois  , le 
reftc  7 fait  connoître  que  la  Lune  a été  Nouvelle  le 
7.  du  mois  de  Janvier  de  l'Année  1693, 

Ou  bien  pour  trouver  le  jour  de  la  Nouvelle- 
Lune  au  mois  de  Janvier  delà  même  Année  1693. 
on  ajoutera  à l’Epaéle  12  de  l’Année  precedente' 
1692.  le  nombre  11  des  mois  compris incîufive- 
ment  entre  les  mois  de  Mars  & le  mois  de  Janvier» 

Z iij 


3 5 S Récréât.  M athtbmat.  et  Phys. 
ÿc  l’on  ôtera  de  30  la  foraine  23  , & le  refte  yt7 
fait  connoître  que  la  Lune  a été  Nouvelle  environ 
le  7.  Janvier  de  l'Année  1693.  J’ay  dit  environ  , 
parce  que  par  les  Epaétes  on  s'éloigne  quelquefois 
d’un  jour  de  la  Nouvelle-Lune,  comme  il  arrive 
dans  cet  exemple,  parce  que  par  les  Tables  Aftro- 
nomiques  on  connoît  que  la  Lune  doit  avoir  été 
Nouvelle  le  6-  Janvier  de  l’Année  1693.  & que 
par  confequent  elle  doit  avoir  été  Pleine  le  20.  du 
même  mois , comme  l’on  connoît  en  ajoutant  tou- 
jours;^ au  nombre  trouvé  6 du  jour  de  la  Nou- 
velle-Lune , &c. 

PROBLEME  XVI. 

Trouver  la  Lettre  Dominicale , & le  Cycle  Solaire 
{ d'une  Jlnnée  proposée . 

CGmme  l’Année  commune  eft  de  3 6 5 jours  , 
qui  font  52  femaines  & un  jour,  & l’Année 
Biflèxtile  de  36^  jours,  qui  font  $ 2 femaines  8c 
deux  jours  : èc  que  les  fept  jours  de  la  femaine  , 
qu’on  appelle  Fériés , font  reprefentez  dans  le  Ca- 
lendrier nouveau  par  les  fept  premières  lettres  de 
F Alphabet  A,  B,  C,D,  E,  F,  G , qu’on  appelle 
Lettres  Dominicales  , parce  que  chacune  fert  à fou 
tour  pour  indiquer  le  Saint  Dimanche  ; il  eft  évi- 
dent que  ces  Lettres  reviendroient  dans  le  même 
ordre  de  fept  ans  en  fept  ans  , s’il  n’étoit  interrom- 
pu de  quatre  ans  en  quatre  ans  par  le  jour  qu’on  a- 
joûte  à chaque  Année  BifTextile  : ce  qui  fait  que  cet 
ordre  ne  fçauroit  revenir  qu’au  bout  de  quatre  fois 
fept  Années,  c’eft-à-dire  de  28  ans  , & c’eft  ce 
qu’on  appelle  Cycle  Solaire  , & aufli  Cycle  de  la  Let- 
tre Dominicale . 


Proble’mes  de  Cosmographie.  3^9 
Ainfi  vous  voyez  que  Je  Cycle  Solaire,  ou  le  Cy- 
cle de  la  L me  Dominicale , eft  le  nombre  de  28 
ans,  qu’il  faut  aux  Lettres  Dominicales,  pour  reve- 
nir dans  le  même  ordre  qu’elles  avoient  été  aupa- 
ravant. Ce  Cycle  a été  inventé  pour  pouvoir  facile- 
ment connoître  en  toute  l’Année  quels  font  les 
jours  du  Saint  Dimanche , par  la  Lettre  Dominicale 
de  cette  Année  , qu’on  peut  trouver  ainfi. 

Pour  trouver  la  Lettre  TDominicale  pour  une  An- 
née propofée  depuis  Jefus-Chrift  , félon  le  Calen- 
drier nouveau , ajoutez  au  nombre  de  l’Année  pro- 
pofée , fa  quatrième  partie,  ou  fa  plus  prochaine- 
ment moindre , fi  ce  nombre  ne  fe  peut  exadlement 
divifer  par  4,  ôc  ayant  ôté  5 de  la  fomme  , pour 
ce  Siècle  1600,  6 pour  le  Sieclefuivant  1700  , 7 
pour  le  Siecle  1 8 00  , & 8 pour  les  Siècles  1 900  » 
2000,  parce  que  les  Années  1700.  1800.  1900» 
ne  feront  point  Bilf-xtiles  : de  pareillement  9 pour 
le  Siecle  2 IOO,  10  pour  le  Siecle  2200  , & II 
pour  les  Siècles  2300  , de  2400,  parce  que  les 
trois  Années  2100.2200.2300.  ne  feront  point 
BilTextiles , de  ainfi  enluite  -,  divifez  le  refte  tou- 
jours par 7,  de  fans  avoir  égard  au  quotient,  le 
refte  de  la  divifion  vous  fera  connoître  la  Lettre 
Dominicale  qu’on  cherche  , en  la  comptant  depuis 
la  derniere  G vers  la  première  A : de  forte  que  s’il 
ne  refte  rien  , la  Lettre  Dominicale  fera  A ; s’il  refte 
I , la  Lettre  Dominicale  fera  G ; s’il  refte  2 , la  Let- 
tre Dominicale  fera  F,  de  ainfi  des  autres,  en  vous 
fouvenant  qu’outre  cette  Lettre  Dominicale , qui 
fervira  jufqu’i  la  Fête  de  faint  Mathias  , on  doit  en- 
core prendre  fa  precedente  , qui  fervira  après  la  Fê- 
te de  fiint  Mathias  , lorfque  l’Année  eft  Biftextile 
Ainfi  pour  trouver  la  Lettre  Dominicale  de  cette 
Année  1693.  aj°ûtez  à ce  nombre  1693  fa  qua- 

2 iiij 


3<jo  Récréât.  Mathemat.  et  Phvs.' 
triéme  parue  423  , & apres  avoir  ôté  5 de  la  Tom- 
me 2116’,  divifez  le  xefte  2 1 1 1 par  7 , & fans  a- 
voir  égard  au  quotient  30  I , le  refte  4 vous  fait 
connoître  qu’en  cette  Année  1695.  nous  avons  la 
quatrième  Lettre  Dominicale  : fçavoir  D , en  com- 
mençant à compter  depuis  la  derniere  Lettre  G, 
par  un  ordre  rétrogradé.  Voyez  la  Table  qui  eft  fur 
la  fin  du  Probl-  1 9.  & qui  vous  fervira  pour  trou- 
ver avec  facilité  la  Lettre  Dominicale  pour  quelque 
Année  que  ce  foit  depuis  Jefus- Chrift  fans  aucun 
calcul. 

Pour  trouver  le  Cycle  Solaire  d’une  Année  propo- 
fée  , comme  de  l’Année  prefente  1693.  ajoutez 
toujours  9 à ce  nombre  d’Année  1693,  & divifez 
la  Tomme  1702  par  28  : & Tans  avoir  égard  au 
quotient  60  , le  refte  de  la  divifion  vous  fera 
connoître  que  le  Cycle  Solaire  pour  cette  Année 
1 695.  crt  22. 

Remarque. 

Il  eft  évident  que  quand  on  a une  fois  connu  le 
nombre  du  Cycle  Solaire  pour  une  Année  depuis 
Jefus-Chrift , on  a en  ajoutant  1 à ce  nombre,  le 
Cycle  Solaire  de  l’Année  fuivante  ,8c  qu’en  ôtant  1 
du  même  nombre  , on  a le  Cycle  Solaire  de  l’Année 
precedente.  Ainfi  ayant  trouvé  2 2 pour  le  Cycle  5o- 
re  de  cette  Année  1 693.  en  ajoutant  1 à 22  » on  a 
2 3 pour  le  Cycle  Solaire  de  l’Année  fuivante  I 6 94. 
8c  en  ôtant  1 du  même  nombre  22  , on  a 2 1 pont 
le  Cycle  Solaire  de  l’Année  precedente  1691. 

Il  eft  évident  aulîi  que  quand  on  a une  fois  la 
Lettre  Dominicale  d’une  Année  depuis  Jefus'Chrift, 
on  a facilement  la  Lettre  Dominicale  pour  l’Année 
fuivante , ou  pour  la  precedente  : fçavoir  en  pre- 
nant pour  cette  Lettre  Dominicale  la  Lettre  qui  fuit 


Froble’mes  de  Cosmographie.  3 61 
dans  l’ordre  de  l’Alphabet , pour  l’Année  pfece- 
dente , & réciproquement  pour  l’Année  fuivante 
on  prendra  la  Lettre  precedente  , qui  fervira  pour 
toute  l’Année , fi  cette  Année  n’eft  pas  Biflextile  : 
car  fi  elle  eft  Biflextile,  cette  Lettre  ne  fervira  que 
jufqu’au  24.  de  Février  , l’autre  Lettre  qui  précé- 
dera en  l’ordre  de  l’Alphabet , feryant  pourlerefte 
de  l’Année  , parce  que  l’Année  Biflextile  ayant  un 
jour  de  plus,  a deux  Lettres  Dominicales. 

Ainfi  ayant  connu  que  la  Lettre  Dominicale  de 
cette  Année  1 65?  3 . eft  D , on  connoîtra  que  la  Let- 
tre Dominicale  de  l’Année  fuivante  1694.  eftC, 
ëc  que  l’Année  precedente  1 691.  qui  étoitBiflèxti- 
le  , avoir  ces  deux  Lettres  Dominicales  F,  E,  dont 
la  première  Fa  fervi  jufqu’au  24.  de  Février , l’au- 
tre Lettre  E ayant  fervi  pour  le  refte  de  l’Année. 

On  peut  fans  la  divifion  trouver  immédiatement 
le  Cycle  Solaire  pour  une  Année  propofée  depuis 
Jefus-Chrift,  par  le  moyen  de  la  Table  fuivante» 
qui  eft  compofée  de  deux  colonnes , dont  celle  qui 
eft  à la  gauche  , contient  les  Années  de  Jefus-Chrift» 
depuis  1 jufqu’à  10,  & depuis  10  jufqu’à  ICO, 
de  dixaine  en  dixaine , 6c  enfuite  depuis  1 00  juf- 
qu’à 1000  de  centaine  en  centaine,  5c  pareille- 
ment depuis  1000  jufqu’à  9000,  de  mille  en  mil- 
le , & il  eft  facile  de  la  continuer  à l’infini , fi  l’on 
fçait  la  maniéré  de  mettre  dans  la  colonne  qui  eft  à 
la  droite,  vis-à-vis  de  ces  Années  les  nombres  du 
Cycle  Solaire , ce  qui  fe  fait  ainfi. 

Ayant  mis  vis-à-vis  des  dix  premières  Années 
les  mêmes  nombres  pour  les  Cycles  Solaires  de  ces 
mêmes  Années,  5c  aufli  20  pour  le  Cycle  Solaire 
de  la  20.  Année  , au  lieu  de  mettre  3 o pour  le  Cy- 
cle Solaire  de  la  30.  Année,  mettez  feulement  2, 
qui  eft  l’excès  de  30  fur  28  s ou  fur  la  période  d» 


5 é 2>  Récréât.  Mathemat.  et  Phys." 

Cycle  Solaire  : 8c  pour  la  40*  Année  , qui  eft  h-, 
tomme  des  Années  1 o & 3 o , mettez  la  fomme  î 25. 


1 1 

1 

100 

*«[ 

2 

2 

200 

4 

3 

3 

300 

20] 

4 

4 

400 

JTl 

* 

S 

too 

24 

6 

6 

6 00 

1 2 

7 

7 

700 

0 

8 

8 

Soo 

1 6 

9 

9 

900 

4 

10 

10 

1000 

20 

20 

20 

2000 

1 2 

3° 

2 

3000 

4 

40 

12 

■ 

4000 

24 

5° 

22 

5000 

1 6, 

60 

4 

6000 

8 

70 

14 

7000 

° 

80 

24 

8000 

20 

90 

6 

9000 

1 1 2, 

des  Cycles  Solaires  10  & 1,  qui  conviennent  à ces 
Années  , 8c  ainfides  autres,  en  ôtant  toujours  28 
de  la  fomme  des  Cycles  Solaires  , quand  elle  fera, 
plus  grande,.  Voilà  pour  la  conftruétion  de  la  Ta- 
ble , .venons  maintenant  à fon  ufage. 

Premièrement  , fi  l’Année  propofée  , dont  on 
cherche  le  Cycle  Solaire,  fe  trouve  dans  la  Table 
precedente  , on  aura  ce  Cycle  Solaire  en  ajoutant  9 
au  nombre  qui  luy  répond  dans  la  colonne  droite. 
Ainfi  en  ajoutant  9 au  nombre  1 % qui  répond  à 
l'Année  2000  dans  laTable  precedente  , on  a zi 
pour  Cycle  Solaire  de  l’Année  propolée. 


Proble’mes  de  Cosmographie,  3 63 

Mais  fi  l’Année  donnée  ne  fe  trouve  pas  exaétc- 
$nent  dans  la  Table  precedente,  on  la  divifera  en 
plufieurs  Années  qui  s’y  puiffènt  trouver , & l’on 
ajoutera  enfemble  tous  les  nombres  qui  fe  trouve- 
ront dans  la  colonne  droite  vis-à-vis  de  ces  Années 
qui  font  à la  gauche,  8c  la  fomme  de  tous  ces 
nombres  étant  augmentée  de  9 , on  aura  le  Cycle 
Solaire  de  l’Année  propofée  , pourvu  qu’on  ote 
28  de  cette  fomme  autant  de  fois  qu’il  fera  poflr- 
ble  , quand  elle  fera  plus  grande. 

Comme  pour  trouver  le  Cycle  Solaire  de  cette 
Année  165)3.  on  réduira  ce  nombre  d’Années 
1693  en  ces  autres  quatre  1000, 6 00,  90 , 3 > 
aufquels  il  répond  dans  la  Table  precedente  ces 
quatre  nombres  20  , I z 3 6 , 3 , dont  la  fomme 
4.1  étant  augmentée  de  9,  on  a cette  fécondé  fom- 
me jo  j d’où  ôtant  z8  , il  refte  22  pour  le  nom- 
bre du  Cycle  Solaire  de  cette  Année  1693. 

On  ajoute  9 à la  fomme  de  tous  ces  nombres  „ 
parce  que  le  Cycle  Solaire  avant  la  première  Année 
de  Jefus-Chrift  eft  9 , 8c  que  par  confequent  le 
commencement  de  ce  Cycle  a été  dix  ans  avant  la 
Nativité  de  Jefus-Chrift  , ce  qui  fe  peut  connoître 
en  cette  forte. 

Sçachant  par  tradition  , ou  autrement , le  Cycle 
Solaire  d’une  Année,  par  exemple  22  pour  cette 
Année  1693.  ôtez  22  de  1693 , 8c  diviiêz  le  refte 
de  1671  par  2 8 , 8c  enfin  ôtez  de  2 8 le  refte  1 9 de 
la  divifion  , & le  nombre  reftant  9 eft  le  Cycle  So- 
laire avant  la  première  Année  de  Jefus-Chrift. 

On  pourra  de  la  même  façon  conftruire  une  Ta- 
ble propre  pour  connoître  le  Nombre  d’or  d’une 
Année  propofée  , avec  cette  différence  , qu’au  lieu 
d’ôter  28  , il  faut  ôter  19  , parce  que  la  période 
de  ce  Cycle  eft  1 9 : 8c  qu’au  lieu  d’ajouter  9 , il 


3^4  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
faut  ajouter  feulement  i , parce  que  le  Nombre  d'or 
avant  la  première  Année  de  Jefus-Chrift  eft  i , & 
que  par  confequent  le  commencement  de  ce  Cycle 
a été  deux  ans  avant  la  Nativité  de  Jefus-Chrift  , 
c’eft-à-dire,  que  la  première  Année  de  Jefus-Chrift 
a eu  2 pour  Nombre  d’or  , 5cc » 

On  peut  auffi  trouver  autrement  la  Lettre  Domi- 
nicale d’une  Année  propofée  , ce  qui  fervira  pour 
trouver  la  Lettre  qui  convient  à chaque  jour  de  la 
même  Année,  comme  vous  allez  voir. 

Divifez  le  nombre  des  jours  qui  fe  font  écoulez 
inclufivement  depuis  le  premier  de  Janvier  jufqu’au 
jour  propofé  , qui  doit  être  un  Dimanche  quand  on 
veut  trouver  la  Lettre  Dominicale  de  l’Année , au- 
trement on  trouvera  feulement  la  Lettre  qui  con- 
vient au  jour  propofé.  Divifez,  dis-je  , ce  nombre 
de  jours  par  y , &c  s’il  ne  refte  rien  de  la  diviiion  , la 
Lettre  qu’on  cherche  fera  G , &c  s’il  refte  quelque 
chofe  , ce  nombre  reftant  fera  connoître  le  nom- 
bre de  la  Lettre  qu’on  demande , en  la  comptant 
félon  l’ordre  de  l’Alphabet  depuis  la  première  Let- 
tre A. 

Ainfi  pour  connoître  la  Lettre  qui  convient  à ce 
jour  auquel  nous  écrivons  ces  lignes,  fçavoir  le  26- 
d’Avril  de  l’Année  1693.  en  divifant  par  y le 
nombre  1 1 6 des  jours  compris  incluftvement  entre 
le  1.  de  Janvier  & le  2 6.  d’Avril,  le  refte  de  la  di- 
vilîon  eft  4,  qui  fait  connoître  que  la  quatrième 
Lettre  D convient  au  jour  propofé  , lequel  étant  un 
Dimanche,  l’on  conclud  que, la  Lettre  Dominicain 
pour  cette  Année  165)3.  eft  D. 


*5 


Problèmes  de  Cosmographie.  3 6 y 

PROBLEME  XVII. 

'Trouver  a quel  jour  de  la  Semaine  tombe  un  Jour 
donné  d une  Année  propofée . 

NOusavons  déjà  dit  que  les  Jours  de  la  Semai- 
ne font  appeliez  Fériés , 8c  nous  dirons  ici 
que  la  première  Ferie  eft  le  jour  du  (àint  Diman- 
che , que  la  Fécondé  Ferie  efl  le  Lundy,  que  la 
troifiéme  eft  le  Mardy,  8c  ainfi  enfùite  juFqu’au  Sa- 
medy,  qui  cft  la  Feptiéme  Ferie,  8c  quia  été  appelle 
Samedy  , ou  Jour  du  Sabbath , c’eft-à-dire  , jour  du 
repos,  parce  que  c’eft  ce  jour-là  que  Dieu  ferepofa 
dans  la  Création  du  Monde. 

Pour  trouver  en  quelle  Ferie  tombe  un  jour  pro- 
pofé  de  quelque  Année  depuis  Jefus-Chrift,  ajou- 
tez au  nombre  donné  des  Années  Fa  quatrième 
partie,  ou  Fa  plus  proche  qui  Foit  moindre  , quand 
il  n’en  a pas  une  jufte,  8c  ajoutez  encore  à la  Fom- 
me  le  nombre  des  jours  compris  inclufivement  en- 
tre le  1.  de  Février,  8c  le  jourpropoFé,  pour  avoir 
une  Fécondé  Fomme  , de  laquelle  il  Faudra  toujours 
ôter  1 2 , 8c  diviFer  le  refte  toujours  par  7 , 8c  le 
refte  de  la  divifion  Fera  le  nombre  de  la  Ferie 
qu’on  cherche,  Fçavoir Dimanche  s’il  refte  1 , Lun- 
dy s’il  refte  2 , Mardy  s’il  refte  3 , 8c  ainfi  enfuite  : 
8c  quand  il  ne  reliera  rien , le  jour  propoFé  Fera 
un  Samedy. 

Ainfi  pour  Fçavoir  à quel  jour  de  la  Semaine 
tombe  par  exemple  le  27.  d’Avril  de  l’Année  1 6 9 3 , 
ajoutez  à ce  nombre  d’Années  1693.  Fa  quatriè- 
me partie  423  , & de  plus  le  nombre  1 17  des 
jours  qui  le  (ont  écoulez  inclufivement  depuis  le  1. 
de  Janvier  8c  le  27.  d’Avril,  8c  ayant  ôté  1 2 de 


^£6  Récréât.  Mathemat  et  Phys. 

}a  fomme  12.33  » divifez  le  refte  mi  par  7><fe 
fans  avoir  égard  au  quotient  3 17  , le  refte  1 de  la 
divifîon  vous  fait  connoître  que  le  17.  d’ Avril  de 
cette  Année  1693.  eft  la  fécondé  Ferie , c’eft-à- 
dire,  un  Lundy. 

Remarque. 

Cette  Méthode  fuppofe  qUe  l’on  fuit  le  Calen- 
drier nouveau , car  en  fuivant  le  Calendrier  Ju- 
lien, au  lieu  d’oter  11  de  la  fomme,  il  ne  faut 
ôter  que  % , fçavoir  10  de  moins  , à caufe  des  dix 
jours  qui  ont  été  retranchez  de  l’Année  en  1581. 
Ainfi  avant  cette  Année  1581.  il  ne  faut  ôter  que 
2.  de  la  fomme , & achever  le  refte , comme  il  a 
été  dit.  Mais  il  faudra  ôter  13  de  la  même  fomme 
pour  le  Siecle  fuivant,  parce  qu’en  l’Année  1700" 
on  omettra  un  jour,  en  ne  la  faifant  point  Biftèx- 
tri  le , comme  elle  le  devroit  être,  félon  le  Calen- 
drier Julien.  Voyez  le  Probl.  1 5). 

Nous  remarquerons  ici  en  paftant , que  les  noms 
des  jours  de  la  Semaine  viennent  des  Idolâtres , qui 
ont  marqué  chaque  jour  de  la  Semaine  par  le  non! 
particulier  d’une  Planete.  Neanmoins  au  lieu  de 
dire  Jour  du  Soleil , nous  dilons  Dimanche  , c’eft 
â dire.  Jour  du  Seigneur,  parce  que  Jefus-Chrift 
a voulu  reftufeiter  un  tel  jour  : 8c  au  lieu  de  dire 
Jour  de  Saturne , nous  difons  Samedy  , c’eft-à-dire. 
Jour  du  Sabbath , ou  Jour  du  repos  , parce  que  , com- 
me nous  avons  déjà  dit  auparavant  , Dieu  s’eft  re- 
pofé  le  feptiéme  jour  dans  la  Création  du  Monde. 


^RÔiâLE’MES  DE  CoSMOGÏtAPHlE.  3 

PROBLEME  XVIII. 

^trouver  la  Fête  de  Pâques  , & les  autres  Fêtes 
mobiles  en  une  Année  proposée . 

NOus  avons  remarqué  au  Probl.  14.  que  la  Pâ- 
que fe  peut  celebrer  depuis  le  22.  de  Mars, 
fçavoir  lorfque  la  Lune  étant  Nouvelle  le  8.  Mars, 
fon  14.  jour  tombe  au  21.  de  Mars,  6c  que  ce 
jour  eft  un  Samedy  , jufqu’au  25.  d’Avril  inclufive- 
ment , fçavoir  lorfque  la  Lune  étant  Nouvelle  le 
d’Avril  j le  14.  jour  tombe  au  18.  de  ce  mois,  ÔC 
que  ce  jour  eft  un  Dimanche , parce  que  dans  ce 
cas,  on  remet  à celebrer  la  Pâque  au  Dimanche 
fuivant  , c’eft-à-dire , fept  jours  après,  pour  ne  la 
pas  celebrer  avec  les  Juifs,  cela  ayant  été  ainfi  ar- 
rêté par  les  Conciles , 6c  lur  tout  par  le  Concile 
de  Nicée , qui  a été  tenu  au  commencement  du 
quatrième  Siecle  en  la  prefence  du  grand  Conftan- 
tin.  Ainfi  vous  voyez  que  le  commencement  delà 
Lune  Pafcale  eft  entre  le  huitième  de  Mars  6c  Ib 
cinquième  d’Avril  inclufivement. 

Nous  avons  aufli  dit  au  même  probl.  1 3 . qu’on 
appelle  Epattes  les  1 1 jours  , par  lefquels  l’Année 
Solaire  furpafte  l’Anné  Lunaire  , ce  qui  a fait  don- 
ner le  même  nom  d’Epactes  à ces  trente  nombres 
qui  font  placez  vis-à-vis  des  jours  de  chaque  mois 
dans  le  Calendrier  nouveau  par  un  ordre  rétrogra- 
dé , dont  celles  qui  font  depuis  XIX  jufqu’à  XXIX 
inclufivement  font  appellées  EpaÜes  Embelifmi- 
ques  , parce  qu’en  leur  ajoutant  XI , qui  eft  la  véri- 
table Epaéle  , la  fortune  furpafte  une  Lune  complet- 
tc , c’eft-à-dire  30J  6c  qu’ainfi  il  y a treize  Lunes 
qui  finilfent  dans  les  Années , où  ces  Epaétes  Em~ 
bolifmiques  fervent  d’Epaétes. 


géS  Récréât.  Mathemat.  etPhyS. 

Ces  trente  Epaéfces  ainfi  diipofées  dans  le  CaîefF» 
drier  Grégorien , lervent  à nous  Elire  connoîtreîes 
jours  en  toute  une  Année  , aufquels  la  Lune  fe  trou- 
ve Nouvelle.  Ainfi  l’Epaéte  23  de  cette  Année 
1693.  répondant  dans  le  Calendrier  Grégorien  au 
8.  de  Janvier  , au  6-  de  Février,  au  8.  de  Mars  , au 
6.  d’Avril,  au  6-  de  May,  au  4.  de  Juin,  a114.de 
Juillet , au  z.  d’Aouft  , au  1.  de  Septembre,  au 
30.  d’Oétobre,  au  28.  de  Novembre  , & au  28. 
de  Décembre  , fait  connoître  que  les  Nouvelles- 
Lunes  Ecclefiaftiques  arrivent  ces  mêmes  jours. 

C’cft  pourquoy  fi  vous  voulez  connoître  par  le 
Calendrier  nouveau  , le  jour  auquel  on  doit  célé- 
brer Pâques  en  une  Année  propofée  , par  exemple  , 
en  cette  Année  1693.  dont  I’Epadte  eft  23  ; cher- 
chez cette  Epaéfce  23  dans  le  Calendrier  , entre  le  8» 
de  Mars  & le  5.  d’Avril  inclufivement,  & vous 
trouverez  qu’elle  répond  au  8.  de  Mars,  qui  fera 
par  confequent  le  premier  jour  de  la  Lune  Pafcale  : 
c’eft  pourquoy  fi  vous  comptez  enfuite  14  jours  , 
«an  commençant  à compter  1 fur  8 , 2 fur  9 , de 
ainfi  enfuite  , vous  tomberez  au  21.  du  même 
mois  , qui  fera  par  confequent  le  jour  de  la  Pleine- 
Lune  Pafcale,  de  comme  ce  jour  eft  un  Samedy  , le 
Dimanche  fuivant , fçavoir  le  22.  de  Mars  a été  le 
jour  de  Pâques,  en  cette  Année  1 (393. 

Pareillement  pour  connoître  par  le  moyen  du 
même  Calendrier,  le  jour  auquel  on  a célébré  la 
Fête  de  Pâques  en  l’Année  1 666.  dont  l’Epacfce  eft 
2,4  , en  cherchant  cette  Epaéte  24  dans  le  Calen- 
drier Grégorien  entre  le  8.  de  Mars  de  le  d’Avril, 
inclufivement,  de  ayant  trouvé  qu’elle  répond  au 
d’ Avril , qui  a été  par  confequent  le  premier  jo.  E 
de  la  Lune  Pafcale  , comptez  14  jours  depuis  ce  5. 
en  commençant  à compter  1 fur  5 , de  vous  arrive- 
rez 


Proble’mes  de  Cosmographie.  3 69 
rez  au  18.  d’Avril,  qui  fe  rencontrant  un  Diman- 
che , comme  l’on  connoît  par  Probl.  17.  le  Di- 
manche fuivant  , fçavoir  le  25.  d’Avril  a été  le 
jour  de  Pâques  en  l’Année  1 666.  Ainfi  des  autres. 

Mais  comme  l’on  n’a  pas  toujours  un  Calendrier 
entre  les  mains , on  pourra  fe  fèrvir  de  la  Table 
fuivante  , qui  eft  compofée  de  9 colonnes  de  haut 
en  bas,  dont  la  première  vers  la  gauche  contient 
les  fept  Lettres  Dominicales  par  ordre , & la  der- 
nière à la  droite  comprend  les  Mois  & les  jours  des 
mêmes  Mois , aufquels  fe  doit  celebrer  la  Pâque 
aux  Années  qui  ont  les  mêmes  Lettres  Dominica- 
les, que  l’on  void  écrites  dans  la  première  colon- 
ne , & les  mêmes  Epactes  que  l’on  voit  marquées 
par  ordre  dans  les  autres  fept  colonnes  d’entre- 
deux. 

Ainfi  vous  voyez  que  pour  connoître  par  le 
moyen  de  cette  Table  le  jour  auquel  on  doit  cele- 
brer la  Fête  de  Pâques  en  une  Année  propofée  de- 
puis. Jefus-Chrift , on  doit  fçavoir  l’Epaéte  de  cette 
Année  par  Probl.  14.  & aulÉ  la  Lettre  Dominicale. 
par  Probl.  16.  car  vis-à-vis  de  cette  Lettre  Domini- 
cale, & de  cette  Epaéle , l’on  trouvera  dans  la  der- 
nière colonne  le  jour  de  la  Fête  de  Pâques  , qui 
réglé  toutes  les  autres  Fêtes  Mobiles.  Comme  pour 
connoître  le  jour  de  Pâques  en  cette  Année  1693. 
dont  la  Lettre  Dominicale  eft  D , A:  l’Epaéte  eft  2 3 , 
on  trouvera  vis-à-vis  de  cette  Epacfte  23  , & de  cette 
Lettre  Dominicale  D , que  le  jour  de  Pâques  eft  le 
22.  Mars.  Pareillement  pour  connoître  le  jour  de 
Pâques  en  l’Année  1 666.  dont  la  Lettre  Domini- 
cale eft  C,  8c  l’Epacte  eft  24,  on  trouvera  vis-à- 
vis  de  l'Epaéle  24  , & de  la  Lettre  Dominicale 
C , le  25.  d’Avrii  pour  le  jour  de  Pâques  qu’on 
cherche. 

Tome  L A a 


27° 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 


Table  poser  trouver  la  Tcte  de  P âques. 


h5 

22 

21 

20 

19 

16.  Mars 

18 

27 

16 

17 

14 

23 

I 2 

2.  Avril 

A 

h 

10 

9 

8 

7 

6 

7 

9.  Avril 

1 4 

3 

2 

I 

* 

29 

28 

16.  Avril 

r-7 

27 

24 

25.  Avril 

l1’ 

22 

21 

I 20 

29 

18 

27.  Mars 

17 

16 

27 

1 2 4 

23 

I 2 

H 

3.  Avril 

B 

IO 

9 

8 

7 

6 

7 

4 

10.  Avril 

3 

2 

I 

* 

29 

28 

27 

17.  Avril 

16 

*7 

24 

24.  Avril 

2-3 

22 

21 

20 

19 

18 

17 

28.  Mars 

1 6 

17 

14 

13 

I 2 

11 

10 

4.  Avril 

C 

9 

8 

7 

6 

7 

4 

3 

11.  Avril 

2 

1* 

29 

28 

2-7 

26 

23 

18.  Avril 

1 7 

24 

27.  Avril 

2-3 

22.  Mars 

22 

21 

20 

29 

18 

27 

16 

29.  Mars 

D 

1 j 

14 

13 

I 2 

1 1 

10 

9 

j.  Avril 

8 

7 

6 

7 

4 

3 

2 

12.  Avril 

i* 

29 

18 

27 

26 

2 f 

24 

19.  Avril 

2-3 

22 

23.  Mars 

21 

20 

19 

18 

27 

16 

13 

30.  Mars 

E 

14 

23 

I 2 

11 

10 

9 

8 

6.  Avril 

7 

6 

7 

4 

3 

2 

I 

13.  Avril 

* 

29 

28 

27 

26 

27 

24 

20.  Avril 

2-3 

22 

2 1 

24.  Mars 

20 

1? 

18 

17 

I 6 

13 

14 

31.  Mars 

! F 

13 

I 2 

I X 

IO 

9 

8 

7 

7.  Avril 

6 

7 

4 

3 

2 

I 

* 

14.  Avril 

29 

28 

27 

26 

27 

24 

21.  Avril 

2-3 

22 

21 

20 

27.  Mars 

1 9 

18 

17 

I 6 

17 

14 

23 

1.  Avril 

G 

I 2 

I X 

IO 

9 

8 

7 

6 

8.  Avril 

1 

J 

4 

3 

2 

I 

* 

29 

17.  Avril 

1 

28 

2-7 

16 

27 

24 

22.  Avril 

Le  jour  de  la  Plcine-Lune  Pafcalc  fe  nomme 
Terme  de  Pâques,  lequel  étant  connu,  le  jour  de 


Î^roble’mes  de  Cosmographie.  '371 
Jpaqueseft  aifé  à connoître,  comme  vous  avezvû, 
mais  on  le  peut  trouver  encore  autrement  fans  Ta- 
ble, ni  fans  Calendrier,  en  cherchant  le  Terme  de 
Pâques , en  cette  forte*. 

Si  l’Epaéte  nouvelle  de  l’Année  propofée  n’exce- 
de  pas  z 3 , ôtez-la  de  44  , & le  refte  donnera  le 
jour  de  Mars  pour  le  Terme  de  Pâques  , il  ce  refte 
ne  furpaflê  pas  3 1 , car  s’il  excede  3 1 , le  fin-plus 
donnera  le  jour  d’Avril  pour  le  Terme  de  Pâques* 
Ma  is  fi  l’Epaète  courante  eft  plus  grande  que  23  , 
btez-la  de  43  , ou  feulement  de  42  , quand  elle 
fera  24  ou  25  de  different  caraétcre  : & le  refte 
donnera  le  jour  d’Avril  pour  le  Terme  de  Pâques. 

Ainfi  pour  avoir  le  Ternie  de  Pâques  en  cette  An- 
née 1693.  dont  l’Epaéte  eft  2 3 , ôtant  23  de  44 , 
le  refte  donne  le  2 1 . de  Mars  pour  le  Terme  de 
Pâques:  & pareillement  pour  trouver  le  Terme  dé 
Pâques  en  l’Année  1 666.  dont  l’Epaéte  eft  24, 
ôtant  24  de  42,00  aura  le  18.  d’Avril,  pour  le 
Terme  de  Pâques.  Ainfi  des  autres. 

Puifque  la  Fête  de  Pâques  réglé  toutes  les  autres 
Fêtes  Mobiles,  il  fera  facile  de  connoître  les  jours 
aufquels  ces  Fêtes  fe  doivent  célébrer  ayant  une 
fois  connu  le  jour  de  Pâques  ; car  le  Lundy  après 
le  cinquième  Dimanche  , c’eft-à-dire  3 jours  après 
Pâques  viennent  les  Rogations , apres  lefquelles , fça- 
voir  le  Jeudy  fuivant , fuit  immédiatement  Yyffcen- 
fion  de  Nôtre  Seigneur  Jefus-Chrift , le  40.  jour  a- 
prés  Pâques  : & 10  jours  après,  ou  le  ^o.  jouta* 
prés  Pâques  on  célébré  la  Fête  de  la  Pentecôte  ; le 
Dimanche  fuivant,  fçavoir  5 6 jours  après  Pâques 
on  célébré  la  Fête  de  la  Sainte  & le  Jeu- 

dy fuivant,  ou  1 r jours  après  la  Pentecôte,  c’eft 
à dire , 60  jours  après  Pâques , arrive  la  Fête- 
Dieu* 


372.  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Le  neuvième  Dimanche  avant  Pâques  eft  la  Se- 
ptnagejime , qui  eft  éloignée  de  Pâques  de  63  jouis* 
le  Dimanche  fuivant,  ou  le  huitième  Dimanche 
avant  Pâques  eft  la  Sexagefme , qui  eft  éloignée  de 
Pâques  de  $6  jouis  ; le  Dimanche  fuivant  , ou  le 
feptiéme  Dimanche  avant  Pâques  eft  la  £)ujnqua- 
geftme , qui  eft  éloignée  de  Pâques  de  49  jours  j & 
Je  Merciedy  fuivant  qui  eft  éloigné  de  Pâques  de  46 
jours  , eft  le  Jour  des  Cendres. 

Poui  le  Dimanche  de  X Avent , qui  ne  dépend 
point  de  Pâques  , c’cft  celuy  qui  tombe  ou  à la 
Fête  de  faint  André  , ou  qui  eft  le  plus  proche 
de  cette  Fête.  L’Eglife  appelle  Quadragejîme  le  pre- 
mier Dimanche  du  Carême  : Remintfcere  le  fécond 
Dimanche  du  Carême  : Ocuh  le  troifiéme  Diman- 
che du  Carême  : Lœtare  le  quatrième  Dimanche  du 
Carême  : Judica  le  Dimanche  de  la  Paflion , qui  eft 
le  cinquième  Dimanche  du  Carême  : & Ofanna  le 
Dimanche  des  Rameaux  , qui  eft  le  fîxiéme  Diman- 
che du  Carême  , ou  le  premier  Dimanche  avant 
Pâques. 

Elle  appelle  Quajimodo  , le  premier  Dimanche 
après  Pâques  : Mtfericordia  le  fécond  Dimanche 
après  Pâques  : Jubilate  le  troifiéme  Dimanche  après 
Pâques  : Cantate  le  quatrième  Dimanche  après  Pâ- 
ques : ÔC  Vocem  Jucunditatis  le  cinquième  Diman- 
che après  Pâques,  ou  le  Dimanche  avant  les  Ro- 
gations. 

Enfin , les  Jeûnes  , ou  les  Qttatre-Temps  fe  trou- 
vent par  le  moyen  de  ce  petit  vers  , 

P extec.  Cru.  Luc.  Cin.  funt  tempora  quatuor 
anni. 

dont  le  fens  eft  tel.  Les  Quatre-Temps  arrivent 
ïe  Mercredy  d’après  la  Pentecôte,  le  Mercredy  d’a* 


Proble'mes  de  Cosmographie.  373 
prés  l'Exaltation  de  la  Sainte  Croix  en  Septembre , 
le  Mercredy  d’après  la  Fête  de  fainte  Luce  en  Dé- 
cembre , & le  Mercredy  d’après  les  Cendres. 

PROBLEME  XIX. 

! Trouver  a quel  jour  de  la  Semaine  commence  cha- 
que Mois  d'une  Année  propofe'e. 

CE  Problème  fe  peut  ai  fément  refoudre  parle 
moyen  de  la  Table  fui  vante  , fçavoir  en  cher- 
chant à la  tête  la  Lettre  Dominicale  de  l’Année 
propofée , par  exemple  D , pour  cette  Année  16^3. 


Table  pour  trouver  le  commencement  de 
chaque  Mois. 


A 

B 

c 

ü 

£ 

F 

G j 

Janvier 

Février 

Mars 

Dimanche 

Mercredy 

Mercredy 

Sam. 

Mardy 

Mardy 

Vendr. 

Lundy 

Lundy 

Jeudy 

Dim. 

Dim. 

Mercr. 

Sam. 

Sam. 

Mardy 

Vendr 

Vendr. 

Lundy  j 

Jeudy 

Jeudy 

Avril 

May 

Juin 

Samedy 

Lundy 

Jeudy 

Vendr. 

Dim. 

Mercr. 

Jeudy 

Samed. 

Mardy 

Mercr. 

Vendr. 

Lundy 

Mardy 

Jeudy 

Dim. 

Lundy 

Mercr. 

Sam. 

Dim. 

Mardy 

Vendr. 

Juillet 

Aouft 

Septembre 

Samedy 

Mardy 

Vendredy 

Vendr. 
Lundy 
Jeud  y 

Jeudy 

Dim. 

Mercr- 

Mercr. 

Sam. 

Mardy 

Mardy 

Vendr 

Lundy 

Lundy 

Jeudy 

Dim. 

Dim. 

Mercr. 

Sam. 

Oûobre 

Novembre 

Décembre 

Dimanche 

Mercredy 

Vendredy 

Sam. 

Mardy 

Jeudy 

Vendr 

Lundy 

Mercr. 

Jeudy 

Dim. 

Mardy 

Mercr. 

Sam. 

Lundy 

Mardy 

Vendr. 

[ Dim. 

Eundy 

Jeudy 

Sam. 

car  au  de(Tous  de  cette  Lettre  D , l'on  trouve  que 
Janvier  commence  par  un  Jeudy  , Février  par  un. 
Dimanche  , Mars  aufli  par  un  Dimanche  , Avril.par 
un  Mercredy,  May  par  un  Vendredy  , Juin  par  un 
Lundy,  Juillet  par  un  Mercredy  , Aouft  par  un  Sa- 
medy  , Septembre  par  un  Mardy,  Octobre  par  un 

A a iij 


374  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

Jeudy , Novembre  par  un  Dimanche , & Décembre 
par  un  Mardy. 

Lorfque  l’Année  eftBiflextile , auquel  cas  elle  a 
deux  Lettres  Dominicales , comme  l’Année  palfée 
I 691.  qui  a eu  ces  deux  Lettres  Dominicales  F , 
E , on  Te  fervira  de  la  première  F , pour  les  deux  pre- 
miers Mois , Janvier,  Février,  & de  la  derniere  E 
pour  les  dix  autres  Mois. 

PROBLEME  XX. 

Trouver  Je  quantième  du  mois  Je  rencontre  tin  jour 
donne  de  ta  Semaine  en  une  vlnnée  propofée. 

CE  Problème  fe  peut  auffi  aifément  refoudre  par 
le  moyen  de  la  Table  fuivante  , qui  montre  les 
jours  du  mois , aufquels  Ce  rencontre  chaque  jour 
de  la  Semaine,  lorfque  le  commencement  du  mois 
arrive  un  certain  jour  de  la  lemaine  , ce  qui  fe  peut 
connaître  par  le  Problème  precedent,  après  quoy 
on  achèvera  le  refte  en  cette  forte. 

■ ■ : . I ' • : ■ ; •’  . " ! L ; 1 | 

Table  pour  trouver  à quel  jour  du  mois  arrive  un- 
jour  propofe'  d’une  Semaine. 


S DIMANCHE.  I 

f Dimanche 

AJluhjH 

l\  5*1  16  1 2-3  1 5°  j 

Lundy 

‘Mardy 

~1 

0 

-J 

b» 

J 

j/Mercredy 

4 i'-I'  I ' j I 8 1 2.  J | 

jeudy 

S\iz\i9\ic\  | 

1 Vcndredy 

6(x  3 jzo|x7 j I 

| Samedy 

7 ! r 4 j 1 1 1 2-  0 j | 

Lü  ND  Y. 

Lundy 

i|  8 [ l 'f j 12  Ji? 

Mardy 

*1 

Mcrcredy 

3 ! 1 0 1 1 7 1 14] 3 1 

T I 

jetidy 

1 Veodredy 

y j 1 2. | r <)  | J -t 

1 Samedy 

6 1 1 3 1 2-d  [17I  : : 

j Dimanche 

7|  I4|  2.1  |iSj 

Proble’mes  de  Cosmographië.  375 


M A R D Y. 

VENDREDY. 

Mardy 

i|  8 1 1 j J 2.2.  J 2.9 

Vendredy 

1 | 8 j 1 y j 1 2 | 29. 

Mercredy 

r|  V 1 16 1 2.}  1 30 

Samedy 

1 1 5>  1 1 ^ 1 2. 3 j 3 0 

Jeudy 

î | IO  | I 7 1 2-4J  î 1 

Dimanche 

î ! 1 0 1 1 7 1 2.4 1 3 1 

Vendredy 

4l  I I 1 1 8 1 2.  J I 

Lundy 

4 [ 1 1 1 1 8 1 2j  J 

Samedy 

;|i2|iÿ|zé| 

Mardy 

;|i2|iy|26| 

Dimanciie 

6 J 1 3 1 2.0)  iyj 

Mercredy 

6 1 1 3 1 zo  1 2-7  j 

Lundy  j 7 1 1 4 1 2. 1 [iü| 

Jeudy 

7 1 1 4 1 2 1 1 2. 8 J 

" MERCREDY. 

SAMEDY. 

Mercredy 

i|  8 1 1 J 1 2.2. 1 2.9 

Samedy 

i|  8 1 1 y 1 2 2 j 2 9 

Jeudy 

il  5>1 1 6 1 2. 3 j 30 

Dimanche 

2 j 9l 16 j 23  j 30 

Vendredy 

3 1 i°l i?l 24) 3 1 

Lundy 

3 1 io|  1 7 J 2.4 1 31 

Samedy 

4 1 1 1 1 1 8 1 2-y  1 

Mardy 

4 1 1 1 1 1 8 1 2 y | 

Dimanche 

5| 1 2-1 1 9|  2.6 1 

Mercredy 

j)  1 2.1 1 91 2.6  | 

6 1 1 3 l^-ol 27 1 j 

! Lui.dy 
| Mardy 

6 1 1 3 1 2-0  | 2-  7 | 

Jeudy 

7 i 1 4 1 1 1 1 2. 8 j 

Vendredy 

7 1 1 4l  2.1  \ 28  J J 

JEUDY. 

Jeuay 

ij  8 ] 1 y 1 2.2. 1 2.9 

Vendredy 

2 | ?| 1 6 | 23 | 30 

Samedy 

3 1 1 0 j 1 7 j 2.4 1 3 1 

Dimanche 

4 1 1 1 1 1 8 1 2.  y J 

Lundy 

y|i2jiy|26( 

Mardy 

Ov  | 

h* 

0 

N* 

^ l 

Mercredy 

7 1 141 2.1  1 2.8 1 

Pour  fçavoir  le  quantième  du  mois  de  May  par 
exemple,  de  cette  année  169$.  arrive  le  Lundy  ^ 
ayant  trouvé  par  le  Problème  precedent  , que  le 

A a iii j 


Recrbàt.  Mathemat.  et  Phys:.1 
mois  de  May  a commencé  en  certe Année  1(39$* 
par  un  Vendiedy , je  cherche  dans  la  Table  pre- 
cedente le  Lundy  à la  colonne  de  la  main  gauche 
fous  le  Vendiedy  qui  eft  écrit  en  lettres  capitales» 
& je  trouve  vis-â-vis  ces  quatre  nombres  4,11, 
18,  z 5 > qui  fignifiern  que  le  Lundy  arrive  en  cette 
Année  1693.  le  4.  1 1 . 18.  & 2^.  jour  du  mois  de 
May  ; 8c  l’on  connoîtra  de  la  même  façon  que  le  Di- 
manche arrive  le  3 . 10.  1 7.  2.4.  8c  3 1 . jour  du  mois 
de  May  de  la  même  Année  1693.  Ainfî  des  autres. 

Pareillement  pour  fçavoir  le  quantième  du  mois 
d’Avril  de  l’Année  pafïée  1 691.  vient  le  Lundy, 
fçaehant  par  le  Problème  precedent  que  le  mois 
d’Avril  a commencé  un  Mardy  en  l’Année  1692. 
je  cherche  dans  la  Table  precedente  fous  Mardy, 
qui  eft  écrit  en  lettres  capitales  , le  Lundy  à la  gau- 
che, 8c  je  trouve  vis-â-vis  à la  droite  ces  quatre 
nombres 7,  14,21 , 28  , qui  font  connoîtrc  qu’en 
l’Année  1692.  le  Lundy  eft  arrivé  le  7.  1 4.  2 1 . 8c 
28.  jour  du  mois  d’Avril  : 8c  l’on  connoîtra  delà 
même  façon  , que  le  Jeudy  eft  arrivé  le  3.  10. 17= 
8c  24.  en  laiftànt  31  , parce  que  le  mois  d’Avrii 
n’a  que  30  jours. 

Remarque. 

On  peut  aufti  par  le  moyen  de  la  Table  prece- 
dente , 8c  du  Problème  precedent  , refoudre  1er 
Probl.  17.  c’eft-i-dire,  trouver  à quelle  Fcrie  , ou 
à quel  jour  de  la  Semaine  tombe  un  jour  propofé 
de  quelque  mois  que  ce  foit , & pour  quelque  An- 
née que  ce  foit  depuis  Jefus-Chrift  , comme  vous 
allez  voir. 

Le  Château  de  Namur  s’ell;  rendu  à l’obeiïTance 
du  Roy  le  30.  Juin  1692.  8c  l’on  veut  fçavoir  à 
quel  jour  de  h Semaine  cela  eft  arrivé.  Ayant  connu 


Proble’mes  de  Cosmographie.  377 
par  le  Problème  precedent  que  le  mois  de  Juin  a 
commencé  par  un  Dimanche  , je  cherche  le  nom- 
bre 3 o dans  la  Table  precedente  fous  Dimanche  en 
lettres  capitales,  & je  trouve  dans  la  première  co- 
lonne vers  la  gauche , que  le  3 o.  de  Juin  a répondu 
à un  Lundy , & qu’ainfi  c’eft  un  Lundy  que  le  Châ- 
teau de  Namur  a capitulé. 

Puifque  nous  avons  donné  une  Table  pour  trou- 
ver à quel  jour  du  mois  arrive  un  jour  propofé  de 
la  Semaine , ou  réciproquement  à quel  jour  de  la 
Semaine  tombe  un  jour  propofé  du  mois , & une 
autre  Table  pour  connoître  à quel  jour  de  la  Se- 
maine commence  chaque  mois  d’une  Année  propo- 
fee  depuis  Jefus-Chrii};  : & que  cela  dépend  de  la 
Lettre  Dominicale , dont  nous  avons  enfeigné  l’in- 
vention au  Probl.  1 6.  nous  donnerons  auflî  une  Ta- 
ble pour  trouver  autrement  & plus  facilement  la 
même  Lettre  Dominicale  à perpétuité,  félon  le 
Calendrier  nouveau. 

Cette  Table  que  vous  avez  dans  les  deux  pages 
fuivantes,  a été  divifée  pour  une  plus  grande  com- 
modité en  deux  parties  , dont  la  première  fert  pour 
connoître  k Lettre  Dominicale  , félon  le  Calendrier 
Grégorien  depuis  la  Nailfance  de  Nôtre  Seigneur 
jufqu’à  la  fin  de  ce  Siècle  1600,  & l’autre  pour 
connoître  la  même  Lettre  Dominicale  pour  les  Siè- 
cles fuivans  1700  , 1 800  > 1 900  , & ainfi  enfuite 
jiifqu’au  Siècle  2700,  & il  eft  facile  de  la  conti- 
nuer àl’infiny. 

Cette  feparation  a été  ainfi  faite  pour  la  diftinc- 
tion  des  Années  qui  font  les  commcncemcns  des 
Siècles  , 6c  qui  ne  font  pas  Bifièxtiles  félon  le  Ca- 
lendrier Grégorien,  fçavoir  1700.  1800.  1900. 
2100.  2200-  2300.  2 joo.  2^00.  2700.  com- 
me elles  le  devroient  être  , félon  le  Calendrier  Ju- 


378  Récriât.  Mathemat.  et  Phys. 
lien  : ce  qui  fait  qu’à  ces  Années  on  n’a  pas  ajouté 
en  deffous  une  double  Lettre  Dominicale  , comme 
nous  avons  fait  aux  Années  i 600.  2000.  2400- 
qui  font  Biffextiles  , & pareillement  aux  Années 
1628.  1 6^6.  1684.  fçavoir  les  deux  Lettres  BA * 
parce  que  ces  Années  font  auffi  Biffextiles  : & pa- 
reillement les  deux  Lettres  FG  aux  Années  Biffes-*, 
files  1732  1760.  1788.  &c, 


Proble’mes  de  Cosmographie.  379 

Table  des  Lettres  Dominicales  four  chaque  Année,  depuis  la  Naijfance 
de  Nôtre  Seigneur  jufqu’d  l’Année  1700 


1 0 
1 700 

1 1400 

| 1 00 
800 

! 1 5 °° 

200 

I 900 

I I 600 

300 

1000 

j 40o|  500 
[1100,1200 
| 

6 00 
^ 1 300 

0 

28 

5 ^ 

84 

G F 

A G 

B 

A 

C B 

D C 

E D 

F E 

I 

29 

57 

85 

E 

F 

G 

A 

B 

C 

D ! 

Z 

30  c8 

86 

D 

E 

F 

G 

A 

B 

C 

3 

3i 

59 

87 

C 

D 

E 

F 

G 

A 

B 

4 

3 z 

60 

88 

B A 

C B 

E 

r~c 

E D 

F E 

G F 

A G 

S 

33 

6 1 

89 

G 

A 

B 

C 

D 

E 

F 

6 

34 

62 

90 

F 

G 

A 

B 

C 

D 

E 

7 

3 T 

63 

91 

E 

F 

G 

A 

B 

C 

D 

8 

36 

64 

9 2 

D C 

S D 

F 

”Ë 

G F 

A G 

B A 

C B 

9 

37 

65 

93 

B 

C 

D 

E 

F 

G 

A 

10 

38 

66 

94 

A 

B 

C 

D 

E 

F 

G 

1 1 

39 

67 

95 

G 

A 

B 

C 

D 

E 

F 

1 1 

40 

68 

96 

F E 

G F 

A 

G 

B A 

C B 

D C 

E D 

13 

41U9 

97 

D 

E 

F 

G 

A 

B 

C j 

14 

42 

70 

98 

C 

D 

E 

F 

G 

A 

B 

M 

43 

7i 

99 

B 

C 

D 

E 

F 

G 

A 1 

1 6 

*44 

72 

A G 

r a 

C 

B 

D C 

E D 

F E 

G FJ 

17 

45 

73 

4 F 

G 

| 

A 

B 

C 

D 

E j 

18 

46 

74 

E 

F 

G 

A 

B 

C 

D 1 

19 

47 

75 

D 

E 

F 

G 

A 

B 

c 1 

20 

48 

76 

C B 

P c 

E 

D 

F E 

G F 

 G 

B Af 

2 1 

49 

77 

A 

' $ 

l 

C 

D 

E 

F 

c ! 

y*  1 

22 

5° 

78 

G 

A 

i 

B 

C 

D 

E 

F 

23 

51 

79 

F 

a 

A 

B 

C 

D 

E : 

24 

52 

80 

E D 

F 1 

G 

F 

A G 

B A 

C B 

D C 

25 

y 3 

81 

C 

D 

E 

F 

G 

A 

B 

26 

54 

82 

B 

C 1 

1 

D 

E 

F 

G 

A 

*7 

55 

83 

A 

B ) 

C 

D 

E 

F 

G 

380  Récréât.  Mathemat.  et  Phys.' 

Unité  de  la  Table  des  Lett-,  es  Dominicales  jufqu'à  i Année  2.  8 00 


1 6ooj  1700 
2000(2100 
2400)2  f GO 

1 800J 1900 
220012300 
2600)2700 

0 

28 

5^ 

84 

B A 

C 1 

E 

G 

I 

29 

57 

85 

G 

B * 

D 

F 

2 

30 

5 8 

86 

F 

A 

C 

E 

3 

3i 

59 

87 

E 

G 

B 

D 

4 

3 2 

60 

88 

D C 

F E 

À G 

C B 

5 

33 

61 

89 

B 

D 

F 

A 

6 

34 

62 

90 

A 

C 

E 

G 

7 

il 

63 

91 

G 

B 

D 

F 

8 

36 

64 

92 

F E 

A G 

C B 

E D 

9 

37 

65 

93 

D 

F 

A 

C 

10 

38 

65 

94 

C 

E 

G 

B 

1 1 

3 9 

67 

95 

B 

D 

F 

A 

12 

40 

68 

96 

A “G 

C B 

E D 

G F 

13 

4i 

69 

97 

F 

A 

C 

E 

14 

42 

70 

98 

E 

G 

B 

D 

*5 

43 

71 

99 

D 

F 

A 

C 

1 6 

44 

72 

C B 

E D 

F G 

B A 

l7 

45 

73 

A 

C 

E 

G 

18 

46 

74 

G 

B 

D 

F 

1 9 

47 

75 

F 

A 

C 

E 

20 

48 

76 

E D 

G F 

B A 

D C 

21 

49 

77 

C 

E 

G 

B 

22 

5° 

78 

B 

D 

F 

A 

2-3 

Çi 

79 

A 

C 

E 

G 

24 

52 

80 

G F 

B A 

D C 

F E 

M 

53 

81 

E 

G 

B 

D 

J 26 

S' 4 

82 

D 

F 

A 

C 

1 

83 

C 

E 

G 

B 

Proble’mes  de  Cosmographie.  381 
Pour  connoître  par  le  moyen  de  cette  Table  la 
Lettre  Dominicale  pour  une  Année  propofée  de- 
puis Jefus-Chrift,  par  exemple,  pour  cette  Année 
I 69  3.  cherchez  à la  Table  l’Année  1 éoo.  8c  à cô- 
té vers  la  gauche  le  refte  des  Années  93 , 8c  vis-à- 
vis  des  deux  vous  trouverez  D pour  la  Lettre  Do- 
minicale de  cette  Année  1693.  Ainfi  des  autres. 

PROBLEME  XXI. 

Trouver  le  nombre  de  l'Indiélion  Romaine  four  une 
Année  propofée. 

LEs  Grecs  comptoient  autrefois  leurs  Années  par 
Olympiades  , qui  eft  une  révolution  de  quatre 
Années,  au  bout  de  laquelle  ils  celebroient  des 
Jeux  qu’ils  appelloient  Olympiques , parce  qu’ils  fu- 
rent autrefois  inftituez  par  Hercule  proche  la  Ville 
d’Oiympe  en  Arcadie  -,  mais  depuis  que  Rome  eut 
fournis  la  Grèce  à fa  Domination  , elle  ne  voulut 
plus  que  l’on  comptât  par  Olympiade  , ayant  trou- 
vé ce  terme  de  quatre  Années  trop  court , 8c  elle 
le  mit  à trois  Luftres , ou  à quinze  Années  , qu’on 
appella  IndiElion. 

Ainfi  1 Indiétion  eft  un  efpace  de  quinze  An- 
nées , au  bout  duquel  on  commence  de  nouveau  a 
compter  par  une  circulation  continuelle.  Cette 
Période  de  quinze  Années  a été  appellée  Indittio»  » 
parce  que  félon  quelques  Auteurs  elle  fervoit  aux 
Romains  à indiquer  l’Année  qu’il  falloit  payer  !•» 
Taille  ou  le  Tribut  à la  Republique,  ce  qui  luy  a 
donne  le  nom  d Indiélion  Romaine , & on  la  nom- 
me aulfi  IndtÜion  Pontificale , qui  a fon  commen- 
cement au  premier  jour  de  Janvier , parce  que  la 
Cour  de  Rome  s’en  fert  dans  fes  Balles  & dans 
routes  fes  Expéditions. 


3 8 ï,  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 

J’ay  dit , félon  quelques  Auteurs  , parce  quW 
ne  trouve  nulle  part  de  quelle  caufe  eft  procédé  ce 
nombre  de  quinze  années  pour  fupputer  les  Indic- 
tions , finon  que  les  Soldats  après  avoir  fervy  quin- 
ze ans  dans  les  Armées  , & après  avoir  reçû  comme 
quinze  Soldes  , pouvoient  être  honorablement 
congédiez  avec  toutes  fortes  de  franchifes  , & s’ils 
y vouloient  demeurer  , ils  jcüillbient  de  plus 
grands  privilèges.  Il  femble  donc  que  cette  façon 
de  compter  quinze  années  de  folde  par  autant  d’an- 
nées d’Indiétion  foit  arrivée  de  ce  que  tous  les  ans 
Tindiétion  fe  faifoit  aux  Provinces  par  Tordre  du 
Prince,  pour  fournir  & diftribuer  la  munition  aux 
Soldats,  ce  qui  eft  la  caufe  que  Tindiétion  a été 
quelquefois  appellée  Dijlnbiition  & Largeffe. 

Quoiqu’il  en  foit , voici  la  maniéré  de  trouver  le 
nombre  de  l’Indiétion  Romaine  pour  une  Année 
propofée  depuis  Jefus-Chrift.  Parce  qu’en  l’Année 
I 63  i. par  exemple,  lenombrede  Tindiétion  étoit 
I ç , en  divifant  1 6 3 2 par  ï J , le  refte  1 2 de  la  divi- 
sion faitconnoître  que  la  1 2.  Année  de  Jefus-Chrift 
on  avoir  1 2ld’Indiétion,&  que  par  confequent  trois 
ans  avant  la  Nativité  de  Nôtre  Seigneur , on  a eu 
Je  commencement  du  Cycle  de  Tindiétion. 

C’eft  pourquoy  pour  trouver  le  nombre  de  Tin- 
diétion Romaine  pour  quelque  Année  que  ce  foie 
depuis  Jefus-Chrift,  par  exemple,  pour  cette  An- 
née 1 65)3  . ajoutez  3 à 1 693  , & divifez  la  fomme 
1696  par  1 5 , & le  refte  1 eft  le  nombre  de  Tin- 
diétion pour  cette  Année  1693.  De  même  pour 
trouver  Tindiétion  pour  l’Année  1700,  on  ajou- 
tera 3 à 1700,  S:  Ton  divifera  la  fomme  1703 
par  1 ç , & le  refte  de  la  divifion  donnera  8 pour  le 
nombre  de  Tindiétion  que  Ton  cherche. 


Problèmes  de  Cosmographie.' 

PROBLEME  XXII. 


Trouver  le  nombre  de  la  P eriode  Julienne  four  une 
Année  propoféer 

QUoiquc  l’Indiétion  Romaine  n’ait  aucune  con- 
nexion avec  les  mouvemens  celeftes,  nean- 
moins on  ne  laide  pas  de  comparer  cette  révolu- 
tion de  i 5 années  avec  la  Période  du  Cycle  Lu- 
naire de  28  années  j & la  Période  du  nombre  d’or 
de  1 9 années,  en  multipliant  eofemble  ces  trois  Cy- 
cles 15,28,  19,  pour  avoir  en  leur  produit  foli- 
de  cette  fameufe  Période  de  7980  ans,  qu’on  ap- 
pelle^Période  Julienne , parce  que  c’eft  Julius  Scali- 
ger  qui  en  a parlé  le  premier , 8c  que  les  Chrono- 
logies modernes  ont  introduite  , pour  y rapporter 
toute  la  différence  des  temps  par  quelque  événe- 
ment dans  les  Hiftoires , étant  certain  que  ce  nom- 
bre de  7980  ans  contient  toutes  les  differentes 
combinaisons  des  trois  Cycles  preccdens , qui  dans 
tout  ce  temps  ne  peuvent  jamais  plus  d’une  fois  fe 
rencontrer  d’une  même  maniéré. 

Il  fera  facile  de  trouver  le  nombre  de  cette  Pério- 
de de  7980  ans  pour  une  Année  propofée  depuis 
Jefus-Chrift,  fi  l’on  fçait  une  fois  fon  commence- 
ment, c’eft-à-dire,  le  temps  qu'elle  doit  avoir  com- 
mencé avant  la  première  Année  de  Jefus-Chrift , 8c 
mêmes  avant  la  Création  du  Monde  : car  comme  ce 
Cycle  eft  grand , fon  commencement  dans  lequel 
chacun  des  trois  Cycles  qui  le  compofent , auroit 
eu  le  même  nombre  1 , furpaftê  de  pluficurs  années, 
non-feulement  l’Epoque  des  Chrétiens  , mais  enco- 
re le  terme  que  l’Ecriture  Sainte  attribué  à la  Créa- 
tion du  Monde.  Voici  donc  la  maniéré  de  trouver 


384  Récréât.  Mathemàt.  kt  Phys.î 
le  commencement  de  cette  grande  Période. 

Parce  quen  la  première  Année  de  Jefus-Chrift  ors 
a eu  4 d’Indiétion,  10  de  Cycle  Solaire , & 2 de 
Cycle  Lunaire,  ou  de  Nombre  d’or,  multipliez  le 


6916 
InâtÜion  4 


27664 


484? 

4200 

Cycle  Sol . 1 0 

Cjcl.  Lun.  2 

; 0 

1 ■'l- 

00 

1 

8400 

48450 

4714 

27664 

1 692 

84514  (IO 

6406 

79  80 

47H 


nombre  4 de  l’Indidion  toujours  par  69 1 6,1e  nom- 
bre 10  du  Cycle  Solaire  toujours  par  4845  , & le 
nombre  2 du  Cycle  Lunaire  toujours  par  4 zoo  , & 
ajoutez  enfembleles  trois  produits  27664,48450*. 
8400  ,pour  diviferleur  fomme  845  i4par798o* 
qui  eft  la  Période  Julienne,  & en  négligeant  le 
quotient  io,lerefte  47 1 4 deladivifion  faitcon- 
noîcre  que  le  commencement  de  la  Période  Julien- 
ne eft  4714  années  avant  la  Naiftànce  de  Jefus- 
Chrift. 

Sçachant  donc  que  le  commencement  de  la  Pé- 
riode Julienne  eft  4714  ans  avant  la  Naiftànce  de 
nôtre  Sauveur , fi  l’on  veut  fçavoir  le  nombre  de 
cette  Période  pour  une  Année  propofée  depuis  Je- 
fus-Chrift, par  exemple,  pour  cette  Année  1693. 
ajo Citez  au  nombre  4714  des  années  du  commen- 
cement de  la  Période  Julienne  le  nombre  1692 
des  années  qui  fefont  écoulées  depuis  la  Naiftànce 


Proêib’mes  de  Cosmographie.  385 
N&tre  Seigneur  jufqu’à  la  présenté  année  165)3, 
ôc  la  fomme  6406  fera  l’Année  julienne  qu’on 
cherche. 

Ou  bien  fervez-vous  de  la  Méthode  preceden- 
te, c’eft-à-dire , multipliez  le  nombre  1 de  l’Indic- 
tion  pour  cette  Année  1693.  par  6916,  le  nom- 
bre 22  du  Cycle  Solaire  par  4845  , & le  nombre 


6916 

4845 

4200 

IndiEhon  1 

Cycle  Sol.  22 

Cycle  Lun.  3 

69 1 6 

9690 

I 2600 

9690 

106590 
691  6 

ÏQ6590 

■ 

126106  ( I 5 
7980 


46306 

7980 


640  6 

'1 

3 du  Cycle  Lunaire  par  4200,&ajoûtezenfenï~ 
bte  les  trois  produits  69 1 6 > 106590,  I i6oo, 
pour  divifer  leur  fomme  126106  par798o,  de 
fans  Te  mettre  en  peine  du  quotient  1 5 , le  refie  de 
la  divifîon  donnera  6406  , comme  auparavant  , 
pour  l’Année  Julienne  qu’on  cherche.  Voyez  le 
Problème  fuivant. 


Remarque. 

Comme  la  Période  Julienne  n’a  été  inventée 
que  pour  arriver  à l’origine  des  temps , de  qu’elle 
Tome  L B b 


Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
n’a  que  deux  Cycles  naturels  A aftronomiques. , 
i ça  voir  le  Cycle  Solaire  , A le  Cycle  Lunaire  : le 
Cycle  de  l’Indidtion  étant  arbitraire  Apolitique, 
il  femble  qu’au  lieu  de  ce  troifiéme  Cycle  on  de- 
vroit  plutôt  prendre  le  nombre  30  du  Cycle  natu- 
rel desEpnétes,  A la  Période  qui  le  formeroit  par 
la  multiplication  continuelle  de  ces  trois  Cycles  28, 
19,30,  fçavoir  15960  feroit  plus  propre  pour  la 
Chronologie  , non-feulement  parce  qu’elle  eft 
compofée  de  trois  Cycles  naturels , qu’il  eft  bon  de 
ne  point  feparer , mais  encore  parce  qu’elle  eft  plus 
étendue  que  la  Période  Julienne  qui  n’en  eft  que  la 
moitié. 

Cette  Période  de  15960  années  a été  appcllée 
par  Ion  Auteur  Jean  Louis  d’Amiens  Capucin  , Pé- 
riode de  Lotit  s le  Grand,  parce  qu’il  l’a  imaginée 
fous  le  Régné  heureux  de  Lotiis.  le  Grand.  Or 
quoique  la  Période  Julienne  étant  doublée  égale  d 
celle-ci,  il  ne  faut  pas  croire  pour  cela  qu’elle  doive 
faire  le  même  effet  dans  la  Chronologie  que  la  Pé- 
riode de  Loiiis  le  Grand,  car  il  s’en  faut  de  beau- 
coup , comme  dit  l’Auteur  de  cette  Période,  de 
laquelle  nous  ne  parlerons  pas  davantage  , parce 
que  quoy  qu’excellente, les  Chronologiftes  ont  don- 
né la  preference  à la  Période  Julienne  , pour  être 
venue  la  première. 


PROBLEME  XXIII. 


'Trouver  le  nombre  de  la  Période  Dionijtenne  pour 
uns  Année  propofée . 

SI  l’on  multiplie  feulement  la  Période  28  du 
Cycle  Solaire  par  là  Période  19  du  Cycle  Lu- 
.naue,  il  fe.  formera  une  Période  de  532  Ans* 


ProSle’mes  de  Cosmôôraphie.  387 
qu‘oh  appelle  Période  Diowjietine  ; du  nom  de  fon 
inventeur,  & qui  fert  à connoître  toutes  les  diffé- 
rences <5c  tous  les  changemens  , qui  le  peuvent 
rencontrer  entre  les  Nouvelles-Lunes  & les  Lettres 
Dominicales  dans  le  cours  de  531  Ans,  après lel- 
quels  les  combinaifons  des  uns  & des  autres  re- 
tournent dans  le  même  ordre,  &:  continuent  dans 
la  même  fuite. 

Pour  trouver  le  nombre  de  cette  Période  de  $ 3 2 
Ans,  pour  une  Année propofée  depuis  Jefus-Chnlf, 
par  exemple,  pour  cette  Année  165)3.  qui  a 22 

Cycle  Sol.  2 2 Cycle  Lur.  3 2682 

47^  5 3 2.  ( 5 

1428  22 

IM4 

2682 

de  Cycle  Solaire,  & 3 de  Cycle  Lunaire,  multi- 
pliez le  nombre  22  du  Cycle  Solaire  toujours  par 
57 , & le  nombre  3 du  Cycle  Lunaire  toujours  prr 
476)  & ajoutez  enfemble  les  deux  produits  1254, 
1428,  pour  diviler  leur  Comme  2682  toujours 
par  ç 3 2 , c’eft-à-dire  , par  la  Période  Dionifienne  , 
ÿc  fans  vous  mettre  en  peine  du  quotient  5 , arrê  - 
tez-vous au  refte  de  la  divifîon  , qui  vous  donnera 
22  pour  le  nombre  de  la  Période  Diomfienne  ea 
cette  Année  165)3. 

Remarque. 

Le  nombre  57,  par  lequel  on  a multiplié  Is 
nombre  22  du  Cycle  Solaire,  eft  tel  qu’étant di- 

B b ij 


57 

1 54 
1 10 

1254 


5 8 B Récréât.  Mathem at>  et  Phys. 

vile  par  la  Période  28  du  Cycle  Solaire, il  relie  î > 

6 qu’étant  divifé  par  la  Période  19  du  Cycle  Lu- 
naire , il  ne  relie  rien  : &c  réciproquement  le  nom- 
bre 476  , par  lequel  on  a multiplié  le  nombre  3 du 
Cycle  Lunaire  ,,ell  tel  qu’étant  divifé  par  la  Pério- 
de 19  du  Cycle  Lunaire  , il  relie  1 , & qu’étant 
divifé  par  la  Période  28  du  Cycle  Solaire,  il  ne 
relie  rien.  Ainfi  le  premier  nombre  57  fait  connoî- 
tre  l’Année  Diomlîenne  , à laquelle  on  a o , ou  1 9 
de  Nombre  d’or , & 1 de  Cycle  Solaire  : Sc  le  le- 
cond  nombre  4 76  fait  connoître  l’Année  Dioni- 
lîenne  , à laquelle  on  a o ou  28  de  Cycle  Solaire  , 
& I de  Nombre  d’or. 

Pour  trouver  le  premier  nombre  57,  qui  doit 
être  multiple  de  19  , afin  qu’étant  divifé  par  19, 
il  ne  relie  rien  , fi  l’on  met  par  exemple  le  double 
de  1 9 , fçavoir  3 8 pour  le  nombre  qu’on  cherche, 
ce  nombre  38  étant  divifé  par  28  , il  relie  10  , au 
lieu  de  relier  1 , comme  porte  la  Queflion  : 8c 
comme  ce  relie  10  ell  moindre  que  le  divifeur  28 
de  1 8 , il  elt  évident  que  fi  l’on  ajoute  18338, 
on  aura  qui  étant  divifé  par  28,  il  ne  reliera 
rien  ; c’ell  pourquoy  fi  au  lieu  d’ajouter  18338, 
on  ajoute  19  , on  aura  57,  qui  fera  le  nombre 
qu’on  cherche , parce  qu’il  fe  rencontre  multiple 
de  19  , fçavoir  le  triple. 

Si  de  la  Période  Dionifienne  ^ ; 2 , on  ôte  ce 
premier  nombre  trouvé  Ç7,  & qu'au  relie  475, 
on  ajoute  1 , on  aura  le  fécond  nombre  476  , que 
l’on  peut  aulîi  trouver  immédiatement  par  un  rai- 
fonnement  femblable  au  precedent,  excepté  qu’il 
y a plus  de  tentatives  à faire  9 comme  vous  allez 
voir. 

Pour  donc  trouver  le  fécond  nombre  47 6 , qui 
doit  être  multiple  de  28,  afin  qu’étant  divifé  par 


Proble’mes  de  Cosmographie.  389 
28  , il  ne  refte  lien , fi  l’on  met  par  exemple  le  dou- 
ble de  28  , fçavoir  5 6 pour  le  nombre  qu’on  cher- 
che, ce  nombre  56  étant  divifé  par  19,  il  ref- 
te  18,  au  lieu  qu’il  devroit  refter  1 , comme 
porte  la  Queftion  : 8c  comme  ce  refte  1 8 eft  moin- 
dre que  ledivifeur  19  de  1 , il  eft  évident  que  fi 
l’on  ajoute  1 à 56,  on  aura  ^7,  qui  étant  divifé 
par  1 9 , il  ne  refterarien  ; c’eft  ponrquoy  fi  au  lieu 
d’ajouter  1 d ç 6,  on  ajoute  2,  on  aura  58  , qui 
étant  divifé  par  19,  il  reliera  1.  Mais  comme  ce 
nombre  ç 8 ne  fe  rencontre  pas  multiple  de  28  , il 
n’eft  pas  le  nombre  qu’on  cherche  ; ainfi  l’on  en 
cherchera  un  autre  de  la  même  façon , en  multi- 
pliant 28  par  3 , par  4 , par  5 , 8c  ainfi  enfuite  jufi* 
qu’à  ce  qu’on  rencontre  un  multiple  de  28,  qui 
étant  divifé  par  1 9 , il  refte  1 , ce  qui  arrivera  ici 
en  multipliant  28  par  17,  8c  le  produit  476  fera 
le  nombre  qu’on  cherche  , 8c  qui  étant  pareille- 
ment ôté  de  la  Période  Dionifienne  532,  8c  le 
refte  $6  étant  augmenté  de  l’Unité,  on  aura  57 
pour  le  premier  nombre. 

Pareillement  le  nombre  6916  , par  lequel  on  a 
multiplié  dans  le  Problème  precedent  le  nombre 
de  l’Indiétion,,  eft  tel  qu’étant  divifé  par  la  Pério- 
de 1 ç de  l’Indiétion,  il  refte  1 , 8c  qu’étant  divifé 
par  la  Période  28  du  Cycle  Solaire  , & par  la  Pé- 
riode 19  du  Cycle  Lunaire , ou  ce  qui  eft  la  même 
chofe  , par  le  produit  ç 3 2 de  ces  deux  Périodes  , 
il  ne  refte  rien  : 8c  le  nombre  484  ç , par  lequel 
on  a multiplié  dans  le  Problème  precedent  le  nom- 
bre du  Cycle  Solaire  , eft  tel  qu’étant  divifé  par  la 
Période  28  du  Cycle  Solaire  , il  refte  1 , 8c  qu’étant 
divifé  par  la  Période  1 9 du  Cycle  Lunaire  , 8c  par  la 
Période  1 ç de  l’Indiétion  , ou  ce  qui  eft  la  même 
chofe,  parle  produit  285  de  ces  deux  Périodes, 

B b iij 


Plan- 
che 4 f 
x i j .fi 


390  Récréât.  Mathemat.  et  Phys. 
il  ne  refte  rien  : & enfin  le  nombre  4200  > par  le- 
quel on  a multiplié  dans  le  Problème  precedent  le 
nombre  du  Cycle  Lunaire,  eft  tel  qu’étant  divifé 
par  la  Période  19  du  Cycle  Lunaire  , il  refte  1 , & 
qu’étant  divifé  par  la  Période  1 5 de  l’Indiéfcion  , & 
par  la  Période  28  du  Cycle  Solaire , ou  ce  qui  eft 
la  mêmechofe,  par  le  produit  4200  de  ces  deux 
Périodes , il  ne  refte  rien. 

Le  premier  nombre  6916  nous  fait  connoître 
l’Année  Julienne,  à laquelle  nous  avous  1 d’indic- 
tion , Sc  o de  Nombre  d’or  , & de  Cycle  Solaire  , 
ou  o de  Période  Dionifienne  : le  fécond  nombre 
484^  nous  fait  connoître  l’Année  Julienne  , à la- 
quelle on  a 1 de  Cycle  Solaire , & o de  Nombre 
d’or  , & d’Indiétion  : & le  troifiéme  nombre  4200 
nous  fait  connoître  l’Année  Julienne  , à laquelle  on 
a 1 de  Nombre  d’or  , 8c  o de  Cycle  Solaire , & d’in- 
diélion.  Ces  trois  nombres  ont  été  trouvez  comme 
les  deux  precedens, 

PROBLEME  XXIV. 

Connoître  les  Mois  de  l'Année  , qui  ont  3 I jours , 
Cr  ceux  c/ni  n en  ont  cjne  3 0. 

E Levez  le  Pouce  A,  le  Doigt  du  milieu  C,  Sc 
l’Auriculaire  E , ou  le  petit  doigt  de  la  main 
gauche  , & abaiiïcz  les  deux  autres , fçavoir  l’Index 
B , qui  fuit  le  Pouce  , & l’Annulaire  D,  qui  eft 
entre  le  Doigt  du  milieu,  & l’Auriculaire.  Apres 
cela  commencez  à compter  Mars  fur  le  Pouce  A , 
Avril  fur  l’Index  B , May  fur  le  Doigt  du  milieu  C , 
Juin  fur  l’Annulaire  D , Juillet  fur  l’Auriculaire  E : 
Ôc  de  nouveau  continuez  a compter  Aouft  fur  le 
Pouce , Septembre  fur  l’Index  , Oéfobre  fur  le 


Proble’mes  de  Cosmographie.  391 
Doigt  du  milieu,  Novembre  fur  l’Annulaire  , De-  Na 
cembre  fur  l'Auriculaire  & enfin  en  recommcn-  Clj'e 
çant  continuez  à compter  Janvier  fur  ie  Pouce,  & 1 * 
Février  fur  l’Index  \ de  alors  tous  les  Mois  qui  tom- 
beront fur  les  Doigts  élevez  A,  C,  E,  auront  31 
jours , & ceux  qui  tomberont  fur  les  Doigts  abaif- 
fez  B,  D,  n’en  auront  que  30  > excepte  le  Mois, 
de  Février,  qui  n’a  jamais  plus  de  29  jours  quand, 
l’Année  eft  BifTèxtile,  & feulement  28  , lorfque 
•l’Année  eft  commune. 

PROBLEME  XXV. 

Trouver  le  jour  de  chaque  Mois  , auquel  le  Soleil 
entre  dans  un  Signe  du  Zodiaque. 

LE  Soleil  entre  au  commencement  des  Signes 
du  Zodiaque  environ  le  20.  de  chaque  Mois 
de  l’Année,  fçavoir  a«  commencement  de  V en- 
viron le  20.  Mars  , au  commencement  de  envi- 
ron le  20.  Avril,  & ainfi  enfuite  : &pour  fçavoir 
ce  jour  un  peu  plus  exactement , fervez-vous  de  ces 
deux  Vers  artificiels , dont  l’Ufagc  cfl  tel  ; 

Jnclita  Laus  JuJhs  Impenditur , H are  fis  Horrety 
Grandi  a Gefa  Gerens  Felici  Gaudet  Honore. 

Diftribuez  les  douze  dictions  de  ces  deux  Vers 
aux  douze  Mois  de  l’Année,  en  commençant  par 
Mars  que  vous  attribuerez  à Jnclita  , de  en  finifïànt 
par  Février  , qui  répondra  à Honore  : & confiderez 
le  nombre  que  la  première  lettre  de  chaque  mot 
obtient  dans  l’Alphabet , car  fi  de  3 o vous  ôtez  ce 
nombre,  vous  aurez  au  refte  le  nombre  du  Mois 
qu’on  cherche. 


B b iiij 


392.  Récréât.  Màthemat.  et  Phys." 

Par  exemple  5 Jnelita  répond  au  mois  de  Mars  * 
de  au  Signe  du  Relier , & fa  première  lettre  I eftla 
9.  lettre  de  l’Alphabet  , fi  l’on  ôte  9 de  30,  le 
refte  21  faic  çonnoître  que  le  21.  de  Mars  le  So- 
leil entre  dans  Aries.  Pareillement  Guudet  répond 
au  mois  de  Janvier  de  au  Signe  du  VeiTeau  , de  fa 
première  lettre  G eft  la  7.  dans  l’ordre  Alphabéti- 
que , en  ôtant  7 de  3 o > le  relie  23  fait  connoî-* 
tre  que  le  23.  janvier  le  Soleil  entre  au  Verfeau. 
Ainfi  des  autres. 

PROBLEME  XXVI. 

Trouver  le  degré  du  Signe,  ou  le  Soleil  fe  rencontre, 
en  un  jour  propofé  de  l’ yînnée. 

POur  fçavoir  le  lieu  du  Soleil  dans  le  Zodiaque, 
c’eft-à-dire,  en  quel  degré  d’un  Signe  le  Soleil 
eft  à chaque  jour  de  quelque  Mois  que  ce  foit, 
par  exemple  , aujourd’huy  1 S.  May,  auquel  il  ré- 
pond dans  les  deux  Vers  du  Problème  precedent, 
ce  mot  Jufiis , dont  la  première  lettre  I eft  la  9, 
de  l’Alphabet , ajoutez  ce  nombre  9 au  nombre 
18  du  jour  propofé,  Ôc  la  fomme  27  vous  fera 
çonnoître  que  le  18-  de  May  le  Soleil  occupe  le 
27.  degré  du  Taureau  , qui  répond  à la  diélion 
precedente  Laus  , la  première  Inclita  répondant 
au  Eeîier,  comme  nous  avons  dit  au  Problème 
precedent. 

Cela  fe  pratique  ainfi  , îorfque  la  fomme  eft  moin- 
dre que  p,  comme  ici,  car  quand  elle  fera  plus 
grande  opte  30,  on  prendra  le  Signe  qui  répond 
au  mot  Latin  du  mois  propofé,  2c  l’on  ôtera  3 o de 
■cette  fomme  5 pour  avoir  au  relie  le  degré  de  ce 
Siçnc» 

O 


Problèmes  de  Cosmographie.  393 
Comme  pour  fçavoir  le  degré  du  Signe  cou- 
rant du  Soleil,  le  iç.  du  mois  d’Aouft  , auquel 
jl  répond  dans  le  premier  des  deux  Vers  précé- 
dons le  mot  Latin  Horret , qui  appartient  au  Si- 
gne de  la  Vierge,  & dont  la  première  lettre  H eft 
la  8.  de  l’Alphabet;  ajoûtez  8 à 25  , & ôtez  30 
de  la  fomme  3 3 , ôc  le  refte  3 vous  fait  connoître 
que  le  Soleil  eft  au  3.  degré  de  la  Vierge  le 
du  mois  d’Aouft. 

Remarque. 

Dans  ce  Problème  & dans  le  precedent , nous 
avons  fuppofé  que  l’on  fçache  l’ordre  des  douze 
Signes  du  Zodiaque  , 5c  les  Mois  qui  leur  répon- 
dent, ce  que  peu  de  perfonnes  ignorent  : nean- 
moins pour  ceux  qui  ne  le  fçavent  pas , nous  a- 
vons  ici  ajoûtez  ces  deux  Vers  Latins, 

Sunt  Artes  y Taurus  , Gemini , Cancer  s Léo , 
Virgo  , 

Libraque , Scorpius  , Arcitenens  , Caper , Am- 
phora,  Pijces. 

où  l’on  fe  fouviendra  que  le  premier  Signe  Afief, 
répond  au  Mois  de  Mars,  le  fécond  Taurus  au 
Mois  d’ Avril,  & ainfi  enfuite  jufqu’au  dernier  Pif- 
ces  , qui  répond  au  Mois  de  Février. 

PROBLEME  XXVII. 

Trouver  le  Lieu  de  la  Lune  dans  le  Zodiaque  en 
un  jour  propofé  d'une  Année . 

ON  trouvera  premièrement  le  Lieu  du  Soleil 
dans  le  Zodiaque  , comme  il  a été  enfeigné 


394  Récréât.  Mathemat.  it  Phys.' 
aa  Problème  precedent,  & enfuite  la  diftance  de  la 
Lune  au  Soleil,  ou  l’arc  de  l’Ecliptique,  compris 
entre  le  Soleil  & la  Lune,  comice  nous  allons  en- 
feigner. 

Ayant  trouvé  par  Probl.  14. 1 âge  de  la  Luné , & 
l’ayant  multiplié  toujours  par  1 2 , divifezle  produit 
toujours  par  30  , & le  quotient  donnera  le  nom- 
bre des  Signes,  tk  le  refte  de  la  divifion  donnera  le 
nombre  des  degrez  de  la  diftance  de  la  Lune  an 
Soleil.  C’eft  pourqupy  fi  félon  l’ordre  des  Signes 
on  compte  cette  diftance-  dans  le  Zodiaque  , en 
commençant  depuis  le  Lieu  du  Soleil,  on  aura  le 
Lieu  de  la  Lune  qu’on  cherche. 

Comme  Ci  l’on  veut  fçavoir  le  Lieu  de  la  Lune 
aujourd’huy  18.  May  1693.  auquel  jour  le  Soleil 
occupe  le  27.  degré  du  Taureau  , & l’âge  de  la 
Lune  eft  1 4 J en  multipliant  14  par  1 2 , & en  di- 
vifant  le  produit  168  par  30,  le  quotient  5,  &C 
le  refte  18  de  la  divifion , font  connoître  que  la 
Lune  eft  éloignée  du  Soleil  de  5 Signes  & de  18 
degrez.  Si  donc  on  compte  j Signes  & 1 8 degrez 
dans  le  Zodiaque  depuis  le  27.  degré  du  Taureau, 
qui  eft  le  Lieu  du  Soleil , on  tombera  fur  le  1 
degré  du  Scorpion , qui  eft  le  Lieu  de  la  Lune. 


PROBLEME  XXVIII. 


1 Trouver  à quel  Mois  de  /’ Année  appartient 
une  Lunaifon. 

DÂns  l’Ufage  du  Calendrier  Romain , chaque 
Lunaifon  eft  eftimée  appartenir  au  Mois  où 
elle  fe  termine  , fuivant  cette  ancienne  maxime  des 
Computiftes, 


Proble’mes  de  Cosmographie.  39  f 

In  quo  completur  menjî  Lunatio  detur. 

c’eft  pourquoy  pour  fçavoir  fi  uneLunaifon  appar- 
tient à un  Mois  propofé  de  quelque  Année  que  ce 
foit , par  exemple  , à ce  Mois  de  May  1693.  ayant 
trouvé  par  P r obi.  14.  l’âge  de  la  Lune  au  dernier 
jour  de  May  qui  a 3 1 jours,  fçavoir  27,  cet  âge 
27  fait  connoître  que  la  Lune  finit  au  mois  fui- 
vant  , c’eft-à-dire , au  mois  de  Juin  , & que  par 
confequcnt  elle  appartient  à ce  Mois.  Il  fait  aufii 
connoître  que  la  Lunaifon  precedente  a fini  au 
mois  de  May  , & que  par  confequent  elle  appar- 
tient à ce  Mois.  Ainfi  des  autres. 

PROBLEME  XXIX. 

Connoître  les  Années  Lunaires  qui  font  communes , 
& celles  qui  font  Embolifmiques . 

CE  Problème  eft  aifé  à refoudre  par  le  moyen 
du  precedent,  par  lequel  on  connoît  facile- 
ment qu’un  même  Mois  Solaire  peut  avoir  deux 
Lunaifons  , parce  qu’il  fe  peut  faire  que  deux  Lu- 
nes finilfcnt  en  un  même  Mois,  fçavoir  lorfqu’ü 
aura  3 o , ou  3 1 jours  : comme  Novembre  qui  330 
jours , où  une  Lune  peut  finir  le  premier  de  ce  mois, 
éc  la  fuivante  le  dernier  , ou  le  3 o.  du  même  Moisi 
& alors  cette  Année  aura  treize  Lunes,  & fera  pat 
confequent  Embolifmique.  En  voici  un  exemple. 

En  l’Année  1712.  la  première  Lune  de  Janvier 
Unifiant  au  huitième  de  ce  mois , la  deuxième  de 
Février  au  fixiéme,  la  troifiéme  de  Mars  au  huitiè- 
me , la  quatrième  d’ Avril  au  fixiéme  , la  cinquième 
de  May  aufii  au  fixiéme , la  fixiéme  de  Juin  aujqua- 
triéme,  la  feptiéme  de  Juillet  aufii  au  quatrième. 


5 96  Récréât.  Mathemat.  et  Pmvs. 

la  huitième  d’Aouftau  deuxième,  la  neuvième  de 
Septembre  au  premier,  la  dixiéme  d’Oftobre  auflj 
au  premier  , l’onzième  aufli  d’Octobre  au  trentiè- 
me du  même  Mois  , la  douzième  de  Novembre  au 
vingt-neuvième,  & la  treiziéme  de  Décembre  au 
vingt-huitième  ; l’on  connoît  par  là  que  cette  An- 
née étant  de  treize  Lunes  eft  Embolifmique, 

On  connoît  pour  le  Calendrier  nouveau  , pour 
lequel  tout  ce  que  nous  avons  dit  touchant  le 
Compoft  Ecclefiaftique , Te  doit  entendre  , que  tou- 
tes les  Années  civiles  Lunaires,  qui  ont  leur  com- 
mencement au  premier  de  Janvier  , font  Embolif. 
miques,  quand  elles  ont  pour  Epaéte  *,  2,9,  2.8, 
27 , z6 , 25  ,24 ,23,22,21, ip>&  aulïî  1 8 9. 
quand  le  Nombee  d’or  eft  19. 

Ainfi  l'on  connoît  qu’en  cette  Année  1 6 93.  dont 
FEpaéte  eft  23  > l’Année  Lunaire  civile  eft  Embo- 
lifmique , c’eft-à-dire , qu’elle  a treize  Lunes  , ce 
qui  arrive  à caufe  que  le  moisd’Aouft  a deux  Lu- 
nailons , une  Lune  hniftant  le  premier  de  ce  Mois, 

6 îa  fuivante  finiflant  le  trentième  du  même  Mois. 

PROBLEME  XXX. 

Trouver  le  temps  auquel  la  Lune  éclaire  pendant 
la  nuit  en  un  jour  propofé. 

AYant  trouvé  parProbl.  14.  l’âge  de  la  Lune, 
& l’ayant  augmenté  d’une  Unité,  multipliez 
la  fomme  par  4 , fi  cette  fomme  ne  pafte  pas  13, 
car  fi  elle  pafl’c  1 ^ , il  la  faut  ôter  de  30  , & mul- 
tiplier le  refte  par  4’,  après  quoy  l’on  divifera  le 
produit  par  ^ & le  quotient  donnera  autant  de 

douzièmes  parties  de  la  Nuit,  pendant  lefquelles 
la  Lune  luit.  Ces  douzièmes  parties  font  appeî- 
Sées  Heures  itte'gales  , qu’il  faut  compter  après  le 


Proble’mes  de  Cosmographie.  397 
Coucher  du  Soleil,  lorfque  la  Lune  croîr,  Sc  a- 
vant  le  Lever  du  Soleil,  lorfque  la  Lune  décroît. 

Comme  fi  l’on  veut  fçavoir  le  temps  que  la  Lu- 
ne luit  pendant  la  nuit  de  ce  jour  2 I • May  1693. 
auquel  l’âge  de  la  Lune  eft  17,  ajoutant  1 à 17» 
& ôtant  la  fomme  18  de  3 o , il  reliera  12,  le- 
quel étant  multiplié  par  4 , 6c  le  produit  48  é- 
tant  divifé  par  ç , le  quotient  donnera  9 heures 

inégales  &-p,  pour  le  temps  auquel  la  Lune  é- 

claire  la  nuit  avant  le  Lever  du  Soleil. 


Remarque. 


Il  cft  aifc  de  réduire  les  Heures  inégales  en  Heu- 
res égales  , ou  Aftronomiques  , qui  font  la  24. 
partie  d’un  Jour  naturel  comprenant  le  Jour  & la 
Nuit,  lorfque  l’on  fçait  la  longueur  de  la  nuit  au 
jour  propolé.  Comme  en  cet  exemple,  fçaehant 
qu’à  Paris  la  nuit  du  21.  May  eft  de  8 heures  8c 
34  minutes,  en  divifant  ces  8 heures  &34mi 
nutes  par  12,  on  aura  42  minutes  & 50 fécon- 
dés, pour  la  valeur  d’une  Heure  inégale,  laquelle 

étant  multipliée  par  qui  eft  le  nombre  des 

Heures  inégales,  pendant  lefquellcs  la  Lune  éclai- 
re depuis  fon  Lever  jufqu’au  Lever  du  Soleil , on 
aura  6 Heures  égales  , & environ  5 1 minutes  pour 
le  temps  compris  entre  le  Lever  de  la  Lune  & le 
Lever  du  Soleil. 


Corollaire. 

Par  là  on  peut  trouver  l’heure  du  Lever  de  la 
Lutte  , fçaehant  l’heure  du  Lever  du  Soleil  : car  fi 
à l’heure  du  Lever  du  Soleil , qui  eft  4 heures  Sc 
17  minutes,  qn  ajoute  12.  heures,  & que  de  la 


Plan- 
che 4 j. 
ïié.Fig. 


3 98  Récréât.  Mathemat.  et  PfiY«. 
lomme  1 6 heures  & 17  minutes,  on  ôte  6 heu* 
res  & f I minutes  , qui  eit  le  temps  compris  entré 
îe  Lever  de  la  Lune  &c  le  Lever  du  Soleil , oa 
aura  au  refte  9 heures  & 2 6 minutes  pour  l'heure 
du  Lever  de  la  Lune. 

PROBLEME  XXXI. 

Trouver  la  Hauteur  du  Soleil , & la  Ligue 
Méridienne. 

LOrfque  dans  le  probl.  3.  nous  avons  enfeigné 
la  maniéré  de  trouver  la  Latitude  d’un  Lieu 
propofé  de  la  Terre  , nous  avons  fuppofé  que  l’on 
fçavoit  connoître  la  hauteur  du  Soleil , & aufli  la 
Ligne  Méridienne  , puifque  nous  nous  fommes 
fervi  de  la  Hauteur  Méridienne.  Ainfi  avant  que 
de  finir  , nous  ajouterons  ici  en  peu  de  mots,  le 
moyen  de  connoître  la  Hauteur  du  Soleil  en  tout 
temps,  & enfuite  la  Ligne  Méridienne. 

Premieremeïit  pour  trouver  la  Hauteur  du  So- 
leil à quelque  heure  du  jour  , élevez  à Angles  droits 
fur  un  Plan  Horizontal , le  ftile  AB  d’une  longueur 
volontaire  , & marquez  un  point , comme  C , à 
l’extremité  de  l’ombre  du  ftile  AB  , dans  le  temps 
que  vous  voudrez  connoître  l’élévation  du  Soleil 
fur  l’Horizon.  Après  cela  tirez  par  le  pied  du  ftile 
A,  & par  le  point  d’ombre  C,  la  ligne  AC,  qui 
reprefentera  le  Vertical  du  Soleil,  & luy  tirez  par 
le  même  pied  du  ftile  A , la  perpendiculaire  AD 
égale  au  ftile  AB.  Enfin  tirez  par  le  point  D , & 
par  le  point  d’ombre  C , la  droite  CD  , qui  repre- 
fentera le  rayon  du  Soleil , tiré  de  fon  centre  par 
l’extremité  B du  ftile  AB,  & qui  fera  au  point  C', 
avec  îe  Vertical  du  Soleil  AC,  l’Angle  ACD  , qui 
étant  mefuré  avec  unTranfporteur , ou  autrement. 


Problèmes  de  Cosmographie.  399 
donnera  les  degrez  de  la  hauteur  du  Soleil , qu’on 
cherche. 

Secondement  pour  trouver  la  Ligne  Méridien- 
ne , marquez  fur  quelque  Plan  Horizontal,  envi- 
ron deux  ou  trois  heures  avant  Midy  , le  point 
d’ombre  C,  comme  il  vient  d’être  dit:  & décri- 
vez du  pied  du  ftile  A , qui  reprefente  le  Zenit , par 
ce  point  d’ombre  C , la  circonférence  de  Cercle 
CFE  , qui  reprefentera  l’Almicantarat  du  Soleil. 
Après  cela  marquez  apres  Midy  un  fécond  point 
d’ombre  , comme  E , lorfque  l’extremité  de  l’om- 
bre du  ftile  AB  fera  retournée  fur  la  circonférence 
CFE;  & ayant  divifé  l’arc  CE  en  deux  également 
au  point  F,  tirez  par  ce  point  de  milieu  F,  & par 
le  pied  du  ftile  A,  la  droite  AF,  qui  lera  la  Ligne 
Méridienne  qu’on  cherche. 

PROBLEME  XXXII. 

Connoitre  facilement  les  Calendes  , les  Nones  , & 
les  Ides  k chaque  mois  de  C Année. 

LEs  Calendes  , les  Nones,  5c  les  Ides,  quiétoient 
autrefois  en  ufage  parmi  les  Romains  , fepeu- 
venr  connoîcre  facilement  par  le  moyen  de  ces 
crois  Vers  Latins, 

Principium  menfis  cujufque  vocato  Kalendas  , 
Sex  Mains  Nonas  , OEtober  yjulins , er  Àlars , 
Jfhiatnoir  at  reliant  : dabit  Idus  qmlibet  Otto. 

dont  le  premier  montre  que  les  Calendes  font  le 
premier  jour  de  chaque  mois  , ce  premier  jour  é- 
tant  chez  les  Romains  le  premier  jour  de  l’appari- 
tion de  la  Lune  fur  le  foir,  auquel  ils  avoient  cou- 
tume d’appcllcr  à la  Ville  le  Peuple  de  la  Campa- 
gne , pour  apprendre  ce  qu’il  avoir  à faire  pendant 
le  relie  du  mois. 


40ô  Récréât.  Mat  hemat  ét  Phys. 

Le  fécond  Vers  fait  connoître  que  les  Noues 
font  les  feptiémes  jours  des  quatre  mois  Mars,  May, 
Juillet,  & Octobre  , 8c  les  cinquièmes  jours  des  au- 
tres mois  -,  8c  l’on  connoîc  par  le  troifiéme  Vers  s 
que  les  Ides  font  huit  jours  après  les  Nones , fça- 
voir  les  quinziémes  jours  de  Mars,  May,  Juillet, 
de  Octobre  , êc  les  treiziémes  jours  des  autres 
mois. 

Les  Romains  comptoient  les  autres  jours  à re- 
bours , en  allant  toujours  en  diminuant , & ils  don- 
noient  le  nom  des  Nones  d’un  mois  aux  jours  qui 
font  entre  les  Calendes  8c  les  Nones  de  ce  mois , 
& le  nom  des  Ides  d’un  mois  aux  jours  qui  font 
entre  les  Nones  8c  les  Ides  de  ce  mois , & enfin 
le  nom  des  Calendes  d’un  mois  aux  jours  qui  ref- 
tent  depuis  les  Ides  jufqu’à  la  fin  du  mois  prece- 
dent. 

Ainfi  dans  les  quatre  mois  * par  exemple  Mars , 
May  , Juillet,  8c  O&obre,  où  les  Nones  ont  fix 
jours  , le  deuxième  jour  du  Mois  s’appelle  VI. 
Nonas , c’eft-à-dire , le  fixiéme  jour  avant  les  Nc- 
nes  , la  prepofition  ante  étant  fous-entenduc  : 8c 
pareillement  le  troifiéme  jour  fe  nomme  V.  Nonas» 
pour  dire  le  cinquième  jour  des  Nones  , ou 
avant  les  Nones,  8c  ainfi  des  autres.  Mais  au  lieu 
dappeller  le  fixiéme  jour  du  mois  II.  Nonas  , 
on  dit  , P ri  die  Nonas»  c’eft-à-dirc  , 1*  veille  des 
Nones, 


FIN 


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